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Tema 11 – Representación de funciones – Matemáticas II – 2º BachilleratoTEMA 11 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONESEJERCICIO 1 : Representa gráficamente la función: f x x3 x 2 2x18 12Solución: Dominio R Simetrías: f x respecto al origen. Ramas infinitas: x3 x 2 2x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni1812lím f x ;x lím f x x Puntos singulares:f ' x 3x 2 2 xx2 xx 2 x 12 2 2 18 126 66f ' x 0 x 2 x 12 0 x 1 1 48 1 49 1 7 222 x 3 x 4 15 52 Puntos singulares : 3, ; 4, 4 9 Cortes con los ejes:- Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0) x2 x - Con el eje X y 0 x 2 0 18 12 x 0 x 2x 2 3x 72 0 x 3 9 576 3 585 x 5,3 44 x 6,8 Puntos: (0, 0); ( 5,3; 0) y (6,8; 0)2x 11 1 73 Puntos de inflexión:f ' ' x ; f ' ' x 0 x Punto , 62 2 72 Gráfica:EJERCICIO 2 : Dibuja la gráfica de la siguiente función: f x x2 1x3Solución: Dominio R {0} Simetrías: f ( x) f (x). Es impar: simétrica respecto al origen.lím f x x 0 Asíntotas verticales: x 0 es asíntota vertical.lím f x x 0 lím f x 0 si x , f x 0 x Asíntota horizontal: y 0 es asíntota horizontal.lím f x 0 si x , f x 0 x 1
Tema 11 – Representación de funciones – Matemáticas II – 2º Bachillerato Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:f ' x 2 x · x 3 x 2 1 · 3x 2x6f ' x 0 3 x 2 0Signo de f '(x): 2x 4 3x 4 3x 2x6 x 4 3x 2x6 x2 x2 3x62 3 x 2x4x 3f x es decreciente en ( , 3 ) ( 3 , ) ; es creciente en ( 3 , 0) (0, 3 ).Tiene un mínimo en ( 3 ; 0,38) y un máximo en ( 3; 0,38). Cortes con los ejes:- No corta al eje Y, pues en x 0 no está definida.- Con el eje X y 0 x2 1 0 x 1 Puntos ( 1, 0) y (1, 0). Gráfica:EJERCICIO 3 : Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica: f x x3x2 1Solución: Dominio R { 1, 1} Simetrías: f ( x) f (x). Es impar: simétrica respecto al origen. Asíntotas verticales:lím f x lím f x x 1 x 1 x 1 es asíntota vertical. x 1 es asíntota vertical.lím f x lím f x x 1x 1 Asíntota oblícua: y x3x y x es asíntota oblícua.x 1x 1Posición de la curva respecto a la asíntota:f (x) x 0 si x (curva por debajo).f (x) x 0 si x (curva por encima). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:f ' x 2 x 3x 2 x 2 1 x 3 · 2 x(x 2 1) 2 f ' x 0 x 2 x 2 3 0Signo de f '(x):23x 4 3x 2 2x 4( x 2 1) 2 x 4 3x 2( x 2 1) 2x 0, x 3 , x 3f x es creciente en ( , 3 ) ( 3 , ) ; es decreciente en ( 3 , 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, 3 )Tiene un máximo en ( 3; 2,6) ; un punto de inflexión en (0, 0) y un mínimo en ( 3 ; 2,6). Solo corta a los ejes en el punto (0, 0). Gráfica:
Tema 11 – Representación de funciones – Matemáticas II – 2º BachilleratoEJERCICIO 4 : Representa la función: f x 3x 4 8x 34Solución: Dominio R Simetrías: f x al origen. Ramas infinitas:3x 4 8x 3. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto4lím f x ;x lím f x x Puntos singulares:12x 3 24x 2 3x 3 6 x 2 3x 2 x 2 4 x 0f ' x 0 3x 2 x 2 0 Puntos singulares: (0, 0) y (2, 4) x 2 Cortes con los ejes:- Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0) x 0 83- Con el eje X y 0 x 3x 8 0 Puntos 0, 0 y ,8 3 x 3 Puntos de inflexión:f ''(x) 9x2 12x 3x (3x 4)f ' x f ' ' x 0 x 0, x 43 0 4 64 Puntos 0, 0 y , 3 27 Gráfica:EJERCICIO 5 : Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:f (x) 2 cos2 x, x [0, 2 ]Utilizando la información obtenida, represéntala gráficamente.Solución: Dominio [0, 2 ] Puntos de corte con los ejes:- Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1)- Con el eje X y 0 2 cos2x 0 cos2x 2 cos x 2 No tiene solución No corta al eje X. Máximos y mínimos: f '(x) 2cos x ( sen x) 2cos x sen x 3 cos x 0 x 2 , x 2f ' x 0 2cos x sen x 0 sen x 0 x 0, x , x 2 2Estudiamos el signo de f ''(x) 2 [cos x sen2x] en esos puntos:y '' 0 en x 0, x y x 2 Máximos: (0, 1), ( , 1), (2 , 1) 3 3 y' ' 0 en x y x Mínimos : , 2 ; , 2 2222 Gráfica:3
Tema 11 – Representación de funciones – Matemáticas II – 2º Bachillerato x 2 EJERCICIO 6 : Estudia y representa esta función: f x ln x 1 Solución: Dominio ( , 1) (2, ) Asíntotas:Asíntotas verticales:lím f x x 1 es asíntota vertical.x 1lím f x x 2 es asíntota vertical.x 2 x 2 ln 1 0 f x 0 lím f x lím ln x x x 1 Asíntotas horizontales x 2 lím f x lím ln ln 1 0 f x 0 x x x 1 y 0 es asíntota horizontal. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:1x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 3f ' x · · 22x 2( x 2)( x 2) ( x 1)( x 1)( x 1)x 1f '(x) 0 para todo x.Signo de f '(x):f (x) es creciente en su dominio. No corta a los ejes. Gráfica:EJERCICIO 7 : Representa la siguiente función: f x exx2 1Solución: Dominio R Asíntotas:No tiene asíntotas verticales.Asíntotas horizontaleslím f x 0 y 0 es asíntota horizontal cuando x y 0 .x f x Rama parabólica.x x x Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:lím f x ;lím4
Tema 11 – Representación de funciones – Matemáticas II – 2º Bachilleratof ' x e x x 2 1 e x · 2x 5 e x x 1 2e x x 2 2x 1( x 2 1) 2(x 2 1) 2(x 2 1) 2f '(x) 0 x 1f '(x) 0 para todo x 1 f (x) es creciente. e Hay un punto de inflexión en 1, . 2 Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X. Gráfica:EJERCICIO 8 : Estudia y representa la función: f x 1x 2 2xSolución: Dominio ( , 2) (0, )1 Simetrías: f x x 2 2xNo es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Asíntotas:Asíntotas verticales:lím f x x 2 es asíntota vertical.lím f x x 0 es asíntota vertical.x 2x 0Asíntotas horizontales:lím f x lím f x 0 x x y 0 es asíntota horizontal (f (x) 0 para todo x). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f x x 2 2xf ' x 3 1 2x 2x 2 · 2x 2 2 12 x 1 x 2 2x 3f '(x) 0 x 1 (no vale; pues f (x) no está definida en x 1).f (x) no tiene puntos singulares.Signo de f ' (x):f (x) es creciente en ( , 2) y es decreciente en (0, ). f (x) no corta a los ejes. Gráfica:EJERCICIO : Representa gráficamente la siguiente función: f (x) (1 x) exSolución: Dominio R Asíntotas:No tiene asíntotas verticales.
Tema 11 – Representación de funciones – Matemáticas II – 2º BachilleratoAsíntotas horizontales:lím f x límx x 1 x e x lím1 xx e x 0y 0 es asíntota horizontal cuando x (y 0).f x Ramas infinitas: lím f x ;lím Rama parabólica.x x x Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:f '(x) ex (1 x) ex ( 1 1 x) ex x exf '(x) 0 x 0Signo de f '(x): f (x) es creciente en ( , 0); es decreciente en (0, ). Tiene un máximo en (0, 1).Puntos de corte con los ejes:Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1)Con el eje X y 0 x 1 Punto (1, 0)Gráfica:EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente función: f x 1 x2x2 4Solución: Dominio R { 2, 2} Simetrías: f ( x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales:lím f x lím f x x 2 x 2 x 2 es asíntota vertical. x 2 es asíntota vertical.lím f x lím f x x 2 x 2 Asíntota horizontal: lím f x lím f x 1 y 1 es asíntota horizontal.x x Si x y si x , f (x) 1 La curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:f ' x x 2 4 2 2 x x 2 4 1 x 2 · 2x 2x 3 8x 2x 2x 32( x 4)2 6x x 2 4 2f '(x) 0 6x 0 x 0Signo de f' (x):1 f (x) es decreciente en ( , 2) ( 2, 0); es creciente en (0, 2) (2, ). Tiene un mínimo en 0, .4 Cortes con los ejes:11 - Con el eje Y x 0 y Punto 0, 44 - Con el eje X y 0 1 x2 0 x 1; x 1 Puntos ( 1, 0) y (1, 0) Gráfica:6
Tema 11 - Representación de funciones - Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMA 11 - REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO 1 : Representa gráficamente la función: 2x 12 x 18 x f x 3 2 Solución: Dominio R Simetrías: 2x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni 12 x 18 x f x 3 2
