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Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa8De forma similar a lo que se ha hecho con los sistemas de ecuaciones incompatibles, sepresentan métodos para intentar hacer viables algunos sistemas de inecuaciones.Desde un punto de vista operativo, lo que haremos en este documento es: Analizar variaciones de diferentes modelos de renta-gasto keynesiano. Estudiar condiciones para que las funciones de oferta y demanda lineales de variosmercados proporcionen unos precios de equilibrio factibles. Para ello, analizaremosla utilidad de incorporar parámetros a los sistemas de ecuaciones lineales ycomprobaremos cuándo las soluciones paramétricas verifican las condicionespropias de la situación económica modelada. Revisar resultados de Álgebra Lineal que garantizan la no negatividad de los modelosinput-output de Leontief. Presentar las bases de subespacios vectoriales como conjuntos minimales quecontienen toda la información necesaria para conocer todas las alternativas. Proporcionar técnicas que permiten modificar los sistemas de de inecuacioneslineales sin solución, de manera que resulten viables.

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaENTORNO MATEMÁTICOENTORNO ECONÓMICOCondicionesde igualdadSistemasdeecuacionesSección2Condiciones osvectorialesSección3Aplicacioneslinealesy afinesSección4Situación deequilibrioModelaciónNo se analizala variaciónSe analizala variación9Espacio desolucionesSistemasgeneradorese Agregación

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa102. Equilibrio estáticoSistemas de ecuaciones linealesa.- Modelo de renta nacionalb.- Precios de equilibrioc.- Modelos input-outputFrançois Quesnay (1694 –1774)El Tableau Économique describe un modelopara la economía de las naciones según elcual la sociedad se divide en tres clases

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa112. Equilibrio estático1.2.3.4.5.6.¿Qué tipos de sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para modelar losequilibrios en Economía y Empresa?Las variaciones, ¿cuándo se modelan con variables y cuándo conparámetros?¿Qué tipos de soluciones pueden aparecer y cuáles apor tan infor mación?¿Cuándo interesan las soluciones y cuándo las diferencias entre ellas?Si el sistema de ecuaciones es incompatible, ¿la labor de modelación no haser vido para nada?Si al sistema se le añaden condiciones, ¿por qué no se modelan comosistemas de inecuaciones?

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa3x 2 y3x 2 y 5 !#" 5 # x α,α R5 3αy ,2 2(3 0.001) x (2 0.001) y (5 0.002) !#" 53x 2 y# x 1,y 1(3 0.001) x (2 0.001) y (5 0.001) !#" 53x 2 y# x 3,y -20.0010.001(3 ) x (2 ) y (5 0.001)233x 2 y 5!#"# No tiene solución12

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaVariables, parámetros? VariablesVariables parámetrosxy 3z 5 !#"y 2 z w # α y 3z 5 !#" α ,β Ry 2 z β # 2 x 3 y 4 z 6t 2 " #x 2 y 3z 4t 5 %x y z2 3 -41 2 3t6-4b25x yb2 3 2 4z-6t1 2 5-3z 4t13

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaVariablesxy 3z 5 !#"x 2 z w # Vizmanos, J.R. et al. (2011): Matemáticas 2,Ediciones SM, ISBN: 978-84-675-3472-6Variables parámetrosα y 3z 5 !#" α ,β Rx 2 z β # 14

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa15B. Equilibrio estáticoa.- Modelo de renta nacionalModelos keynesianosJohn Maynard Keynes (1883 –1946)Fue un economista británico, consideradocomo uno de los más influyentes del sigloXX.

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaSean Y renta nacionalC Gastos de consumoI InversiónG Gasto públicoBásicamente, el modelo keynesiano de renta nacional supone:Y C Io GoC a bYa 0, 0 b 1Propensión marginal al consumo (en tanto por 1)Consumo exógeno y autónomo (no cambia)Y C I 0 G 0 " # % bY C a1(a I 0 G 0 )1 b1C * (a bI 0 bG 0 )1 bY * 16

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaCon otras letras, el modelo keynesiano de renta nacional es:x y a by c lxa, b, c 0, 0 l 1Propensión marginal al consumo (en tanto por 1)x y a b " # λx y c %1(a b c )1 λ1y* (da db c )1 λx* NOTA: En general, expresar las variables como x, y y los parámetros como l, a, b hace que el ola estudiante distinga más fácilmente de qué tipos de variables se trata (endógenas oexógenas).17

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaSean Y renta nacionalC Gastos de consumoI InversiónG Gasto públicoT Cuantía de impuestosa es el consumo autónomob es la propensión marginal al ahorrod “impuestos fijos”t tasa impositivaY C I GC a b (Y-T) (a 0, 0 b 1)T d tY(d 0, 0 t 1)Y * a bd I Gb (t 1) 1a bd b (t 1)( I G )C * b (t 1) 1T * d bd t (a I G )b (t 1) 118Y C I G bY C bT a tY T dComob (t 1) 1 0,el sistema tiene solución única." # %

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresax y a by c l (x-z) (a,b,c,d 0)(0 l, µ 1)z d µxx* y* z* a b " λx y λz c# µx z d %x ya b c λdλ (µ 1) 1Comoλ ((1 µ )(a b ) d ) cλ (µ 1) 1el sistema tiene solución única.λ (µ 1) 1 0,µ (a b c ) (1 λ )dλ (µ 1) 1NOTA: Desde un punto de vista matemático, se trata de un sistema de 3 ecuaciones con 3incógnitas y los valores x*, y*, z*, no se ven como fórmulas, sino como la solución del sistema.19

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaSean Y renta nacionalC Gastos de consumoI InversiónG Gasto públicoT impuestosBásicamente, el modelo keynesiano de renta nacional supone:Y C Io GoC c0 c1 (Y-T)c0 0, 0 c1 1Propensión marginal al consumo (en tanto por 1)Consumo exógeno y autónomo (no cambia)Y C I 0 G 0 " # c1Y C c0 c1T %Multiplicadorde KeynesY * 1(c0 c1T I 0 G 0 )1 c1C * 1(c0 c1T c1 I 0 c1G 0 )1 c120

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa21Solución versus decisión: diferencia entre solucionesEjemplo 2.1: Si un sistema económico tiene una propensión al consumo c1 0.8, y el gasto seincrementa en 200 um (política fiscal expansiva), ¿cuál sería el incremento en la renta?Y0 1(c0 0.8T I 0 G 0 ) 5(c0 0.8T I 0 G 0 )1 0.8Y 1 5(c0 0.8T I 0 G 0 ΔG 0 )ΔY Y 1 Y 0 5 200 1000 umEjemplo 2.2: Si un sistema económico tiene una propensión al consumo c1 0.9, y los impuestosaumentan 100 um (política fiscal contractiva), ¿cuál sería el incremento en la renta?Y0 1(c0 0.9T I 0 G 0 ) 10(c0 0.9T I 0 G 0 )1 0.9Y 1 10(c0 0.9(T ΔT ) I 0 G 0 )ΔY Y 1 Y 0 9 100 -900 um

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa22B. Equilibrio estáticob.- Precios de equilibrioLéon Walras (1834 –1910)Considerado el fundador de la economíamatemática, fue el primero en analizar ydescribir el equilibrio general como unproblema matemático.

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaEl concepto de equilibrio es fundamental en economía. Una situación de equilibrio es una situación estable uóptima, porque en ella la empresa opera con el menor coste posible, obtiene el máximo beneficio, laasignación de los recursos económicos es la mejor para la utilidad de un individuo, etc. Todas estasposibilidades tienen en común que se cuenta con varios fenómenos económicos que sucedensimultáneamente y se debe determinar el punto o puntos en los que la situación es beneficiosa.Precios de equilibrioEl primer equilibrio que veremos es el general, que consiste en analizar los fenómenos de la economía cuandotodos los sectores que la componen se consideran de modo simultáneo. El primero que formulómatemáticamente esta situación fue Léon Walras (1834 – 1910).Suponemos un mercado en el que los precios vienendados sólo por la interacción entre la oferta y lademanda (libre competencia), es decir que lasempresas carecen de poder para manipular el precio.En este caso, para calcular el equilibrio no hay másque igualar las curvas de oferta y de demanda. Siestas curvas están en función del precio, suintersección nos proporciona el precio de equilibrio.!23

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaEjemplo 2.3: Consideramos x, y, z los precios de un mercado en el que se venden tresproductos A, B y C. Calcula los precios de equilibrio si se estima que la oferta (S) y la demanda(D) de cada uno de ellos viene dada porSA 15x y 3z – 13SB x 20y 10z – 10SC 10x 15y 30z – 50DA 70 – 8x – y – zDB 93 – 2x – 4y – zDC 107 – x – 3y –5zSe trata de calcular los precios para los que la oferta coincide con la demanda. Esto nos lleva aresolver el sistema de ecuaciones lineales que se obtiene al hacer SA DA, SB DB y SC DC. Sipasamos todas las incógnitas a una parte de la igualdad y los términos independientes a la otra,el sistema queda de la forma siguiente:23x 2 y 4 z 83 !##3x 24 y 11z 103 "#11x 18 y 35 z 157 # 23x 2 y 4 z 83 " Los precios de equilibrio sonx 3 u.m., y 3 u.m., z 2 u. m. 3x 24 y 11z 103 #11x 18 y 35 z 157 x , y , z 0 %Este tipo de problemas podría no tener solución porque no existen los precios de equilibrio(sistema incompatible), porque alguno de ellos es negativo o porque la oferta o la demandasean negativas, y en este caso no tendría sentido económico.24

25Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaEjemplo 2.4: Una empresa fabrica tres productos A, B y C. Un análisis de la empresa muestra quesu capacidad de producción para unos precios p1, p2 y p3 (resp.) viene dada porSA 2p1 p2 2p3 15SB 4p1 2p2 3p3 10SC 2p1 2p2 p3 20Por otra parte, un estudio de mercado indica que la demanda prevista esDA 95 8p1 5p2 3p3DB 90 p1 8p2 p3DC 70 p1 p2 3p3Calcula los precios con los que la empresa equilibraría su situación económica.10 p1 8 p2 9 p3 110 !##5 p1 10 p2 4 p3 100 "#3 p1 3 p2 4 p3 98# p1 1602703450, p2 , p3 .157157157No existen unos precios que equilibren la situaciónNo puede fijar unos precios a sus productos (adaptados a la situación).Ha gastado 2000 en el análisis interno de la empresa.Ha gastado 9000 en el estudio de mercado encargado a una empresa.?

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa26Modificamos la modelación de las ofertas (porque las ofertas dependen de la empresa)SA (2 a)p1 (1-a)p2 (2-a)p3 15SA 2p1 p2 2p3 15SB (4-a)p1 (2 a)p2 (3-a)p3 10 0 a 1SB 4p1 2p2 3p3 10SC (2-a)p1 (2-a)p2 (1 a)p3 20SC 2p1 2p2 p3 20Sin embargo, mantenemos las demandas propuestas en el estudio que se ha encargadoDA 95 8p1 5p2 3p3DB 90 p1 8p2 p3DC 70 p1 p2 3p3Operando como antes, se llega al sistema paramétrico siguiente(10 α ) p1 (6 α ) p2 (5 α ) p3 110 " (5 α ) p1 (10 α ) p2 (4 a ) p3 100 # (3 α ) p1 (3 α ) p2 (4 α ) p3 90 %Graficamente, se tienep120( 8 43α 19α 2 )p1 157 208α 52α 2 4α 3p3 10(27 96α 40α 2 )p2 157 208α 52α 2 4α 3157 208α 52α 2 4α 3 0p2a10(345 248α 42α 2 )157 208α 52α 2 4α 3p3aa

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa27Si tomamos el valor a 0.5, las nuevas ofertas sonSA 2p1 p2 2p3 15SB 4p1 2p2 3p3 10SC 2p1 2p2 p3 20que, junto con las demandas,SA 2.5p1 0.5p2 1.5p3 15SB 3.5p1 2.5p2 2.5p3 10SC 1.5p1 1.5p2 1.5p3 20DA 95 8p1 5p2 3p3DB 90 p1 8p2 p3DC 70 p1 p2 3p3Sustituyendo a 0.5 en la solución anterior,20( 8 43α 19α 2 )p1 157 208α 52α 2 4α 310(27 96α 40α 2 )p2 157 208α 52α 2 4α 310(345 248α 42α 2 )p3 157 208α 52α 2 4α 3p1 1.334552 , p2 3.107861 , P3 17.53199 Calculamos las cantidades de la oferta y la demanda en equilibrio,SA DA 16.18830 x 103 u., SB DB 46.27057 x 103 u., SC DC 12.96161 x 103 u.Veamos algunos resultados más generales para que un modelo de precios de equilibriotenga solución.

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa28Teorema 1Dado un sistema in compatible Ax b, con A [aij] un a matriz nxn, si existe un men or deorden (n-1)x(n-1) distinto de 0, entonces existeA’x b un sistema compatible determinado,siendo A’ [ a’ij], con a 'ij a ij excepto un término que es a 'iDEMOSTRACIÓN:Por ser incompatible, A 0, pero por hipótesis, sabemos que existe unmenor (n-1)x(n-1) no nulo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que! a α a. a1n12# 11# aa 22 . a 2 n21A ' #.## aa n 2 . a nnn1" &&&&&%A’x b es un sistema compatible determinado. ai0 j0 α , con α 0.a 22 a 23 a 2 na 32 a 33 a 3nan 2Definimos0 j0.a n 3 a nn 0a 22 a 23 a 2 nDet(A’) Det (A) αDesarrollo de Laplacecon la 1ª filaa 32 a 33 a 3nan 2.a n 3 a nn 0a 0El menor es no nulo

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaAplicación 1. Viabilidad de sistemas mediante el Teorema 1El sistema siguiente no tiene soluciónx y z 3 " 2x y z 4 # x 2 y 2z 0 %Comoa 21 a 22a 31 a 32 2 1 4 1 3 01 2Si hacemos a’13 a13 0.01, se tienex y (1.01) z 3 " 2x y z 4 # x 2 y 2z 0 %8x ,3y 168,z 5003En realidad cualquier valor a13 1 a, con a no nulo haría que el sistematuviese solución.29

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa30Aplicación 2. Viabilidad de sistemas mediante parametrización de coeficientesEl sistema siguiente no tiene soluciónx y z 3 " 2x y z 4 # x 2 y 2z 0 %Por ejemplo,Nos planteamos si realmente algunos coeficientes podrían serdescritos mediante intervalos, en lugar de números realesconcretos.Caslsson, C., Korhonen, P. (1986): A parametric approach to fuzzy linear programming, Fuzzy Sets andSystems, 20: 17–30." Parametrizamos cada intervalo mediante 0 a 1[1.75,2.25]x y [1,1.25] z [3.8,4] # de modo que a 1 significa lo “más verosímil” y a 0 lo “menos verosímil”.[0.5,1]x 2 y 2 z 0 %x [0.75,1] y [0.7,1] z 3" (1.75 0.5α ) x y (1 0.25α ) z 4 0.2α # (0.5 0.5α ) x 2 y 2 z 0 %x (0.75 0.25α ) y (1 0.3α ) z 3

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaAplicación 2.Una vez parametrizado," (1.75 0.5α ) x y (1 0.25α ) z 4 0.2α # (0.5 0.5α ) x 2 y 2 z 0 %el sistema se puede resolver en función de ax (0.75 0.25α ) y (1 0.3α ) z 316(11α 2 300α 100)x ,325(5α 24α 309α 120)4(6α 3 209α 2 565α 600)y 5(5α 3 24α 2 309α 120) 4α 3 64α 2 612α 400z ,325α 24α 309α 1205α 3 24α 2 309α 120 0Pero este resultado es poco operativo.En la práctica se suele resolver el sistema para unos cuantos grados de verdad (osatisfacción), por ejemplo a 0, 0.1, 0.2, , 0.9, 1.31

32Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaAplicación 2.A pesar de que dar valores concretos al parámetro no proporciona soluciones generales,puede ser suficiente para tomar decisiones.x y z 3 " 2x y z 4 # x 2 y 2z 0 %16(11α 2 300α 100)x ,325(5α 24α 309α 120)4(6α 3 209α 2 565α 600)y ,5(5α 3 24α 2 309α 120) 4α 3 64α 2 612α 400z ,5α 3 24α 2 309α 1205α 3 24α 2 309α 120 7490094612.907692308-3,7-5.153846154

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa¡ OJO !33No siempre se puede llegar a soluciones adecuadas.x y z 3 !##2 x y 3z 7 "#x 2y 5 # no tiene soluciónSi aplicamos el teorema 1,x y 1.01z 3 !##2 x y 3z 7 "#x 2y 5 # tiene solución x 203, y -99, z -100La reformulación del sistema con intervalos “razonables” no es condición suficiente ni decompatibilidad, ni de no negatividad de las soluciones.

34Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa¡ OJO !No siempre se puede llegar a soluciones adecuadas.Dado un sistema Ax b, con A [aij] una matriz nxn, de modo que todos los coeficientes ylos menores sean positivos, eso no implica que las solución sea no negativa.Consideramos el sistema2 x 5 y 1 !#"x 3 y 1 # a ij 0, b j 02 2 0,x -2,y 12 5 1 01 3Hemos visto que es posible hacer viable un problema incompatible que verificadeterminadas condiciones, pero eso no quiere decir que siempre se puedan proporcionarsoluciones útiles en la toma de decisiones. Normalmente, cuando éstos u otros métodosfallan, es necesario recurrir a una nueva modelación del problema.

35Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y EmpresaINICIOSistema de ecuaciones linealesDIAGRAMA DE FLUJONO¿Tienesolución?Se modifica el sistemaSÍ¿La soluciónes válida?NOMediante intervalosSe modifica el sistemamediante parámetrosMediante parámetrosSe resuelve elsistema linealparamétricoSe resuelve elsistema linealparamétricoDECISIÓNFuente: Elaboración propiaFINSÍ

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa36B. Equilibrio estáticoc.- Modelos input-outputWassily Leontief (1905-1999)“Premio Nobel” en el año 1973

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa37El modelo input-output de Leontief es unaaproximación a las interrelaciones que se danentre los distintos sectores en los que puededividirse una economía, vistas como partes de unequilibrio general.Lo fundamental será conocer las cantidades queintercambian los sectores, más que lascondiciones de equilibrio de mercado. Estemodelo, por el que Wassily Leontief (1905-1999)recibió el “Premio Nobel” en el año 1973, se basóen el procedimiento descrito en el TableauÉconomique por François Quesnay (1694 – 1774) yen los trabajos sobre el equilibrio general de LéonWalras (1834 – 1910) .En la actualidad sigue siendo uno de los modelosmás empleados en Economía.Wassily Leontief (1905-1999)“Premio Nobel” en el año 1973

Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa1InputConsideramos una economía formada por nsectores interrelacionados, de modo quecada uno produce un único bien.Cada sector debe atender las demandas(inputs) de los n sectores y unas demandasexternas (demandas finales).Se trata

sistema de ecuaciones lineales sin solución (incompatible) puede llevar a tomar una decisión de forma clara, mientras que la solución proporcionada por un sistema . Si el sistema de ecuaciones es incompatible, ¿la labor de modelación no ha servido para nada? 6. Si al sistema se le añaden condiciones, ¿por qué no se modelan como