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Transformada Discretade Fourier.Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.

Hasta ahora se ha visto.Importancia de la respuestaen frecuencia de un sistemaTransformada de Fourier deuna señal discretaTenemos otra forma de caracterizarlos sistemas L.T.ITenemos una forma de expresar laseñal como una suma infinita desinusoidesHerramienta muy potente paradeterminar salidas cuando las entradasson sinusoides o combinación de éstas.Permite realizar aplicaciones que en eldominio temporal son difíciles decomprender (por ejemplo filtrado)Utilizando esta descomposición de laseñal junto con la respuesta enfrecuencia tenemos una forma sencillade determinar la salida de un sistema enel estacionario.PROBLEMA: TENEMOS UN SUMATORIO CON LÍMITES Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.

!l 0!k(n) Pn"1 # x nrtr N x n # Pn"1 # x n!!%Desarrollo en serie de Fourier discreto (DFS)P " k(n) # x n # Pn"1Pn n"1k 0 &%x(k) " # ( n k )!!!%% & "X (k) " ex(k)x(k)" #"(#n( n k ) k ) k 0 n 0%%k 0k 0j" 2" #N" ( 1k s)" n j# 2# % # k# n&%%%!k 0 n 0, n 0!%n 0&&k 0)k 0k 0j" 2" # " s" n% j" 2" # " k" n *j"' N %1Evidentemente el objetivo ahora es determinarX(k) y α; para ello algunasoperaciones.N 1 j" 2" # " ( k s)" nN#1#j"2" "s"nNj" 2" ," k"#1 " e# j"N2" " s" n " ) ' N'0 k & s" en *# j" 2" " s" nj" 2" " k" n * # j" 2" " s"Nnj" 2" X" ((k)k#s)" n' N #1N #1# j" 2" " s" nx(n) " eN #1 N #1 e),(!N"n" eN " )&"NNX" X(s)" e N ,N 1N 1 N 1 ,% N j" 2" # " ( k s)N2" # " s") n!"e %(k) s N x(n)x(n)() x(n)k!k 0x(n) " e N j" %"X (k) " e N"n e0"e & "X (k) " e ),,N )N&% x(n) " e( k 0 & "k 0 n 0%e'0 ()NNk&sk s!Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.N 1 Emilio Soria. j"E.T.S.E.2" # " s"UniversitatnProfesorde València.%x(n) " eN%% % X (k) " eAplicando la ortogonalidad de las! es,exponenciales complejas, estoN "1 " j# 2# # ( k"s)# nn 0!Nx(n)n 0 x(n)N 1exponencialesx(n)" e N %1 N complejas j# 2# #"k#)n)en elx(n) "dominio# & X (k)frecuencial,# e N ( k 0esto esn 0!%j" 2" N #1 N #1# j" 2" " s" nNx(n)N "e' 0 j# 2#k &# k#snj" 2" " ( k#s)" nN %1#12" # " k" n #alternativa#1 N #1%N j"*j" 2" "j"s" n2" # " s" nN!representaciónusandoNe N" #x(n)X (k) # e( N NNx(n)"e &"X(k)"eNN,que,comoson la base x(n) " #X (k)" e ya hemos "visto,eX (k) #Ne k s' N %1otrak 0 j" 2" #" s" nPodemosplantear!N #1N 1j# 2# % # k# nSupongamosuna señal discretax(n) periódica (periodo !N); esto esx(n) " # SabemosX (k) # e queNa nivel temporal esta señal se puedex(n N) x(n).Nexpresar,enk el0 primer periodo y usando deltas desplazadas, como:x(n) !rPn"1 " k(n) # x nt # Pn"1Pn !x(k) " r#t( n k )x(n) ! x n # Pn"1 # x n & " N " X (s)N #1%!n 0# j" 2" " s" nNx(n) " eN 1n 0 & "!N " X (s)j" 2" # " ( k s)" n%n 0&( k 0k 0 n 0tomandoα 1/NN 1j" 2" # " s" n!e !N!Ecuación de análisisn 0&% %%N 1 N 1x(n) " e & "%X (k) " e% %'0 k & s (X (k) % x(n) " e)N k sNN #1# j" 2" " k" nNk 0 n 0n 0n 0)# nN #1N "1 " j# 2# # ( k"sj" 2" " k" n'0k &N s1X (k) N"e !(x(n) X(k)"eEcuaciónNdesíntesis#1# j" 2" " s" nn 0N)N k sNn 0 & " N " X (s)k 0x(n)N #1j" 2" " "ek" n!N #1%1x(n) "N# j" 2" " k" nNx(n) " e%k 0%X (k) " en 0%%N 1j" 2" # " s" nN j" 2" # " ( k N

j" 2" # " ( k s)" nN 1%! U (k) 0 " k " N # 1X (k) % &U0(k) 0otro" k caso" N #1X (k) %& 0!Nen 0otro casoN #1%!# j" 2" " s" nNx(n) " e#1 0 " n " 4x(n) %0 5 " n " 9N #1X (k) %Aplicando la definición de DFS se tienen 0! 49# j" 2" " k" n# j" 2" " k" nX (k) % x(n) " en 9 0X (k) %10 %e# j" 2" " k" n n 04x(n) " e 10 %# j" 2" " k" nNx(n) " e# j" 2" " k" 510 j" 2" " k" n11 # e10x(n) N# j" 2" " k" ne 10"N #1" e" k% X# (k)j"#2"j"2" " k" 5N1k #10e# e 1010 # j" 2" " k"#nj" 2" " kn 0n 0W Nk" n e 1% N# e# k ( 10" j# # kj# # k" j# # k!senAgrupandosiempre!!!). '& 2 *)22e exponencialese 2 " e (comoX (k) X (k) " j# # k" j# # ke 10e2" j# # ke 10 e" j# # 0.4# k ##e#j# # k" j# # kj# #k10 " e "10j# # kee2" e!2% %# k (## j"k2"(% " k" nsensen' ' "e * *NX (k) x(n)& 10 )N #1 & 2 )" j# # 0.4# k e#n 0j# # k" j# # k% #k(sen'10 " e 10*& 10 )!!! & " N " X (s)Ejemplo de DFS.Consideramos la siguiente!señalperiódica aquí N 10!k&sk sn 0!!'0 ()NProcesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València. ( ) % x(n) " eXejwn # # j" w" n

!"# %&'%(&)*( !"# %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&' () * ,-.#./ * "0,122"0"3"0,!"# %&!"'()*Propiedades del DFS.# %& , - %&4"* 5'"0,!"# %& , /"- %& 6)70"87" 50".* 9# %& "- %&4"3'()*,.()* x2 [m]!"'()*,/".()*3 4"3 ! '(2*.() 0 2*4 2 #5! # 1& - % " 1&:.*3.7)0".* 9Ejemplo de convolucion periódica–N0Nm x1 [m]'()*".()*1 #5!"# %; " 0"*/# % 0 1&&' () * ,%; " 0"*/6%98! 2 :7 # %&6"98! ) 17 '()*–N0Nmx 2 [– m]'() 0 2*!"# %&'()* "()")* ,"-**./0"&*1,23*LinealidadProductoConvolución periódicaDesplazamiento temporalDesplazamiento frecuencial.!!"#!" %&'()** "", -./01223"", !"# %& '()(* ,%,'- .( / 01''!"# %& '2& %&,''''' 11 !"14Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.–N0Nm x2 [1 – m] x 2 [–(m – 1)]–N0Nm x2 [2 – m] x 2 [–(m – 2)]–NFigure 8.3sequences.0NmProcedure for forming the periodic convolution of two periodic

1x(n) "N!!N #1% X (k) " ej" 2" " k" nNk 0# j" 2" " k" nNW Nk" n eMuestreo de la Transformada de#1 una# j"secuencia2" % " k" nFourier Ndediscreta (I)%X (k) x(n) "e" j# "# k (# k" j# 2#" j# #2#k# n# k# n% 2# j# 2#( N* x(n)U (k) X %'eX# e" j## 2#e N# k# nNU (k)x(n)"'j#e2# # kN( * * '*Muestreamos '(EN EL DOMINIOFRECUENCIAL)NU (k) X 'e& & N * ) )n " x(n) # en " ,,' N muestras;* ,considerandorecordemos que X(jw) esNSabemos quen la 0Transformada de Fourierde una secuencia discreta viene definidapor la siguiente expresión:!&N 1!%%%( ) %1u(n) "NN 1%U (k) " ej" 2" # " k" nN!!!!k 0Aplicando# j" 2"& "!k" m *!1Procesado Digital de Señales. 4º deIngenieríaElectrónica.N!! , "eu(n) " )x(m) "e %) %Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.Nk 0 ( m # ,%%%%%%%obtiene de esos coeficientesN #1'!j" 2" # " k" n1 1% "Nj# 12# # k ( Nj" 2" # " k" n " j# 2# # k# n u(n) "N 1" U (k)" ej" "2"e# " k" nNu(n)U (k)!!NNN1 XN'k e 0* N x(n) # eU (k)X e jw x(n) " e# j" w" nu(n) "U(k)"e' k 0*!N &) n " k N0#1n # # j" 2"N'#1' #&j" "2"k"&m" k"* m *j" 2" &j" "2"k"&n" k" n1 " j# 2# # k# n% " j# 2# # k (u(n) "N1#1"' ) ) x(m)"e# j""e2" &N" k" mN * , "ej",2""e& "Nk" nNu(n)x(m)U(k) es periódicaj" 2" # " k" nN)( m # , , N'e (periodo* N) se puede! ! N u(n) 1N"1Nk N)0 1U(k) Xx(n)#eN),x(m)"e"e (corresponder a'los coeficientes* de un DFS. !u(n) N " )k 0U m # (k) " e N,& en la señal )temporal n " que se !Nk 0 ( m # Estoy interesado,!)periódican " con periodo, k 0)* )*' ' N #1N #1j" 2" &j" "2"k"&( n#m " k" ( n#m1N #1'& "Nk")m* *, ,j" 2" & " k" nu(n) '") ") N"1#1" ej" 2"e#& "j"k"2"N( n#m 1 x(m)u(n)x(m)Nu(n)" ")) )(1N)" Nx(m), , "e , Nk e0 "e Nu(n) m # x(m)k 0Nm # )( N (, , k 0m # m # k 0( %%%%% % %%# " k" ( n m )N 1 j" 2" j"2" # " k" ( n m ) ' NN 1n nm mr " N'N"NN'*r entero Nj"2"#"k"n me ne ( N ) '( ( #1 j" 2" & " k"(rn#mr )enteroN 1j" 2"& " k"Nn m r"N1)) 0) "0n enm &mr&N" N,Nr r" Nentero x(m)" (k 0eNu(n)k 0,))(0N nk 0m & r " Nm # k 0%%%%%%%%%

)N(m # N 1j" 2" # " k" ( n m )%N, k 0'N n m r " Ne (r entero0n m&r"N) de0la k Transformada!Muestreo deFourier de una secuencia discreta (II)Se llega finalmente a!%u(n) %& x(m) "# (n m r " N ) ' u(n) & x(n r " N )x [n]m %r %x [n]0 u(n) !n8% x(n " r # N )(a)r " 08x [n] (a).!– 12 u(n) 0 " n " N # 1x(n) %otro caso& 008.(b)– 12!.– 1408!r –!x [n] N 12x [n] n!x[n – r12]!!r –!!!r –!x[n – r12]nx [n – r7].nN 12Figure 8.8 (a) Finite-length sequence x [n ]. (b) Periodic sequence x̃ [n ] corre(b)sponding to sampling the Fourier transform of x [n ] with N 12.–7014N 7Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.Figure 8.8 (a) Finite-length sequence x [n ]. (b) Periodic sequence x̃ [n ] corresponding to sampling the Fourier transform of x [n ] with N 12.Figure 8.9.Periodic sequence x̃ [n ] corresponding to sampling the Fourier trans-.n

"e & " % % X (k) " e%Nx(n) 1 j" 2" # " ( k s)" n'0 k & sN (%e s)N k !Nn 0!!!n 0k 0 n 0n 0j" 2" # " ( k s)" nN 1Ne'0 k & s ( DiscretaTransformada)N k s# j" 2" " s" nn N0 #1#1 0 " n " 4#1 0 " n " 4x(n)! 9"n"% 0 5x(n)%0 5 " n " 9de Fourier (DFT).% Conclusionesatenerencuenta.Nx(n) " e & " N " X (s) X (k) %x(n) " e%X (k) obtenida"eSi x(n)n tienelongitud finita se puede recuperar% x(n)usandoLa señal temporaldicho0!dicha señal a partir de muestras de sumuestreode la Transformada de Fourier se!x(n)"e &"N"X(s) %Transformadade Fourier; no es necesariosupone1periódica por construcción; aunque a sólo" %nosXx(n)(k) " e 1el" primerconocer dicha Transformada en todas las x(n)nosotrosinteresaperiodo.X (k)"e%NNfrecuencias. #N #1!NN #1# j" 2" " s" nN# j" 2" " k" nN #1Nn 0n 0N #1j" 2" " k" nN #1Nn 0!!1 0"n"4x(n) Se define la Transformadade0 5 " n Discreta"9%#1de una0 " señaln " 4x(n) como .Fourier(DFT)x(n) n% 0N #1 5 " n "# j"92" " k"!% x(n) " e(k) % x(n) " einversa quedaLa XTransformada!1(ecuación de sintesis)definidacomox(n) " % X (k) " eN1x(n) " % X (k) " eN " j# 2# N #1n 0n 0!# j" 2" " k" nNN #1j" 2" " k" nNN #1k 0!j" 2" " k" nNX (k) !x(n) W N "ej# 2# NProcesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.WN eWN" j# 2# e NNN #1N #1k 0!k 0" j# 2# WN ej" 2" " k" nNNX (k) !k 0Si se define N# j" 2" " k" nN! (k)Nk" nx(n)X"Wn 0n 01"N k" nx(n)Ec."W NAnálisisN #1 k 0N #11#k" n#k"n X (k) "W Nx(n) "X (k) "WNNEc. Síntesis k 0

1Sea la1 señal x(n); vamos acalcular su DFT con N 5.0014x[n](a)n04nx[n]x[n]1044n x[n](a)(a)Implícitamente suponemosque se tiene la señal(a)1.11Aplicandola definicióny0510haciendo algunos cálculos(b)5150020X (k) 123%0.4652"705 X[k]" j# 5.# ke 20–1X (k) " j# 0# kk9. 101184"e 10 !5!155(b) # j" 2" " k 1# e#2" j" " k1055 1# e X (e j!) x[n]n.201015n20.'0 k & 5 " r (r entero5k 5"r n)1520X[k]X[k](b)(b)Lo que obtenemos son infinitas . . %7sólo 8# k (nosperiodicas;j# # k –1 muestras"k96430 j# 1# k 2510 X[k]sen'* 4" 11 !2" eX (e2 j!)" e 0 2) 11 k8 & 9 2 10423 interesa15j#6 #primer0.4#7k# e" el# periodo010 5X[k]Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.5 X (e j!) (c)–110# j" 2" " k" nn5x(n) " en 0!–1. X (e j!) .5.4From Discrete-Time Signal Processing, 2e by Oppenheim, Schafer, and Buck 1999-2000 Prentice Hall, Inc.0 x[n].1 x[n]e.j# # k10" j# # k 2"" e 10 (c)% # k 4"(sen'*& 10 k]111011(d)–2–101234567891011 5 knFigure 8.10 Illustration of the DFT. (a) Finite-length sequence x [n ]. (b) Periodicsequence x̃ [n ] formed from x [n ] with period N 5. (c) Fourier series coefficientsX̃ [k ] for x̃ [n ]. To emphasize that the Fourier series coefficients are samples of thekFrom Discrete-Time Signal Processing, 2e by Oppenheim, Schafer, and Buck 1999-2000 Prentice Hall, Inc.From Discrete-TimeSignalProcessing,by Oppenheim,PrenticeSchafer, andHall,Buck Inc. 1999-2000 Prentice Hall, Inc.Discrete-Time Signal Processing, 2e by Oppenheim,Schafer,andBuck 2e 1999-2000Ejemplo de DFT (I).x[n]