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Matemáticas Avanzadas IEl estudiante reunirá habilidades en el manejo delcálculo diferencial e integral para aplicarlo en lainterpretación, planteamiento y resolución deproblemas y modelos matemáticos típicos de laadministraciónIng. Romeo Altúzar MezaTuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010

[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010Unidad I.- Funciones1.1.- Naturaleza y definición de función matemáticaEn el siglo XVII, Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores del cálculo, introdujo eltérmino función en el vocabulario matemático. El concepto de función es uno de los másbásicos en todas las matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.En forma breve, una función es un tipo especial de relación que se expresa cómo unacantidad (la salida) depende de otra cantidad (entrada). Por ejemplo: cuando se inviertedinero a alguna tasa de interés, el interés I (salida) depende del tiempo t (entrada) deldinero que se está invirtiendo. Para expresar la dependencia decimos que I es una “funciónde” t. las relaciones funcionales como esta general se especifican mediante una fórmula quemuestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar las salida.Un ejemplo práctico:Supongamos que se invierten 100 se invierten y ganan de interés simple a una tasa anualdel 6%. Entonces puede mostrarse que el interés y el tiempos están relacionados por laformulaI 100 (0.06)tDonde I está en dólares y t en años. Por ejemplo:Si t ½ entonces I 100(0.06)(1/2) 3Así, la fórmula anterior se la asigna a la entrada ½ la salida 3 y así sucesivamente . La reglaasigna a cada número de entreada t exactamente un número de salida I, el cual se simbolizamediante la siguiente notación de flecha:t I ó t 100(0.06)tEsta regla es una ejemplo de una función.DefiniciónUna funcion es una regla que asigna a cada numero de entrada exactamente un número desalida. Al conjunto de número de entrada para los cuales se aplica la regla se llama eldominio de la función. El conjunto de todos los número de salida se le llama el rango de lafunción.Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 2

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Al domino de la función se le denota por Df que significa el dominio de la función. El rango,imagen, contradominio, recorrido se denota por Rf que significa el rango de la función.Hasta aquí hemos usado el término función en un sentdi restringido, ya que en general, lasentradas o salidas no tienen por qué ser números, por ejemplo, una lsita de estados ycapitales asigna a cada estado su capital (exactamente una salida), de modo que hay unafunción implicada.Una variable que representa a los números de entrada para una función se denominavariable independiente. Una varable que representa a los números de salida se denominavariable dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable independiente. Se diceque la variable dependiente es una función de la variable independiente, en otras palabra lasalida es una función de la entrada.Por ejmplo de la fórmula I 100(0.06)t; la variable independiente es t y la variabledependiente es I por que depende de los valores que tome el tiempo (t) así sera el valor delinteres (I).Matematicamente una función se puede expresar de varias formas:1.f(x) que se lee “f de x”, Representa el número d salida en el rango de fque corresponde al número de entrada x en el dominio.2. y que representa la variable dependiente.Por ejemplo:f(x) x 1, tambien se puede escribir y x 1 que representa la funcion de y respecta a xEjercicios resueltos:1.De los siguientes ejercicios determinar el dominio de cada funcióna., solución Df R {2, -1}b., solución Df [1/2, )1.2.- Función Lineal y su representación geométricaDefiniciónUna función f es una función lineal si y sólo si f(x) puede escribirse en la forma f(x) ax b,en donde a y b son constantes y a 0.Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 3

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Supongamos que f(x) ax b es una función lineal y que y f(x). Entonces y ax b, la cuales la ecuación de una recta con pendiente a e intersección con el eje y “b”. Así la gráfica deuna función lineal es una recta y se dice que la función f(x) ax b tiene pendiente a.Gráfica de funciones linealesEjemplo: Graficación de funciones linealesa. Graficar f(x) 2x -1Solución: Aquí f es una función lineal ( conpendiente m 2), de modo que su grafica esuna recta. Como dos puntos determinan unarecta, sólo necesitamos graficar dos puntos ydespués dibujar una recta que pase por ellos.Observe que uno de los puntos graficados esla intersección con el eje vertical, - 1, queocurre cuando x 0b.1.3.- Función cuadrática y su representación geométricaDefiniciónUna función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede escribirse en la forma f(x) ax2 bx c, donde a, b y c son constante y a 0.Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 4

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]La gráfica de la función cuadrática y ax2 bx c se llama parábola y tiene una formaparecida a las curvas de la figuras siguiente.Grafica de una función cuadráticaLa gráfica de la función cuadrática y f(x) ax2 bx c es una parábola.1.Si a 0, la parábola abre hacia arriba. Si a 0, abre hacia abajo2. El vértice es3. La intersección y es cEjemplo: graficar f(x) -x2 – 4x 12Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 5

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]1.4.- Función Polinomial y su representación geométricaDefinición:Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en laMatemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables queintervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.Una función Polinomial f es una función de la forma:Donden es un entero no negativo, los coeficientes an , , a1, a0 son números reales.Ejemplos de funciones polinomiales:;,Alguna propiedades de las funciones polinomiales1. La gráfica de y f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c).2. La gráfica de y f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces dela ecuación3. 3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, lasfunciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas.Ejemplo:1. Para la función(a) Determine el dominio de la función(b) Las intercepciones con los ejesIng. Romeo Altúzar MezaPágina 6

[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010(a)el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.(b) Intercepciones con los ejes:Si x 0 por lo tanto y 6 y la curva se intercepta al eje “y” en el punto (0, 6)Si y 0Por división sintética:Los factores de 6 son:Por lo tanto, f tiene un factor de la formaEl factor., puede descomponerse en:Finalmente:Si y 0Los valores de x son:La curva corta al eje x en los puntos: (1,0 ), (3,0) y (-2, 0)Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 7

[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010Grafica de funciones polinomiales1.5.- Función exponencial y su representación geométricaExiste una función que desempeña una función importante no sólo en matemáticas, sinotambién en finanzas, economía, y otras áreas de estudio. Incluye una constante elevada a unexponente variable, como. A tales funciones les llamamos funcionesexponencialesDefiniciónLa función f definida porf(x) bxDonde: b 0, b 1, y el exponente x es cualquier número real, se llama función exponencialcon base bCuando se trabaja con funciones exponenciales puede ser necesario aplica las reglas de losexponentes. Estas reglas se presenta a continuación, en ellas m y n son números reales y a yb son positivosIng. Romeo Altúzar MezaPágina 8

[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010Algunas funciones que parecen tener la forma exponencial b x puede ponerse en esa formaaplicando las reglas anteriores.Por ejemplo:2-x ;Otro ejemplo:Creciemiento de bacterias.El número de bacterias presentes en un cultivo después de t miutos está dado porObserve que N(t) es un múltiplo constante de la función exponenciala. Cuántas bacterias estan presentes al inicio?Solución: aquí se determina N(t) cuando t 0. TenemosAsí que 300 bacterias están presentes al inicio.b. En forma aproximada, ¿cuantas baterias estan presentes depues de 3 minutos?Solucion: en este caso se determina N(t) cuando t 3 minitosSustituyendo:Asi que aproximadamente 711 batecterias se encuentran presente a los 3 minutos.Gráficas de funcines exponencialesIng. Romeo Altúzar MezaPágina 9

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]Ejemplo 1: Graficacion de funciones exponenciales con b 1Graficar las funciones exponenciales f(x) 2x y f(x) 5xSolución: Al trazar puntos y conectarlos observaos las grafias de la figura a y b.Ejemplo 2: Graficacion de funciones exponenciales con 0 b 1Graficar la funcións exponencialPropiedades de la función exponencial f(x) bx1.El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales, elrango es el conjunto de todos los números positivos.2. La gráfica de f(x) bx tiene intersecciones con el eje y (0,1). No existe interseccióncon el eje x3. Si b 1, la grafica asciende de izquierda a derechaSi 0 b 1, la grafica desciende de izquierda a derecha.Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 10

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; Julio de 2010[MATEMÁTICAS AVANZADAS I]4. Si b 1, la grafica se aproxima al eje x conforme x toma valores negativos cada vezmás grandes en valor absoluto.Si 0 b 1, la grafica se aproxima al eje x conforme x tomo valores positivos cada vezmás grandesFunción exponencial con base “e”Uno de los números más útiles como base de una funcioón exponenciale es cierto numeroirracional danotdo por la letra “e”, en honor del matematico Suizo Leonardo Euler (1707 1783):La funcion exponencial con base “e” se conoce como funcion exponencial natural.Aunque e puedae parecer una base extraña, surge de manera natural en cálculo. Tambiénsurge en el analisis economicos y en problemas que implican crecimiento o decaimientonatural, como estudios poblacioneales, interes compuesto y decaimiento radiactivo.En la figura se muestraa la estructura general de una funcion exponencial con base e1.6.- Función logarítmica y su representación geométricaDefinición:La función logarítmica de base b, donde b 0 y b 1. Se denota por log 10 y se define como:y logb x si y sólo si by xEl dominio de logb es el conjunto de todos los números reales positivos y el rango esconjunto de todos los números reales.Ing. Romeo Altúzar MezaPágina 11