Transcription
2ObjetivosEn esta quincena aprenderás a: Ver si dos fracciones sonequivalentes.Simplificar fracciones.Reducir fracciones a igual denominador.Sumar y restar fracciones.Multiplicar y dividir fracciones.Obtener la inversa de r la raíz cuadrada de unafracción.FraccionesAntes de empezar1. Fracciones . .pág. 24Fracciones EquivalentesSimplificación de Fracciones2.Fracciones con igual denominador pág. 25Reducción a común denominadorComparación de fracciones3.Operaciones con fracciones. pág. 27Suma y restaProductoCocientePotenciaRaíz cuadradaOperaciones combinadas4. Problemas de aplicación. pág. 29Ejercicios para practicarPara saber másResumenAutoevaluaciónSolucionesMATEMÁTICAS 2º ESO 21
22 MATEMÁTICAS 2º ESO
FraccionesAntes de empezarEl trabajo con fracciones ya no es nuevo para ti. Ya sabes que una fracción puede versedesde una triple perspectiva.Puedes ver una fracción simplemente como un número. También como una parte de untotal. O también puedes interpretar una fracción como un porcentaje.RecuerdaPara trabajar con fracciones necesitarás en ocasiones obtener la descomposición factorialde un número, así como calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. Para descomponer en factores unnúmero lo dividimos por el primer númeroprimo que podamos. Sipodemosseguimosdividiendosucesivamente el cociente por el mismonúmero primo.Cuando no podamos hacer la división porese número primo lo hacemos por elsiguiente primo que se pueda.Así sucesivamente hasta que el cocientefinal sea 1.Finalmente ponemos ese número comoun producto de potencias de factoresprimos. El mínimo común múltiplo de variosnúmeros naturales es el número naturalmás pequeño que es múltiplo de todos esosnúmeros a la vez, exceptuando el número 0.MATEMÁTICAS 2º ESO 23
Fracciones1. FraccionesFracciones Equivalentes96Halla el valor dey.Dan el mismo resultado. Son64dos fracciones equivalentes.ac , a y d reciben el nombre de extremos, b ybdc se llaman medios. En el ejemplo los extremos son6 y 6, los medios 4 y 9.SiObserva que si los multiplicamos se obtiene igualresultado: 6·6 36 y 4·9 36.Vamos a comprobar si las fraccionessiguientes son o no equivalentes.144 6y144 6Los extremos de las fracciones: 144 y 6Su producto vale 144·6 864Los medios de las fracciones: 144 y 6Su producto es 144·6 864Por lo tanto son equivalentes:144 6 144 6Ejercicios: Comprueba si las siguientes fraccionesson o no son equivalentesa)75 162y240 540PISTAa)75· 540 ?240·162 ?b)27· 432 ?144· 72 ?2772yb)144 432Simplificación de fraccionesVamos a simplificar la fracción siguiente:Si divides por 2 el numerador y el denominador de918obtienes, que es equivalente. Ahora puedes6123dividir 9 y 6 entre 3. Obtienesque no se puede2simplificar. Es irreducible.1893 que es irreducible.Resumiendo:1262Al dividir numerador y denominador deuna fracción por un mismo número, seobtiene una fracción equivalente.24 MATEMÁTICAS 2º ESO7651425 Numerador y denominador sepuedendividirpor3:765 : 3255 1425 : 3 475 Numerador y denominador sepuedendividirpor5:255 : 5 51 475 : 5 9551es una fracción irreducible95
Fracciones2. Fracciones con igualdenominadorReducción a común denominadorVamos a reducir a igual denominador8738ylas fracciones:30288m.c.m.delosHallamoseldenominadores m.c.m. (30,288) 1440que será el nuevo denominador de lasfracciones.Considera las fraccionesPara compararlas y realizar cálculos podemos usarotras fracciones equivalentes con igual denominador.11776513 y 535357Dividimos el m.c.m entre el primerdenominador:1440:30 48y multiplicamos el resultado por elprimer numerador: 48· 87 4176, queserá el nuevo primer numerador.Al dividir numerador y denominador deuna fracción por un mismo número, seobtiene una fracción equivalente.Ahora el m.c.m lo dividimos entre elsegundo denominador: 1440: 288 5y multiplicamos el resultado por elsegundo numerador: 5· 38 190, queserá el nuevo segundo numerador.Ejercicios: Reduce a común denominador:Así, las fracciones quedan:4176 190y1440 1440PISTA: a) m.c.m.(144, 180) 720b) m.c.m.(36, 180) 18011 13y.57a)3845y144 180b)94y24 12c)23 22y36 180d)21 24y180 10Comparación de fracciones¿Qué fracción es mayor,Vamos a comparar las fracciones:38y174HallamoseldenominadoresVamos a reducirlas a común denominador:8565 55 y 11 777 77m.c.m.delosm.c.m. (17, 4) 68Reducimoslasdosdenominador común:fraccionesaLa primera fracción es mayor:832351 y 17 68468Ahorayafracciones:podemos8 5o ?11 7comparar513328 luego 6868174PISTA: a) m.c.m. (9, 5) 45Es conveniente que uses los símbolosmayor que, , y menor que, .lasEjercicios: Compara las siguientes fracciones:a)7 1y9 5b)4 3y14 7c)8 2y17 3d)5 3y9 4b) m.c.m. (17, 3) 51c) m.c.m. (14, 7) ?d) m.c.m. (9, 4) ?85 11 7MATEMÁTICAS 2º ESO 25
Fracciones3. Operaciones con fraccionesSuma y restaPara sumar fracciones de denominador igual deja eldenominador y suma los numeradores.434 37 11 111111 105317 38 186326En primer lugar simplifico las fracciones:Si son fracciones de distinto denominador lasreduciremos primero a común denominador.Es lo mismoEjercicio resuelto: Simplifica cadafracción y calcula:4 328 1543 que5 735 35 35105313 186323Queda: ;172;13 17 19 23233819 63Ahora opero:Calculo m.c.m. (23, 2,3) 138 y: 13 17 19781173 874 2323138138138La solución es:221138PISTA: Intenta simplificar primero cadafracciónEjercicios: Calcula el valor de:a)1625 272 287532b)11 39 19 69Después calcula el m.c.m. de losdenominadores. (Será el nuevo denominador)c)1375 208 2375 368d)1053 17 18632Divide el m.c.m. por cada denominador dráslosnuevosnumeradores)Ya puedes sumar o restar las fracciones.Producto de fraccionesLa figura representa a45244Vamos a hallarde.Dividimosen tres partes y355tomamos dos:2 4·3 5Del total, tenemos26815 MATEMÁTICAS 2º ESOEjercicio resuelto: Vamos a calcular elvalor del siguiente producto:415·90 42Si es posible simplificamos las fracciones:51 901841es oresy1 411· 4141· 18 42 18 · 42756Si es posible, simplificamos el resultado.41es irreducible.En este caso756
Fracciones3. Operaciones con fraccionesCociente de fraccionesEjercicio resuelto: Vamos a calcular elvalor del siguiente cociente:104:8412Dos fracciones son inversas si su producto es 1. Por3 53 5lo son pues · 1ejemplo y5 35 3Si es posible simplificamos las fracciones:105 8442Y escribiremos:41 123Multiplicamos numeradoresnadores en cruz:ydenomi-113 . En general:5c53d dcPara dividir fracciones multiplica en cruz:515·315: 42 342 · 142Si es posible, simplificamos el resultado.155. 42 14PISTA: Intenta simplificar primero cadafracciónMultiplica numeradores y denominadoresen cruzSi es posible, simplifica el resultadoEjercicios: Calcula el valor de los cocientes:a)44 19:36 24b)69 29:24 18c)73 44:12 3d)52 56:40 10Potencia de una fracción3 5 ¿Cuánto vale ? Desarrollemos la potencia: 2 Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el 3 5 valor de:8Elevamos numerador y denominador alexponente 3 5 8 Para obtener la potencia de una fracción debesefectuar el cociente entre las potencias del numeradory el denominador.3858nRecuerda:Calculamos la potencia: 3 5 8 8385 6561390625an a nb b 0 a y 1 b Ejercicios: Calcula el valor de las potencias: 2 a) 7 6 3 b) 5 7 c) 2 6 2 d) 13 47MATEMÁTICAS 2º ESO 27
Fracciones3. Operaciones con fraccionesRaíz cuadrada de una fracciónPara obtener la raíz cuadrada de una fracción, haz laraíz del numerador y el denominador.4 9492Ejercicio resuelto: Vamos a obtener elvalor de:42 93y también:9169244 2 2 La razón es que: y 3939 Hallamos la raíz del numerador ydenominador:luego, habrá una raíz positiva y una negativa.Recuerda:a baby Ejercicios: Calcula el valor de:49a)25c)1636ab)121169d)8125 El orden de las operaciones es de izquierda aderecha. Las multiplicaciones y divisiones se realizanantes que las sumas y restas. Si aparecen paréntesis, sus operaciones tienenprioridad. Los paréntesis anidados se realizan de dentroa fuera.No suele ser conveniente que esperes al finaldel ejercicio para simplificar.28 MATEMÁTICAS 2º ESO3 8313Ejercicio resuelto: Vamos a obtener elvalor de:2 6 9 ·5 7 43 5 8 2Operamos por separado en el numeradory denominador:2 6 92 54326 · 5 7 4 5 28 1403 52323 8 288Dividimos, multiplicando en cruz:326140 26082332208Si es posible, simplificamos el resultado.2608652 3220805Ejercicios: Calcula el valor de:b) 93 16913Para realizar operaciones combinadas con fraccioneshay una serie de cuestiones que conviene tengas encuenta:7 9 8 · 6 4 3 a)11 4:2 79169Por ser raíz cuadrada hay otra solución:bOperaciones combinadas con fracciones 9 1694 1129 67
Fracciones4. Problemas de aplicación1de un74libro. A lo largo de esta semana he podido leerdel5resto. En total he leído 87 páginas del libro. ¿Cuántaspáginas en total tiene el libro?PROBLEMA 1. La semana pasada he leídoSolución: 105 páginasPROBLEMA 2. Hemos vaciado agua contenida en un3barril, en 41 recipientes delitros cada uno. Todos4han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por lamitad. En el barril han sobrado 14 litros. ¿Cuántoslitros de agua contenía el barril?Solución: 44,37 litros3de una finca143a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado4de lo previsto a zonas ajardinadas. ¿Qué fracción dela finca se ha destinado finalmente a zonas deaparcamiento?PROBLEMA 3. Esta previsto destinarSolución:356para aparcamientosPROBLEMA 4. De un depósito de cereales se han81extraído los. Al día siguiente se extraedel104resto. ¿Qué fracción del total se ha extraído deldepósito?Solución:1720del totalMATEMÁTICAS 2º ESO 29
FraccionesEJERCICIOS resueltosFracciones equivalentes. Simplificación1. ¿Son equivalentes27720y144 1440?El producto de extremos vale 27·144 38880 y el producto de medios 144·720 103680Los dos productos no coinciden y, por lo tanto, no son equivalentes:2. Simplifica la fracción5102850 Numerador y denominador se pueden dividir por 2:510 : 2255 2850 : 2 1425 Numerador y denominador se pueden dividir entre 3:255 : 385 1425 : 3 475 Numerador y denominador se pueden dividir entre 5:85 : 517 475 : 3 95 17es irreducible.95Fracciones con igual denominador3. Reduce a igual denominador las fracciones: Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (105,144) 5040 que será elnuevo denominador. Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 5040: 105 48. Multiplicamos el resultado por el primer numerador: 48· 17 816, que será elnuevo primer numerador. Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 5040:144 35. Y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: 35· 14 490, que será elnuevo segundo numerador. Así, las fracciones quedan:816490y, fracciones con igual denominador.504050404. Reduce a igual denominador las fracciones:301714y10514425648,y576 19272 Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (576, 192,72) 576 que será elnuevo denominador de las fracciones. Dividimos el m.c.m entre cada denominador, multiplicando el resultado por elcorrespondiente numerador. Así, las fracciones quedan: MATEMÁTICAS 2º ESO6144 200,y.576 576 576
FraccionesEJERCICIOS resueltos (continuación)Operaciones con fracciones5. Simplifica cada fracción y calcula: 375807 1375208 17En primer lugar simplifico las fracciones:3753 ;1375 11Queda: 805 ;208 137es irreducible173758076639351001 729 1375 208 172431 2431 2431 24316. Calcula el valor del siguiente producto:24 11 36··90 180 15Si es posible simplificamos las fracciones:24 11 36411 12···· 90 180 15 15 180 5Multiplicamos los numeradores y denominadores:4 · 11 · 12528 15 · 180 · 5 13500Si es posible, simplificamos el resultado.52813500 44112543167. Calcula el valor del siguiente cociente:1130Si es posible simplificamos las fracciones. En este caso ambas son irreducibles.Multiplicamos numeradores y denominadores en cruz:43 · 30 129043 11 : 16 30 16 · 30176Y, si es posible, simplificamos el resultado1290645 .881768. Calcula la siguiente potencia: 5 7 66Elevamos numerador y denominador al exponente56 5 67 7 6Calculamos las potencias:5615625 5 6 1176497 7 MATEMÁTICAS 2º ESO 31
FraccionesEJERCICIOS resueltos (continuación)Operaciones con fracciones41219. Indica las dos soluciones de la raízHallamos la raíz del numerador y denominador:4 1214121 211Por ser raíz cuadrada hay otra solución:4121 21111 5 7 ·6 910. Calcula: 242 3 1111 5 7 11 35332 · 6 9 254 54Operamos por separado en el numerador y denominador: 2425050 3 11333333210956Dividimos, multiplicando en cruz: 54 50270033Si es posible, simplificamos el resultado.10956 913 270022528 2 411. Calcula: 5 3 11 222 20 2 44 24 Operamos primero el paréntesis: .33335335 Hacemos la potencia4002 1089 5Sumamos:4002 2000 21784178 1089 5 5445 54455445En este caso no podemos simplificar el resultado.4178es una fracción irreducible.54457 9 8 7 59413· ·6 4 3 6 12330412. Calcula: 72 . Dividimos multiplicando en cruz.11 477775544:2 788Simplificamos el resultado32 MATEMÁTICAS 2º ESO330459 554499
FraccionesEquivalencia de fraccionesProducto de fracciones1. Comprueba si son o no equivalentes lassiguientes fracciones:5. Calcula el valor del producto de lassiguientes fracciones y simplifica elresultado cuando sea posible:a)108 292y19272b)5493y90 150c)36 123y96 320d)1470y43 215a)6 5·10 6b)58·11 12c)97·11 10d)6 7·5 11Simplificar fracciones2. Simplifica las siguientes fracciones:Cociente de fraccionesa)4064b)721626. Calcula el valor del producto de lassiguientes fracciones y simplifica elresultado cuando sea posible:c)80128d)36172a)5 12:10 6b)7 9:7 5c)8 4:4 5d)6 7:9 5Reducir a común denominador3. Reduce a común denominador lassiguientes fracciones:612 24,ya)20 32 24b)16615,y28 1624c)610 20,y24 45 18d)836 15y,22 48 33Suma y resta de fracciones4. Realiza las operaciones siguientes ysimplifica el resultado cuando sea posible:Potenciación7. Calcula el valor de las siguientespotencias y simplifica el resultado cuandosea posible: 7 a) 9 4 6 c) 9 2 4 b) 9 4 7 d) 6 3Raíz cuadrada8. Halla el resultado de las siguientesraíces. Da las dos soluciones posibles:8158 a)36 45 20a)1636b)256410 284 22 52 18c)925d)2536b)c) d)925 10 15 45 2010 109 16 20 24MATEMÁTICAS 2º ESO 33
FraccionesOperaciones combinadas9. Realiza las operaciones siguientes ysimplifica el resultado cuando sea posible:a)9 3 11 ·4 8 2b)2 6 9 ·5 7 413. En una ciudad de 470 habitantes, 85practican deporte regularmente. ¿Quéfracción del total no practican deporte conregularidad? ¿Qué tanto por ciento es?8 6 c) 4 : 2 11 7 d)8 2 6: ·11 5 7Problemas con fracciones10. ¿Cuántos botellines de refresco de1de litro podemos llenar con 417 litros de5refresco?11. Expresa en forma de fracción el área5de un rectángulo cuya base midem y67m.cuya altura mide912. Un camión contiene 900 Kg. de1patatas. Descargade su carga. Del32. ¿Cuántos Kg. deresto descarga los5patatas quedan?1de un3libro. A lo largo de esta semana he podido6del resto. En total he leído 38leer7páginas del libro. ¿Cuántas páginas entotal tiene el libro?14. La semana pasada he leído15. Hemos vaciado agua contenida en un2barril, en 22 recipientes delitros cada3uno. Todos han quedado llenos salvo unoque se ha llenado por la mitad. En el barrilhan sobrado 10 litros. ¿Cuántos litros deagua contenía el barril?6de una finca9a plazas de aparcamiento. Pero se han6de lo previsto a zonasdestinado7ajardinadas. ¿Qué fracción de la finca seha destinado finalmente a zonas deaparcamiento?16. Esta previsto destinar17. De un depósito de cereales se han9extraído los. Al día siguiente se extrae111del resto. ¿Qué fracción del total se ha9extraído del depósito?34 MATEMÁTICAS 2º ESO
FraccionesUna fracción interminableEl Ojo de HorusMira como está escrita esta fracción,La imagen de arriba, de origen egipcio, esel ojo de Horus, el Udyat. Horus habíaperdido el ojo en combate, pero fuesustituido por el Udyat por intervencióndel dios Thot.Para los antiguos egipcios, el Udyatsimbolizaba el estado de perfección y leatribuían cualidades sanadoras. Tambiénles servía para escribir números.Es posible escribir cualquier fracciónpositiva como suma de fracciones denumerador la unidad. Una suma de estetipo se llama una fracción egipcia. Sonfracciones egipcias:7 1 1 119 1 1 1 y 8 2 4 820 2 4 5Los jeroglíficos usados por los egipciospara escribir las fracciones más frecuentesen medidas agrarias de capacidad yvolumen, eran partes del Ojo de Horus.¿Y si seguimos el proceso indefinidamente?Se obtiene una fracción continua, cuyoresultado, ¡no es una fracción!Confraccionescontinuaspuedenescribirse números tan importantes enmatemáticas como φ, el número de oro.Puedes encontrar más información en lawikipedia:Número de oro:http://es.wikipedia.org/wiki/Número áureoFracción continua:http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción continuaMATEMÁTICAS 2º ESO 35
Fracciones ¿Cuándo son equivalentes dos fracciones?Cuando su producto de extremos y medioscoincide.a c si cumple a·d c·dbd ¿Cómosesimplificanfracciones?Debes dividir numerador y denominador entre unmismo factor. Si el m.c.d. del numerador y eldenominador es la unidad, la fracción ya no sepuede simplificar más, es irreducible.m.c.d.(20,12) 4Si sabes el mcd del numerador y el denominador,lo mejor es dividir directamente por esa cantidad.La fracción resultante será irreducible. ¿Cómo se reducen fracciones a igualdenominador?Divide el m.c.m. de los denominadores entre eldenominador y multiplica por el numerador. ¿Cómo se suman y restan fracciones?Deben tener el mismo denominador. ¿Cómosemultiplicanfracciones?Multiplica numeradores y denominadores. ¿CómoseMultiplicaendenominadores. ¿Cómo se obtiene la potenciafracción?Eleva el numerador y el denominador. ¿Cómo se extrae la raíz de una fracción?Extrae la raíz del numerador y el denominador36 MATEMÁTICAS 2º ESOcruzdividenfracciones?losnumeradoresydeuna
Fracciones1.2.Halla una fracción irreducible equivalente a96.216Sin simplificarlas, reduce a común denominador6y2416.363.Calcula812 . El resultado debe ser irreducible.18 364.Calcula208 (en forma irreducible).36 145.Obténlafracción12 20 30 .20 35 42irreducibleequivalentea15810 , expresado de forma irreducible.27 24 206.Halla7.Calcula8.Halla el valor de5 8·. Simplifica el resultado.8 117 5:. El resultado debe estar9 10simplificado.9.10.4metros para dar una vuelta.6¿Cuántas vueltas debe dar para avanzar 8 metros?Una rueda avanzaHalla16.64MATEMÁTICAS 2º ESO 37
FraccionesSoluciones de los ejercicios propuestos en los ContenidosPotenciasFracciones equivalentesa) No son equivalentes, puestoque el producto de medios yextremos no coinciden.b) No son equivalentes, puestoque el producto de medios yextremos no coinciden.Reducción a 80c)22y33d)99y55Raícesa)71 95b)43 14 7a) c)82 17 3b)d)53 94Operaciones combinadasSuma y resta365a) 46b)500437c)6437d)41746Cociente de fraccionesa)8857b)207116c)73176d)135638Uno ha quedado por la mitad.3Son: 2 0,37 litros más.412862748517a)Comparación de fraccionesSe han llenado 40 recipientes de33de litro. Es decir 40· 3044litros de agua.117649c)64d) MATEMÁTICAS 2º ESOPROBLEMA 2.5991213536Problemas de aplicaciónPROBLEMA 1.17del libro. Me quedan por leer64. Esta semana he leídodel7546de.resto, es decir57La semana pasada he leídoDel total he leído1 461 2429 · .7 577 353529del total resultan35ser 87 páginas.Es decir,Luego el total será:35Total 87· 105 páginas29Por último han sobrado 14litros.En total tenemos: 44,37 litrosde agua en el barrilPROBLEMA 3Paraaparcamientos se3reservadode la finca.14Se ha usadohabía33depara zonas414ajardinadas.Para aparcamientos nos quedará33 3 ·del total.14 4 1433 3393 · 14 4 14 14 56563se habrá reser56vado para aparcamientos.Solución:PROBLEMA 4El primer día se sacó8del10total.El segundo día se extrajeron18de 1.410Es decir, el segundo día se182sacaron· (1) del41040total.Solución: La fracción del total8217extraída ha sido 104020
FraccionesSoluciones de los ejercicios para practicarEquivalencia de fracciones1.a) No. Los productos cruzadosno coinciden.b) No. Los productos cruzadosno coincidenc)d)c) No. Los productos cruzadosno coincidend) Si.Cociente de fracciones6. a)58c)c)58d)d)1212 155,y20 202032 2135,y56 5656c)15 1635,y36 3636d)163320,y44 4444Suma y resta de fracciones4. a) 2345 394128749c) 90d) 14b)103313. No practican deporte con77del total, lo94que supone un 81%.regularidad un10211224016561b)2566561c)49Raíz cuadrada8. a)14. El libro tiene en total 42páginas.15. Han sobrado 22, 43 litrosdel barril.343d)21622y33b)33y55c)55y88d)55y6616. Se ha destinado del total de2la finca una fracción dedel21total.17. La fracción del total extraída83ha sido99Operaciones combinadas9. a)Producto de fracciones5. a)11. El área del rectángulo es35m25412. Quedan en el camión 360Kg. De patatas.527. a)b)b)2085PotenciaciónReducir a comúndenominador3. a)145b)949b)Podemosllenar10.botellines de refresco.4255Simplificar fracciones2. a)Problemas con S 2º ESO 39
FraccionesSoluciones AUTOEVALUACIÓN6.5358y.2.30 309.3.703.4.3053.5.2035.6.1257.11148.99. 12 vueltas.44.10. y881.40 MATEMÁTICAS 2º ESO
2 9 4 La razón es que: 9 4 3 2. 2 y 9 4 3 2 2 luego, habrá una raíz positiva y una negativa. Ejercicios: Calcula el valor de: a) 25 49. b) 169 121 c) 36 16. d) 25 81 Operaciones combinadas con fracciones Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay una serie de cuestiones .
