WIXLIB

tefan SMARANDACHECamelia DIACONULiliana DIACONUMATEMATICApentru clasa a Vl-aEXERCTTilPROBLEMETESTE SIGMA

I. NUMERE NATURATECdteva noliuni or. MultipluCriteriile de divizjbrlitate cu2,5, 10, 3.ProprietS{i ale relaliei de divizibilitate in N.g.10. l l.13Numere prime. Numere compuse.I4Descompunerea numerelor naturale in produs de puteri de numere prim. 15Divizori comrmi. c.m.m.d.c. al mai multornumere naturale. Numere prime intre ele . 16Multipli comuni. C.m.m.m.c. al mai multor numere naturale.1gTeste de verificare.19il. opERATil CU NUMERE RAT ONATE pOZtTtVECdteva noliuni teoretice.Numbr raJional pozitiv.Aducerea fracliilor la acelagi numitorAdunarea numerelor ralionale pozitive. Proprietd{i.Compararea gi ordonarea numerelor ralionale pozitiveScdderea numerelor ra{ionale pozittveInmul{irea numerelor ra{ionale pozitive. Proprietdli lmpd{irea numerelor ra{ionale pozitive.Ordinea efectuirii operaliilorPuterea unui numdr ralional ere ra{ionale scrise sub formd,2ecimale. .33Operafii cu numere rationale pozitive.34Ecuatii.36Inecualii.37Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecua{iilor.38Teste de verificare.391il. RAPOARTE gt PROPORTilCdteva noliuni teoretice.Raport. Raport procentualProporliiProcentePropor{ionalitate directdProporlionalitate inversdElemente de organizare a datelor qi probabilitdJiTeste deverificare.41.42.43.45.4g.55.5i

rv. NuMEREirurnrcr.59Cdteva noliuni teoreticeNumdr intreg. Reprezentarea pe axa numerelor. Opusul unui numdr intreg .60Valoarea absolutd a unui numdr intreg (modulul).60Compararea qi ordonarea numerelor intregi.Reprezentarea unui punct cu coordonate intregiintr-un sistem de axe ortogonale.Adunarea numerelor intregi. ProprietSliScdderea numerelor intregi .inmullirea numerelor intregi. Proprietdliimpdrfirea numerelor intregi .Divizibilitate inZ .Puterea cu exponent num6r natural a unui 2.Rezolvarea unor ecua{ii inRezolvarea unor inecua{iiTeste deverificareI. DREAPTA.78teoreticePunct. Dreaptd. Plan. Pozitiile relative ale unui punct fali de o dreaptd.79Puncte coliniare. 80Semidreaptd. Semiplan.81Pozi{iile relative a doud drepte.82Segment. Lungimea unui segment. Mijlocul unui segment.85Teste de verificareCdtevo noliuniII. UNGHIURICdteva noliuniteoretice.88Defini1ie, notalii, elemente, interior, exterior, unghiul,unghi cu laturile in prelungire.90.91.92.93Unghiuri suplementare. Unghiuri complementare. .95.98Unghiuri opuse la vdrf .99Unghiuri in jurul unui punct. 100Teste de verificarecongruente.;.Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghiMdsura unghiurilor. UnghiuriCalcule cu mdsuri de unghiuriilr. coNGRUENTA TRIUNGHIURItORCdteva noliuni teoreticeelemente.Perimetrul triunghiuluiConstruc{ia triunghiurilorTriunghiul: defini1ie,. 103. 105. 105.:. 107

Congruenja triunghiurilor oarecare.Criterii de congruenld a triunghiurilor oarecare.geometriccongruenteElemente de ra(ionamentMetoda triunghiurilorTeste deverificare. l0g. l0g. 110. 110. 113IV. PERPENDICUTARITATECdteva no[iuni teoretice . 116Drepte perpendiculare; oblice; distanla de la un punct la o dreaptd . llgcuzl;.ile de construc{ie qi criteriile de congruenfi a triunghiurilor dreptunghice .120Mediatoarea unui segment. Mediatoarele laturilor unui triunghi .121Bisectoarea unui unghi. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi .123Teste deverificare.125V. PARATETISMCdteva noliuni teoretice. l2gMetoda reducerii la absurd. 130Unghiuri formate de doud drepte cu o secantd. Drepte paralele . 130Criterii de paralelism. 131Unghiuri formate de doud drepte paralele cu o secantd. Axioma paralelelor .132Teste deverificarevr. pRopRtErAlr. 135err TRtuNGH uRtroRCdteva noliuni teoretice.Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghiUnghi exterior unui triunghi .inil1imea in triunghitriunghiului.Mediana in triunghiSimetria fa\d de o dreaptdProprietdlile triunghiului isoscelProprietdfile triunghiului echilateralProprietd{ile triunghiului dreptunghic.Teste de verificareAria. 139.143.144.145.146.147. 149. l4g. 152.154.155TESTE DE EVALUARETeste de evaluare (semestrulI).Modele de tezd, semestriald (semestrul D .Teste de evaluare (semestrulII).II).Modele de tezd semestriald (semestrulfinaleTesteTeste pentru pregdtireaolimpiadei. 160. 163. 165. te de evaluareTeste.1g6.189.2M.21g

TESTE INITIATEtTestul I1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de doud pitrate perfecte.2.Afla\i cel mai mare numdr natur al n pentru care suma a n multiplinenuli 9i diferili doi cAte doi, ai lui 136 este egal6 cu 1362.3. Aflali cAtul gi restul imp[rlirii numbrului 5n 8la n rntaral 1, undenestenum[r natural nenul.4. Num[ru] 2 este ridicat la cub sau este inmulJit cu 6, iar rezultatului oblinuti se aplicd acelagi procedeu. Este posibil sb ob{inerq dupd un numdr depagi, num6rul1728? Dar num6ru1 5184?Testul 21.AflalicAte numere putem forma cu ci&ele7,3, 5,7,9, dinbazazece,astfel inc6t fiecare numdr oblinut sd indeplineascd simultan conditriile:a) sd conlind cifrele I 9i 3;b) suma cifrelor sale sd fie cel pulin egal6 ctt 17;c) sd nu aib[ cifre egale.2, Aflalicel mai mic num6r naturaln*n, ;titnd cd n 2 este divizibil cu3 1,iar3 este divizibil cu 126.3.Dacd numerele naturale a, b, c, d veriftcd rela[iaa(I b) b(l a) : c(l 4 d(l c),atunci afita[i cd a -r b c deste numdr natural par.4. Scrieli numdrul 189' ca sum[ de trei pitrate perfecte, unde n este numdrnatural nenul.Testul 3nafurale nenule. tiind ce c 4d 5e: 4l qi41 a 82b 17 2c I96d 245 e : 2' 2009, ardtali cd q r 2b r 3c estepdtrat perfect.l.Fie a, b, c, d, e numere:{4, 7 5, 24, m), unde m e N. Ar[ta{i c[ exist[I p - 3 nu este pdtrat perfect.Ardtali cd nu existd r e lN, astfel ?ncdt n2014 - n20t3 :r 2015."2. F ie muJlimea Aastfel incAt num[ru] n3.n,p e A,

Teste4. Demonstrali cd numdrul//: 60t 662 663 . *este6128inilialedivizibil cu2s9.Testul 41. Aflali primele gi ultimele cinci cifre ale numdrului82004'5601s 370.2. Pe o tabll sunt scrise numerele 2,4,6,,8, ., 2012. Se gterg doub numeregi se inlocuiesc cu produsul lor. Se continud aceastd operafie pdnd cAndpe tabld rbmAn numai dou6 numere. Este posibil ca ultimele dou[ numerer6mase s5 fie pbtrate perfecte?3.Fie x,yn'smere naturale. Demonstreazdc6T dividenumai dacdT divide 2x y.x*4y dacd gi4. a) Calctlafi 13 23 33 43.b) Ar[tali ci existd numerele naturale nenule a, b, c, d astfel incdta3 b3 c3 * d::70200e.Testul 51. Afla{i r e [.lpentru care suma cifrelor numdrului 2n 1 'cu 53.5n-3 este egali2. Se considerd numdrul rV oUS ott oU, unde a gi b sunt cifre inbaza zece.a) Determinali restul implr{irii luiNla 6.b) Determinali valorile lui b pentru care restul impArtirii lui -A/ la ab esteegal cu7.3. Ardtali c5:a) numdrul 5' 3 este divizibil cu 4, oricare ar fi r e l\l;b) num6rul 2s" 3 *'75n 3 \lJeste pdtrat perfect, oricare ar4. Ardtati c[, oricumfi n eNl.am consideraT pdtrate perfecte, existd dou[ a cdrordiferenJb se divide cu 10.Testul 61. Fiemullimea A: {2"*''a) Ardtafi cd 2001 e A.b) Ardtati cd Ant con{ine5" 1 netN}.niciun pdtrat perfect.

Enunlari2. Ardtati c[ numerele de forma 2n 3 . 3n 2 . 5n t30n * l, oricare ar fi n e [.]*.-360 sunt divizibile cu3. Se considerb mullimilel : {av a, ar} i B : {bt, b2, br}. Dac6 A : Bqi a, a, a, e ll.l, atunci ardta[icd (ar* br)(ar br)(ar br) este numdrpaL4.Aflaliultimele trei cifre ale numbrului n : 7t 72 73 . 72008.Tesful 7l.Ardtali cd numbrului 10" 2010 - 10, nu este pbtrat perfect, oricare arfineJN.2.Dac6,a,b,c,del .1qia b ca b b c d anumerele , . ,c d d a b c3.*destenumdrimpar, afunci ardta\icdnupotfisimultanegale.Num6rul nafural r nu este pdtrat perfecteste P. Afla{i x qtiind c6, P: 56 ' x.giprodusul divizorilor sdi naturali4. Fie S(n) suma numerelor naturale care sunt cel pulin egale cu 3, gi strictmai mici de 3n * 1, n frind numdr nafural nenul. Ardta\i c6:a) E(n): S(n) 3' este pdtrat perfect;b) E(0) E( 1 ) E(2) . E(2012) este divizibil cu 364.Testul 81. Determina{i numerele naturale, pare, nenule, n pentru care n3 * ndivide cu2n - I.2. Ardtati c[*5 sesuma a n numere naturale, impare, consecutive, mai mari sauegale cu n2 * nI este egald cu n3.*3. Ardtati cdexistdx,y.e N*,4. Fie n e[N* astfel incdt n, 3nx y*z*x,astfelincet 1*1*1:1.* l, 3n I qi 6n -Aratali c5:a) 7n 2 este divizlbil cu 5;b) n 4 nu este pdtrat perfect.x y z132'nu sunt divizibile cu 5.

l. Numere nqturqlell. Operolii cu numere rolionole pozitivelll.Ropoorte 9i proporliilV. Numere intregi

I. NUMERE NATURATECdtevo nofiuni teoretice. DivizibilituteVom spune cd num5rul natural ,,a" este divizibil cu numdrul natural ,,b,,, daedexistd un numlr natural ,,c" astfelincdt: a: b . c.Toate numerele naturale ,,la care" se ?r4parte exact ,,a" se numesc divizoriai numdrului a. Vom nota cu D mulJimea divizorilor lui a.Exemplu:Drr: {1.2.3. 4.6. l2l.Toate numerele naturale ,,eare" se impart exact la ,,a,, se numesc muttipliiai numirului a. Vom nota cu M,mullimea multiplilor lui'a.Multiplii unui num[r natural a se obfin dupd regula a ' k, cu k numdr natural.Exemplu: M.: 10" 6. 12. 18. 24. .\.Obserttalie: Dacd, n ar4 .ezb' .or4 ., atunci numbrul divizorilor numdrului nesteegal cu : (6,. 1). (br 1) . (63 l) . .CeI mai mare divizor coman (c. m. m. d. c.)- se descompun numerele in factori primi;- se inmul{esc factorii comuni la puterea cea mai micd.obserttalii: -Dacd c. m. m. d. c. a doud numere naturale a qi b este 1, atuncivom spune cd a qi b sunt numere prime intre ele qi vom nola: (a; b) : I- Pentru a aduce o frac{ie la forma ei ireductibilr, se poate simplifica princ. m. m. d. c. dintre numdrdtor qi numitor. Cel mai mic multipla comun lc. m. m. m. c.l- se descompun numerele in factori primi;- se inmul{esc factorii comuni qi necomuni la puterea cea mai mare.observalie: Pentru a aduce la acelaqi numitor doud sau mai multe frac{ii, sepoate calcula c. m. m. m. c. al tuturor numitorilor frac{iilor respective. Legdtura dintre c. m. m. d. c. c. m. m. m. c. u doud numere nstaruleSi(a; b)'[a; bl: a' b. Proprietdli ule divizihilitdfii-ala- dacd q b,atuncialb.c- dacd a bgiblc,atuncialc- dacd a b Si a I c, atunc,i a (b X c).observalie: folosind ultima proprietate, putem deduce divizibilitatea unui numrrcu: 6, 12, 15, 18, .Exemplu: Cum 6cu: 2 . 3 qi (2; 3) :1,vom putea spune cd un numdr este divizibil6 dacd este divizibil qi cu 2 gi cu 3.

EnunlariProbleme propuseMulf meo numerelor nqlurqleB, C, D de coordonate 2,3,6 qi respectiv 9, folosind ca unitate de mdsurd 1 cm. Aflali lungimilesegmentelor OA, OC, AB, BC, BD, OC CD, AD * AC, unde O esteI . Reprezentati pe axa numerelor punctele A,originea axei.Z.Pe axa numerelor cu originea O considerdm punctele A(4), B(Il),C(x). Afla\i x gtiind c[:a) C este situat intre O qi A;i .r este impar;b) C este situat intre A qi B qi x este par.3. a) Ordonali crescitor numerele:2lI2; 22ll; 2l2l;1221.b) Ordonali descrescdtor numerele: 1532; l35I; 1325; 1253.4. Efectuafi:a) 16 3'(12-3'z);b)2s-2'(tB - s':);c)a'16 5'(17 -30:2)l:d) [9 45:e) 11' {3 2' [18 - 15' (9 - t6 : 2)]);0 {6 36 : 14 2' (13 - 6'2)l) : 6 * 1.5. tiind c6:a)x'y:16 gix'z:18,(14- 15 :3)].8;calculali x'Q,, z);b) ,' (y - z) : 36, calclulati 2xy - 2xz;c) x' y * x' z : 42 ;i y z : 7, calcula\i x;d) 3xy - 3xz :48 ;i x :2, calculali y - ,;e) x y:9 gi y z: 10, calculali 3x 5y 22.6. Calculali:a)32 23 - 170;b) 52 2s -2.5;c) 3' - 2'32 22'3 - 23;d) 3u : 33 22 .2 (5t)o; e) l2o'23 (3s)21: (2s'22 3t2 : 32);0 (5'' 252 - 26 : 42 494) : (58 : 5 * 22 73' 75);g) (20'32)8 : (22.3;ts - 211 . 2e.7. Ardtfii cd numdrul:x: 2t 21 22 23 . 2ee este pitrat perfect;y:3t 32 33 . 330 nu este pdtrat perfect.

TESTE INITIATE t Testul I 1. Scriefi numdrul 13673 ca sumd de doud pitrate perfecte. 2 .Afla\i cel mai mare numdr natur al n pentru care suma a n multipli rntaral nenuli 9i diferili doi cAte doi, ai lui 136 este egal6 cu 1362. 3. Aflali cAtul gi restul imp[rlirii numbrului 5n 8la n 1, unde n este num[r natural nenul. 4. Num[