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EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS – MATEMÁTICAS IIEjercicio 1. (2,5 puntos)23 x 3xa) (1,25 puntos) Indicar el dominio de definición de la función f y hallar sus asíntotas.b) (1,25 puntos) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos.Dada la funciónf ( x) SOLUCIÓN:a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde eldenominador es cero: x 0.Dom (f) R – {0}CÁLCULO DE ASÍNTOTAS:- Asíntota vertical: x 0- Asíntotas horizontales: No hay porquelím f ( x) ;x lím f ( x) (los límites no son un número real)x RECUERDASi f (x) no tiene asíntotas horizontales Estudiar si hay asíntotas oblicuas- Asíntotas oblicuas: y 3xCálculo de la ecuación de la asíntota oblicua: y mx ndonde: m límx 2f ( x)3x 3 lím 32xx xm 3yn 02y n lím ( f ( x) mx) lím (x x 3 x 33 3x ) lím 0xx x Asíntota oblicua: y 3xRECUERDAPara que exista una asíntota oblicua m y n tienen que ser números reales ( no )b) ESTUDIO DE LA MONOTONÍA:Estudiar la monotonía equivale a estudiar los intervalos donde f (x) es creciente/decreciente.Método: Calcular el signo de f ' (x):2f '( x) 3 x2 3 3 ( x 1) x2x2signo f ':RECUERDAf (x) es creciente cuando f ' (x) 0 y f (x) es decreciente cuando f ' (x) 0f (x) tiene un extremo relativo en x0 si f ' (x) 0Notas:1) f (x) no existe en x 0 (no pertenece al dominio de f ) Se excluye de los intervalos decrecimiento/decrecimiento.2) El signo de f ' (x) coincide con el signo del numerador porque el denominador es siempre positivo(excepto en x 0 donde no existe f ).1MPU
f (x) creciente en ( , 1) (1, ) ; f (x) decreciente en ( -1, 1) - {0}Extremos relativos: Máximo en (-1, -6); Mínimo en (1,6)2Cáculo de f (-1): Se sustituye x -1 en f (x):Cáculo de f (1): Se sustituye x 1 en f (x):3 ( 1) 36 6 1 123 1 36f (1) 611f ( 1) Ejercicio 2. (2,5 puntos)5Dada la función f ( x) x x1 x 68a) (1,5 puntos) Indicar el dominio de definición, de f (x) y encontrar los puntos de discontinuidad de f . Determinarrazonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.b) (1 punto) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.SOLUCIÓN:a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde eldenominador es cero: 1 – x6 0 x 1 y x –1.Dom (f) R – {-1, 1}ESTUDIO DE LA DISCONTINUIDAD: Puesto que f (x) es una función elemental, sólo hay que estudiar lacontinuidad en los puntos que no pertenecen a su dominio.Nota: Leer detenidamente el enunciado “Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades esevitable” De forma implícita, se pide el estudio del tipo de discontinuidad.RECUERDALas funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio En x 1:435805 x 4 8 x7x (5 8x )5 8 x 35 8 3 1x xlím () lím lím lím 6550 6 2x 1 1 xx 1x 1x 1 6 x 6 6 x 6 xNota importante: En x 1 no es necesario calcular los límites laterales porque el signo de f (x) no cambia alaproximarse a x 1 por la derecha (x 1 ) o por la izquierda (x 1-).Esto se puede comprobar calculando el valor de5 8 x 6 x3en dos números próximos a x 1 (por ejemplo enx 0,9 y en x 1,1).La discontinuidad en x 1 es evitableRECUERDAf (x) tiene una discontinuidad evitable en x0 si: x0 no pertenece a Dom (f) pero existe lim f ( x ) y es un nº finito Existe f (x0) perox x 0f ( x 0 ) lim f ( x)x x 02MPU
En x –1:Nota importante: En x -1 es necesario calcular los límites laterales porque el signo de f (x) cambia alaproximarse a x –1 por la derecha (x –1 ) o por la izquierda (x –1-). La discontinuidad en x –1 es inevitable b) Asíntota vertical:x –1RECUERDAf (x) tiene una asíntota vertical en x a si lim f ( x) x aNota: En x 1 no hay asíntota vertical porque lím f ( x ) x 112Ejercicio 3. (2,5 puntos)Dada la funcióna) (1 punto) Estudiar la continuidad def (x) en x 0.b) (1,5 puntos) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f ', donde sea posible.SOLUCIÓN:a) ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD EN x 0:RECUERDA3MPU
Puesto quef (x) no es continua en x 0Nota: En este ejercicio se pide estudiar la continuidad de f (x) solo en x 0.Hay otro punto donde f (x) no es continua: x – 1, porque Dom (f) R - {-1}Por tanto, f (x) es continua en R - {0, -1}b) ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD:RECUERDA f (x) es derivable en x a si f (x) es continua en x a y f (a ) f (a-)f (x) no es continua en x a f (x) no es derivable en x af ' (x) existe en R – {0, -1}CÁLCULO DE f ' (x):Puesto que la función1 ln (x 1)2(x 1){ 3xx 2 x x2( x 1)existe en ( 1, 0) x 1 0 f '(x) x 1x cos x sen xEjercicio 4. (2,5 puntos)Calcula:a) (0,5 puntos) lím{}1 ln( x 1) SOLUCIÓN:xen ( 1, 0)2en (0, )}32Método: Por comparación de infinitosb) (1 punto)SOLUCIÓN:37 ln x 1 ln x 4 k55Método: Integral racional con dos simples x2 3x – 4 (x – 1)·(x 4)A( x 4) B( x 1) ( A B)x 4 A B2x 1AB x 3x 4 x 1 x 4x 2 3x 4x 2 3 x 42c) (1 punto)SOLUCIÓN: A 37; B 55x2e ( x 1) Ku x du dxMétodo: Integración por partes exdv e dx v 4xdx exMPU
Ejercicio 5. (2,5 puntos)124 xa) (1,25 puntos) Indicar el dominio de definición de la función f y hallar sus asíntotas.b) (1,25 puntos) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos.Dada la funciónf ( x) SOLUCIÓN:a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde eldenominador es cero: 4 – x2 0 x 2 y x –2.Dom (f) R – {-2, 2}CÁLCULO DE ASÍNTOTAS:- Asíntotas verticales: x 2 yx -2- Asíntotas horizontales: y 0f (x) tiene una asíntota horizontal enRECUERDAy b si lim f ( x ) bx - Como hay AH No existe asíntota oblicuab) ESTUDIO DE LA MONOTONÍA:f ( x) 124 x f '( x) 2x2 2(4 x )signo f ':f (x) creciente en (0, ) – {2};f (x) decreciente en ( , 0) – {-2}EXTREMOS RELATIVOS: Mínimo en (0, 1/4)Ejercicio 6. (2,5 puntos)Calcula:9x 13x 5 7A) (1 punto) lím ( Solución:)x 3x 2e3 es del tipo (1 )Método:b) (1 punto)Solución:ln x 3 51 Kx 3MPU
Método: Integral racional con una raíz doble x2 6x 9 (x 3)2A( x 3) Bx 2ABAx 3 A B 22x 6x 9 x 3 ( x 3)( x 3)( x 3)22 A 1 3A B 2A 1B 1c) (0,5 puntos)Solución:Método: Cambio de variable x 3 t2 dx 2t dt2x t 3t x 36MPU
a) DOMINIO: Puesto que f (x) es una función racional, su dominio es R excepto los valores de x donde el denominador es cero: 1 - x6 0 x 1 y x -1. Dom (f) R - {-1, 1} ESTUDIO DE LA DISCONTINUIDAD: Puesto que f (x) es una función elemental, sólo hay que estudiar la continuidad en los puntos que no pertenecen a su dominio.
