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Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato1TEMA 5 – FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS YTRIGONOMÉTRICASCOMPOSICIÓN DE FUNCIONESEJERCICIO 1 : Dadas las siguientes funciones : f x a) f g x 3 x 2y g x x 2 1, halla :4b) g g x Solución: 3 x 4 1 2 3x 4 3 2 3x4 1 g g x g g x g x 1 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2x 22a) f g x f g x f x 2 1 b)22224224EJERCICIO 2 : Las funciones f y g están definidas por f x a) f g x 2x2y g x x 1. Calcula :3b) g g f x Solución:a) f g x f g x f x 1 x 1 2 x 2 2x 13322 x 2 2 g x 1 x 1 1 x 2b) g g f x g g f x g g 3 33 3 1Explica cómo se pueden obtener porx 231composición, a partir de ellas, las siguientes funciones:p x q x 22 x 2 3x 2EJERCICIO 3 : Sabiendo que: f x 3 x 2Solución:p x f g x y g x q x g f x EJERCICIO 4 : Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir def(x) y g(x), siendo: f x 2 x 3 , g x Solución:p x f g x x 2 ,p x 2 x 2 3partir de ellas, por composición, podemos obtener: p x p x g f x q x 2 x 5q x g f x EJERCICIO 5 : Las funciones f y g están definidas por:Solución:yq x f g x f x x 13x 1y g x x . Explica cómo, a3y q x x 13

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato2INVERSA DE UNA FUNCIÓNEJERCICIO 6 : Esta es la gráfica de la función y f (x):a) Calcula f 1 0 y f 1 2 .b) Representa en los mismos ejes f 1 x a partir de la gráfica de f x .Solución: 1a) f 0 1 porque f 1 0b)f 1 2 5 porque f 5 2EJERCICIO 7 : Dada la gráfica de la función y f (x):a) Calcula f 1 1 y f 1 0 .b) Representa gráficamente en los mismos ejes f 1 x ,a partir de la gráfica de f x .Solución:a) f 1 1 0 porque f 0 1b)f 1 0 1 porque f 1 0EJERCICIO 8 : A partir de la gráfica de y f (x):a) Calcula f 1 3 y f 1 5 .b) Representa, en los mismos ejes, f 1 x .Solución: 1a) f 3 1 porque f 1 3f 1 5 4 porque f 4 5b)

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato3EJERCICIO 9 : Esta gráfica corresponde a la función y f (x):A partir de ella:a) Calcula f 1 2 y f 1 0 .b) Representa, en los mismos ejes, la función f 1 x .Solución: 1a) f 2 2 porque f 2 2b)f 1 0 2 porque f 2 0EJERCICIO 10 : Halla la función inversa de:2x 12 3x x 3 2 x 1 2 7 xa) f x b) f x c) f x d) f x e) f x 34253Solución:a) Cambiamos x por y, y despejamos la y :2y 13x 13x 1x 3 x 2 y 1 3 x 1 2y y Por tanto: f 1 x 322b) Cambiamos x por y y despejamos la y :2 3yx 4x 2 3y 3y 2 4x4y 2 4x2 4x Por tanto: f 1 x 33c) Cambiamos x por y, y despejamos la y : y 3x 2 x y 3 y 3 2 x Por tanto: f 1 x 3 2 x2d) Cambiamos x 2y 1x 5e) Cambiamos x 2 7 yx 3por y, y despejamos la y :5 x 2y 1 2y 5 x 1 5 x 1 Por tanto:2f 1 x 5 x 123x 2 y Por tanto:7f 1 x 3x 27y por y y despejamos la y :3 x 2 7 y 3 x 2 7y FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICASEJERCICIO 11 : Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:a) y 2 1–xb) y log 1 x4c) y 1 – log2 xSolución:a) La función está definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores: 1 d) y 4 x 2 La gráfica es:e) y 3 x 1

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º BachilleratoXY- -28-1402112½ 0b) Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores: XXY 1 4 0- 2 1 4 16-2 1 4 4-1 1 La gráfica es: 1 4 10012 1 4 ¼1 1 4 1/162 1 4 La gráfica será:c) Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores.XXY2 0 2 2¼32 1½220112120224-12 - d) La función está definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:XY- -21-1¼01/6411/256 La gráfica será:21/1024e) La función está definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:XY- 0-21/3-110319227 0La gráfica es: 4

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato5EJERCICIO 12 : Consideramos la gráfica:a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente.b) ¿Cuál es el dominio de dicha función?c) Estudia la continuidad y el crecimiento.Solución:a) Es una función exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4). Su expresiónanalítica es y 4 x.b) Dominio Rc) Es una función continua y creciente.EJERCICIO 13 : Considera la siguiente gráfica:a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente.b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indicacuál es su dominio de definición.Solución:a) Es una función logarítmica con base menor que 1, que pasa por los puntos (1, 0), (2, 1), 4, 2 , 1 , 1 Su expresión analítica es : y log 1 2 x 2 b) Es una función continua. Es decreciente. Dominio 0, EJERCICIO 14 :a) ¿Cuál es la expresión analítica de la función correspondiente a esta gráfica?b) Indica cuál es el dominio de definición y estudia la continuidad y el crecimiento de la función.Solución:1 a) Es una función exponencial con base menor que 1, que pasa por los puntos ( 2, 4), ( 1, 2), 1 , 2 1 Su expresión analítica será: y 2 b) Dominio R Es continua. Es decreciente.x

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato6EJERCICIO 15 :a) Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es:b) Estudia los siguientes aspectos de la función: dominio, continuidad y crecimiento.Solución:a) Es una función logarítmica que pasa por los puntos ( 1, 0), ( 3, 1), ( 9, 2). Su expresión analítica será:y log3 xb) Dominio 0, Es continua. Es creciente.EJERCICIO 16 : Asocia cada una de las siguientes gráficas con su expresión analítica:I) 1 b) y 3 II)Solución: a IIIb IVa) y 3 xxc) y log 3 xIII)c IId) y log 1 3 xIV)d IEJERCICIO 17 : Asocia a cada gráfica su ecuación: 2 a) y 3 I)xSolución: a I 3 b) y 2 II)b IVxc) y log 2 xIII)c IId IIId) y log 1 2 xIV)

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato7PROBLEMAS FUNCIONES EXPONENCIALESEJERCICIO 18 : Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de 15 000 euros, y elaumento del sueldo va a ser de un 2 anual.a) ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de dos años?b) Halla la expresión analítica que nos da su sueldo anual en función del tiempo (en años)Solución:a) Dentro de un año ganará:15 000 · 1,02 15 300 euros2Dentro de dos años ganará:15 000 · 1,02 15 606 euros.xb) Dentro de x años su sueldo será de y euros, siendo:y 15 000 · 1,02EJERCICIO 19 : En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si elprimer año se pagan 7 200 euros (en 12 recibos mensuales):a) ¿Cuánto se pagará dentro de 1 año? ¿Y dentro de 2 años?b) Obtén la función que nos dé el coste anual al cabo de x años.Solución:a) Dentro de un año se pagarán 7 200 · 1,02 7 344 euros.2Dentro de un año se pagarán 7 200 · 1,02 7 490,88 euros.xb) Dentro de x años se pagarán:y 7 200 · 1,12 eurosEJERCICIO 20 : Una población que tenía inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12 cada año.a) ¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?b) Halla la función que nos da el número de individuos según los años transcurridos.Solución:a) Dentro de un año habrá:300 · 1,12 336 individuos3Dentro de tres años habrá:300 · 1,12 421 individuosb) Dentro de x años habrá y individuos, siendo:y 300 · 1,12x (tomando y entero)EJERCICIO 21 : Un coche que nos costó 12 000 euros pierde un 12 de su valor cada año.a) ¿Cuánto valdrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?b) Obtén la función que nos da el precio del coche según los años transcurridos.Solución:a) Dentro de un año valdrá:12 000 · 0,88 10 560 eurosDentro de tres años valdrá: 12 000 · 0,883 8 177,66 eurosxb) Dentro de x años valdrá y euros, siendo: y 12 000 · 0,88EJERCICIO 22 : Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3 anual.a) ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años?b) Halla la expresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en funcióndel tiempo transcurrido (en años).Solución:a) Dentro de un año tendremos:2 000 · 1,03 2 060 euros4Dentro de cuatro años tendremos: 2 000 · 1,03 2 251,02 eurosxb) Dentro de x años tendremos y euros, siendo:y 2 000 · 1,03

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato8FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASEJERCICIO 23 : Representa la siguiente función:a) y 2 tg xb) y 1 – sen xc) y cos xd) y 3 cos x e) y 2 sen xSolución:a) Al igual que y tg x, esta función no está definida en x k , donde k es un número entero.2En estos valores hay asíntotas verticales.Además, es una función periódica de período .Hagamos una tabla con algunos valores:La gráfica sería:b) Hacemos una tabla de valores:y, teniendo en cuenta que es una función periódica, la representamos:c) La gráfica es como la de y cos x; pero la parte que estaba por debajo del eje X, ahora está por encima.Hagamos una tabla de valores:La gráfica será la siguiente:

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato9d) Hacemos una tabla de valores:y, teniendo en cuenta que es periódica, la representamos:e) Hacemos una tabla de valores:Teniendo en cuenta que es periódica, la representamos:EJERCICIO 24a) A la siguiente gráfica le corresponde una de estas expresiones analíticas. ¿Cuál? y tg x y tg x y cos xy sen x2 b) Di para qué valores está definida la función anterior, cuál es su periodo y estudia su continuidad.y tg xy tg 2 xSolución: a) y tg x 2 b) Está definida en todo R, salvo en los múltiplos de . Es periódica de periodo . Es continua en los valores en que está definida.

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato10EJERCICIO 25 : Considera la siguiente gráfica:a) Di cuál de estas expresiones analíticas le corresponde:y cos x y sen x y cos 2 xy sen 2 xb) Di cuál es su dominio de definición, cuál es su periodo y qué valores mínimo y máximo alcanza.Solución:a) y sen x b) Dominio R Periodo 2 La función to ma valores entre 1 y 1.EJERCICIO 26a) Di cuál de las siguientes expresiones se corresponde con la gráfica:b) Para la función anterior, di cuál es su dominio, estudia su continuidad e indica cuál es su periodo.Solución:a) y tg 2x b) Dominio R k 4 , es decir, está definida en R , salvo en las abscisas k ,2 42 Es continua en los puntos en los que está definida. Es periódica de periodo .2EJERCICIO 27 : Considera la siguiente gráfica y responde:a) ¿Cuál de estas es su expresión analítica?y 3 sen xy 3 cos xy 3 cos xb) ¿Cuál es su dominio de definición?d) ¿Es periódica? ¿Cuál es su periodo?siendo k números enteros.y 3 sen xc) ¿Es una función continua?e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?Solución:a) y 3 – cos xb) Dominio Rc) Sí, es continua.d) Es periódica de período 2 , pues la gráfica se repite cada 2 unidad.e) Los valores de la función están entre 2 y 4.

Tema 5 – Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas – Matemáticas CCSSI – 1º Bachillerato11EJERCICIO 28 : Considera la siguiente gráfica:a) ¿Cuál de estas expresiones analíticas le corresponde?y sen 2 xy 2sen xy cos 2 xy tg 2 xb) ¿Cuál es su dominio de definición?c) ¿Es una función continua?d) ¿Cuál es su periodo?e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?Solución:a) y sen 2xb) Dominio Rc) Sí, es continua.d) Su periodo es , pues la gráfica se repite cada unidades.e) Los valores están entre 1 y 1.EJERCICIO 29 : Obtén el valor de estas expresiones en grados:123a) y arcsenb) y arccosa) y arccos222 1 a) y arcsen b) y arccos 1a) y arccos 1 2 3 a) y arcsen 2 2 b) y arccos 2 Solución:a) y 30 b) y 45 a) y 30 b) y 45 b) y 0 a) y 180 b) y 60 a) y 60 b) y arctg 1b) y arctga) y 30 b) y 180 45 135 3

a) Dentro de un año ganará: 15 000 · 1,02 15 300 euros Dentro de dos años ganará: 15 000 · 1,022 15 606 euros. b) Dentro de x años su sueldo será de y euros, siendo: y 15 000 · 1,02x EJERCICIO 19 : En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si el