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TALLER DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALESDocente :YAMILE MEDINA CASTAÑEDAEl método de fracciones parciales se utiliza cuando quiere integrarse una expresión de laforma, donde el numerador y el denominador son polinomios y el grado de. Si el grado de,debe utilizarse el algoritmo de la división.es mayor o igual que el grado dePor el teorema fundamental del álgebra se sabe que el polinomiopolinomios irreducibles de grado uno y de grado dos.puede factorizarse enEntonces se tienen cuatro casos.CASO 1:se factoriza como un producto de factores de grado uno todos distintos; es decir,. Entonces existen números realestales que :Por lo tanto EJEMPLO 1:CALCULAR: Se descompone la fracción Se ordena el numerador en la expresión de la derecha, se factoriza y se agrupan términosindependientes
Como los denominadores son los mismos en la expresión, se igualan los numeradores:1 (A B)X (4A – B )Se igualan los términos semejantes a lado y lado de la igualdad, o sea:1 4A – B0 A BSe forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y utilizando cualquiera de losmétodos conocidos se hallan los valores de A y B.Por eliminación de una de las variables se tiene:1 4A – B0 A B1 5AA Sustituyendo A en cualquiera de las dos ecuaciones, se halla el valor de B, siendo: B Se remplazan los valores de A y B, con lo cual la fracción original se transforma en: Reemplazando en la integral original, se tiene: dx
EJEMPLO 2: En esta integral el denominador debe ser factorizable para poder aplicar el caso 1, o sea:Se descompone la fracción: Como los denominadores son los mismos, se igualan los numeradores2x-1 (A B)x (2A-B)En esta expresión se igualan los términos semejantes que se encuentran a lado y lado deigualdad.2 A B-1 2A - BSe resuelve este sistema con lo cual A Y B originalSe reemplaza en la integral original (: ) Se sustituye A y B, quedando la fracción
CASO 2:se factoriza como un producto de factores de grado uno todos repetidos; Es decir,. Entonces existen números realesPor lo tanto EJEMPLO: 1CALCULAR: Para que esta integral pueda resolverse por el caso II el trinomio que aparece en eldenominador debe ser factorizable. Una vez que se compruebe se descompone la fracciónen fracciones parciales. Se igualan los numeradores de esta expresión 2 –x (9A 3b)Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la igualdad.2 4A-1 C-2B-12ª0 9A 3B
Resolviendo el sistema anterior se obtiene:A Y B y C 2Sustituyendo estos valores en la fracción inicial, se tiene: Reemplazando la integral original queda: - CASO 3:se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos todos distintos;es decir,. Entoncesexisten números realesytales quePor lo tanto EJEMPLO.Integrar.
Se descompone en fracciones parciales la fracción ( )() Se igualan los numeradores de la expresión anterior7x 1 (A C) (B D)Se igualan los términos semejantes que aparecen a lado y lado de la expresión, se tiene:A C 0B D 0A-3C 7B-3D 1Se resuelve este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y se obtiene:A B C D Se sustituye en la fracción original estos valores y se tiene:. ()
A la última integral se le aplica el caso 1, o sea se descompone la fracción se igualan los numeradores de la última expresión y se ordenan los términos de laderecha, con lo cual1 ( A B ) Se igualan los términos semejantes a lado y lado de esta expresión, o sea1 0 A BResolviendo para A y B, se obtiene A YB Se Sustituye a y b y se resuelve la última integral ( ( )dx )Se reemplaza en la integral original, teniendo. () ( )
CASO 4:se factoriza como un producto de factores irreducibles de grado dos todosrepetidos; es decir,.entonces existen números realestales quePor lo tanto, NOTAEn una integral pueden aparecer los casos combinados y entonces se aplican los casoscorrespondientes.EJEMPLO:Calcular: Se descompone en fracciones parciales la fracción y
Igualando numeradores en la expresión anterior, se tieneSE hace2 A0 BA C 0B D 0se resuelve el sistema y se obtieneA 2B 0C -2Y D 0Se sustituye estos valores en la fracción inicial, esto es Reemplazando en la integral original se obtiene ( ) EJERCICIOS DE APLICACIÓNCalcular las siguientes integrales:1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
TALLER DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES . El método de fracciones parciales se utiliza cuando quiere integrarse una expresión de la forma , donde el numerador y el denominador son polinomios y el grado de mayor o igual que el grado de . . Calcular las siguientes integrales: 1. .
