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Guía para presentar exámenes deRecuperación o AcreditaciónEspecial(Apoya a Plan 92)Matemáticas I

Matemáticas IGuía para presentar exámenes derecuperación o acreditación especialMatemáticas I(Versión preliminar)Esta guía fue elaborada por la Secretaría Académica a través de la Dirección de Planeación Académica.ColaboradorProf. David Contreras RivasColegio de Bachilleres, Méxicowww.cbachilleres.edu.mxRancho Vista Hermosa No. 105Ex Hacienda Coapa,04920, México, D.F.La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 2002 (Office xp).Office XP es marca registrada de Microsoft Corp.Este material se utiliza en el proceso de enseñanza aprendizaje del Colegio de Bachilleres, institución pública deeducación media superior del Sistema Educativo Nacional.Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse enforma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea eléctrico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sinprevia autorización escrita del Colegio de Bachilleres, México.AGOSTO 2004ii

Matemáticas IÍNDICEPRESENTACIÓNPROLOGOPÁG.VVISUGERENCIAS PARA UTILIZAR LA GUÍAUNIDAD I. ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA. . . . . . . . . 11.1 Operando con los números reales . .Aplicación del conocimiento . .Ejercicios .Tabla de comprobación .1.2 De la aritmética al álgebra .Aplicación del conocimiento . .Ejercicios .Tabla de comprobación .Ejercicios de autoevaluación .Claves de respuesta .37911121519232428UNIDAD 2. LENGUAJE ALGEBRAICO: OPERATIVIDAD . . 292.1 Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Aplicación del conocimiento . . .Ejercicios .Tabla de comprobación .2.2 Productos notables y factorización . . . . . . . . .Aplicación del conocimiento . .Ejercicios . . . . . . . .Tabla de comprobación . . . . . .Ejercicios de autoevaluación .Claves de respuesta .31374144455253565763UNIDAD 3. ECUACIONES: MODELOS GENERALIZADORES. 653.1 Ecuación de primer grado: como caso particular de la función lineal .Aplicación del conocimiento .Ejercicios . .Tabla de comprobación .3.2 Sistema de ecuaciones . . .Aplicación del conocimiento .Ejercicios . .Tabla de comprobación .Ejercicios de autoevaluación .Claves de respuesta .67697379809297106107114BIBLIOGRAFÍA . 115SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓNESPECIAL . 116iii

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Matemáticas IPRESENTACIÓNLas evaluaciones de recuperación y de acreditación especial son oportunidades que deberás aprovecharpara aprobar las asignaturas que, por diversas razones, reprobaste en el curso normal; pero ¡cuidado!,presentarse a un examen sin la preparación suficiente significa un fracaso seguro, es una pérdida de tiempoy un acto irresponsable que puedes evitar.¿Cómo aumentar tu probabilidad de éxito en el examen mediante la utilización de esta guía? La respuestaes simple, observa las siguientes reglas. Convéncete de que tienes capacidad necesaria para acreditar la asignatura. Recuerda que fuiste capazde ingresar al Colegio de Bachilleres mediante un examen de selección. Sigue al pie de la letra las instrucciones de la guía. Procura dedicarte al estudio de este material, durante 15 días al menos, tres horas diarias continuas. Contesta toda la guía: es un requisito que la presentes resuelta y en limpio al profesor aplicador antesdel examen correspondiente.v

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Matemáticas IPRÓLOGOEn el marco del programa de desarrollo institucional 2001 y 2006, el estudiante adquiere una especialrelevancia, por lo que el Colegio de Bachilleres metropolitano se ha avocado a la elaboración de diversosmateriales didácticos que apoyen al estudiante en diversos momentos del proceso de enseñanzaaprendizaje.Uno de los materiales elaborados son las guías de estudio, las cuales tienen como propósito apoyar a losestudiantes que deben presentar exámenes de recuperación o acreditación especial favoreciendo susprobabilidades de éxito.En este contexto, la guía para presentar exámenes de recuperación y acreditación especial deMatemáticas I se ha elaborado con el propósito de que los estudiantes que se encuentran en situaciónacadémica irregular y que tienen necesidad de presentar exámenes en periodos extraordinarios paraacreditar la asignatura cuenten con este material para llevar a cabo su preparación y, así, contar con máselementos para incrementar sus posibilidades de éxito.Esta guía aborda en forma integral y sintética las principales temáticas establecidas en el programa deestudio; las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante recupere losconocimientos previos, los relacione con otros más complejos y, en su caso, los aplique en el desarrollo deprocedimientos y modelos matemáticos propios del cálculo. Esto permitirá que, con el estudio de la guía,continúe desarrollando y ejercitando sus habilidades de análisis y razonamiento matemático. Al final deldesarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los elementos esenciales de toda launidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión y dominio. Asimismo se incluyen algunassugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratégicos del tema.En la primera unidad, ARITMÉTICA: UNA INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA, se estudian las propiedades delos números reales, sus algoritmos y métodos básicos, así como los signos de agrupación para aplicarlosen la solución de problemas, posteriormente se aborda la elaboración y representación algebraica deproblemas de diferentes áreas, partiendo de ejemplos sencillos hasta llegar a modelos con un poder degeneralidad mayor.En la segunda unidad, LENGUAJE ALGEBRAICO: OPERATIVIDAD, se realiza el estudio de lasoperaciones algebraicas esenciales y las ventajas y aplicaciones de sus niveles de generalidad yabstracción respecto de las operaciones aritméticas. Esto a través de la revisión de la reducción detérminos semejantes, leyes de los exponentes, operatividad de los polinomios, así como del estudio yaplicación de los productos notables y la factorización en diversos tipos de problemas.En la unidad III, ECUACIONES: MODELOS GENERALIZADORES, se estudian las ecuaciones de 1er.grado enfatizando en un sistema de ecuaciones como caso particular de una función lineal; la idea básicaes resaltar la importancia del concepto de función, para ello se plantean ejercicios donde se integran losaspectos aritméticos y algebraicos, estudiados anteriormente, hasta llegar a su solución, se revisan susprocedimientos de solución, su representación gráfica. Posteriormente se aborda el estudio de los sistemasde ecuaciones de 1er. grado con una y dos incógnitas, sus métodos de solución hasta el planteamiento deejercicios cuya solución implica el modelos algebraico de un sistema de ecuaciones.Por último se proporciona una bibliografía básica en la que se pueden consultar los temas desarrollados enla guía.vii

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Unidad IAritmética:Una Introducción al Álgebra

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Matemáticas IUnidad I1.1 OPERANDO CON LOS NÚMEROS REALES.APRENDIZAJES Realizar operaciones con números reales que incluyan signos deagrupación.Antes de iniciar el estudio de la aritmética como una introducción al álgebra, es importante conocer laclasificación de los números reales ( R ), éstos son todos los números que se conocen en la actualidad.El siguiente diagrama nos muestra las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar.Enteros positivoso Naturales (N)Cero (0)Enteros(Z)Enteros NegativosNúmeros Racionales(Q)Números Racionalesno enterosNúmeros Reales(R)Números Irracionales(Q’) Números Racionales: Los elementos de este conjunto son aquellos números que se pueden expresarcomo el cociente de dos números enteros, siendo el denominador diferente de cero. Se denota con laletra Q y se define como:Q {a/b tal que a, b Z y b 0}, ejemplos:2 3 6 -10, ,,5 4 1 5 Números Enteros: A este conjunto de números lo denotamos con la letra (Z) y está formado pornúmeros positivos y negativos. Si estos números los representamos en la recta numérica, entonces, alos que están a la derecha del origen (0) se les llama ENTEROS POSITIVOS y si están a la izquierdadel origen les llamaremos ENTEROS NEGATIVOS. En este subconjunto de los números reales, seincluye al cero (0).Z {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .}3

Matemáticas I Números Irracionales (Q ): Son aquéllos que no se pueden expresar como un cociente de dosnúmeros y tienen una representación decimal infinita no periódica.Un ejemplo de clasificación de números en el subconjunto al que pertenecen es el siguiente, revísalo conatención.12 5 , 4, 7, , 2 , , 3 , 0 ,5 6Números Naturales:7, 2, 1, 10Números Enteros:-4, 7, 2, -3, 0, 1, 10Números Racionales no enteros:Números Irracionales: ,5,5, 1,1,433 , 10, e, ,7 12 312 153 1 104 7 2, , ,,, , ,, ,75 461 1 11 1 13 , e,12A continuación se presentan las PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALESPropiedades de campo de los números reales: Axiomas de la adición.PropiedadEjemploCerradura3 4Asociativa(2 3) 4 2 (3 4)Existencia del idéntico5 0 50 5 5Existencia del inverso8 (-8) 0(-8) 8 0Conmutativa3 7 7 3DefiniciónPara toda a, b R, (a b) está enR y (a b) es única.Para toda a, b y c R,(a b) c a (b c)Existe R un único elemento cero (0).a 0 a y 0 a aPara cada a R, existe un elemento- a R, tal que:a (-a) 0 y (-a) a 0Para toda a, b R,a b b aObserva que en estas propiedades se utiliza un lenguaje algebraico; por ejemplo, en la definición de lapropiedad conmutativa nos dice que para cualquier número a, b que esté en los números reales, “a más bes igual que b más a”, es decir, que es lo mismo que sumes 3 más 7 que sumes 7 más 3.4

Matemáticas IUnidad IPropiedades de campo de los números reales: Axiomas de la ra2 3Asociativa(5 6)7 5(6 7)existencia del idéntico1(3) 33(1) 3existencia del inverso2(1/2) 11/2(2) 1distributiva de la multiplicación conrespecto a la adición2 (3 5) 2(3) 2(5)(3 5) 2 3(2) 5(2)Conmutativa(3)(4) (4)(3)Para toda a, b R, a b está en Ry a b es única.Para todo a, b y c R,(a b)c a(b c)Existe R un único elemento uno(1 0) con la propiedad de que paratoda a R, 1(a) a y (a) 1 aPara cada a R, excepto ceroexiste un elemento1/a R, tal que:a (1/a) 1 y (1/a) a 1Para toda a, b y c R,a (b c) a b a c(b c) a b a c aPara todo a, b R,ab baEs importante que tomes en cuenta estas propiedades ya que las usaremos con frecuencia; además el tipode lenguaje, ya que en el Álgebra se utilizan letras (literales) para representar cantidades y números.En la tabla anterior se define la existencia de los inversos, es decir, al número 1/a se le conoce comoinverso multiplicativo o reciproco de “a”; por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3 es 1/3.En matemáticas se utilizan símbolos para realizar operaciones de: ( ) suma, (-) resta, ( ) división y (x)multiplicación. Cabe mencionar que en el estudio del álgebra, la multiplicación se representa generalmentecon paréntesis, por ejemplo: (3)(4) o colocando un punto intermedio entre los números, por ejemplo: 2 3.Como se muestra en la siguiente tabla.Operaciónsumaresta:Ejemploa c ad bc b dbd3 1 3 5 1 4 15 4 19 4 52020 4 5 a c ad bc b dbd7 2 7 3 2 8 21 165 8 32424 8 3 multiplicación: a c ac b d bd 4 3 4 3 12 6 2 5 6 5 6 30 15 5división:a c ad b d bc2 3 2 4 8 5 4 5 3 15sí y solo sí b y d 05