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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMADE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍACUADERNO DE EJERCICIOSDECÁLCULODI F E R E N C I A LARNULFO ANDRADE DELGADOSERGIO CARLOS CRAIL CORZASDIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASCOORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
Con todo mi amor para mis nietos:Rebeca, Santiago, Bernardo,SebastiányJosé MaríaArnulfo
P R Ó L O G OLa presente obra, pretende ser un elemento de apoyo de estudio para losestudiantes que cursan la asignatura Cálculo Diferencial en la Facultad de Ingeniería dela UNAM, o bien, un recurso didáctico para los profesores que imparten dichaasignatura. Consta de cinco capítulos, en cada uno de ellos se presentan tanto ejerciciosresueltos como ejercicios propuestos, todos ellos versan sobre temas que correspondenal título del capítulo en el que están incluidos, se intentó que el orden en el que estándispuestos los ejercicios en cada capítulo, fuera el mismo en el que aparecen loscontenidos correspondientes en el programa de la asignatura. El diseño de los ejerciciostiene la pretensión de mostrar el manejo y la aplicación de los conceptos que secontemplan en dicho programa.La idea y la realización de este cuaderno de ejercicios fueron fundamentalmentedel distinguido maestro Ing. Arnulfo Andrade Delgado.Esperamos que el contenido del presente cuaderno sea de utilidad, tanto paraalumnos como para profesores de esta Facultad, y solicitamos atentamente que susobservaciones que tengan a bien hacer de este trabajo, nos las hagan llegar alDepartamento de Cálculo Diferencial, pues serán bienvenidas con la idea de mejorarlopara posteriores impresiones.Hemos de agradecer la valiosa colaboración que la Ing. Alejandra VargasEspinoza de los Monteros tuvo en sus revisiones y sugerencias para este trabajo,también a la Ing. Elba Karén Sáenz García por su entusiasta participación y por susatinadas observaciones. Agradecemos la colaboración de la secretaria de laCoordinación de Matemáticas, María Guadalupe Martínez Dávalos, por la captura quehizo de este trabajo. En esta segunda edición agradecemos la colaboración en larevisión del material a la M.I. Mayverena Jurado Pineda.Agradecemos a las autoridades universitarias su apoyo para la realización deeste tipo de obras, pues ello favorece y enriquece la vida académica de esta institución.Arnulfo Andrade DelgadoSergio Carlos Crail Corzas
Í N D I C EPáginaPRÓLOGOFUNCIONESEjercicios resueltos . 1E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63LÍMITES Y CONTINUIDADE j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105LA DERIVADAE j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157VARIACIÓN DE FUNCIONESE j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223SUCESIONES Y SERIESE j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
FUNCIONESEJERCICIOSRESUELTOS
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.1Dada la relación:R { ( x , y ) x IR , y x}obtener su gráficaSOLUCIÓN:Si en forma auxiliar se considera la recta de ecuacióny xSe deduce que la gráfica de la relación está constituida por todos los puntos delplano cartesiano cuya ordenada " y " es mayor que su abscisa, la rectamencionada no forma parte de la gráfica.I.2Sea la relación:{2R ( x , y ) x IR , x yTrazar su gráfica32 4}
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SSOLUCIÓN:La ecuación x22 y 4 representa una circunferencia de centro en el origeny radio r 2 . La gráfica de la relación esta constituida por todos los puntosdel círculo cuyo centro es C ( 0 , 0 ) y radio r 2I.3Trazar la gráfica de la siguiente relación{R ( x , y ) x IR , y x2}SOLUCIÓN:La ecuación y x2representa una parábola con vértice en el origen y queabre su concavidad hacia arriba. La gráfica de la relación está formada portodos los puntos de coordenadas ( x , y ) que satisfacen la desigualdad2y x esto es, la región comprendida entre la concavidad de la parábola yella misma.4
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.4Dada la relación:x R ( x , y ) x ℜ, y 4 x 2 , y 1 2 Trazar su gráficaSOLUCIÓN:2La ecuación y 4 x corresponde a una parábola de vértice V ( 0 , 4 )que abre su concavidad hacia abajo. La ecuación auxiliarrepresenta una recta de pendiente m 12y x 12y ordenada en el origen b 1 .La gráfica de la relación es la región comprendida entre la parábola y la rectamencionadas incluyendo el arco correspondiente de la parábola y sin incluir elsegmento de recta entre los puntos A y B .5
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.5Escribir en el paréntesis una " V " si la proposición es correcta o una " F " sies falsa:a) Una función puede ser una relación multiforme()b) Una función puede ser una relación biunívoca()c) Una relación puede ser una relación uniforme()d) Una función puede ser una relación unívoca()e) Una relación siempre es una función()f) Una función siempre es una relación()g) Una función es un subconjunto de una relación binaria()h) Una relación binaria es un subconjunto de una función()SOLUCIÓN:a) ( F )b) ( V )c) ( V )d) ( V )e) ( F )f) ( V )g) ( V )h) ( F )6
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.6Escribir en el paréntesis el número que corresponde a una aseveracióncorrecta:a)Una función puede expresarse por()b)En una función real de variable real()c)Si y f ( x ) el dominio de la función es()d)Si a b , el conjunto de números " x " tales que a x b es()e)Una relación siempre es una función()f)Una función siempre es una relación()1.Un intervalo abierto.2.El conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente" y" .3.Un intervalo cerrado.4.y x 4.5.El conjunto de todos los valores que toma la variable independiente" x" .6.Extensión o comprensión.7.Tanto la variable dependiente como la independiente son númerosreales.8.La variable independiente es un número natural y la variabledependiente es un número real.2SOLUCIÓN:a) ( 6);b) ( 7 );c) ( 5 );7d) ( 1 );e) ( 2 );f) ( 4 )
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.7Considerando las gráficas de relaciones siguientes indicar para cada una si setrata de una función o no.A)B)C)D)SOLUCIÓN:a)Sí es la gráfica de una función, ya que a cada valor de " x " correspondeun solo valor de " y " .b)No se trata de la gráfica de una función. A cada valor de " x " en elintervalo abierto ( a , b ) corresponden dos valores de " y " .c)No es la gráfica de una función, dado que a cada valor de " x " en elintervalo semiabierto ( 0 , b ] corresponden dos valores de " y "d)Sí es la gráfica de una función, puesto que a cada valor de " x " en eldominio D f [ a , b ) corresponde un solo valor de " y "8
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.8Dadas las siguientes relaciones, para cada una trazar la gráfica e indicar si setrata de una función o noa)R 1 {( 1, 1 ) , ( 0 , 1) , (1, 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 1, 1) }b)R2 c)R3 ( x , y ) x IR , x 2 y 2 4 , y 0{(x,y)y 2si{x 1,y 3six 1}}SOLUCIÓN:a)R 1 no es una función ya que el valor x 1 1 corresponden dos valoresde " y " y 1 1 , y 2 1 .b)R2sí es una función, dado que a cada valor de " x "corresponde a un valor de " y "9enDR2 R
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E Sc)R 3 sí es una función, la gráfica es una semicircunferencia de centro en elorigen, radio 2 , y 0 . A cada valor de " x " en D R 3 [ 2 , 2 ]corresponde un solo valor de " y "I.9Sea la relación:{R ( x , y ) x IR , x 2 y 2 0 , x 2 , y 0}Trazar su gráfica e indicar si es una función o no. En todo caso obtener sudominio y su rango o recorrido.SOLUCIÓN:La ecuación que se tiene como regla de correspondencia puede escribirse:y 1x 12que es la ecuación de una recta de pendiente m origen b 1 .1y ordenada en el2Como y 0 la gráfica es la semirecta que se localiza arriba del eje de lasabscisas.Si se trata de una función, dado que a cada valor de " x " en el dominioD R { x x IR x 2 } corresponde un solo valor de " y " en el rango quees R R {yy IR y 0}10
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.10Considerando la relación:{22R ( x , y ) x , y IR , 9 x 16 y 144}trazar su gráfica, determinar su dominio y su recorrido. Decir si es una función ono.SOLUCIÓN:La ecuación29 x 16 y22 144 puede escribirse2xy 1 que169representa una elipse con centro en el origen, eje focal sobre el eje de lasabscisas, a 4 , b 3EldominioRR {yes:DR 3 y 3 }{x 4 x 4}yelrecorridoes:No es una función ya que a cada valor de " x " en el intervalo abierto ( 4 , 4 )corresponden dos valores de " y "11
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.11Dada la relación:2 x 1 R ( x , y ) x IR , y 2 x 1 trazar su gráfica e indicar si se trata de una función o no. Escribir su dominio ysu rango o recorrido.SOLUCIÓN:Tabulando algunos valores de " x " y de " y " , se obtiene:xy 415174535 3 2 100 135451517234Sí se trata de una función, ya que a cada valor de " x" corresponde un solo valorde " y " . Dominio: Df R y recorrido:12R R { y y IR , y 1 }
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.12Dada la siguiente relación, obtener su dominio, recorrido y trazar su gráfica.Indicar si se trata de una función o no.{22R ( x , y ) 4 x y 36 , y 0}SOLUCIÓN:22xy 1 que correspondeLa regla de correspondencia puede escribirse936a una elipse con centro C ( 0 , 0 ) , a 6 , b 3 y eje focal sobre el eje delas ordenadas. Despejando " y" para tener la regla de correspondencia enforma explícita:22y 36 4 x ; y 36 4 x2; y 29 x2yy IR si 9 x 2 0 ; x 3Entonces D R [ 3 , 3 ] y el mayor valor que toma " y"es 6 , luegoR R [ 0 , 6 ] . Si se trata de una función, cada valor de x en [ 3 , 3 ] lecorresponde un solo valor de " y"I.13Seaf {(x, y )y 3 x}Indicar si se trata de una función o no. En todo caso obtener su dominio,recorrido y gráfica.13
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SSOLUCIÓN:Comoy IR six 0 , luego el dominio es:Df IR {0}El mayor valor que toma " y" es 3 , luego el recorrido es:Rf {yy 3}Si se trata de una función a cada valor de " x" en Dfcorresponde un solovalor de " y" .Laregladecorrespondenciapuedeescribirse:y 3 x ;2( y 3 ) ( x 0 ) por lo que la gráfica es un arco de parábola con vérticeV ( 0 , 3 ) y parámetro p I.14 Sea f { ( x, y )142y ( x 2 ) 1, 0 x 5}Indicar si f es una función o no. En cualquier caso obtener el dominio, recorridoy trazar la gráfica.SOLUCIÓN:En la regla de correspondencia se observa que a cada valor real de "x "corresponde un solo valor de " y " , entonces sí se tiene una función:y 1 ( x 2)214
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SLa gráfica es un arco de parábola cuyo vértice es V ( 2 , 1 ) , p 1y que4se abre en el sentido positivo del eje de las ordenadas. El dominio es:DI.15f {x0 x 5}y el recorrido es:Rf {y1 y 10}Dada f (x, y) y x2 Decir si se tiene una función o no. En todo caso determinar el dominio, recorridoy trazar la gráfica.SOLUCIÓN:f sí es una función ya que a cada valor real de " x " corresponde un solo valorde " y" . El dominio es Df IR .El menor valor que tomaRf {y y 0" y"}15es cero entonces el recorrido es
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E Sobservación: la regla de correspondencia puede escribirse:y xI.16 Dada f ( x , y ) y 2x 9 23Indicar si se trata de una función o no. En todo caso determinar su dominio,recorrido y gráfica.SOLUCIÓN:La regla de correspondencia puede transformarse como sigue:y 22323y 222x 9 ;9 y 4 x 36 ;2x 9 ;29 y 4 x 36 ;229 y 4( x 9);22yx 149que es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen C ( 0 , 0 ) , ejefocal sobre el eje de las ordenadas, a 2 , b 3 " y"solamente tomavalores positivos, entonces sí se trata de una función. El dominio es: Del recorrido es:Rf {y y 216}f IR
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.17Si R {( x , y )229 ( x 4 ) 25 ( y 2 ) 225 , y 1}Investigar si R es una función o no. En todo caso obtener el dominio, recorridoy trazar la gráfica.SOLUCIÓN:La ecuación que actúa como regla de correspondencia puede escribirse:22(x 4)( y 2) 1 que corresponde a una elipse de centro259C ( 4 , 2 ) , a 5 , b 3 y eje focal paralelo al eje de las abscisas.Eldominioes:Dr {x 9 x 1}yelrecorridoes:R r { y 1 y 5 }. No es función, a valores de "x " cercanos a 9 porla derecha y cercanos a 1 por la izquierda corresponden dos valores de " y " .Se trata de una relación multiforme.17
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.18Si f ( x ) 2 x2 4 x 5 , obtener f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) y f ( 2 )SOLUCIÓN:f (0) 0 0 5 5f ( 1 ) 2 (1) 4 ( 1 ) 5 3f (2) 2(2)2 4 ( 2 ) 5 8 8 5 52f ( 2) 2 ( 2 )I.19 4 ( 2 ) 5 8 8 5 213 1 2 y f 2 3 2Dada f ( x ) x 3 x 2 x 1 , determinar f ( 2 ) , f SOLUCIÓN:f (2)32 ( 2 ) 3 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 8 12 4 1 11321 31 65 1 f 1 1 1 3228 488 2 2232812 4 2 2 2 2 f 3 2 1 12793 3 3 3 3 I.208 36 36 27107 2727Si f ( x ) x32 5 x 4 x 20 , demostrar que:a)f ( 2 ) f ( 5 ) ;b)f ( 0 ) 2 f ( 3 );c)f ( 1 ) d)f ( a 1 ) a 2 a 11a 12f ( 7 );32SOLUCIÓN:a)32f ( 2 ) f ( 2 ) 5 ( 2 ) 4 ( 2 ) 20 8 20 8 20 032f ( 5 ) 5 5 ( 5 ) 4 ( 5 ) 20 125 125 20 20 0luego f ( 2 ) f ( 5 )b)f ( 0 ) 0 0 0 20 20f ( 3 ) 27 45 12 20 10 , 2 f ( 3 ) 2 f ( 3 ) 2 ( 10 ) 20luego f ( 0 ) 2 f ( 3 )18
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E Sc)32f ( 7 ) 7 5 ( 7 ) 4 ( 7 ) 20 34320 2450 28 20 90f ( 1 ) 1 5 4 20 18 , 5 f ( 1 ) 5 ( 18 ) 90luego f ( 7 ) 5 f ( 1 )d)32f ( a 1 ) ( a 1 ) 5 ( a 1 ) 4 ( a 1 ) 20 32322 a 3 a 3 a 1 5 a 10 a 5 4 a 4 20 a 2 a 11 a 12I.212Dada f ( x ) x 2 x 6 , demostrar que:2f ( x h ) x 2x 6 2 ( x 1) h h2SOLUCIÓN:222f ( x h ) ( x h ) 2 ( x h ) 6 x 2h x h 2 x 2h 62 x 2x 6 2 ( x 1) h hI.2223Dada g ( x ) x 3 x , demostrar que:22g ( x h ) g ( x ) 3 ( x 1 ) h 3xh h3SOLUCIÓN:33g ( x h ) g ( x ) ( x h ) 3 ( x h ) x 3x 32233 x 3 x h 3 x h h 3 x 3h x 3 x 223 3 x h 3 x h h 3h 22 3 ( x 1) h 3xh hI.23Seaf (x) 1, demostrar quex3f (x h) f (x)1 h( h x )xSOLUCIÓN:f ( x h) f ( x)1 11 x x hh1 hn x h x h( x h) xh( x h) x(h x) x19
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.24xSi F ( x ) 4 , demostrar que: F ( a 1 ) F ( a ) 3 F ( a )SOLUCIÓN:F(a) 4I.25a 1aa 4 ( 4 1) 4 3 ( 4 )Siendo f ( x ) axcf (c) f (d ) a aI.26df (c d ) aentonces 3F ( a ), hacer ver que f ( c ) f ( d ) f ( c d )SOLUCIÓN:pero:a ac dc df (c) f (d ) f (c d )Sí g ( x ) log y z 1 x, demostrar que g ( y ) g ( z ) g 1 x 1 yz SOLUCIÓN:g ( y ) g ( z ) log 1 y 1 z 1 y1 z1 yz y zi log log log 1 y1 z1 yz y z 1 y 1 z y z1 y z y z y z 1 yz y z1 yz1 y z log logAhora g logy z1 yz y z1 yz y z 1 y z 1 1 yz1 yz1 I.27Sea f ( ϕ ) sen ϕ cos ϕ , hacer que:a) π f (0) f 2 b) π f (π) f 2 c) 3 f π f (0) 2 SOLUCIÓN:a)f ( 0 ) sen 0 cos 0 0 1 1ππ π π f sen cos 1 0 1 luego f ( 0 ) f 22 2 2 20
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E Sb)c)I.28f ( π ) sen π cos π 0 1 1 π π f 1 luego f ( π ) f 2 2 33 3 f π sen π cos π22 2 3π f ( 0 ) 1 luego f 2 1 0 1 f (0) π π , f (π), f , 2 3 Si f ( θ ) sen 2 θ cos θ , obtener: f ( 0 ) , f π f 6 SOLUCIÓN:f ( 0 ) sen 0 cos 0 0 1 1π π f 0 0 0 sen π cos2 2 f ( π ) sen 2 π cos π 0 1 131 31 2222π π f π cos sen33 3 3 2ππ π f cos sen36 6 I.293 23De las siguientes asociaciones, indicar cuál define una función inyectiva,explicando la respuesta.a)A cada persona que vive en la tierra, asignarle el año de su nacimiento.b)A cada libro escrito por un solo autor, asignarle su autor.c)A cada país, asociarle su bandera.d)A cada número entero, asociarle su cuadrado.e)A cada individuo asociarle su nombre de pila.f)Asociar a cada automóvil de una misma marca el número de serie de sumotor.21
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SSOLUCIÓN:1.30a)La asociación define una función que no es inyectiva, pues habrá más deuna persona que tenga el mismo año de nacimiento.b)No define una función inyectiva, ya que a todo libro se le asocia el mismonombre.c)Sí define una función inyectiva, dado que no hay dos banderas iguales.d)No es una función inyectiva porque dos enteros distintos tienen el mismocuadrado; por ejemplo 4 y 4 .e)No es inyectiva, pues varías personas pueden tener el mismo nombre.f)Sí es inyectiva, a cada automóvil le corresponde un número distinto de losdemás.Escribir en el paréntesis de la derecha una "V "correspondientes es verdadera ó una " F " si es falsa:si la aseveracióna)Las funciones inyectivas siempre son biyectivas. . ()b)El dominio de toda función suprayectiva es IR . ()c)Las funciones biyectivas siempre son inyectivas . ()d)Las funciones inyectivas siempre son suprayectivas. . ()e)El dominio de toda función biyectiva es IR . ()f)Las funciones suprayectivas siempre son biyectiva. . ()g)El recorrido de toda función inyectiva es IR . ()h)La función f : IR IR , con f ( x ) 2 x 3 , es inyectiva. . ()i)La función f : IR IR , si f ( x ) x 1 , es biyectiva. . ()j)La función f : IR IR , con f ( x ) x23 3 4 , es suprayectiva . (SOLUCIÓN:a) ( F )f) ( F )b) ( F )g) ( F )c) ( V )h) ( F )22d) ( F )i) ( V )e) ( F )j) ( V ))
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E S1.31De las relaciones representadas por diagramas de Venn, indicar cuáles sonfunciones, y de éstas cuáles son inyectivas, suprayectivas y :a)Es función, es inyectiva pero no es suprayectiva, no es biyectiva.b)Es función, no es inyectiva, si es suprayectiva, no es biyectiva.c)No es función.d)No es función.e)Es función, es inyectiva, es suprayecativa y es biyectiva.23
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.32f y g dos funciones con reglas de correspondencia y f ( x ) ,y g ( x ) y dominios D f y D g respectivamente.SeanEscribir en el paréntesis de la derecha "V " si el concepto está escritocorrectamente y " F " si está incorrecto:a)b)c)La suma de las funciones f y g es:( f g) ( x) f (x) g ( x)donde x D y D D( f g ) ( x) f (x) g ( x)( f g ) ( x) f (x) g ( x)()donde x D y D D f D g()donde x D y D D f D g()()fLa diferencia de la función f menos la g es:( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) donde x D y D IR( f g ) ( x) f (x) g ( x)donde x D y D D f D g()( f g ) ( x) f (x) g ( x)donde x D y D D f D g()( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) donde x D y D D f D g()( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) donde x D y D D f()()El producto de las funciones f y g es:( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) donde x D y D f D gd)El cociente de la función f entre la función g es: e)fgfgfg f( ( x ) g( f( ( x ) g( f( ( x ) g( x)x)donde x Df Dg y f ( x ) 0()x)x)donde x Df Dg y g ( x ) 0()x)x)donde x Df Dg y g ( x ) 0()La composición de la función f con la función g se puede escribir:{ {x {x( f g ) ( x ) f ( g ( x ) ) donde D fg x x Dg , g ( x ) D f( f g ) ( x ) f ( g ( x ) ) donde D fgx D f , g ( x ) Dg( f g ) ( x ) f ( g ( x ) ) donde D fg24x D f , g ( x ) Dg}(}(}()))
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SSOLUCIÓN:I.33a) ( F )b) ( F )c) ( V )d) ( F )e) ( V )(V)(F)(F)(V)(F)(F)(F)(V)(F)(F)Sean las funciones:f { ( 80 , 10 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 6 ) }g { ( 1 , 2 ) , ( 0 , 5 ) , ( 2 , 0 ) }yescribir por extensión las funciones:a)b)f gf gc) gd)fge)f gSOLUCIÓN:El dominio defesDf El dominio degesDg {{80 , 1 , 1 ,0 ,La intersección de estos dominios es D f D g I.34 { 0 , 2 };a)Dfb)D f g { 0 , 2 };c)D g D gd)Dfe)D g gfg { 1 ,{0,{(0,5),f g f}2 }22}( 2 , 6 ) g { ( 0 , 50 ) , ( 2 , 0 ) }0 , 2 } ; g { ( 1 , 2 ) , ( 0 , 5 ) , ( 2 , 0 ) { 0 , 2 };f g { ( 0 , 15 ) , ( 2 , 6 ){ 0 };f gSean las funcionesf ( x) x 5 ,}fy{(0, 2 )}}}cuyas reglas de correspondencia song2g ( x ) x 1 , obtener las siguientes funciones y susdominios.a)f gb)c)f g25f gd)f ge)gf
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SSOLUCIÓN:fEl dominio deD f IR y elesD g IResgpor lo cualD f D g IRa)( f g ) ( x ) x 5 x 2 1 x 2 x 6con D f g IRb)( f g ) (x) x 5 xcon D f g IRc)( f g ) ( x ) ( x 5 ) x 2 1 x 3 5xcon D fgd)( f g)e) g x 1 ( x ) x 5 f x 5x 12 1 x2()conDfconD g2I.35Conlasfuncionesdereglas2 x 4 x 52 IR { 1 , 1 } IR { 5fgde IR}correspondenciaf (x) x 5;2g ( x ) x 1 , obtener las funciones:a)( fg ) ( x ) y su dominio.b)( gf ) ( x ) y su dominio.SOLUCIÓN:1.36(g ( x) ) x 1 5 x 6,22a)( f g ) ( x) fb)( g f ) ( x ) g ( f ( x ) ) ( x 5 ) 1 x 10 x 24 ,2fDadas las funcionesrespectivamentef ( x) y2Dfg IRDgf IRgcuyas reglas de correspondencia sonx ,g ( x ) x 1 , obtener las siguientes2funciones y sus dominios.a)f gb)c)f g26f gd)fge)gf
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SSOLUCIÓN:El dominio de ftanto:{x x 0}es D f D f Dg {xxa)( f g ) (x) b)( f g ) ( x ) c)( f g ) ( x ) d)x f ( x ) ;2 g x 1x xI.37Parag es D g IR por loy el deD f g { x x 0 1;2x ( x 1 ) xfunciones2Df }x }D f g { x x 0x ;{xx 0}{xx 0}}g g x 1 ( x ) ; f xlas}x ( x 2 1); D f g { x x 02e)2 0Dg fconregladecorrespondenciaf ( x) x ,2g ( x ) x 1 , determinar las funciones:a)f g y su dominio.b)g f y su dominio.SOLUCIÓN:a)El recorrido de( f g ) ( x) b)xEl recorrido de( g f ) ( x) (esg2Rg { y y 1 }Rg D f 1 con D f D g IR D gf es R f { y y 0xasí que)2} 1 x 1 con D g27así que R f D g IRf { x x 0 } Df
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.38fDadas las funcionesrespectivamente:ycuyas reglas de correspondencia song2f ( x) x 1xx 1g (x) yobtener las siguientes funciones y sus dominiosa)b) g ff gSOLUCIÓN:D f IR ,a)c)f gd) gD g IR { 1 } , fe) gfD f D g IR { 1 }xx 2 x 2 x 1 xx 3 x 3 1; x 1x 1x 1( f g ) ( x ) x 2 1 D f g IR { 1 }2b)xx ( x 1) ( x 1)2(g f ) ( x ) ( x 1) x 1x 12232x x x x 1 x x 2x 1 x 1x 1 IR { 1 } Dg fc)( f g ) (x) ( x 1 ) x2D f g IR d)( g f ) (x) D g IR {1}xx 12x 1x( x 1) (x 1) x2 ( x 1) x x x,x 1x 1x ,,2( x 1 ) ( x 1 ){ 1 , 1 }fe)2( g f ) ( x) g ( x 1 ) R f [ 1 , ) , parax 2luego D gf2x 122x 1 1g f IR 28 x 12x 22{ 2 , 22x 1 1, x 2 ,debe tenerse}
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.39Si f ( x ) x 1 y g ( x ) 2x 1 son las reglas de correspondencia dedos funciones, obtener, si existen, las funciones siguientes y sus dominios.a)f gb) g fc) g fd) 2 f ISOLUCIÓN:D f [ 1, ) , D g ( , 1 ] [ 1, ) , luego: D f D g [ 1, )a) f ( x ) g x 12x 1b)c)( g f ) ( x) gx 1(R f [ 0, ),d)1x 1( x 1 ) ( x 1 ) x 1 x 1tomarse [ 1 , ) ,fx 1 ( x 1 ) ( x 1 )2x 1 g ( x ) f Dg ) comof ( x) ( x 1)2Dg ( , D f g ( 1, )x 1 , D g f ( 1, )x 1 1 x 2 , 1 ] [ 1, )debex 1 1 , x 1 1 , x 2 , entonces [ 2, ) .Téngase en cuenta que I es la función identidad: I ( x ) xpara lacual R I IR .( 2 f I ) ( x) 2x 1 x29,D 2 f I D f D I [ 1, ).
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.40Dada la función: f {( x ,y y 3}x , 8 x 27 , trazar su gráfica, yescribir su dominio y recorrido. Indicar si es biunívoca.SOLUCIÓN:D f [ 8 , 27 )Se trata de una función biunívoca, así que el recorrido puede obtenerse con:f ( 8 ) 3 8 2 ;f ( 27 ) 327 3 ;Es biunívoca porque cada valor de y Rx DI.41ffR f [ 2 , 3 ) .corresponde a un sólo valor.Sea la función:{f (x, y) y 33x ; x [ 8 , 8] },obtener sudominio recorrido y gráfica. ¿Es biunívoca?SOLUCIÓN:Df [ 8 , 8 ] y como y 0f ( 8 ) f ( 8 ) 3 ( 2 ) 6 . Entonces:R f [ 0 , 6 ] . No es biunívoca ya que cada valor de " y " en el intervalo( 0 , 6 ) corresponde a dos valores de " x " en [ ( 8 , 0 ) ( 0 , 8 ) ] .30
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.42 Dada la función cuya regla de correspondencia es:f ( x) 4 25 ( x 3 )2Determinar analíticamente su dominio, trazar su gráfica y escribir su recorrido.¿Es biunívoca?SOLUCIÓN:De la ecuación: f ( x ) 4 f ( x ) IR si 25 ( x 3 )225 ( x 3 ) 0 ; ( x 3)Si x 3 0 o bien si x 3 ,22 . ( 1 ) 25 ;x 3 5 ( 2 )x 3 x 3 , entonces ( 2 ) queda:x 3 5 osea x 8 . . .( 3 )Si x 3 0o bien x 3 ,x 3 x 3 , entonces ( 2 ) queda: x 3 5 ; x 3 5 ; o sea x 2 . ( 4 )De ( 3 ) y ( 4 ):De 2 x 8 , luego D f { x x [ 2 , 8 ]( 1 ), haciendo f ( x ) y , queda y 4 225 ( x 3 )}2, luego:2( y 4 ) 25 ( x 3 ) ; ( x 3 ) 2 ( y 4 ) 2 25 , que representa unacircunferencia de centro C ( 3 , 4 ) y radio r 5 , de la cual el arco “inferior”entre los puntos A ( 2 , 4 ) y B ( 8 , 4 ) es la gráfica de la función.El recorrido de la función es:R f { y y [ 1 , 4 ] } . No es biunívoca yay ( 1, 4 ]x [ 2 , 3 ) ( 3 , 8 ]quecadavalor31correspondeadosvaloresde
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SI.43Investigar si la función f {y 2( x , y )9 x 2 ,}x 0es biunívoca. En caso afirmativo determinar su función inversa, los dominios yrecorridos de ambas funciones; trazar sus gráficas.SOLUCIÓN:La regla de correspondencia puede transformarse como sigue:y 29 x2222y 4 ( 9 x ) ;;222y 36 4 x ;24 x y 362xy 1936 Que corresponde a una elipse de centro C ( 0 , 0 ) , a 6 , b 3eje focal está sobre el eje de las ordenadas. Comoy cuyoy 0 , x 0 , lagráfica es el arco de dicha elipse localizado en el primer cuadrante del sistemade referencia. Cada valor de" y " corresponde a un solo valor de "x " ,entonces la función sí es biunívoca.El dominio de f es D f La función inversa de 1f{x0 x 3 } y su recorrido R f { y 0 y 6f es: ( x, y) x 2 9 y ; y 0 2donde la regla de correspondencia está en forma implícita transformada a laforma canónica de la ecuación de una elipse22x 4 ( 9 y );22x 36 4 y ;222x 4 y 36 ;2xy 1369y despejando " y " para tenerla, en forma explícita:24 y 36 x2;y2 12( 36 x ) ;432y 1236 x2}
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO D I F E R E N C I A LF U N C I O N E SLa función inversa es: fel recorrido de fI.44 1 1son: 1 ( x , y ) y 2 1Df Dada la función f ( x , y ){x36 x , x 0 . El dominio y 20 x 6 }, R f y 9 136 ( x 3 )2{y0 y 3 }.; 3 x 9 . Investigar si es biunívoca. En caso afirmativo determinar su función inversa, losdominios y recorridos de ambas funciones; trazar sus gráficas.SOLUCIÓN:La regla de correspondencia de f puede escribirse:y 9 36 ( x 3 )222; ( y 9 ) 36 ( x 3 ) ;22( x 3 ) ( y 9 ) 36que es la ecuación de una circunf
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL FUN C IO NE S 6 I.5 Escribir en el paréntesis una V "si la proposición es correcta o una F si es falsa: a) Una función puede ser una relación multiforme ( ) b) Una función puede ser una relación biunívoca ( ) c) Una relación puede ser una relación uniforme ( ) d) Una función puede ser una relación unívoca ( )
