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Capítulo 12: Estabilidad en eldominio de la frecuenciacarlos.platero@upm.es (C-305)

Estabilidad relativaEstabilidad Absoluta: FDT del conjunto total. Tabla de Routh.Relativa: Mide la estabilidad. Válida para estructuras derealimentación.Criterio de Nyquist Este criterio indica el número de polos de la cadena cerrada enel dominio complejo positivo de una estructura derealimentación negativa. Emplea como dato de partida larespuesta en frecuencia de la cadena abierta.Su fundamento está basado en el principio del argumento de lateoría de la variable compleja. -G s H s

Criterio de Nyquist (1/4)F s 1 G s H s 1 F s N 1 s N s D 1 s D 2 s D 1 s D 2 s N 1 s N22 -G s H s s D 1 s D 2 s Los polos de F(s) coincidirán con los polos de la cadena abierta. Los ceros deF(s), sin determinar, serán las raíces del polinomio característico o tambiéndenominados los polos de la cadena cerrada. Estos últimos son los que definenla estabilidad del sistema.Tómese una curva cerrada (s) sobre el dominio complejo y que abarque atodo el dominio complejo positivo.El principio del argumento establece que el número de ceros de F(s), polos delsistema realimentado, contenidos dentro de la curva cerrada (s) vendrá dadopor:Z N P

Criterio de Nyquist (2/4)F s D 1 s D 2 s N 1 s ND 1 s D 2 s Z N P 2 s -G s H s donde Z es el número de ceros de F(s) en el dominiocomplejo positivo, N es el número de vueltas que recorrela imagen de la curva, *(s) F( (s)), al desplazar F(s) por lacurva (s) y P es el número de polos de F(s) encerradospor la curva (s). Obviamente, para que el sistema seaestable Z debe ser cero.

Criterio de Nyquist (3/4)Los pasos a seguir para aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist serán:1.Determinar el camino de Nyquist (s) a partir de la información de lacadena abierta.ImagImagImagj j Re j j Re j ReRealReal j 2.j Real j j Obtener la imagen de la curva, *(s) F( (s)), al desplazar F(s) por elcamino de Nyquist, (s), en un cierto sentido. Por ejemplo, en sentidohorario, SMR. Pero podría haberse elegido en sentido contrario, SCMR. -G s Diagrama deNyquist86420-2H s -4-6-8-2024Ejereal681012

Criterio de Nyquist (4/4)1.Determinar el camino de Nyquist (s)2.Obtener la imagen de la curva, *(s) F( (s)), al desplazar F(s) por el camino de Nyquist, (s),en un cierto sentido. Por ejemplo, en sentido horario, SMR.4.Contabilizar el número de vueltas, N, que la imagen *(s)da alrededor del origen, siguiendo el sentido de lasmanecillas del reloj.El número de polos inestables de la cadena cerrada seráZ N P.Curva polar3 -G s 21Eje imaginario3.H s 0-1-2-3-2-1012Eje real345

La imagen de la curva y la curva polar Para conseguir fácilmente la curva-imagen en vez deemplear la función 1 G(s)H(s), se utilizará G(s)H(s).La contabilidad del número de vueltas de la curva imagenno será el origen, 0 j0, se habrá desplazado hacia –1 j0.Imag *(s) por G(s)H(s)-1 j0Real *(s) por 1 G(s)H(s)

Ejemplo 12.1Dado el equipo modelado por la figura adjunta, se pide si parak 1, el sistema es estable o no mediante el criterio de Nyquist.En segundo lugar, se desea saber que valor de k hace que elsistema sea críticamente estable. Empléese la tabla de Routh, elLDR y la curva polar.

Ejemplo 12.1G H 3 1 j 2 j 3 j 0 .5 1 1 1 j 1 j 1 j 2 3 Im agj IRexx x-3-2-1II j j IIIR eal

Ejemplo 12.1 ¿Con qué K dejara de ser estable?Mediante el LDR y la tabla de Routh M s 3k s 3 s 1 s 2 s 3 3 k60k cr 3k s 3 s3 6s2 11 s 6 3 k 203Diagrama de Nyquist864Con Nyquist G H 23K 1 j 2 j 3 j 3k j 3 6 2 11 j 6 3K j 3 6 j 2 11 j 60 -23k 61 2 11 j -4 j 3-6-8 011 3 0 11 2 G f H f61 0 f 11 rad s k cr 6 1 1133 k cr 6032 1 20-2024Eje real681012

Ejemplo 12.2¿ Hay algún valor de k 0 que haga al amplificadorrealimentado de la figura que sea inestable ? . Utilicetécnicas del LDR y el criterio de Nyquist.

Ejemplo 12.2LDR Nyquistj ImagIII e j x-1 IIIIIRe j Real lim G e 0j H ej lim1 0IV ej ej 1 j Diagrama Nyquist2015105Imaginario -0.10 lim 01 ej

Ejemplo 12.31.2.3.4.Determinar la respuesta en frecuencia de la ganancia detensión del cuadripolo LC.Dibujar el diagrama de Bode y la curva polar del apartadoanterior.Si se realimenta unitariamente el cuadripolo LC según lafigura. Dibujar el lugar de raíces.Para k 3, analizar la estabilidad según el criterio deNyquist. ¿ Cual sería la respuesta ante una entrada enescalón? ¿ Cuanto vale d ?.

Ejemplo 12.31.2.Determinar la respuesta en frecuencia de la ganancia detensión del cuadripolo LC.Dibujar el diagrama de Bode y la curva polar del apartadoanterior.AV j 1 j 2LC 1

Ejemplo 12.33.Si se realimenta unitariamente el cuadripolo LC según lafigura. Dibujar el lugar de raíces.

Ejemplo 12.34.Para k 3, analizar la estabilidad según el criterio de Nyquist.¿ Cual sería la respuesta ante una entrada en escalón?¿Cuanto vale d ?.j j IIIII eV j s LC 1 k2k 3 d 20 . 000 rad / s j 1.5V IIVIj kIVReIdM s R eal 1 j d ej 0.5000.511.5-3x 10

Criterio de Nyquist en sistemas de fase mínimaCurva polarCurva polar1.53120.51Eje imaginario Z NSólo bastará con seguir en SMR la curva polar y observar si elpunto –1 j0 queda al lado izquierdo o no. En el caso de quequedase el punto –1 j0 a la izquierda de la curva, el sistemarealimentado es estableEje imaginario 00-0.5-1-1-2-1.5-1.5-1-0.50Eje real0.51-3-2-1012Eje real345

Estabilidad relativa de sistemas de fase mínima (1/3) La forma de cuantificar la estabilidad relativa está en lasmedidas de distancia o separación entre la curva deNyquist y el punto –1 j0.Se emplean dos medidas: margen de fase y margen deganancia.Estas medidas utilizan las frecuencia de cruce de gananciay fase:G g H g 1 0 dB 180 arg G g H garg G kg f H f1G f H f 180

Estabilidad relativa de sistemas de fase mínima(2/3)G g H g 1 0 dB 180 arg G g H garg G fkg H f 180 1G f H f

Estabilidad relativa de sistemas de fase mínima (3/3) Los diagramas de Bode son ideales para obtener el margen defase y de ganancia de sistemas de fase mínima.G g H g 1 0 dB 180 arg G g H garg G kg f H f1G f H f 180

Ejemplo 12.4Las fuentes conmutadas son equipos de la Electrónica de Potencia que sealimentan de corriente continua a un determinado nivel de tensión y entregan a lacarga también corriente continua con otro nivel de tensión (cc/cc). El esquemaque se presenta en la figura muestra un reductor, ya que la tensión de entrada, V1,es mayor que la salida. En este caso la entrada es a 20V y la salida es a 5V. Elcontrol sobre este sistema depende del ciclo de trabajo del interruptor, al que sele denomina d (duty cycle). Este valor es la relación entre el tiempo de encendidodel interruptor y el periodo de trabajo de la fuente conmutada. La regulación delsistema se hace a través de la modulación por ancho del pulso (Pulse WidthModulation, PWM), que ataca al interruptor, garantizando que la tensión en la cargasea siempre constante. Aunque el sistema es altamente no lineal, se ha linealizadoy se ha determinado su FDT a partir de la potencia nominal que se entrega a lacarga, en este caso 50W: G P s u s s d s V1 1 L1 1 R1 C 1 RC R1 C 1 s R1 s 1 RC 2 L1 C 1 s 20 1 113 1 3 . 75. 8 10 6 10 6s s 3 . 16 10PW M 9s2u s(d esead a)k -L155uHusu s (s )d (s )(d esead a)12V1 kPW MG P (s )20VD1R175m O hmusRcC150uF

Ejemplo 12.4 1.2.3.Se pide:Obtener la ganancia estática, k, de manera que se cumpla laespecificación del 5V 1% de variación en la tensión de salida.Representar el diagrama de Bode de la cadena abierta con laganancia estática del compensador, kGP(j ).Calcular la frecuencia de cruce de ganancia y el margen defase. 1 3 .7 5 1 0 s u s 20 s d s 1 1 1 3 .8 1 0 s 3 .1 6 1 0 s 6GP s 6 9PW M2u s(d esead a)k-usu s (s )d (s )(d esead a)L155uH1 2V1kPW MG P (s )20VD1R175m O hmusRc-C150uF

Ejemplo 12.4Obtener la ganancia estática, k, de manera que se cumpla laespecificación del 5V 1% de variación en la tensión de salida.1.GP s eP 11 kP2.us s d s 1 3 .7 5 1 0 20 1 1 1 3 .8 1 0 6 6s usu s (s )d (s )(d esead a) s 3 .1 6 1 0 9s2 kPW MG P (s )- 0 . 01 kp 100kp lim k GP s k V 1 k 5s 0Representar el diagrama de Bode de la cadena abierta con laganancia estática del compensador, kGP(j ).266.666 [rad/s] y por un polo de segundoorden, cuya frecuencia natural, n,p ,es de17.789 [rad/s] y un factor deamortiguamiento, , de alrededor de 1.

Ejemplo 12.43.GP s Calcular la frecuencia de cruce y el margen de fase.us s d s 20 1 3 .7 5 1 0 1 1 1 3 .8 1 0 6 6s usu s (s )d (s )(d esead a) s 3 .1 6 1 0 9s2PW Mk G P (s )-1 5 20 1 3 . 161 3 . 75 10 10 9 2g 2 6 g 2 113 . 8 10 6 g 9 . 985 102 18 4g 1 . 4695 10 7 2g 9999 0la frecuencia de cruce es de 199.620[rad/s] 180 arg kGP j 180g arctg 3 . 75 10 6 g 113 . 8 10 arctg 1 3 . 16 10 6 9 g2g 47 . 12 º

Problema 3Para la colonización de la luna, la Agencia Europea del Espacio (ESA), trabaja en lateleoperación de robots. Suponiendo que el tiempo de retraso en la transmisiónde una señal de comunicación, entre la Tierra y la Luna, es de 1.28 seg. Se pide:1. Diagrama de Bode y curva polar de la cadena abierta para un valor de k iguala 1.2.2. Determinar la ganancia k de forma que el sistema tenga un margen de fase deaproximadamente de 50º.

Problema 31.Diagrama de Bode y curva polar de la cadena abierta para un valor de ka 1.2.G s H s 1 .2 e 2 . 56 s1s 1

Problema 3Determinar la ganancia k de forma que el sistema tenga un margen defase de aproximadamente de 50º.2.Bode Diagram20Magnitude (dB)-2System: g1Gain Margin (dB): 1.14At frequency (rad/sec): 0.934Closed Loop Stable? Yes-4System: g1Gain Margin (dB): 8.89At frequency (rad/sec): 3.19Closed Loop Stable? Yes-6-8-10-120-90Phase (deg)-180System: g1Phase Margin (deg): 49.1Delay Margin (sec): 1.29At frequency (rad/sec): 0.663Closed Loop Stable? Yes-270-360-450-540-630-720-210-101010Frequency (rad/sec) 50 180 arctg 2 Tgd g 180 k1 0 . 63 g 2T d g 1 k 1 . 182 130 º180 º g 0 . 63 rad / s

Problema 4 Se desea analizar el sistema de control de espesor de un tren de laminación. La acciónde control se realiza por medio de la regulación de la fuerza que ejercen los rodillossobre la plancha de acero saliente, de forma que la acción de control regule el espesordel acero. Para poder realimentar el espesor logrado se dispone de un sensor laser queaguas abajo obtiene una señal proporcional al grosor. El valor medido es necesariofiltrarlo para eliminar la componente de alta frecuencia debido a las imperfeccionessuperficiales de la lámina saliente. Finalmente, la señal obtenida se compara con unareferencia y el error se utiliza para actuar según una acción proporcional (K 0.25) sobreel tren de laminado. En las figuras siguientes se muestran el esquema del sistema y eldiagrama de bloques correspondiente.Puesto que el sensor está situado a cierta distancia d respecto de la salida del tren delaminación, existe un retardo debido al transporte que dependerá de la distancia, puestoque la velocidad de salida de la plancha se considerará constante e igual a 1 metro porsegundo en las condiciones nominales.

Problema 4Se pide:1.- Calcular los errores de posición, velocidad y aceleración del sistema.2.- Pintar la respuesta en frecuencia del sistema en cadena abierta considerando la distanciade medida nula y por tanto que no hay retardo en la medida. Trazar el diagrama de bodeasintótico y el diagrama polar.3.- Obtener el Margen de fase y el Margen de ganancia para las condiciones anteriores.Demostrar que la frecuencia de cruce de ganancia es de 0.035 Hz y que la frecuencia decruce de fase es de 0.16 Hz.4.- Para evitar oscilaciones excesivas se quiere asegurar que el margen de fase no superelos 50º. ¿Cuál es la distancia máxima admisible a la que puede situarse el sensor?. ¿A quédistancia se vuelve inestable el sistema?.