WIXLIB

NIVEL SECUNDARIO PARA ADULTOSMÓDULO DE EDUCACIÓN SEMIPRESENCIALMatemáticaIniciación al Álgebra1

GOBERNADOR DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRESING. FELIPE SOLÁDIRECTORA GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓNDRA. ADRIANA PUIGGRÓSSUBSECRETARIO DE EDUCACIÓNING. EDUARDO DILLONDIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOS Y FORMACIÓN PROFESIONALLIC. GERARDO BACALINISUBDIRECTORA DE EDUCACIÓN DE ADULTOSPROF. MARTA ESTER FIERROSUBDIRECTOR DE FORMACIÓN PROFESIONALEDGARDO BARCELÓ2

El presente material fue elaborado por los Equipos Técnicos de la Dirección deEducación de Adultos y Formación Profesional de laDirección General de Cultura y Educación de la Provincia de BuenosAires.El Ministerio de Trabajo, Empleo y Seguridad Social brindó apoyo financieropara la elaboración de este material en el marco del Convenio Más y MejorTrabajo celebrado con el Gobierno de la Provincia de Buenos Aires.Dirección de Educación de Adultos y Formación Profesional de laProvincia de Buenos AiresEQUIPO DE PRODUCCIÓN PEDAGÓGICACOORDINACIÓN GENERALGerardo BacaliniCOORDINACIÓN DEL PROYECTOMarta Ester FierroCOORDINACIÓN DE PRODUCCIÓN DE MATERIALES:Beatriz AlenAUTORMaría Guillermina MeanaPROCESAMIENTO DIDÁCTICOAlicia SantanaASISTENCIA DE PRODUCCIÓNFlorencia SgandurraCORRECCIÓN DE ESTILOCarmen GargiuloGESTIÓNClaudia SchadleinMarta ManeseCecilia ChavezMaría Teresa LozadaJuan Carlos ManoukianSe agradece la colaboración de los docentes y directivos de los Centros Educativos de NivelSecundario de la provincia de Buenos Aires que revisaron y realizaron aportes a las versionespreliminares de los materiales.3

IndiceIntroducciónObjetivosEsquema de contenidosUnidad 1: Lenguajes matemáticosIntroducciónAmpliación del campo numéricoLenguaje algebraicoOperaciones con expresiones algebraicasSuma y restaMultiplicaciónLas expresiones algebraicas como herramienta para resolver problemasEcuacionesResolución de ecuacionesOtros usos de las expresiones algebraicasLas expresiones algebraicas como herramienta para demostrarpropiedades matemáticas.Las expresiones algebraicas como herramienta para hacergeneralizacionesInecuacionesResolución de inecuacionesUnidad 2: Sistemas de ecuacionesSistemas de ecuaciones linealesMétodos analíticos de resolución de sistemas de ecuacionesClasificación de los sistemas de ecuacionesSistemas con más de dos ecuacionesUnidad 3: PolinomiosOperaciones con polinomiosFunciones polinómicasFunciones polinómicas de segundo grado: funciones cuadráticasFunciones polinómicas de grado mayor que 2Clave de correcciónAutoevaluaciónClaves de corrección de la autoevaluaciónBibliografía4

:::. IntroducciónEl lenguaje matemático constituye una de las formas de comunicación,expresión y comprensión más poderosas que ha inventado el hombre. Ellenguaje matemático comprende: el lenguaje coloquial, el aritmético, elgeométrico y el algebraico o simbólico. Usted ya ha trabajado con algunos deestos lenguajes en algunos módulos anteriores y en la vida cotidiana. En éstele proponemos profundizar el trabajo con lenguaje algebraico, lo que lepermitirá abordar la resolución de una serie de problemas para los cuales losotros lenguajes resultan insuficientes o de difícil aplicación.Para ello le proponemos una serie de problemas para que usted resuelvaprimero con los conocimientos que ya tiene y luego nosotros le formularemosotras formas de resolución que irán ampliando sus posibilidades y le brindaránnuevas herramientas de trabajo. También le planteamos una serie deactividades para que tenga ocasión de aplicar estas nuevas estrategias a otrassituaciones.No olvide que se aprende matemática resolviendo problemas. Resolverproblemas es una actividad que en un comienzo puede no ser sencilla, requiereesfuerzo y perseverancia. No se desaliente si en algunos casos le resultandifíciles. A medida que vaya avanzando irá ganando experiencia y confianza.:::.ObjetivosEsperamos que una vez que haya realizado la experiencia propuesta en estemódulo usted logre: Identificar aquellas situaciones donde el álgebra aparece como unaherramienta más potente que la aritmética. Demostrar propiedades matemáticas utilizando el lenguaje algebraico. Utilizar el álgebra para realizar generalizaciones. Resolver problemas mediante el planteo y resolución de ecuaciones ysistemas de ecuaciones. Relacionar los conceptos de función y polinomio. Resolver algebraicamente problemas que respondan a un modelo defunciones lineales y cuadráticas.5

:::. Esquemade contenidosLenguajes matemáticosLenguaje aritméticoAmpliación del camponuméricoLenguaje oneslinealesDe primer De grado 2Operacionesgradoo superiorNúmeros RealesFuncionesPolinómicasSistemas deecuacionesLinealesFactorizacióndepolinomios6

Unidad 1: Lenguajes matemáticos:::. IntroducciónAsí como en nuestra vida cotidiana utilizamos distintos medios paracomunicarnos: el lenguaje hablado y escrito, en sus diferentes idiomas, ellenguaje simbólico y el lenguaje de los códigos, también en matemática seutilizan distintos lenguajes.Acerca de los distintos lenguajes matemáticos, su importancia y sus diferentesusos usted puede encontrar información en el Libro 5. También se trabajó conlenguaje simbólico en los Libros 3 y 4. Si usted no tiene estos libros puedesolicitárselos a su tutor. En el Módulo 1 hemos utilizado el lenguaje gráfico ysimbólico para trabajar con funciones. En este módulo profundizaremos eltrabajo con lenguaje simbólico o algebraico. Veremos cómo el lenguajealgebraico es una herramienta útil para resolver problemas y cómo puedeutilizarse para demostrar propiedades matemáticas y hacer generalizaciones.Recordemos algunos de los lenguajes utilizados en matemática:El lenguaje coloquial, formado por las palabras que utilizamos para conversar.Por ejemplo:“ El triple de un número es igual a diez”“ L a edad de Juan supera en dos años a la de Pablo”” El costo de vida ha aumentado un 2%”El lenguaje simbólico o algebraico, formado por los símbolos específicos dela matemática. Las expresiones anteriores traducidas al lenguaje simbólicoserían:” 3 n 10”“ J P 2”“ C c 0,02 c“El lenguaje gráfico, utilizado para brindar mucha información en poco espacio.Por ejemplo:“gráficos circulares”“gráficos de barras””representaciones en ejes cartesianos”:::. Ampliación del campo numéricoAntes de comenzar a trabajar con diferentes lenguajes matemáticos haremosuna breve revisión de los diferentes conjuntos numéricos.En los libros y módulos anteriores usted ya trabajó con distintos tipos denúmeros y estudió sus propiedades. En este módulo trabajaremos con7

diferentes conjuntos numéricos, realizando operaciones y utilizando suspropiedades.Si lo considera necesario puede consultar el Libro 3 de EGB, página 33 ysubsiguientes. Si no lo tiene puede solicitárselo a su tutor. Allí encontrará másejemplos y un detalle de las propiedades de cada conjunto numérico.Veamos ahora, a modo de revisión, cuáles son esos conjuntos numéricos ycuáles sus usos más frecuentes.Los primeros números con los que usted ha trabajado son los que se utilizanpara contar:1, 2, 3, 4, .Se los llama números naturales o enteros positivos. Al conjunto de talesnúmeros se lo designa con la letra N.ACTIVIDAD 1¿En qué situaciones de la vida cotidiana utiliza usted los números naturales?Escriba algunos ejemplos.¿Qué operaciones puede realizar con números naturales de forma tal que elresultado sea siempre un número natural? Anote algunos ejemplos.¿Qué operaciones con números naturales no siempre dan un número natural?Escriba algunos ejemplos.Encontrará otros ejemplos en las claves de corrección que figuran al final delmódulo.Vemos que ciertas operaciones entre números naturales no siempre dan comoresultado otro número natural. Por ejemplo si restamos 5 – 8 el resultado no esun número natural. Es necesario entonces recurrir a otro conjunto más amplio,el de los números negativos.Los números –1, -2, -3, -4, ., se llaman enteros negativos. El número 0 no espositivo ni negativo. Los enteros positivos, los enteros negativos y el ceroforman el conjunto de los números enteros; a este conjunto se lo designa conla letra Z (del alemán Zahl, que significa número).8

ACTIVIDAD 2a. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana utiliza usted los números negativos?Escriba algunos ejemplos.b. ¿Qué operaciones puede realizar con números enteros de forma tal que elresultado sea siempre un número entero? Anote algunos ejemplos.c. ¿Qué operaciones con números enteros no siempre dan un número entero?No olvide tener en cuenta la potenciación y radicación.Escriba algunos ejemplos.Encontrará otros ejemplos en las claves de corrección que figuran al final delmódulo.Vemos que también hay operaciones entre números enteros que no siempredan un número entero. Por ejemplo si dividimos 1 : 2 el resultado no es unnúmero entero. Es necesario entonces recurrir a otro conjunto más amplio aún,el de los números racionales.En este conjunto se encuentran todos aquellos números que puedenexpresarse como una fracción, es decir como un cociente entre númerosm, donde m y n son enteros, y n es distinto de cero. Al conjunto deenterosntales números se lo designa con la letra Q (del inglés Quotient, que significacociente). Dentro del conjunto de los números racionales se encuentrantambién los números enteros pues pueden escribirse como una fracción dedenominador 1. Sin embargo, por una cuestión de comodidad, el denominador1 no se escribe.Algunos ejemplos de números racionales son:113 61; ;; 2; - 3; 0 ; 5/4; 3/829 137Los números racionales pueden expresarse también como decimales.¿Recuerda usted cómo encontrar la expresión decimal de una fracción?Una forma es realizar la división entre numerador y denominador de la fracción.ACTIVIDAD 3Escriba las expresiones decimales de los ejemplos anteriores.9

Habrá notado que algunas de las expresiones decimales anteriores tienen unacantidad finita de cifras decimales y otras, en cambio, tienen una cantidadinfinita de cifras decimales pero que en algún momento comienzan a repetirsesiguiendo un orden. A estos últimos los llamamos números periódicos.ACTIVIDAD 4a. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana utiliza los números racionales queno son enteros? Escriba algunos ejemplos.b. ¿Qué operaciones puede realizar con números racionales de forma tal que elresultado sea siempre un número racional? Anote algunos ejemplos.c. ¿Qué operaciones con números racionales no siempre dan un númeroracional? Escriba algunos ejemplos.Encontrará otros ejemplos en las claves de corrección que figuran al final delmódulo.Existen otros números que no pueden expresarse como fracción. Son aquellosque tienen infinitas cifras decimales que no se repiten en ningún orden.Estos números forman parte del conjunto de los números irracionales.Algunos ejemplos de números irracionales son el número 2 1,414213562. oel número π 3,141592654 . y otros que podemos inventar como 0,12233 ó0,24681012 .Cree usted algún otro. Escríbalo y consulte luego con su tutor.ACTIVIDAD 5Escriba algunas situaciones en las que se usen los números irracionales.Los números racionales y los números irracionales forman un nuevo conjunto,llamado conjunto de los números reales, y al que se designa con la letra R.Podemos resumir la información anterior en el siguiente cuadro:10