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PROBLEMAS RESUELTOS DEÁLGEBRAFernando Revilla Jiménezhttp://www.fernandorevilla.es
c PROBLEMAS RESUELTOS DE ÁLGEBRA por Fernando Revilla Jiménezse distribuye bajo la licencia:Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.ii
PrólogoLos contenidos de éste libro corresponden a parte de mi labor docentehasta el curso académico 2008/2009 como(a) Profesor de Álgebra, Cálculo, Variable compleja y Ecuaciones diferenciales para Ingenierı́as y Facultades del distrito universitario de Madridy que fueron impartidos en academias de enseñanza universitaria(b) Jefe del Departamento de Matemáticas del IES Santa Teresa de Jesúsde Madrid.(c) Profesor de Métodos Matemáticos de la Universidad Alfonso X El Sabiode Madrid.Dado que todos los problemas vienen resueltos, y en aras a la efectividad enel trabajo, se recomienda al lector que los trabaje previamente.Madrid, a 24 de agosto de 2015.iii
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Índice de problemas1. Conjuntos1.1. Concepto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacı́o . . . . . . .1.3. Relaciones de inclusión y pertenencia . . . . . . . .1.4. Unión e intersección de conjuntos . . . . . . . . . .1.5. Propiedades de la unión e intersección . . . . . . .1.6. Cardinal de la unión de tres conjuntos . . . . . . .1.7. Partes de un conjunto, complementario y diferencia1.8. Propiedades del complementario . . . . . . . . . .1.9. Simplificaciones en las partes de un conjunto . . .1.10. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . .1.11. Unión e intersección generalizadas . . . . . . . . .1.12. Función caracterı́stica . . . . . . . . . . . . . . . .1.13. Asociatividad de la diferencia simétrica . . . . . .1.14. Partes de uniones e intersecciones . . . . . . . . . .1.15. Cardinales de las σ-álgebras contables . . . . . . .1123347811111213161718182. Relaciones2.1. Concepto de relación binaria . . . . . . .2.2. Relaciones de equivalencia (1) . . . . . . .2.3. Relaciones de equivalencia (2) . . . . . . .2.4. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . .2.5. Máximo, mı́nimo, cotas . . . . . . . . . .2.6. Supremo, ı́nfimo, maximales y minimales .2.7. Orden total, buen orden . . . . . . . . . .2.8. Diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . .2.9. Relación de equivalencia en R[x] . . . . .2.10. Tres relaciones en N . . . . . . . . . . . .2.11. Finura de las relaciones de orden . . . . .212122242628303133353637v.
3. Funciones3.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . .3.3. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas3.4. Aplicación identidad, aplicación inversa . . . . .3.5. Imágenes directas e inversas . . . . . . . . . . . .3.6. Biyección entre ( 1, 1) y R . . . . . . . . . . . .3.7. Aplicación involutiva . . . . . . . . . . . . . . . .3.8. Factorización canónica de la función seno . . . .4141424346475152524. Grupos4.1. Concepto de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Primeras propiedades de los grupos . . . . . . . . . . . . .4.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Tabla de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5. Generadores de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6. Grupos cı́clicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.7. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.8. Centro de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.9. Subgrupo normal y centro . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.10. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.11. Grupo de clases residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.12. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.13. Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos . . . . .4.14. Clasificación de homomorfismos de grupos . . . . . . . . .4.15. Descomposición canónica de un homomorfismo de grupos4.16. Grupo de las partes con la diferencia simétrica . . . . . .4.17. Tres igualdades en un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . .4.18. Grupo no cı́clico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.19. Grupo de funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . .4.20. Conjunto, grupo y aplicación . . . . . . . . . . . . . . . .4.21. Relación y operaciones en el plano . . . . . . . . . . . . .4.22. Grupo de aplicaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . .4.23. Centro de un grupo de matrices . . . . . . . . . . . . . . .4.24. Conmutador y subgrupo derivado . . . . . . . . . . . . . .4.25. Grupo construido por biyección . . . . . . . . . . . . . . 495.97971021031055. Anillos y cuerpos5.1. Concepto de anillo . . . . .5.2. Anillo de sucesiones . . . .5.3. Producto directo de anillos5.4. Propiedades de los anillos .vi.
5.5. Grupo multiplicativo de las unidades . . . . . . . . . . . .5.6. Anillo de los enteros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .5.7. Anillo de clases residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8. Anillos de integridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.9. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.10. Homomorfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.11. Ideales de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.12. Ideal de las sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . .5.13. Ideal bilátero f (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.14. Anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.15. Descomposición canónica de un homomorfismo de anillos5.16. Concepto de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.17. Cuerpos Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.18. Caracterı́stica de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . .5.19. Homomorfismos entre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . .5.20. Anillo según parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.21. Anillo y grupo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.22. Máximo común divisor en los enteros de Gauss . . . . . .5.23. Dominio de integridad no euclı́deo . . . . . . . . . . . . .5.24. Binomio de Newton en un anillo . . . . . . . . . . . . . .5.25. Anillo de las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . .5.26. Anillo idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.27. Intersección de subcuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.28. Cuerpo infinito con caracterı́stica finita . . . . . . . . . .5.29. Cuerpo conmutativo con función sobre R . . . . . . . . .5.30. Cuaternios de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Sistemas lineales sobre un cuerpo6.1. Sistemas lineales escalonados . . . .6.2. Reducción gaussiana . . . . . . . . .6.3. Sistemas lineales según parámetros .6.4. Aplicaciones de los sistemas 1527. Matrices sobre un cuerpo7.1. Concepto de matriz, suma de matrices . . . . .7.2. Grupo aditivo de las matrices sobre un cuerpo7.3. Producto de un escalar por una matriz . . . . .7.4. Multiplicación de matrices . . . . . . . . . . . .7.5. Matriz inversa (1) . . . . . . . . . . . . . . . .7.6. Matriz inversa (2) . . . . . . . . . . . . . . . .7.7. Inversa de orden n por el método de Gauss . .7.8. Inversa de orden n por sistema de columnas . .157157158159161167171175176vii.
7.9. Ecuaciones y sistemas matriciales . . . . .7.10. Transposición de matrices . . . . . . . . .7.11. Descomposición A uv t . . . . . . . . . .7.12. Matriz nilpotente e inversa . . . . . . . .7.13. Potencia enésima por binomio de Newton7.14. Traza de una matriz, propiedades . . . . .7.15. Matrices mágicas . . . . . . . . . . . . . .7.16. Matriz de Markov . . . . . . . . . . . . .7.17. Inversa generalizada . . . . . . . . . . . .1771811831841851881891931948. Determinantes sobre un cuerpo1978.1. Determinantes sencillos (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.2. Determinantes sencillos (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.3. Determinantes por triangularización (1) . . . . . . . . . . . . 2028.4. Determinantes por triangularización (2) . . . . . . . . . . . . 2048.5. Determinantes por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.6. Determinante de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.7. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.8. Ceros por encima o debajo de la diagonal secundaria . . . . . 2178.9. Determinante y sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 2198.10. Determinante con números combinatorios . . . . . . . . . . . 2198.11. Producto de enteros que son suma de cuatro cuadrados deenteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.12. Determinante e inversa de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 2218.13. Determinante de I v w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.14. Determinante por inducción y sistema lineal . . . . . . . . . . 2239. Espacios vectoriales9.1. Primeras propiedades de los espacios vectoriales . .9.2. Espacio vectorial Kn . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Espacio vectorial de las matrices sobre un cuerpo .9.4. Espacio vectorial K[x] . . . . . . . . . . . . . . . .9.5. Espacio vectorial de las funciones reales . . . . . .9.6. Subcuerpo como espacio vectorial . . . . . . . . . .9.7. Subespacios vectoriales, caracterización . . . . . .9.8. Suma e intersección de subespacios . . . . . . . . .9.9. Suma directa de dos subespacios . . . . . . . . . .9.10. Suma directa de varios subespacios . . . . . . . . .9.11. Combinación lineal de vectores . . . . . . . . . . .9.12. Dependencia e independencia lineal de vectores . .9.13. Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . .9.14. Subespacio de las matrices diagonales, dimensión yviii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .base.227. 227. 228. 230. 231. 232. 233. 234. 237. 240. 243. 245. 247. 254. 259
9.15. Subespacio de las matrices escalares, dimensión y base . . .9.16. Subespacio de las matrices simétricas, dimensión y base . .9.17. Subespacio de las matrices antisimétricas, dimensión y base9.18. Subespacios de matrices triangulares, dimensión y base . . .9.19. Rango de una matriz. Dependencia lineal en Kn . . . . . . .9.20. Teorema de la base incompleta . . . . . . . . . . . . . . . .9.21. Existencia de base en todo espacio vectorial . . . . . . . . .9.22. Dimensión de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . .9.23. Teorema de la torre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.24. Teorema de la dimensión para espacios vectoriales . . . . .9.25. Propiedades de la dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.26. Teorema de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.27. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.28. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.29. Ecuaciones de los subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . .9.30. Bases de la suma e intersección de subespacios . . . . . . .9.31. Espacio vectorial cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.32. Cambio de base en orbitales atómicos . . . . . . . . . . . .9.33. Intersección de subespacios de (Z7 )4 . . . . . . . . . . . . .9.34. Espacio vectorial de las funciones definidas en un conjunto .9.35. Realificación de un espacio vectorial complejo . . . . . . . .9.36. Subespacios transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. Aplicaciones lineales10.1. Concepto de aplicación lineal (1) . . . . . . . . . . . . .10.2. Concepto de aplicación lineal (2) . . . . . . . . . . . . .10.3. Núcleo e imagen de una aplicación lineal . . . . . . . . .10.4. Teorema de las dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . .10.5. Matriz de una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . .10.6. Expresión matricial de una aplicación lineal . . . . . . .10.7. Núcleo e imagen del operador derivación . . . . . . . . .10.8. Clasificación de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . .10.9. Espacio vectorial de las aplicaciones lineales . . . . . . .10.10.Composición de aplicaciones lineales . . . . . . . . . .10.11.Descomposición canónica, teorema de isomorfı́a . . . .10.12.Cambio de base, matrices equivalentes . . . . . . . . . .10.13.Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes10.14.Anillo de los endomorfismos y grupo lineal . . . . . . .10.15.Espacio dual, base dual . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.16.Cambio de base en el espacio dual . . . . . . . . . . . .10.17.Subespacio conjugado o anulador . . . . . . . . . . . .10.18.Aplicación transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327331334341344346351353354
10.19.Matrices de aplicaciones lineales . . . . . . . .10.20.Un endomorfismo nilpotente . . . . . . . . . .10.21.Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.22.Endomorfismo y suma S4 14 . n4 . . .10.23.Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . .10.24.Endomorfismo en un subespacio de C(R). . . .10.25.Un operador traspuesto en el espacio dual . . .10.26.Interpolación en el espacio dual . . . . . . . .10.27.Clasificación de una familia de endomorfismos10.28.Dos aplicaciones lineales . . . . .
PROBLEMAS RESUELTOS DEc ALGEBRA por Fernando Revilla Jim enez se distribuye bajo la licencia: Creative Commons Atribuci on-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional. ii. Pr ologo Los contenidos de este libro corresponden a parte de mi labor docente hasta el curso acad emico 2008/2009 como (a)Profesor de Algebra, C alculo, Variable compleja y Ecuaciones diferen- ciales para Ingenier
