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L AM O D E L A C I Ó NE NL A SM A T E M Á T I C A SA V A N Z A D A SP A R AL AI N G E N I E R Í ALa Modelaciónen las matemáticasavanzadas parala ingenieríaYoana Acevedo Ricoyoana.acevedo@upb.edu.coUniversidad Pontificia Bolivariana Seccional BucaramangaRECIBIDO EL 15 DE JULIO DE 2015 - ACEPTADO EL 21 DE JULIO DE 2015ResumenEn este artículo se socializará una experienciade formación de ingenieros. La población sonestudiantes de ingeniería de la UniversidadPontificia Bolivariana Seccional Bucaramangainscritos en el curso de Ecuaciones Diferenciales.Se implementa una estrategia didáctica centradaen la modelación matemática, para este caso, elestudiante inicia con la situación problemáticareal hasta un modelo matemático de ecuacionesdiferenciales de primer o segundo orden quedescriba dicha situación, comparando si laspredicciones ofrecidas por el modelo y los datosobtenidos experimentalmente son cercanos,para de esta forma buscar una resolución adicha situación. Los modelos seleccionadosdeben tener aplicación a una ingeniería o auna problemática que pueda solucionarseinterdisciplinariamente. Las fases del proceso demodelación (situación solucionesverificación del modelo) permiten realizarun acompañamiento del mismo, así comoevaluarlo. El docente-investigador realiza unanálisis a partir de las observaciones obtenidas·1 1 3·B O L E T Í Ndurante el proceso y los productos obtenidos alfinalizar la experiencia, adicionalmente se haceun análisis al rendimiento de los estudiantes entres pruebas escritas. Los datos recolectados através de las observaciones durante experienciaevidencian cambio de hábitos de estudio,reflejado en una mayor organización del tiempo,mayor habilidad en la toma de apuntes, mayoratención y concentración en clase, entre otros.En las pruebas escritas se encontró un mayorrendimiento en la resolución de problemas.Palabras claves: atemática,ecuacionesIntroducciónSegún los datos estadísticos de rendimientoacadémico 2010-2013 del Departamento deadmisiones, registro y control de la UniversidadPontificia Bolivariana Seccional Bucaramangaes preocupante el bajo rendimiento de susestudiantes en las asignaturas de matemáticasdel ciclo básico de la Escuela de Ingeniería.Este panorama lleva a sus docentes a hacer unarevisión al diseño tanto metodológico como deV I R T U A L - J U L I O -V O L4 - 7I S N N2 2 6 6 - 1 5 3 6

L AM O D E L A C I Ó NE NL A SM A T E M Á T I C A Sevaluación de las asignaturas de matemáticasofrecidas en el ciclo básico de Ingeniería.Se toma el caso específico de la asignaturaEcuaciones Diferenciales, siendo esta, unaasignatura del cuarto semestre, con estudiantesque finalizan dicho ciclo. Y se planteancambios en dos aspectos: la aplicabilidad dela asignatura en la Ingeniería y el seguimientoy acompañamiento por parte del docenteen el trabajo independiente del estudiante(aprovechamiento del tiempo y la adquisiciónde hábitos de estudio), que le permitan aéste, ser protagonista activo de su proceso deaprendizaje.A V A N Z A D A S2.·B O L E T Í NI N G E N I E R Í AV I R T U A L - J U L I O -MétodoLa problemática que aborda estaexperiencia de aula surge de lareflexión sobre la práctica educativaque constituye el eje de la profesióndel docente, con la intencionalidad demejorar el rendimiento académico enla asignatura ecuaciones diferencialesy potencializar las capacidades de losestudiantes a través de la modelaciónmatemática. Es desde estos parámetrosque se define una metodología deinvestigación mixta, enmarcada desdelos dos paradigmas, cuantitativo,validando la implementación de laestrategia a través de la comparaciónde los resultados obtenidos en dospruebas escritas y cualitativo por elcontinuo acercamiento entre el docenteinvestigador y el objeto de estudio através de la observación realizadas enla implementación de la propuesta.Las técnicas e instrumentos derecolección de la información utilizadosfueron: Observaciones - portafolio: quecontiene las producciones escritas yevidencias de los avances de cadagrupo de trabajo, semanalmente eldocente-investigadorrealizaunaconsulta personal con los grupos detrabajo. Encuesta - Prueba escrita:tres pruebas escritas realizadas a losestudiantes, en la mitad y finalizando elsemestre.Es así como se implementa dicha estrategiaen la asignatura ecuaciones diferenciales conestudiantes de ingeniería ambiental, mecánica,industrial y civil, con ocho horas (semanales)de trabajo independiente. Durante el semestre,deben desarrollar dos proyectos con modelosde ecuaciones diferenciales de primer orden y1 1 4L Asuperior, los problemas seleccionados deben seraplicación a una carrera (proyectos con gruposde una misma carrera) o una problemática quedeba ser abordada de manera interdisciplinaria(proyectos con grupos de diferentes carreras).Teniendo en cuenta lo anterior, se diseña unaestrategia didáctica basada en la modelaciónmatemática, en la que los modelos se utilizanpara estructurar y promover el proceso deaprendizaje de los estudiantes. Considerando lamodelación como un contexto de aprendizaje enel que se invita a los estudiantes a cuestionar einvestigar situaciones referidas a la realidad através del uso de las matemáticas, que les brindauna oportunidad para discutir tanto el papel deéstas en la sociedad como la naturaleza de losmodelos matemáticos. Cualquier representaciónde la situación a través de las matemáticas seconsidera un modelo matemático (Barbosa, 2003y 2006). Mostrando a las matemáticas como unaactividad humana y, como tal, se desarrolla apartir de modelos originados de situaciones en uncontexto específico real. Los modelos funcionanentonces como puentes que conducen haciauna mayor comprensión de las matemáticas conla finalidad de que su conocimiento progrese yevolucione. (Freudenthal, 1991).·P A R APara el desarrollo de cada proyecto seproponen cuatro fases de modelacióna los estudiantes así: elegir laV O L4 - 7I S N N2 2 6 6 - 1 5 3 6

L AM O D E L A C I Ó NE NL A SM A T E M Á T I C A Ssituación problemática (propia de laingeniería), formulación matemática(a través de un modelo de ecuacionesdiferenciales), obtención de soluciones(a través del modelo matemáticoyexperimentalmente),verificacióndel modelo (comparar los datosexperimentales con los del modelomatemático).Dichas fases sirven para el seguimientoy acompañamiento del docenteinvestigadorencadaproyecto.Posteriormente se realiza un análisis apartir de las observaciones obtenidasdurante las fases y los productosobtenidos al finalizar la experiencia. Losproyectos realizados por los estudiantesson materializados por dos productos:una exposición y un artículo que cumplacon los requisitos para su divulgaciónen una revista científica. Adicionalmentese hace un análisis al rendimiento delos estudiantes en tres pruebas escritasque se aplicaron en la mitad y al finalizarel semestre.3.Análisis y ResultadosAnálisis y resultados del portafolio (observacionesdel maestro-investigador en los proyectos):En cada proyecto encontramos las siguientessituaciones problema cuyo modelo matemáticoes una ecuación diferencial de primer orden osuperior:A V A N Z A D A SP A R AL AI N G E N I E R Í AüCadenas de MarkovüCircuitosüDeflexión de una vigaüSistemas dinámicosEl análisis de las observaciones realizadasdurante la implementación de la propuestadidáctica se aborda de acuerdo a las fases enque se dividió dicha propuesta. Cabe señalarque por grupo se realizaron dos proyectos, unode un modelo de ecuación diferencial de primerorden y otro de orden superior, el primer proyectose desarrolló en las primeras 8 semanas y elsegundo en 7 semanas. Finalizando cada unode estos se realizó la exposición y la entrega delartículo.A continuación se hará una descripción de cadafase, teniendo en cuenta que en cada proyectolos estudiantes pasaron por las 4 fases. Ademásse darán a conocer algunas observacionesrealizadas por el maestro-investigador en losgrupos.--Primera fase— elegir la situación problemática(propia de la ingeniería). En esta fase losestudiantes realizan una consulta exhaustivadel estado del arte del modelo matemático, asícomo la problemática que desean abordar, através de la base de datos académicas ofrecidapor la Dirección general de investigacionesde la universidad, finalizando esta etapa, losestudiantes deben entregar un anteproyecto.üDinámica poblacionalüDecaimiento radioactivoüLey de newtoncalentamientoüMezclasEn esta fase se puede observar a través delportafolio, que la recopilación de la informaciónes muy general, en algunos grupos se observapocos avances y deben ser orientados porla docente. Finalizado el tiempo para estafase la mayoría de los grupos completan susinvestigaciones preliminares y realizan laentrega del anteproyecto.üDrenado de un tanque--Segunda·1 1 5de·enfriamientoB O L E T Í NyV I R T U A L - J U L I O -V O L4 - 7fase—I S N Nformulación2 2 6 6 - 1 5 3 6matemática

L AM O D E L A C I Ó NE NL A SM A T E M Á T I C A S(a través de un modelo de ecuacionesdiferenciales). En esta fase se debe modelar elproblema a través de una ecuación diferencial,así como resolverla y hacer un análisis teóricode dicho modelo. Además, se debe decidirlas variables a tener en cuenta durante larecolección de los datos experimentales.En esta fase se puede observar a través delportafolio, que los modelos matemáticos debíanser ajustados para la recolección de los datosexperimentales, puesto que el manejo demuchas variables llevan a un margen de erroralto. Al finalizar esta etapa la gran mayoría delos grupos realizan la recolección de los datos yajustan el modelo a su necesidad.--Tercera fase— obtención de soluciones(a través del modelo matemático yexperimentalmente). En esta fase se recolectanlos datos experimentales y hace un análisis entrelos datos encontrados y los datos obtenidos através de la ecuación diferencial.En esta fase se puede observar a travésdel portafolio, que los grupos realizaron larecolección de datos en los laboratorios de lasasignaturas del ciclo profesional y recurrierona la orientación de docentes especializados enesta área.--Cuarta fase— verificación del modelo(comparar los datos experimentales con losdel modelo matemático). Los estudiantesrealizan el contraste entre los datos obtenidos·1 1 6·B O L E T Í NA V A N Z A D A SP A R AL AI N G E N I E R Í Aexperimentalmente y los datos que arrojanel modelo matemático, sabiendo que ambossolucionan el problema, deben encontrar ladiferencia entre estos datos.En esta fase se puede observar a través delportafolio, que algunos grupos realizaronnuevamente la recolección de datos, ya quelos valores no se ajustaban, en otros casoslas ecuaciones diferenciales seleccionadas nomodelaban el problema de manera confiable.En la socialización cada grupo es evaluadopor todos los grupos y el docente, se evalúael proceso y las metas alcanzadas por cadagrupo tanto a nivel colectivo como individual.Se realizaron dos socializaciones, una por cadamodelo. En general, se obtuvieron proyectosde muy alto nivel, tanto en la aplicabilidad auna situación propia de la ingeniería como losprocedimientos matemáticos utilizados.Análisis y resultados de la encuesta (trespruebas escritas):Las pruebas escritas median los niveles deaprendizaje de modelación matemática yresolución de problemas, aplicando ecuacionesdiferenciales de primer orden (1 prueba), ordensuperior (2 prueba), y diversos (3 prueba). Laspruebas fueron realizadas en las semanas8, 15 y 16. A continuación se muestran losresultados de las tres pruebas realizadas por losestudiantes. Ver Tabla 1.Tabla 1. Resultados de las tres pruebas escritasV I R T U A L - J U L I O -V O L4 - 7I S N N2 2 6 6 - 1 5 3 6