Transcription
3.Monte Carlo simulacijeMARIJANA ZEKIĆ-SUŠACSVEUČILIŠTE J.J. STROSSMAYERA U OSIJEKU, EKONOMSKI FAKULTET U OSIJEKU
Što ćete naučiti u ovom poglavlju ? Kako se izgrađuju modeli slučajnih varijabli Što je Monte Carlo simulacija Kako se izgrađuje model Monte Carlo simulacije Kako se analizira model Monte Carlo simulacije Primjere Monte Carlo simulacija
Upotreba slučajnih varijabli i simulacija U prethodnim poglavljima, ulaznim varijablama usimulacijskim modelima dodijeljene su nekeunaprijed utvrđene vrijednosti. U stvarnim pojavama, često su varijacije vrijednostiulaznih varijabli nepredvidive. Takve su varijableslučajne, tj. varijable čije se vrijednosti ne mogupredvidjeti sa sigurnošću. Kod tabličnih kalkulatora postoje generatorislučajnih brojeva, npr. funkcija RAND() će kaorezultat dati jednoliko raspodijeljeni slučajni brojizmeđu 0 i 1.
Slučajne varijable u alatu Risk Solver Upotrebu slučajnih varijabli u alatu Excel omogućuje dodatak (Add-in) podnazivom Risk Solver Platform (ovaj dodatak ne dolazi s instalacijom Excel-a,nego ga je potrebno posebno instalirati sa stranice proizvođača i alat nijebesplatan, ali je omogućeno javno korištenje u evaluacijskom razdoblju od 15dana). Risk Solver Platform raspoloživ je na adresi: http://www.solver.com/risk-solverplatform (za download free trial potrebna registracija)S pomoću Risk Solvera moguće je napraviti: optimizacijske modele koji su uključeni i u osnovni alat Solver, ali i dodatne simulacije rizika koje uključuju slučajne varijable (Monte Carlosimulacije).Izgled trake Risk Solver Platform alata u Excelu.
Sučelje Risk Solver Platform alata
Jednolika slučajna razdioba Ukoliko procjenjujemo da neka varijabla može poprimiti ograničeni brojvrijednosti (npr. 1,2, ili 3), te da je vjerojatnost pojavljivanja svake mogućevrijednosti jednaka, tada se koristi jednolika ili uniformna razdioba (distribucija)za dodjeljivanje vrijednosti toj slučajnoj varijabli Primjer upotrebe jednolike (uniformne) slučajne varijable u alatu Risk Solver zaExcel: Ako imamo 3 scenarija (označena brojevima 1,2,3), i pretpostavljamo da jejednaka vjerojatnost da će se dogoditi scenario 1,2, ili 3, tada bi funkciju kojadodjeljuje vrijednosti varijabli scenario, napisali ovako: PsiIntUniform(1;3) Tipkom F9 ponovno se dobije drugi slučajni broj iz intervala od 1 do 3.Histogramvrijednosti za ovufunkciju dobiven ualatu Risk SolverPlatform
Kontinuirana slučajna razdioba Kod kontinuiranih vrijednosti varijabli (realnih brojeva), potrebno jekoristiti neku od razdioba za takve vrijednosti. Kod stvarnih pojava najčešća je normalna razdioba (Gauss-ova) kodkoje je najveći broj vrijednosti oko aritmetičke sredine.Primjer: izgled normalne razdiobe akonpr. pretpostavimo da će se cijenadionice neke tvrtke kretati na taj način,s tim da je srednja vrijendost cijene 25kn, a standardna devijacija(prosječno odstupanje od srednjevrijednosti) 5 kn.- Kreirano u alatu Risk Solver Platform
Kontinuirana slučajna razdioba - nastavakAko bismo npr. željeli generirati cijene dionica kroz 17 dana prema tojrazdiobi, rezultat u Risk Solver alatu bi bio ovakav:Graf kretanjacijene dionicekoja se krećepo slučajnojnormalnojrazdiobi okosrednjevrijednosti 25,stdev 5
Kontinuirana slučajna razdioba - nastavak Ako bismo, umjestonormalne, izabralitrokutastu razdiobu cijenadionica (naredba RiskSolver Platform /Distribution / Common /Triangular, graf razdiobebi izgledao ovako: Kao minimalna vrijednostizabrana je 19, najčešća25, a maksimalna 30.
Kontinuirana slučajna razdioba - nastavak Generiranje cijena dionica kroz 17 dana prema toj razdiobi, dalo biovakav rezultat u Risk Solver alatu (sličan kao kod normalne razdiobe,ali drugačiji):Upisana formula: PsiTriangular(19,25,30)
Monte Carlo simulacije Vrste simulacija koje se temelje na slučajnim vrijednostimavarijabli Povijest razvoja (prema http://hr.wikipedia.org/wiki/Monte Carlo simulacija): metoda izvorno osmišljena u Los Alamos državnom laboratoriju SAD-a,nakon 2.svj. rata za potrebe vojnih simulacija. 1946. Stanislav Ulam predložio korištenje slučajnog uzorkovanja zasimuliranje putanja neutrona, 1947. John von Neumann razvio detaljan prijedlog za takvu simulaciju Ulam i Metropolis – objavljuju radove koji populariziraju upotrebu ovemetode 1950- tih – naglo rastu istraživanja takve vrste simulacija Zbog upotrebe slučajnih brojeva, metoda je nazvana Monte Carlo po gradu udržavici Monako, slavnom po svojim kockarnicama
Kada koristiti Monte Carlo simulacije? Kada je potrebno donijeti procjenu – prognozu ili odluku usituaciji gdje postoji značajna neizvjesnost o kretanjuvrijednosti nekih varijabli Ukoliko postoji neizvjesnost, nije dobro uzeti prosječnuvrijednost varijable, nego neku slučajnu razdiobu Dr. Sam Savage, autoritet u području simulacija: "Manypeople, when faced with an uncertainty . succumb to thetemptation of replacing the uncertain number in questionwith a single average value. I call this the flaw of averages,and it is a fallacy as fundamental as the belief that the earthis flat.„ (FrontLine Systems, 2013)
Primjer 1 - Simulacija prognoze poslovanja U okviru alata Risk Solver kao jednostavan primjer Monte Carlo simulacijenaveden je “Business Forecast.xls”). U njemu se slučajno izmjenjuju tri scenarija na tržištu, a profit se dobiva kaosrednja vrijednost slučajno dobivenih profita u mnogo iteracija simulacijeKaoočekivanavrijednostprofita uzimase prosjekslučajnodobivenihvrijednosti
Primjer 1 – nastavak (rezultati Monte Carlosimulacije Histogram rezultata simulacije pokazuje koja je vjerojatnost dobivanjaodređenih vrijednosti profita (za svaku vrijednost profita može se dobitigornja i donja granica sa pripadajućom sigurnošću) Ova se simulacija može koristiti i za procjenu i planiranje rizika
Primjer 1 - primjena Ovaj se primjer simulacije može koristiti zaprocjenu očekivanog profita u nekom razdobljuposlovanja, kada su obujam prodaje, cijena itroškovi neizvjesni Osim u tu svrhu, model se može koristiti za what-ifanalizu rezultata pod različitim uvjetima na tržištu(promjenom vrijednosti cijena, količina, ili drugihulaznih varijabli i praćenjem što se događa sprofitom npr. ako se cijena smanji ili poveća)
Primjer 2 – Simulacija broja potrebnihdjelatnika Workforce plan model – model izračuna brojapotrebnih djelatnika (odnosno šaltera)poštanskog ureda (raspoloživ u alatu RiskSolver Platform)Cilj: odrediti potreban broj djelatnika (šaltera) u poštanskomuredu u kojem je broj stranaka određen po slučajnojrazdiobiUlazne varijable: Broj klijenata koje jedan djelatnik možeuslužiti dnevno (npr. 30) Broj klijenata koji ulaze u poštanski ured(određen po nekoj slučajnoj razdiobi, npr.trokutastoj: minimalno 5, najčešće 50,maksimalno 100)
Primjer 2 - nastavakPodaci za simulaciju izgledaju ovako u Excelu:H18H19 PsiTriangular(5;30;100) CEILING(H19/H18;1)H21H22 PsiMean(H21)Ovo je rezultat simulacije –dakle u prosjeku je potrebno 2djelatnikaOvdje se izračunava koliki %potražnje je zadovoljen akose zaposli određeni brojdjelatnika. Vidljivo je da je 4djelatnika dovoljno da se100% potražnje zadovolji, tj.da nitko od klijenata ne čeka.
Primjer 2 - nastavak Nakon unosa ulaznih vrijednosti, simulacija se pokreće u 1000 iteracija (kojesimuliraju 1000 dana) i dobivaju se rezultati grafički i brojčano Rezultati – histogram broja djelatnika s pripadajućim frekvencijamapojavljivanja u simulacijiBroj iteracijaBroj potrebnih djelatnikaIz grafikona se vidi da jeu 500 iteracija simulacijedobiveno da je 2djelatnika dovoljno, dokje u 260 iteracija biodovoljan 1 djelatnik, uoko 220 iteracija je bilodovoljno 3 djelatnika, a usamo malom brojiteracija je potrebno 4djelatnika.
Primjer 2 - Nastavak Ako se pogleda histogram dolazaka klijenata u poštanskiured, vidljivo je da on slijedi trokutastu razdiobu koja jezadana na početku (broj klijenata koji dolazi je bio ulaznavarijabla)Vjerojatnost pojavljivanja (0-1)Broj klijenata koji ulaze
Primjer 2 - primjena Ovaj se primjer simulacije može koristiti za procjenubroja potrebnih djelatnika, šaltera, blagajni uprodavaonicama ili ugostiteljskim objektima i sl. Osim u tu svrhu, model se može koristiti za what-ifanalizu rezultata pod različitim uvjetima (promjenomučestalosti dolazaka klijenata, promjenom brojakupaca kojeg jedan djelatnik može uslužiti) ipraćenjem što se događa s rezultatom (brojempotrebnih djelatnika)
Zaključak Monte Carlo simulacije uključuju slučajne varijable, tj.rizik i neizvjesnost u pojavljivanju ulaznih vrijednosti,te su stoga pogodne za simuliranje realnih problema Modele za Monte Carlo simulacije moguće je izgraditikorištenjem nekih slučajnih razdioba (jednolike,normalne, trokutaste ili dr.) Rezultati Monte Carlo simulacija mogu se koristiti idobivanje očekivanih vrijednosti i za what-if analize
Literatura1. Čerić, V., i dr., Informacijska tehnologija u poslovanju,Element, Zagreb, 2004.2. Čerić, V., Varga, M., Birolla, H., Poslovno računalstvo, Znak,Zagreb, 1998.3. FrontLine Systems, Monte Carlo Simulation ion-tutorial,15.10.2013.4. Wikipedia, Monte Carlo simulacija,http://hr.wikipedia.org/wiki/Monte Carlo simulacija,17.11.2009.
Excel: Ako imamo 3 scenarija (označena brojevima 1,2,3), i pretpostavljamo da je jednaka vjerojatnost da će se dogoditi scenario 1,2, ili 3, tada bi funkciju koja dodjeljuje vrijednosti varijabli scenario, napisali ovako: PsiIntUniform(1;3) Tipkom F9 ponovno se dobije drugi slučajni broj iz intervala od 1 do 3. Histogram
