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DANIEL HERRERA ARÁUZESTADÍSTICA CON SPSSContiene: Nociones básicas de Estadística.Manual de usuario de SPSS.
PRESENTACIÓN:Al igual que las publicaciones anteriores: Matemática Financiera y Probabilidad, Combinatoria yDistribuciones de Probabilidad, Estadística con SPSS es el resultado del material académicopreparado por el autor para los cursos regulares de Estadística desarrollados en la Facultad deCiencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, a nivel de pregrado y posgrado, comotambién en calidad de instructor en eventos de capacitación profesional en varios Centros deActualización de Conocimientos como también en Educación Continua.El programa SPSS (Stadistical Package for the Social Science) es quizá en la actualidad, el paquete desoftware más difundido a nivel mundial para el análisis estadístico de datos, La versión actual (V24)sigue siendo de propiedad de la firma IBM.El libro de texto Estadística con SPSS está compuesto por tres secciones: La primera sección contiene las nociones básicas de Estadística; en esta parte el autor presentaun resumen de los conceptos, definiciones y procesos de cálculo para la obtención de losestadísticos que describen a un grupo de datos, su representación gráfica, como también losdiferentes métodos de muestreo, y herramientas de estadística inferencial para una poblacióncomo también para dos poblaciones. La segunda sección contiene una detallada descripción, a manera de manual de usuario, de lasdistintas opciones y herramientas que dispone el programa SPSS para la organización de datos,el cálculo de los diferentes estadísticos que describen a un muestra, diversas opciones deelaboración de gráficos estadísticos, técnicas de muestreo, estadística inferencial en unapoblación, dos poblaciones y varias poblaciones a través del ANOVA y el modelo de regresión ycorrelación bivariable y multivariable. La tercera sección (en edición separada) contiene 13 prácticas de laboratorio de estadística conSPSS; el desarrollo académico de estas actividades permitirá al estudiante aplicar los conceptos,definiciones y procesos de la Estadística Descriptiva e Inferencial, como también adquirirdestrezas y habilidades en el manejo del paquete estadístico.El material desarrollado en las tres secciones es acorde con la malla curricular y el syllabus académicode la asignatura de Estadística en los niveles I y II de las carreras de Contabilidad y Auditoría,Administración de Empresas, Administración Pública, Economía, Marketing, Sicología y otras. Al igualque constituye un importante material en los estudios de posgrado para las maestrías en Empresas,Finanzas, Educación, etc.A criterio del autor, en la actualidad, la enseñanza de la Estadística no puede desarrollarse sin lautilización de algún software que resuelva las operaciones aritméticas en forma rápida y precisa; demanera que el tiempo que se ahorra al evitar realizar los cálculos en forma manual se podríadedicarlo al análisis de resultados y a la creación de escenarios virtuales con la variación de lascondiciones iniciales del problema.El autor anticipa su agradecimiento a docentes y estudiantes que hagan uso de este material,solicitando además remitir sus comentarios y sugerencias para futuras ediciones adanielherrera 1960@hotmail.comDaniel Herrera Aráuz
BREVE HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA1.La historia de la Estadística es la historia de la humanidad, desde comienzos de la civilización, elhombre buscó la manera de llevar registros mediante representaciones gráficas y otros símbolos enpieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas, para determinar número de personas, animales ociertas cosas.Hacia el año 3000 A.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datossobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.Los egipcios fueron los primeros en analizar los datos de la población y renta del país, mucho antesde construir las pirámides en el siglo XXXI A.C.Los libros de “Números” y “Crónicas” incluyen, en algunas partes, cierta información que puedeconsiderarse como Estadística: El primero contiene dos Censos de la población de Israel. El segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000, anterior a la Eracristiana.Los griegos clásicos realizaban censos, cuya información se utilizaba hacia el año 594 A.C. para cobrarimpuestos.El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población,superficie y renta de todos los territorios bajo su control, para esto basta recordar lo que dicen lasEscrituras sobre el censo a realizarse previo al nacimiento de Jesús.Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyescarolingios, Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades dela Iglesia en los años 758 y 762, respectivamente.John Graunt.Hijo de un tapicero, nació en Londres de 1620, fue desde muy joven aprendiz de un comerciante demercancía y, en esta actividad se mantuvo toda su vida. De formación autodidacta, y en base aesfuerzos propios, adquirió algunos conocimientos sobre todo de latín y francés. No tuvo unaformación académica ni tampoco autodidacta en lo que a matemática se refiere, situación que dehaberse dado habría sido de gran ayuda en la publicación de su obra sobre los registros demortalidad; sin embargo el análisis de Estadísticas nació en Londres, en el año de 1662. John Grauntpublicó “Observaciones Naturales y políticas sobre los registros de Mortalidad”.Para ese entonces, Inglaterra contaba ya con una población de cien mil habitantes. Esta ciudad teníaya problemas propios de una superpoblación, dificultades en los servicios de salud, educación etc.,que fueron la causa que originó el registro de nacimientos y muertes, registros que después de laepidemia de 1603, fueron realizados semanalmente. Llegaron a formar con el tiempo, material degran utilidad para la previsión de eventos futuros.1Con la colaboración académica de Nelson Herrera Aráuz
El Análisis de Graunt se basó en comparaciones porcentuales año tras año, en lo referente anacimientos, muertes por accidentes, muertes por enfermedades, suicidios etc. observando queeventos mortales mantenían valores constantes y que se presentaban con sorprendente regularidad.También llegó a concluir, que el número de nacimiento de los varones era superior al de mujeres, sinembargo, en ese entonces las labores destinadas a los hombres, entre estas la guerra, tendrían unmayor riesgo, por lo que, a la edad de casarse, el número de varones y mujeres se igualaba por lo quela monogamia debía ser la forma de vida que la misma naturaleza señalaba.William Petty.La publicación de John Graunt fue avalada académicamente por Sir William Petty (1623-1687),profesor de la Universidad de Oxford, y, más tarde médico del Ejercito inglés, calificó a la Estadística,como la “Aritmética Política” y la definió como:El arte de razonar por medio de cifras y gráficas, acerca de aspectos relacionados con el gobierno.De ahí que la palabra Estadística se relacione con la palabra Estado.Sin embargo, el verdadero aporte de Petty al desarrollo de la Estadística, fue tratar de cuantificar lasvariables que conforman las ciencias sociales y, evitar así el uso de valores cualitativos y palabrascomparativas en la descripción de estas variables.Edmund Halley.Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley, como base para la primera tabla demortalidad.Halley, como astrónomo, dedujo que un cometa visto algunas décadas anteriormente, obedecía a unfenómeno cíclico y predictible. Dedicó toda su vida a estudiarlo y, con la ayuda del gran matemáticoinglés Isaac Newton, pudo calcular el año que retornaría. Desgraciadamente, murió algunos añosantes de que el cometa reaparezca, exactamente en el lugar del cielo y la fecha previstos.Halley era un hombre muy versátil y no solo se preocupó de la astronomía, fue el creador de las tablasde esperanzas matemáticas, empleadas para el cálculo de las pólizas del seguro de Vida, inclusoinvestigó el lugar exacto del desembarco de Julio César en Gran Bretaña.Jean Baptiste Colbert.En Francia, el rey Luis XIV, por esos mismos años, consiguió que la patria de los galos marque un siglode hegemonía. El gran asesor del Rey Sol Jean Baptiste Colbert que fue aprendiz de pañero, sepreocupó de que la economía de Francia se controle mediante los números; incluso, formó unaescuela económica llamada Colbertismo, que significa la protección del Estado a la producciónindustrial.Colbert, como asesor de Luis XIV se dio cuenta de la importancia de los registros numéricosalmacenados para manejar las importaciones y exportaciones del reino, es más, con los matemáticosHuygens, holandés, y Leibniz, alemán sostuvo importantes diálogos científicos y fue convencido porestos, en la necesidad de crear para la gloria de Francia el Observatorio Real y la Academia deCiencias de París.No se puede separar el desarrollo de la Estadística de la historia del Cálculo de la Probabilidad. Eneste punto es necesario renombrar los aportes de brillantes matemáticos tales como: Bernoulli,
Gauss, Poisson, etc. Aportes que permitieron desarrollar modelos probabilísticos que al ser adaptadosal análisis estadístico, lograron hacer de esta ciencia la herramienta de la planificación porexcelencia.En el siglo XX, es donde la Estadística toma el carácter formal de una ciencia de la matemáticaaplicada, gracias a los aportes de:L. T. Grosset.Fue el creador de la Distribución t, siendo empleado de una cervecería irlandesa a principios de 1900.Desaprobaba el hecho de que las personas publicaran sus trabajos usando sus nombres verdaderos,por lo que escribió acerca de las propiedades matemáticas de las distribuciones para pequeñasmuestras, y publicó bajo el seudónimo de student.Ronald Fisher.Sir Ronald Fisher nació en Londres en el año de 1890 y murió en la misma ciudad en el año de 1962,fue un científico eminente en dos campos: La Genética y la Estadística. Alrededor de los años veintede ese siglo, se dedicó al diseño de experimentos en agricultura. De estos trabajos nació una de lasherramientas más importantes en la toma de decisiones, el Análisis de Varianza, mediante lacomparación de varianzas entre muestras y en el interior de las mismas con valores críticos de unadistribución probabilística creada por el mismo.Abraham Wald.Matemático alemán nacido en 1902, comenzó sus trabajos de investigación estadística motivado porlas acuciantes necesidades de estudios matemáticos que trajo consigo la Segunda Guerra Mundial,murió en un accidente aéreo en el año de 1950, entre sus estudios y aportes importantes para laEstadística, se tiene el Análisis Secuencial y la teoría de toma de decisiones.La Estadística y el Desarrollo Industrial.A principios del siglo XX el escritor e historiador inglés HG Wells, comentó cierto día que elaprendizaje y conocimiento de la estadística será tan necesario, como la aptitud y el gusto por lalectura. Tómese en cuenta que en la época de este comentario aún no había florecido el desarrolloindustrial en el mundo entero; sin embargo se intuía ya la necesidad de establecer mecanismos decontrol y herramientas para tomar decisiones dentro del mundo industrial.Uno de los aportes más importantes en la Estadística, son las contribuciones realizadas por W.Eduard Deming, a mediados del siglo anterior (1950). Este brillante estadístico, desarrolló modelospara el Control de Calidad de los procesos productivos, basándose en la teoría de las desviacionesalrededor de una medida de centralización.En resumen:En el desarrollo de la humanidad, la Estadística se ha constituido en uno de los soportes másimportantes para este progreso, la investigación científica, la toma de decisiones, la planificaciónindustrial y muchos otros campos del quehacer profesional, recurren a los métodos estadísticos enforma cada vez más confiable y concurrente, razones suficientes para que el estudiante universitario yel profesional, se interesen en el conocimiento de los diferentes métodos que esta herramientadispone.
ESTADÍSTICA CON SPSSNOCIONESBÁSICAS DEESTADÍSTICAPRIMERA SECCIÓN
ESTADÍSTICA CON SPSS.-NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICANOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA1.DEFINCICIONES BÁSICAS . 41.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.2.ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS . 72.1.2.2.2.3.2.4.2.5.3.DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA . 4CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA. 4POBLACIÓN. 4MUESTRA . 4MUESTRA VS POBLACIÓN. 5VARIABLES O DATOS ESTADÍSTICOS . 5ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS . 6ORDENAMIENTO DE LOS DATOS . 7DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE.- VARIABLE CUALITATIVA . 7DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE.- VARIABLE CUANTITATIVA . 9HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS . 9DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA POR INTERVALOS O CLASE. 10ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA . 143.1.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL . 143.1.1.DATOS NO AGRUPADOS . 143.1.2.EN DATOS AGRUPADOS EN FRECUENCIA SIMPLE . 153.1.3.EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIA . 153.2.MEDIDAS DE POSICIÓN EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA . 173.2.1.PRINCIPIO FUNDAMENTAL . 183.2.2.CUANTILES EN DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS EN FRECUENCIA SIMPLE . 183.2.3.CUANTILES EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIA. . 193.3.MEDIDAS DE DISPERSIÓN . 193.3.1.RANGO . 193.3.2.DESVIACIÓN ESTÁNDAR . 193.3.3.VARIANZA . 203.3.4.COEFICIENTE DE VARIACIÓN . 203.3.5.RANGO INTERCUARTIL . 203.3.6.DIAGRAMA DE CAJA . 203.4. MEDIDAS DE ASIMETRÍA . 213.4.1.SIMETRÍA DE UNA MUESTRA. 213.4.2.SESGO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRRECUENCIAS . 22pág. 1
ESTADÍSTICA CON SPSS.-4.DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD . 234.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.5.INTRODUCCIÓN . 31ESTIMADOR POR INTERVALOS . 31CONSIDERACIONES ADICIONALES PARA LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA . 31INTERVALO PARA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL . 31ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL . 32TAMAÑO DE LA MUESTRA. 338.1.8.2.8.3.9.CLASIFICACIÓN DE LAS MUESTRAS POR SU TAMAÑO . 29TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL . 29ERROR DE MUESTREO . 29TEORÍA DE ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA. 317.1.7.2.7.3.7.4.7.5.8.MUESTRA . 28POBLACIÓN FINITA O INFINITA . 28EL MUESTREO ALEATORIO . 28MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO . 28DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO . 296.1.6.2.6.3.7.EXPERIMENTO ALEATORIO. 23EVENTO ALEATORIO . 23ESPACIO MUESTRAL . 23PROBABILIDAD DE UN EVENTO . 23ALGEBRA DE PROBABILIDAD . 24DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD . 24DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . 25DISTRIBUCIÓN NORMAL . 26MÉTODOS DE MUESTREO . 285.1.5.2.5.3.5.4.6.NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICAFACTORES QUE INFLUYEN EN EL TAMAÑO DE LA MUESTRA . 33TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA POBLACIONAL . 33TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN POBLACIONAL . 34PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Y PROPORCIÓN POBLACIONAL. 369.1.9.2.INTRODUCCIÓN . 36PROCESO . 3610. INFERENCIAS EN DOS POBLACIONES . 3810.1.10.2.10.3.10.4.10.5.10.6.INTRODUCCIÓN . 38ESTIMACIONES DE DIFERENCIAS DE PARÁMETROS POBLACIONALES . 38ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE LA MEDIA POBLACIONAL EN MUESTRAS GRANDES: . 38ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE LA MEDIA POBLACIONAL EN MUESTRAS PEQUEÑAS . 39ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL . 40PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA COMPARACIÓN ENTRE DOS POBLACIONES . 40pág. 2
ESTADÍSTICA CON SPSS.-NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA11. ANÁLISIS DE VARIANZA . 4211.1.11.2.11.3.11.4.11.5.11.6.INTRODUCCIÓN . 42FUNDAMENTOS DEL ANOVA . 42PROCESO DE CÁLCULO PARA UNA SOLA VÍA . 43PRESENTACIÓN DE RESULTADOS . 45PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA IGUALDAD DE MEDIAS EN VARIAS POBLACIONES. 45PRUEBA DE TUKEY Y PRUEBA DMS . 4512. PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS. 4812.1. INTRODUCCIÓN . 4812.2. PRUEBA CHI CUADRADO PARA LA INDPENDENCIA DE VARIABLES . 4813. MODELO DE REGRESIÓN Y COEFICIENTE DE CORRRELACIÓN LINEAL . 5013.1.13.2.13.3.13.4.13.5.13.6.13.7.INTRODUCCIÓN . 50EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN . 50MODELO LINEAL BIVARIABLE . 51MODELO LINEAL MULTIVARIABLE . 51COEFICIENTE DE CORRELACIÓN . 52EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN . 52VERIFICACIÓN DE LAS VARIABLES EN EL MODELO . 5314. MODELO NO LINEAL Y EXPONENCIAL. 5414.1.14.2.14.3.14.4.14.5.MODELO NO LINEAL . 54MODELO EXPONENCIAL O DE POISSON. . 54FORMULACIÓN DEL MODELO . 55COEFICIENTES DEL MODELO . 55MODELO DE REGRESIÓN LOGÍSTICA . 5514.5.1.ECUACIÓN DEL MODELO LOGÍSTICO . 5514.5.2.OBTENCIÓN DE LOS COEFICIENTES . 5614.5.3.EVALUACIÓN DEL MODELO . 5614.5.4.ESTIMACIÓN DE PROBABILIDAD. 56pág. 3
ESTADÍSTICA CON SPSS.-NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA1. DEFINCICIONES BÁSICAS1.1. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICAEs la ciencia que trata de los métodos de recolección, organización y resumen de la informaciónregistrada sobre la variación de eventos; como también los métodos que permiten tomar decisionessobre determinadas características de dichos eventos.1.2. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICAPara su estudio, es conveniente clasificar a la estadística de la siguiente manera:Estadística Descriptiva: Estudia los métodos de recolección, organización y resumen de lainformación.Estadística Inferencial: Estudia los métodos y herramientas utilizadas para definir características ypropiedades de una población, basándose en el análisis de una muestra tomada de dicha población.De la definición de Estadística Inferencial, es conveniente tomar en cuenta las palabras: Población yMuestra.1.3. POBLACIÓNComúnmente, se conoce como población, a un grupo humano que ha nacido o se ha asentado enalgún lugar del mundo, ejemplo: la población del Ecuador es un grupo de seres humanos que hannacido o que viven en nuestro país; dentro de la Estadística la población es un grupo formado portodos las personas u objetos que guardan alguna característica en común; a continuación seexponen algunos ejemplos de poblaciones estadísticas son los siguientes:1. Electores inscritos en el padrón electoral del Cantón Quito.2. Datos mensuales relacionados con el número de niños nacidos vivos en la maternidad de laciudad, durante el año 2016.3. Reporte de las utilidades mensuales de una empresa de transporte pesado.En resumen, la población estadística es un conjunto universal, puesto que contiene a todos loselementos de su especie.1.4. MUESTRADentro de la Estadística, la muestra es un subconjunto de la población; es decir, un conjunto formadopor algunos elementos tomados de un conjunto mayor que es la población; como ejemplos demuestra podemos mencionar a los siguientes:1. Un grupo de 100 electores, 5 de cada uno de los 20 recintos electorales del cantón; escogidosaleatoriamente.2. Número de barriles de petróleo exportados por el Ecuador que fueron explotados en laPenínsula de Santa Elena.pág. 4
ESTADÍSTICA CON SPSS.-NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA3. Un grupo de niños nacidos en la maternidad de la ciudad, que vinieron al mundo el mes dediciembre.En conclusión, la muestra, es un subconjunto representativo tomado de una población.1.5. MUESTRA VS POBLACIÓNComo se indicó en la definición de Estadística Inferencial, los métodos estadísticos inferencialesanalizan las muestras para hacer deducciones o inferencias sobre la población; es decir: los quehacen estadísticas trabajan con datos de las muestras para llegar a determinar características de unapoblación; las razones, entre otras, se deben a:Resulta imposible analizar todos elementos (población) debido al tiempo de análisis, costos, etc.Veamos un ejemplo:Si se trata de establecer las causas por las que los niños de un cantón de la SierraEcuatoriana presentan signos de desnutrición; sería imposible reunir a todos los niños deeste lugar, medir su estatura, su peso, averiguar la forma de alimentación, los ingresosfamiliares de todos ellos, etc. Es mucho más sencillo, tomar una muestra de esta población ysobre esa muestra realizar el análisis estadístico correspondiente que permitirá a su vezdeducir las causas de desnutrición de dicha población.En algunas ocasiones, el análisis de los elementos de una muestra, requiere de la destrucción oinutilización de estos elementos, ejemplo:Se trata de determinar la resistencia de una bombilla eléctrica: para esto, se debe someter aeste elemento a una serie de sobrecargas eléctricas. Esta sobrecarga, obviamente va adestruir o inutilizar dicho elemento; por esta razón, no será conveniente ensayar a todos loselementos (población), sino solamente a algunos de ellos, es decir a una muestra.La muestra estadística debe ser tomada con un criterio apropiado, de manera que las inferenciasque sobre la población de dicha muestra se hagan, sean confiables e idóneas.1.6. VARIABLES O DATOS ESTADÍSTICOSLos datos estadísticos se presentan de dos maneras: Datos cualitativos.- Tal como: el género, la religión, el estado civil, el lugar de nacimiento, etc.Es decir: la variación de estas variables se expresa con palabras y no con números.Para el trabajo estadístico es necesario expresar la variación de estas variables mediante conteo,razón proporcional o porcentaje. Veamos algunos ejemplos:1. El número de mujeres que participaron en la encuesta realizada en el cantón Atacames es de500, mientras el número de varones encuestados en el mismo cantón llega a 425.2. Dentro de esta población se estima que el 75% es de religión católica; mientras que el 25%restante pertenece a otras religiones.3. Datos proporcionados por el registro civil del cantón indican que el 35% de la población essoltera, 45% de la población está casada y el 20% restante, corresponde a viudos, divorciadosy en unión libre.pág. 5
ESTADÍSTICA CON SPSS.- NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICADatos cuantitativos.- Son aquellos, cuya variación puede presentarse mediante números;ejemplo: la estatura de un grupo de niños, el saldo promedio de cuentas corrientes de un banco,la duración o vida útil de un repuesto eléctrico, etc.Los datos cuantitativos se presentan de dos maneras:Variable DiscretaSon aquellos cuya variación numérica se representa por números enteros; ejemplo: el númerode autos vendidos el año anterior, el número de personas que mi
El programa SPSS (Stadistical Package for the Social Science) es quizá en la actualidad, el paquete de software más difundido a nivel mundial para el análisis estadístico de datos, La versión actual (V24) sigue siendo de propiedad de la firma IBM. El libro de texto Estadística con SPSS está compuesto por tres secciones:
