WIXLIB

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Miércoles 5 de Febrero de 2020.Funciones logarítmicas:z e w , w ln z, w ln r i (θ 2kπ ) k 0, 1, 2; z reiθ rei (θ 2 kπ )Funciones trigonométricas inversas:()())cosh 1 z ln z z 2 1 ;()tanh 1 z ; 1 1 z ln ;2 1 z coth 1 z 1 z 1 ln 2 z 1 111 1 iz sen 1 z ln iz 1 z 2 ; cos 1 z ln z z 2 1 ; tan 1 z ln ;ii2i 1 iz 1 i z 2 1 1 1 1 z 2 1 z i csc 1 z ln ; sec 1 z ln ; cot 1 z ln i ziz2iz i Funciones hiperbólicas inversas:(senh 1 z ln z z 2 1 ;2 1 z2 1 ; sec h 1 z ln 1 1 zcsc h 1 z ln zz Funciones algebraicas y trascendentales:P0 ( z )wn P1 ( z )wn 1 Pn 1 ( z )w Pn ( z ) 0; P0 ( z ) 0, n z , w f ( z )Ejemplo:Demostrar sen z cos z 122Probar que se cumple:1sen z)(1ln iz 1 z 2 al escoger la rama principal sen 1 z de para la cualisen 1 0 0wSea f ( z)1( z 2 1) 2 , mostrar que z i son los puntos de ramificación de f ( z ) .Límite de una función de variable compleja.Seaf ( z ) definida y unívoca en una vecindad de z z0 con la posible excepción de z0 (o sea, en unavecindad reducida deescribimosz0 ). Decimos que el número l es el límite de f ( z ) cuando z tiende a z0 ylím f ( z ) l si para cualquier número positivo ε (posiblemente muy pequeño) podemosz z0encontrar algún número positivoδ(generalmente depende deε) tal quef ( z ) l ε cuando0 z z0 δ .http://dcb.fi-c.unam.mx/2

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Miércoles 5 de Febrero de 2020.Teoremas sobre límitesSilím f ( z ) A y lím g ( z ) B , entoncesz z0z z0lím { f ( z ) g ( z )} lím f ( z ) lím g ( z ) A B1.z z0z z0z z0lím { f ( z ) g ( z )} lím f ( z ) lím g ( z ) A B2.z z0z z0 lím { f ( z ) g ( z )}3.z z0f ( z)lím z z0 g ( z )4.z z0lím f ( z )}{ lím g ( z )}{ z z0z z0ABlím f ( z ) A , B 0lím g ( z ) Bz z0z z01el punto z 0 (o sea, el origen) es aplicado en w , llamado elzpunto en el infinito en el plano w . Análogamente denotamos por z el punto en el infinito en el planoz.Por medio de la transformaciónw Límite cuando z Decimos quelím f ( z ) l o que f ( z ) tiende a l cuando z tiende a infinito, si para cualquier ε 0z podemos encontrarLímite cuandoDecimos queN 0M 0 tal que f ( z ) l ε cuando z M .z z0lím f ( z ) o que f ( z ) tiende a infinito cuando z tiende a z0 , si para cualquierz z0podemos encontrarδ 0tal quef ( z ) N cuando 0 z z0 δ .Continuidad de una función de variable complejaSea f ( z ) definida y unívoca en una vecindad decontinua enz z0 así como en z z0 . La función f ( z ) se llamaz z0 , si lím f ( z ) f ( z0 ) . Observe que para que f ( z ) sea continua en z z0 debez z0cumplir:1.2.lím f ( z ) l debe existirz z0f ( z0 ) debe existir, o sea f ( z ) está definida en z0http://dcb.fi-c.unam.mx/3

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Miércoles 5 de Febrero de 2020.l f ( z0 )3.Continuidad uniformeUna función f ( z ) es llamada continua en una región si es continua en todos los puntos de la región.Entonces por definición, en cada puntocual en general depende deSi podemos encontrarδεz0 de la región y para cada ε 0 , podemos encontrar δ 0 (ely del punto particularque dependa deεz0 ) tal que f ( z ) f ( z0 ) ε cuando z z0 δ .pero no del punto particularz0 se dice que f ( z ) esuniformemente continua en la región.EJEMPLOSUtilizando teoremas sobre límites comprobar:2.3.()lím z 2 5 z 10 5 3i1.z 1 ilím(2 z 3)(z 1) 1 11 iz 2 2z 42 43z 833límπ 4i 2i z 4 z 16 8 8z 2e 3z 2 iCIERREEstudiar: Derivada de funciones de variable compleja.http://dcb.fi-c.unam.mx/4

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Viernes 7 de Febrero de 2020.APERTURA1.Introducción a MATLAB.Introducción a matlab. Basado en el uso de matrices. Algunos comandos: date, calendar, pwd, ls, dir, help,demo, etc. Comprensión del significado de vector, dimensión (size), suma de vectores, producto punto (dot) yproducto cruz (cross). Solución de ecuaciones algebraicas solve, obtención de límite de funciones limit,aproximación a la derivada diff, cálculo de integrales int; raíces de polinomios roots, determinante de unamatriz det(A); etc. Realizar operaciones de suma, resta, producto y división con números complejos,identificando módulo y argumento.Comprensión para graficar funciones dadas en forma explícita, establecer dominio de la variableindependiente mediante el concepto de partición y establecer la variable dependiente. Comando útilesasociados a la descripción de gráficas: plot, xlabel, ylabel, zlabel, title, grid, legend, figure, hold on, hold off.Con base en lo anterior invocar al editor mediante edit y hacer uso de archivos script identificados comoarchivo.m y después modificarlos para graficar algunas funciones: Constante, Identidad, Valor absoluto,Cuadrática, Cúbica, Polinomial, Raíz cuadrada, Raíz cúbica, Trigonométricas (seno y coseno); etc.Comprensión del concepto de mapeo de una función de variable compleja.Comprender la sintaxis para graficar ecuaciones dadas en forma paramétrica con el comando plot y plot3asociados a dos y tres dimensiones. Casos particulares: círculo, elipse, hipérbola y una hélice. Introducción acurvas en el espacio y determinación de ejes coordenados. Comentar la importancia de poder graficar en otrossistemas coordenados tal como: coordenadas polares, cilíndricas o esféricas. Graficar algunas funciones:Cardioide, Espiral de Arquímides, Astroide, Folio de Descartes, Lemniscata.Dar la idea fundamental para graficar superficies definiendo el dominio en el plano X-Y mediante una retículausando meshgrid y posteriormente proceder a la gráfica de superficies usando surf. Algunos ejemplos son:planos en el espacio, cilindros, conos, paraboloides, paraboloides hiperbólicos, etc. También identificarvisualmente la intersección de superficies en el espacio. Asociar curvas de nivel y contornos.A continuación se procede con la gráfica las funciones seno y coseno en el plano y se crea el script en eleditor para ser ejecutado en la línea de comandos.1.Código en matlab:%UNAM.FI.DCB%MATEMÁTICAS AVANZADAS%FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASx -2*pi:0.1:2*pi;y1 sin(x);y2 cos(x);plot(x,y1,x,y2);xlabel('EJE X');ylabel('EJE Y');title('FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS');grid;legend('sen x','cos x');Ahora, se resuelve en matlab el siguiente ejemplo:2.Encuentre la imagen en el plano w de la rectay 2 x 4, x 1, 3 en el plano z ,z x iy bajo el mapeo w 2 z 6 .http://dcb.fi-c.unam.mx/1

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Viernes 7 de Febrero de 2020.Las líneas de código en el script de matlab son:x -1:0.1:3;y 2*x 4;plot(x,y);xlabel('Eje x');ylabel('Eje y');grid;title('Gráfica en plano z');figure();z x i*y;w 2*z 6;plot(w);grid;xlabel('Eje u');ylabel('Eje v');title('Gráfica en plano w');Las gráficas en el plano z y en el plano w se muestran a continuación:Ejemplo: Dada la función y 1x y considerando z x iy ; trazar el mapeo (usando matlab) en el plano2w mediante las transformaciones:w1 z; w2 2 z; w3 z 1; w4 z i; w5 z 2Ejemplo: Dadoz1 1 2i obtener el mapeo (usando matlab) de w z1 z .Ejemplo: Usando matlab analizar el mapeo de w http://dcb.fi-c.unam.mx/z 1z 12

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Viernes 7 de Febrero de 2020.Derivada de la función de una variable complejaw f z en el punto z si existe el límitedwf z z f z w u v u vcuando z tiende a f z lím lím i i z 0 z 0 zdz z x x y ySellamaderivadadelafuncióncero.Funciones analíticasf z existe en todo punto z de una región , entonces diremos que f z es analítica en y nos referiremos a ella como una función analítica en . Los términos regular y holomorfa son usadosSi la derivadaalgunas veces como sinónimos de analítica.Ecuaciones Cauchy-RiemannUna condición necesaria para quew f z u x, y iv x, y sea analítica en una región es que, en , u y v satisfagan las condiciones de Cauchy-Riemann u v u v , x y y xLas funciones u x, y y v x, y que satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann son llamadas algunasveces funciones conjugadas.Ejemplos:f z z 2 y verificar que se cumplen las condiciones de1.Obtenga la derivada de la funciónCauchy-Riemann.2.Dada3.Verificar que las partes real e imaginaria de las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones deCauchy-Riemann y deducir entonces que cada función es analítica.u x, y x 2 y 2 2 x , encuentre la función conjugada v x, y f z u x, y iv x, y es una función analítica de z en todo el plano z . a f z z 2 5iz 3 i, b f z ze z , c talquef z sen 2 zFUNCIONES ARMÓNICASDada w f z u x, y iv x, y y si las segundas derivadas parciales de u y v con respecto a x ey existen y son continuas en una región , entonces de las ecuaciones de Cauchy-Riemann u v u v , x y y xSe obtienehttp://dcb.fi-c.unam.mx/3

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Viernes 7 de Febrero de 2020. 2u 2u 0 x 2 y 2 2v 2v 0 x 2 y 2Las partes real e imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación de Laplace 2 2 0 x 2 y 2 2 0 2 2 2 x 2 y 2El operador es llamado usualmente el laplaciano.2Ejemplo: Demostrar queu x, y e x x sen y y cos y es armónica; encontrar v tal quef z u iv es analítica. Hallar f z .FAMILIAS ORTOGONALESSi w f z u x, y iv x, y es analítica; entonces las familias de curvas de un parámetrou x, y , v x, y donde y son constantes, son ortogonales, es decir, cada elemento de unafamilia es perpendicular a cada elemento de la otra familia en su punto de intersección. Las curvas imágenescorrespondientes en el plano w consistente de rectas paralelas a los ejes u y v , constituyen tambiénfamilias ortogonales. Cuando la función f z es analítica el ángulo entre dos curvas C1 y C 2 en el planoz será igual (en magnitud y sentido) al ángulo entre las curvas imágenes C1' y C2' correspondientes en elplano w .CURVAS t t son funciones de variable real t supuestas continuas en t1 t t2 , las ecuacionesparamétricas z x iy t i t z t definen una curva continua o arco en el plano z que unelos puntos a z t1 y b z t 2 . Si t1 t 2 mientras z t1 z t 2 , los puntos finales coinciden y la curvase llama cerrada. Una curva cerrada que no se interseca a sí misma se llama curva simple cerrada. Si t y t tienen derivadas continuas en t1 t t2 la curva es llamada frecuentemente una curva lisa o arco.SiyCIERREEstudiar: Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano.http://dcb.fi-c.unam.mx/4

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Miércoles 12 de Febrero de 2020.APERTURADERIVADADadaz x iy y considerando el parámetro t entoncesdz dx dyconocida como la velocidad. idt dtdt z z z z , G z, z 2i 2Coordenadas conjugadas: F x, y F Operadores: ; x z z Operador nabla: i y z z i 2 ; i 2 x y z x y z x, y P x, y iQ x, y , entonces el Gradiente, la Divergencia, el Rotacional y elConsiderando ALaplaciano son: B A i P x, y iQ x, y 2 z x y P Q A Re A Re i P iQ x y x y Q P A Im A Im i P iQ x y x y 2 2 2 2 Re Re i i 2 2 4 z z x y x y x yEjemplo: Sea f z Ejemplo: DemostrarEjemplo: Derivar1 zhallar f z 1 zd1ln z dzzf z cos2 2 z 3i z10 1z i z6 1Ejemplo: Calcular el límite límhttp://dcb.fi-c.unam.mx/1

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEEjemplo: SeaA x, y 2 xy ix2 y 3Clave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Miércoles 12 de Febrero de 2020. A, A, A, 2 AhallarAPLICACIÓN DE UN SEMI-PLANO SOBRE UN CÍRCULOSeaz0 cualquier punto P en el semi-plano superior del plano z denotado por . La transformación z z0 w ei 0 z z0 Aplica este semi-plano superior de una manera biunívoca sobre el interior del círculo de radio unitariow 1 , y recíprocamente. Cada punto del eje x se aplica sobre la frontera del círculo.LA TRANSFORMACIÓN DE CHRISTOFFEL-SCHWARZw1 , w2 , , wnw1 , w2 , , wn seConsidere un polígono en el plano w teniendo vértices encorrespondientesen los puntos 1 , 2 , , nrespectivamente. Los puntoscon ángulos interioresaplican respectivamentex1 , x2 , , xn sobre el eje real del plano z .Una transformación que aplica el interior del polígono del plano w sobre el semi-plano superiorplano z y la frontera del polígono sobre el eje real, está dada por deldw 1 1 1 A z x1 1 z x2 2 z xn ndzw A z x1 1 1Donde z x2 2 1 z xn n 1dz BA y B son constantes complejas.Considérese tener en cuenta:x1 , x2 , , xn se pueden elegir arbitrariamente.2. Las constantes A y B determinan el tamaño, orientación y posición del polígono.3. Es conveniente escoger un punto xn en el infinito.1.Tres de los puntos4.Polígonos abiertos infinitos se pueden considerar casos límites de polígonos cerrados.La transformación de Schwarz-Christoffel se aplica a problemas de flujo de fluidos y de la teoría de potencialelectrostático. Matemáticos alemanes, Schwarz (1843-1921) y Christoffel (1829-1900).CIERREEstudiar: Integral de una función de variable compleja.http://dcb.fi-c.unam.mx/2

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Viernes 14 de Febrero de 2020.APERTURAINTEGRALES INDEFINIDASf z y F z son analíticas en una región tal que F z f z , entonces F z se llama integralindefinida o antiderivada de f z denotada por F z f z dz .SiINTEGRALES COMPLEJAS DE LÍNEASea f z continua en todos los puntos de una curva C de longitud finita. Se llama integral compleja de líneadefinida desde a a b lo largo de la curva C . f z dz, f z dzbaCSi f z es analítica en todos los puntos de una región y si C es una curva en , entonces f z esintegrable a lo largo deC . Si f z u x, y i v x, y , entonces f z dz u iv dx i dy CCCu dx v dy i v dx u dyCPROPIEDADES DE LAS INTEGRALESSi f z y g z son integrables a lo largo de C , entonces1. f z g z dz f z dz g z dz2. 3. f z dz f z dz4. f z dz f z dz f z dz , a, b, m están en C5. f z dz ML donde f z MCCCCA f z dz A f z dz , A es una constanteCbaabbmbaamCla longitud deo sea M es una cota superior de f z sobreC y L esC.REGIONES SIMPLE Y MULTIPLEMENTE CONEXASUna región se llama simplemente conexa si cualquier curva simple cerrada contenida en se puedecontraer a un punto sin salirnos de . Una región que no es simplemente conexa se llama múltiplementeconexa.http://dcb.fi-c.unam.mx/1

UNAM. FACULTAD DE INGENIERÍA.COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS.DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS.Asignatura: Matemáticas avanzadas.Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez.Horario: 7:00 a 9:00 horasDías: MIE y VIEClave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2e-mail: glopezx1y2@hotmail.comSalón: J208Fecha: Viernes 14 de Febrero de 2020.FORMA COMPLEJA DEL TEOREMA DE GREENF z , z continua y con derivadas parciales continuas en una región y sobre su frontera C , dondez x iy , z x iy son las coordenadas conjugadas complejas. Entonces, el Teorema de Green se puedeSeaescribir en la forma F F z, z dz 2i zCdA donde dA representa el elemento diferencial de área dxdy .TEOREMA DE CAUCHY-GOURSATSeaf z analítica en una región y sobre su frontera C . Entonces f z dz 0 .CEste teorema fundamental, llamado usualmente el Teorema integral de Cauchy es válido para regiones simpley múltiplemente conexas.TEOREMA DE MORERASeaf z continua en una región simplemente conexa y supongamos que f z dz 0C Alrededor de cada curva simple cerrada C en . Por esta razón, f z es analítica en . Este teorema,debi

COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AVANZADAS. Asignatura: Matemáticas avanzadas. Clave: 1424; Grupo: 02; Semestre: 2020-2 Profesor: M. en I. Gabriel López Domínguez. e-mail: glopezx1y2@hotmail.com Horario: 7:00 a 9:00 horas Salón: J208 Días: MIE y VIE Fecha: Viernes 31 de Enero de 2020. APERTURA