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MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasa0IntroSerie deFouriera0 Z 0Z πZ1 π1 1 dx 2 dxf (x) dx π ππ π0 1 [ x]0 π [2 x]π0π 1SkConvergenciaan TI:aoTI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn Z1 πf (x) cos(n x) dxπ π Z 0Z π1 1 cos(n x) dx 2 cos(n x) dxπ π0

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasa0IntroSerie deFouriera0 Z 0Z πZ1 π1 1 dx 2 dxf (x) dx π ππ π0 1 [ x]0 π [2 x]π0π 1SkConvergenciaan TI:aoTI:an TI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn Z1 πf (x) cos(n x) dxπ π Z 0Z π1 1 cos(n x) dx 2 cos(n x) dxπ π 0 !sen(n x) 01sen(n x) π 2 πnn π0

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasa0IntroSerie ctaHechos 2ComplejasTI:cnZ1 πf (x) cos(n x) dxπ π Z 0Z π1 1 cos(n x) dx 2 cos(n x) dxπ π 0 !sen(n x) 01sen(n x) π 2 πnn π0 0an TI:aoHechos 1 Z 0Z πZ1 π1 1 dx 2 dxf (x) dx π ππ π0 1 [ x]0 π [2 x]π0π 1an

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnbn 1πZπf (x) sen(n x) dx π

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnbn Z1 πf (x) sen(n x) dxπ π Z 0Z π1 1 sen(n x) dx 2 sen(n x) dxπ π0

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie deFourierbn SkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn Z1 πf (x) sen(n x) dxπ π Z 0Z π1 1 sen(n x) dx 2 sen(n x) dxπ π0 !1cos(n x) πcos(n x) 0 2πnn π0

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie deFourierbn SkConvergenciaTI:ao TI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnbn Z1 πf (x) sen(n x) dxπ π Z 0Z π1 1 sen(n x) dx 2 sen(n x) dxπ π0 !1cos(n x) πcos(n x) 0 2πnn π03 (1 ( 1)n )nπ

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasAlgunas sumas parciales:S1 S2 12 6πsen(x)S3 S4 12 6πsen(x) 2πsen(3 x)S5 S6 12 6πsen(x) 2πsen(3 x) 65πsen(5 x)S7 S8 162 π sen(x)67 π sen(7 x)2πsen(3 x) 65πsen(5 x) S9 S10 1622 π sen(x) π sen(3 x)627 π sen(7 x) 3 π sen(9 x)65πsen(5 x) S11 S12 16262 π sen(x) π sen(3 x) 5 π sen(5 x) 6267 π sen(7 x) 3 π sen(9 x) 11 π sen(11 x)IntroSerie deFourierSkConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI:f TI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πIntroSerie echos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS1Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS3Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS5Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS7Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS9Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS11Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS13Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 2Resumen: Expanda en una Serie de Fourier la función: 1 para π x 0f (x) 2para0 x πLos coeficientes de la serie de Fourier quedaron:Serie deFourierSka0 1, an 0, bn Convergencia3 (1 ( 1)n )nπTI:aoTI:anTI:bn2TI:fTI:UsoS15Hechos 1Compacta πOπHechos 2ComplejasTI:cn 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnCondiciones de convergenciaSea f (x) una función periódica definida en un intervalo delongitud T continua, excepto posiblemente en un número finitode puntos donde tiene discontinuidades finitas y que poseederivada continua también excepto en número finito de puntosdonde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie deFourier para f (x) converge a f (x) en todo punto decontinuidad y en los puntos de discontinuidad la serie deFourier converge af (x ) f (x )2donde f (x ) representa el lı́mite por la derecha a x y f (x )representa el lı́mite por la izquierda a x.

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnCódigo en la TI para a0

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnCódigo en la TI para an

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnCódigo en la TI para bn

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnFormato para la función de entrada

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnUso de las funciones

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie deFourierEjemplo 3Expanda en una Serie de 1 0f (x) π x x πFourier la función:para 2 π para π para0 paraπ xxxx π0π2πSkConvergenciaπTI:aoTI:anTI:bn1TI:fTI:Uso π 2 πHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnAquı́ ω0 2π4π 1/2.0π2π

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 4Expanda en una Serie de 0 2f (x) 1 0Fourier la función:para 2 xpara 1 xpara0 xpara1 x Serie deFourierSk1ConvergenciaTI:aoTI:an 2 101TI:bnTI:fTI:UsoHechos 1 2CompactaHechos 2ComplejasTI:cnAquı́ ω0 2π4 π/2.2 1012

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie deFourierSkCosas a recordar Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones periódicas conperiodo 2 π. Si f (x) es periódica con periodo T entonces f (a x) esperiódica con periodo S T /a: Pues se necesita quef (a (x S)) f (a x a S) f (a x): a S T . Entérminos de la frecuencia, tenemos que la frecuencia def (a x) es a-veces la frecuencia de f (x).ConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn Si f (x) es periódica con periodo T y g (x) es periódica conperiodo S entonces f (x) g (x) será periódica sii existenenteros positivos n y m tales que n · T m · S. Pues senecesita encontrar un cierto número de veces que ambosperiodos se repitan. Si f (x) es periódica con periodo T entonces paracualquier entero positivo n, f (x) f (n x) es una funciónperiódica con periodo T .

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie deFourierForma compacta de la series FourierLa serie de Fourier: a0 X2πn2πn an cosx bn senx2TTn 1se puede escribir en la forma compacta:SkConvergenciaA0 TI:aon 1TI:anTI:bnTI:f XCompactaHechos 2ComplejasTI:cnAn cos2πnx φnT dondeTI:UsoHechos 1 A0 a0 /2, An qbnan2 bn2 , φn tan 1an

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroEjemplo 5Expanda en una Serie de Fourier la función: f (x) e x para 0 x 0.5Serie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn0.5

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnProblema anterior realizado mediante la calculadora.

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroAmplitud y fase del ejemplo 5A0 0.787AnA1 0.125Serie deFourierSk4 π 8 π 12 π 16 π 20 π 24 πConvergenciaTI:aoTI:anφnTI:bn4 π 8 π 12 π 16 π 20 π 24 πTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnω π/2ω

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIdeasUsando la fórmula de Euler e a i cos(a) sen(a) i y suvariante e a i cos(a) sen(a) i, tenemos:cos(a) e a i e a ie a i e a iy sen(a) 22iIntroSerie deFourierSkpor tanto, el términofk (x) ak cos(k ω0 x) bk sen(k ω0 x)ConvergenciaTI:aoTI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2puede escribirse como k ω x i k ω x i k ω x i k ω x i o eooe o e bfk (x) ak ek22i 12si definimos los coeficientes de las exponenciales e k ωo x i y dee k ωo x i comoComplejasTI:cn(ak bk i) e k ωo x i 12 (ak bk i) e k ωo x ick 11(ak bk i) y c k (ak bk i)22

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasEntonces la serie de Fourier f (x) a0 X (an cos (n ω0 x) bn sen (n ω0 x))2n 1IntroSerie deFourierpodrı́a escribirse como:SkConvergenciaf (x) TI:aoTI:an TI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn a0 X cn e n ωo x i c n e n ωo x i2n 1 Xa0 Xn ωo x icn e c n e n ωo x i 2n 1n 1 Xa0 X cn e n ωo x i cn e n ωo x i2n 1n 1

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierSeries complejas de FourierLa serie compleja de Fourier de una función f (x) perı́odicadefinida en el intervalo de longitud T está dada por la fórmulaDepartamentodeMatemáticas XIntron Serie deFourierSkc n e n ωo x idondeConvergenciaTI:aoω0 2πTcn 1TTI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnZf (x) e n ω0 x i dx para n 0, 1, 2, 3, . . .TRelación entre la forma compacta y la compleja: (cn c n ) iAn 2 cn , φn tan 1cn c n

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie deFourierEjemplo 6Expanda en una Serie 01f (x) 0de Fourier la función:para 1/2 xpara 1/4 xpara1/4 xSkConvergenciaTI:ao1TI:anTI:bnTI:fTI:UsoHechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn 1/2 1/4 01/41/2 1/4 1/4 1/2

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnCódigo en la TI para cn

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnEjemplo para cn

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnc0 mediante lı́mites

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnVarios ci

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasPotencia mediaLa potencia media de una señal periódica f (x) con perı́odo Tse define como:. 1Pmedia TZ f (x) 2 dxTIntroSerie deFourierSkLa relación de Parseval para las series de Fourier en el caso dela serie de Fourier compleja se expresa como:ConvergenciaTI:aoPmedia TI:an X cn 2n TI:bnTI:fTI:Usoy en el caso de la serie de Fourier real:Hechos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnPmedia1 2 ao2 X 2 an bn22n 1!

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnPara poder responder la pregunta:¿cuántos términos de la serie de Fourier se debentomar para aproximar razonablemente una funciónperiódica?La clave puede estar en la potencia media. Se calcula lapotencia media y establece un nivel en el cual se deseaaproximarla. Digamos un 95% o un 99%. Con esto se vanrealizando sumas parciales de la fórmula de Parseval hastaalcanzar el nivel de aproximación deseado. Aunque serı́adeseable determinar analı́ticamente para un nivel deaproximación el valor no en el cual se obtiene la aproximación,en general, es muy difı́cil tener dicho valor.

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasEjemploPara la función f (x) 0π xpara π xpara0 x 0 πIntroSerie deFourierSkdetermine el porcentaje de la potencia media que aproximatomar la 20-ésima suma hos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cn πOπ

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnDefinición de la funciónDefiniremos la función en el formato requerido yaprovecharemos que cuando aplicamos fa0(f 2 ) entregaZZ112f (x) dx 2f (x)2 dx 2 PmediaT /2 TT T

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnDeterminación de a0 , an y bn

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnGeneración de a1 a a20 y b1 a b20

MatemáticasAvanzadasparaIngenierı́a:Series deFourierDepartamentodeMatemáticasIntroSerie chos 1CompactaHechos 2ComplejasTI:cnPotencia media en S20 y su comparación contrala de f (x): Tenemos una aproximación del 98%

Avanzadas para Ingenier a: Series de Fourier Departamento de Matem aticas Intro Serie de Fourier Sk Convergencia TI:ao TI:an TI:bn TI:f TI:Uso Hechos 1 Compacta Hechos 2 Complejas TI:cn TI:cn para f Potencia Ejemplo 1 Expanda en una Serie de Fourier la funci on: f (x) ˆ 0 para ˇ x 0 ˇ x para 0 x ˇ ˇ ˇ ˇ O Aqu ! 0 2ˇ 2ˇ 1.