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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMADE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍACUADERNODEEJERCICIOSDEÁlgebraSergio Roberto Arzamendi PérezFrancisco Barrera GarcíaErik Castañeda de Isla PugaJuan Velázquez Torres
ÍNDICEPáginaPresentaciónIntroducciónCapítulo 1: Números Reales . 1Ejercicios resueltos . 2E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45R e s p u e s t a a l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52C a p í t u l o 2 : N ú m e r o s C o m p l e j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88R e s p u e s t a a l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92C a p í t u l o 3 : P o l i n o m i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124R e s p u e s t a a l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128C a p í t u l o 4 : S i s t e m a s d e E c u a c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171R e s p u e s t a a l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176C a p í t u l o 5 : M a t r i c e s y D e t e r m i n a n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208R e s p u e s t a a l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215C a p í t u l o 6 : E s t r u c t u r a s A l g e b r a i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254R e s p u e s t a a l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
PRESENTACIÓNLa Facultad de Ingeniería de la UNAM, preocupada por apoyar a susestudiantes, ha promovido la creación de diversos materiales como las obrasescritas, con las cuales se pretende reforzar los temas de los programas de lasasignaturas de los planes de estudio.La presente obra titulada Cuaderno de Ejercicios de Álgebra nos muestra lostemas del programa de estudios de la asignatura Álgebra, que aún cuando hacambiado en diversas ocasiones , en esencia, mantiene el contenido que enésta se presenta.Este cuaderno ofrece un estudio completo debido al tratamiento histórico delos temas, los ejemplos resueltos y los propuestos con solución. Además de sunivel en el desarrollo de los temas, mostrando ejemplos que invitan al lector ainiciarse y también a profundizar en el estudio de cada uno de ellos.Los autores de esta obra Fís. Sergio Roberto Arzamendi Pérez, Ing. FranciscoBarrera García, Ing. Érik Castañeda De Isla Puga y Fís Juan Velázquez Torrestransmiten a través de ella su interés por apoyar a los alumnos y a profesoresen el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Álgebra, la cual esfundamental para la formación de ingenieros.M.I. María del Rocío Ávila NúñezCoordinadora de MatemáticasNoviembre de 2010
INTRODUCCIÓNUna frase muy conocida es La práctica hace al maestro. A pesar de laantigüedad de esta sentencia, sigue vigente. Por ello los cuatro autores de estaobra, nos propusimos poner a la disposición de los estudiantes una selecciónde ejercicios de álgebra, con el objetivo de que los conceptos aprendidos ensus cursos los puedan utilizar para resolverlos y la práctica adquirirla con sudesarrollo para lograr un aprendizaje significativo. El libro tiene como orígenesun cuaderno de ejercicios de álgebra, primera parte, que durante varios añosha sido publicado por esta Facultad y otro material inédito con los temas noincluidos en el anterior. La conjunción de estas dos obras y el trabajo en equipode los cuatro ha dado por resultado este material que anhelamos sea deutilidad tanto para nuestros estudiantes como para los profesores que busquenun apoyo para sus cursos. Estamos conscientes de que, aún cuando hayamosrevisado exhaustivamente el material, todavía puedan existir errores uomisiones, por ello agradeceremos enormemente a aquellas personas que noshagan saber de estas deficiencias para que en futuras ediciones la obra puedaser más confiable y de mayor utilidad.El cuaderno de ejercicios consta de seis capítulos. En los dos primeros sepresenta lo relativo a los sistemas numéricos más comúnmente empleados eningeniería; es decir, en el primer capítulo se presentan ejercicios sobrenúmeros reales y en el segundo, sobre números complejos. En el tercercapítulo se trabaja con el álgebra de los polinomios, para utilizarla en lo relativoa la determinación de sus raíces. El cuarto capítulo está dedicado a lossistemas de ecuaciones lineales. Las matrices y los determinantes se trabajanen el quinto capítulo y se termina con el sexto en el que el objeto de estudioson las estructuras algebraicas.Cabe la aclaración de que no pocos autores consideran que los conceptostratados en los capítulos cuatro, cinco y seis, forman parte ya del álgebra lineal.Es de justicia manifestar un agradecimiento infinito a la Maestra María CuairánRuidíaz por su apoyo inconmensurable y a la señorita Ana María SánchezTéllez por la captura de una parte muy importante del material. Sin su ayuda,seguramente esta obra hubiese tardado mucho más tiempo en poder salir a laluz.Ciudad Universitaria, Distrito Federal, a 3 de noviembre de 2010LOS AUTORES
CAPÍTULO 1NÚMEROS REALESA través de la historia, pocos conceptos han sido tan utilizados desde épocas tan remotas como elconcepto de número. No obstante su antigüedad y su continuo y variado empleo, su definición ysu formalización no se pudieron establecer de manera satisfactoria hasta fechas relativamenterecientes. Aún en nuestros días es común confundir este concepto, puramente abstracto, con surepresentación escrita llamada numeral.Es hasta finales del siglo XIX cuando las ideas Weierstrass, Boole, Cantor, Dedekind y Peano,entre otros, cristalizaron en la concepción formal de la estructura algebraica llamada campo delos números reales. Esto no quiere decir que se haya llegado a colmar este casillero delconocimiento matemático. Actualmente en muchas partes del mundo, son varios los científicospreocupados en profundizar más en esta apasionante rama del saber. Pero para el lector, estudiosode la ingeniería, que utilizará las matemáticas como una herramienta en su vida dentro de lasaulas y, posteriormente, en sus actividades profesionales, el objetivo en este capítulo será ladeterminación precisa y rigurosa de las estructuras numéricas de mayor relevancia, hasta concluircon el campo de los números reales; también se pretende propiciar el adecuado manejo de loselementos numéricos que conforman estas estructuras algebraicas.
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRAEJERCICIOS RESUELTOS1. Sean los conjuntos:A 6, 7, 8, 9, B , 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 C 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar las respuestas:a) B C Ab) A B Cc) 9 Bd) A Be) C A B f) 3 CSolución:a) Falso B C 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 A ,pues existen elementos de B C que nopertenecen a A, ejemplo: 4 Ab) Verdadero A B 6, 7, 8, 9, 10, 11 Cc) Falso9 es elemento de B, pero no subconjunto de él.d) FalsoExisten muchos elementos de A que no pertenecen a B; ejemplo: 12 A ; 12 Be) FalsoEl conjunto C está contenido en la unión de los conjuntos A y B; es decir, C es subconjuntode A B , pero un conjunto no pertenece a otro, a menos que este último sea un conjuntode conjuntos y no es el caso.f)Verdadero3 sí es elemento de C2
CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES2. Sean los conjuntos:A 1 , 2 , 3 , 4 , 5 B 1, 2, 3, 4, 5 C 1 , 1, 2 , 1, 2, 3 , 1, 2, 3, 4 , 1, 2, 3, 4, 5 Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar las respuestasa) A Bb) A C 1 c) A B d) 1 Ce) A B C Solución:a) FalsoA es un conjunto de conjuntos y B es un conjunto de números. Por lo tanto no pueden seriguales, pues sus elemenentos no son de la misma naturaleza.b) VerdaderoTanto A como C son conjunto de conjuntos y el conjunto 1 es el único que es elementocomún de A y de C.c) VerdaderoNo existe ningún elemento común entre los conjuntos A y Bd) FalsoEl número 1 no pertenece al conjunto C, mientras que el conjunto 1 sí.e) Falso A B C 2 , 3 , 4 , 5 , 1, 2, 3, 4, 5 3
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRA3. Dada la siguiente tabla, contestar en cada cuadro con un sí, si cumple la propiedad y un no encaso contrarioExistenciaInversoMultiplicativoparaz ZSÍSÍSÍNONOQSÍSÍSÍSÍSÍQ'NONONONONO SÍSÍSÍSÍSÍ4Densidad
CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES4. Sean los conjuntos de números N, Z, Q, Q' e . Considerando al conjunto como elconjunto universo, determinar el resultado de: Q Q Z Q Q ' IR N Q Z N Solución:El primer paréntesis rectangular se resuelve de la siguiente manera: Q Q Z Q Q Q Del segundo paréntesis se obtiene: Q Q N N N y del tercero: Q Z N Q Z ZsustituyendoQ Z Z 5. En los paréntesis de la derecha escribir V o F, según la aseveración de la izquierda seaverdadera o falsa.a) Q Q ()b) A B C A B A C ()()()c)2 Qd) Q Q 5
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRASolución:a)(V)El conjunto unión de los racionales y de los irracionales, sí es un subconjunto delos reales.b)(V)Se trata de una de las leyes de De Morgan.c)(F)Es un número irracional.d)(V)La intersección de un conjunto con su complemento siempre es el conjunto vacío.Además, no es posible encontrar un número que sea a la vez racional e irracional.6. Para cada una de las siguientes afirmaciones, escribir en el paréntesis correspondiente una F ouna V según sea falsa o verdadera.a) El número 1 es un número racional.( )b)( )25 es un número irracional.c) 6 y18indican (representan) números diferentes.3( )d) Cualquier número irracional es también unnúmero trascendente, como el número .( )e) La suma algebraica de dos númerosirracionales es otro irracional.( )Solución:a) ( V )b) ( F )El número 1 se puede escribir 1/1 y cumple con la definición de número racional.25 5 ya que 5 5 25 y, por lo tanto es racional.c) ( F )6 es la mínima expresión del número racionald) ( F )El númeroe) ( F ) 1832 es irracional, pero no es trascendente. 3 3 0 y el número cero no es irracional.6
CAPÍTULO 1. NÚMEROS REALES7. Demostrar, por medio de inducción matemática, que:13 23 n3 1 2 n ; n N2(1)Solución:El miembro derecho de la expresión (1), es el cuadrado de la suma de los primeros n númerosnaturales. Así que, también por inducción matemática, primero se demostrará que:1 2 n n n 1 ; n N2La expresión debe satisfacerse para n 1 :1 (2)1 1 1 21 1 sí se cumple para n 1Ahora, se supone válida para n k :1 2 k k k 1 (3) hipótesis2Si 3 es cierta por hipótesis, la expresión 2 también debe cumplirse para n k 1 :1 2 k k 1 k 1 k 2 (4) tesis2sustituyendo 3 en 4:k k 1 2 k 1 k 1 k 2 2tomando como factor común k 1 en el miembro izquierdo:k k 1 k 2 1 2 2 k 1 k 2 k 1 k 2 2 2 k 1 7
CUADERNO DE EJERCICIOS DE ÁLGEBRAfinalmente: k 1 k 2 k 1 k 2 ,2 k N2con lo cual queda demostrado la validez de la expresión (2).Ahora, como ya se tiene la certeza de que la expresión (2) es válida para todos los númerosnaturales, ésta será sustituida en (1): n n 1 1 2 n ;2 2333 n N(5)Para demostra
Ejercicios resueltos.220 Ejercicios propuestos.254 Respuesta a los ejercicios propuestos .258 PRESENTACIÓN La Facultad de Ingeniería de la UNAM, preocupada por apoyar a sus estudiantes, ha promovido la creación de diversos materiales como las obras .File Size: 1MBPage Count: 262
