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Educación matemática. EMN.FRACCIONES PARCIALESLas fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales yobtener sumas de expresiones más simples.Hay cuatro casos:1)2)3)4)Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.Procedimiento para:Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor quela del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado dela función del numerador.Paso 2: Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,px q, o factores cuadráticos irreductibles, ax 2 bx c , y agrupar los factores repetidospara que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma px q m , donde m 1 o ax 2 bx c nlos números m y n no pueden ser negativos.Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador eslineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.AB .primer factor segundo factorEjemplo 1:Determinar la descomposición en fracciones parciales de:4 x 2 13 x 9x 3 2 x 2 3xPrimero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tantono tengo que hacer una división larga.Segundo: factorizo el denominador x 3 2 x 2 3 x x x 2 2 x 3 x x 3 x 1 Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma4 x 2 13 x 9 ABC 32x 2 x 3x x x 3 x 1
Educación matemática. EMN.Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.4 x 2 13 x 9 A x 3 x 1 B x x 1 C x x 3 Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero losparéntesis 4 x 2 13 x 9 A x 2 2 x 3 B x 2 x C x 2 3 x Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado así4 x 2 13 x 9 A x 2 2 x 3 B x 2 x C x 2 3 x 4 x 2 13 x 9 Ax 2 2 Ax 3 A Bx Bx Cx 3Cx 224 x 2 13 x 9 Ax 2 2 Ax 3 A Bx 2 Bx Cx 2 3Cx4 x 13 x 9 Ax Bx Cx 2 Ax Bx 3Cx 3 A22224 x 13 x 9 x A B C x 2 A B 3C 3 A22Multiplico las letras en los paréntesisQuito los paréntesisLos ordenoFactorizo asíMis tres ecuaciones son: 1A 1B 1C 42 A 1B 3C 13 9 3 ATomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A 9 3 A 9 A 33 ASustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones 1A 1B 1C 4 3 1 B C 43 B C 4B C 4 3B C 12 A 1B 3C 13 2 3 B 3C 136 B 3C 13 B 3C 13 6 B 3C 7Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo así los valores de B y C
Educación matemática. EMN.B C 1 B 3C 74C 8C 2B C 1B 2 1B 1 2B 1Coloco las respuestas en la letra correspondiente4 x 2 13 x 9 ABC312 32x 2 x 3x x x 3 x 1 x x 3 x 1Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y norepetidos que es mucho más fácil.4 x 2 13 x 9 ABC Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo32x 2 x 3x x x 3 x 1igualo al numerador.4 x 2 13 x 9 A x 3 x 1 B x x 1 C x x 3 Igualo acero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcialx 3 0x 1 0x 0x 3x 1Ahora sustituyo los valores de xx 04 x 2 13 x 9 A x 3 x 1 B x x 1 C x x 3 4 0 13 0 9 A 0 3 0 1 B 0 0 1 C 0 0 3 0 0 9 A 3 1 0 B 0C2 9 3 A3 Ax -34 x 2 13 x 9 A x 3 x 1 B x x 1 C x x 3
Educación matemática. EMN.4 3 13 3 9 A 3 3 3 1 B 3 3 1 C 3 3 3 36 39 9 A 0 4 B 3 4 C 3 0 2 12 12 B 1 Bx 14 x 2 13 x 9 A x 3 x 1 B x x 1 C x x 3 4 1 13 1 9 A 1 3 1 1 B 1 1 1 C 1 1 3 4 13 9 A 4 0 B 1 0 C 1 4 28 4C2 CRespuesta:4 x 2 13 x 9 ABC312 32x 2 x 3x x x 3 x 1 x x 3 x 1EJERCICIOS1)8x 1 x 2 x 3 x 29 x 4 x 1 3)4 x 2 15 x 15) x 1 x 2 x 3 5 x 124) 2x 4x7)2)4 x 2 5 x 15x3 4 x 2 5x8)37 11 x 1 x 2 5 x 6 x 34x 4 x 122x 2 19 x 206)x x 2 x 5 Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.x 2 10 x 36Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que2x x 3 ABC2es x 3 Entonces lo colocamos así:Si fuera al cubo el término x x 3 x 3 2ABCD3repetido x 3 lo pondríamos: 2x x 3 x 3 x 3 3Ejemplo:Ejemplo resuelto por pasos:x 2 10 x 362x x 3
Educación matemática. EMN.Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en eldenominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominadorx 2 10 x 36 ABCel término repetido elevado al cuadrado así: Como2x x 3 x 3 2x x 3 tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente porsistemas de ecuaciones.Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.x 2 10 x 36 A x 3 B x x 3 C x 2Operamos los paréntesisx 2 10 x 36 A x 2 6 x 9 B x 2 3 x C x x 2 10 x 36 Ax 2 6 Ax 9 A Bx 2 3Bx Cx Multiplico las letras en los paréntesisx 2 10 x 36 Ax 2 6 Ax 9 A Bx 2 3Bx CxQuito los paréntesisx 10 x 36 Ax Bx 6 Ax 3Bx Cx 9 ALos ordeno222x 10 x 36 x A B x 6 A 3B C 9 A22Formo mis 3 ecuacionesA B 1 6 A 3B C 109 A 36Resolviendo me queda:9 A 36A 4Sustituyo valores en la primera ecuación:A B 1 4 B 1B 4 1B 5Sustituyo valores en la segunda ecuaciónFactorizo asi
Educación matemática. EMN. 6 A 3B C 1024 15 C 109 C 10C 10 9C 1respuestax 2 10 x 36 451 2x x 3 x 3 2x x 3 EJERCICIOS9)2x 3 x 1 212)10 x2x 10 x 2510)5x 2 4x 2 x 2 11)19 x 2 50 x 253x 3 5 x 213)x2 6 x 2 2 x 1 14)2x2 x x 1 2 x 1 2Descomposición de una fracción parcial que contiene un factorcuadrático irreducible.4 x 3 x 2 15 x 29Primero observo que el grado del numerador y denominador son2 x3 x 2 8x 4iguales por lo que tengo que realizar una división larga.2322x x 8x 44 x 3 x 2 15 x 29 4 x 3 2 x 2 16 x 8x 2 x 214 x 3 x 2 15 x 29x 2 x 21 2 2 x 3 x 2 8x 42 x 3 x 2 8x 4Factorizo el denominador: 2 x 3 x 2 8 x 4 x 2 2 x 1 4 2 x 1 x 2 4 2 x 1 x 2 4 Es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero así:x 2 x 21Ax BC 2 Operamos el mínimo común denominador322 x x 8x 4 x 4 2 x 1
Educación matemática. EMN. x 2 x 21 Ax B 2 x 1 C x 2 4 Multiplico las letras en los paréntesisx 2 x 21 2 Ax 2 Ax 2 Bx B Cx 2 4CQuito los paréntesisx 2 x 21 2 Ax 2 Cx 2 Ax 2 Bx B 4CLos ordenox 2 x 21 x 2 2 A C x A 2 B B 4C Factorizo asiFormar las ecuaciones:2A C 1 A 2 B 1 B 4C 21Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando laresolución por matices 2 0 1 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 4 210 1 4 21 R1 R1 2 0 1 1 2 R1 R3 R3 1 2 0 1 2 4 0 2 0 1 4 21 2 0 1 1 0 4 1 1 1 20 1 0 14 21 0 4 1 14 R2 R3 R30 4 16 840 4 1 1 0 0 17 8517C 85C 50 0 17 85 B 4C 21 B 21 20B 1A 2B 1A 1 2BA 1 2A 3RESPUESTA:4 x 3 x 2 15 x 29x 2 x 21Ax BC3x 1 5 2 2 2 2 2 32322 x x 8x 42 x x 8x 4x 4 2x 1x 4 2x 1
FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. Hay cuatro casos: 1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. 2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
