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Autoría de contenidos:Ruben Darío Castañeda BarbosaModalidad:E-LearningCoordinadora de Innovación Académica:Isabel Cristina Ramos QuinteroDiseño Instruccional:Lizeth Rojas HernándezDiseño Gráfico y diagramación:Carolina Herrera RincónImágenes:ShutterstockDepartamento:Ciencias BásicasUniversidad Católica de ColombiaDecanatura AcadémicaCoordinación de Innovación Académica20182
ContenidoDIAGRAMA DE TEMAS . 5OBJETIVO GENERAL . 6INTRODUCCIÓN . 7DESARROLLO TEMÁTICO . 81.FUNCIONES Y MODELACIÓN MATEMÁTICA. 81.1Una primera aproximación . 81.2Concepto, definición y representación . 91.2.1Dominio y rango. 111.2.2Gráfica de las funciones. 141.2.3El modelo matemático . 161.3Clase de funciones: . 181.3.1Función constante: . 181.3.2Función lineal: . 201.3.3La función cuadrática:. 221.3.4Función cúbica: . 261.3.5Función escalón:. 281.3.6Función Polinomial: . 301.3.7Funciones Racionales:. 311.3.8Función compuesta: . 331.3.9Función exponencial. 341.3.10 Funciones logarítmicas: . 361.3.10.1Logaritmos Neperianos: . 371.3.10.2Propiedades de los logaritmos: . 403
1.3.11 Función par e impar: . 411.3.12 Funciones inversas:. 46Método para hallar la función inversa:. 461.3Operaciones entre funciones. 481.4Aplicaciones en el contexto de la disciplina y otras disciplinas . 49RESUMEN . 54GLOSARIO . 55BIBLIOGRAFÍA . 564
Diagrama de temasFigura 1. Diagrama de temas. Fuente: Elaboración propia5
Objetivo generalAplicar y resolver problemas a partir del concepto de función en situaciones decontexto real, de la misma disciplina y en otras ciencias en la ingeniería.6
IntroducciónEn matemáticas, la función permite crear modelos lineales, cuadráticos, cúbicos,exponenciales, etc., que contribuyen a resolver problemas en la matemática, laeconomía, la biología, la sociología, la estadística, la física y muchas otras quecontribuyen al avance de la ciencia y la tecnología en el mundo.La modelación matemática, permite aplicar modelos que imitan la realidad delmundo actual, en aquellas ciencias que admiten un comportamiento matemáticodesde la modelación.7
Desarrollo temático1. Funciones y modelación matemática1.1Una primera aproximaciónLa función como objeto de la matemática se puede entender como unatransformación a partir de elementos que pertenecen a un dominio específico dela función.Por ejemplo, si se desea saber la velocidad con que se mueve una partícula en unplano, es posible determinarla en un tiempo específico; interpretando de estamanera, que la velocidad está en función del tiempo.Algunas aplicaciones del contexto: Regla que regula la dependencia entre doscantidades u objetos variables, por ejemplo:a. El volumen de un gas, depende de la temperatura y la presión.b. La velocidad de caída de un cuerpo depende de su altura.c. El alcance horizontal de un cuerpo en tiro parabólico depende de lavelocidad inicial y el ángulo de tiro.d. Los intereses a nivel nacional dependen del D.T.F.8
1.2Concepto, definición y representaciónAlgunas definiciones:a. “Sean X y Y conjuntos de números reales. Una función 𝑓 de variable real𝑥 𝑑𝑒 X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada número𝑥 de X exactamente un número de Y.”. (Larson, 2011, p. 19).b. “Una función de un conjunto 𝑋 a un conjunto 𝑌, es una regla decorrespondencia que asigna a cada elemento 𝑥 en X exactamente unelemento de 𝑌”. (Zill y Wright, s/f, p.2).c. “Una función 𝑓 es un conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦), ninguno de loscuales tiene el mismo primer elemento”. (Apóstol, 1973, p. 65)d. “Unafunción 𝑓 esunareglaqueasignaacadaelemento𝑥 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐷 ”. exactamente un elemento 𝑓 (𝑥 ), 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐸.(Stewart, 2012, p.10)Estas son algunas definiciones que se refieren al concepto de función como algouniversal, lo que significa que la matemática también lo es.Estas son algunas definiciones que se refieren al concepto de función como algouniversal, lo que significa que la matemática también lo es.9
Ejemplo de función:La función: f(x) 2x 6 corresponde a una función lineal, cuya representación semuestra en el plano cartesiano.Figura 2. Función: f(x) 2x 6 Fuente: Elaboración propiaEs importante tener algunas consideraciones de este ejemplo:a. Su gráfica es una línea recta.b. Tiene dos puntos de corte con los ejes x, los cuales son: (-3,0); (0,6)c. Tiene una inclinación llamada pendiente positiva.10
1.2.1Dominio y rangoUna función es una regla entre dos conjuntos A y B, de tal forma que para cadaelemento 𝒙 que pertenece a A, le corresponde un ÚNICO elemento 𝒚 quepertenece al conjunto B.Al conjunto A se le conoce como dominio de la función y al conjunto B se ledenomina condominio de la función. Es importante tener en cuenta que el rangocorresponde únicamente a las imágenes relacionadas con el conjunto del dominio.Elementos de la función con mayor precisión:a. Dominio variable independiente x o conjunto de partida.b. Conjunto de llegada de la función, llamado también codominio.c. Regla: a cada valor de x se le asigna un único valor de y.d. Cada x tiene una sola imagen. Al conjunto de imágenes se le denominaRANGO.11
Ejemplo:a. El dominio corresponde a lasfiguras geométricas.b. Elrangodígitos:correspondealos{3,4,5,7}c. El rango son los elementos queson imágenes del dominio, esFigura 3. Concepto de función. Nota: Wikipedia (s/f). Funciónmatemática [Presentación en Página web] Recuperado nci%C3%B3n matem%C3%A1ticaNOTA: es importante definir claramente dos conceptos básicos referentes al conjunto de llegada.El codominio corresponde a TODOS los elementos del conjunto B. Para nuestro ejemplo, elcodominio es el conjunto:{1,2,3,4,5,7,8}.12
Ejemplo:En la tabla se muestra un grupo de personas que laboran en una oficina y serelaciona su peso en Kg.Tabla 1Concepto de funciónConjunto XConjunto YÁngela55Pedro88Manuel62Adrián88Roberto90Por tal razón el dominio corresponde a los nombres de las personas, en este caso:{Ángela, Pedro, Manuel, Adrián, Roberto},y el codominio corresponde alpeso en kilogramos de cada uno: {55, 88, 62, 90}.En este ejemplo el codominio es igual al rango.13
1.2.2Gráfica de las funcionesPara representar una función se puede hacer a través de cuatro formas:a. De forma analítica o expresión algebraica.b. A través de tablas.c. Por medio de una representación gráfica en el plano cartesiano.d. En lenguaje verbal cotidiano.Ejemplo:A menudo se usan las escalas Fahrenheit (𝑭) y Celsius (𝑪) para medir la temperatura,y su relación es la siguiente: Una temperatura de 0 C equivale a 32 F, y 100 C,equivale a 212 F.Modelando esta función, se logran las siguientes expresiones:𝟗𝑭( 𝑪) 𝟓 𝑪 𝟑𝟐 , 𝑪( 𝑭) 𝟓𝟗 ( 𝑭 𝟑𝟐)Se pueden construir tablas para cada una de las funciones y dibujar sucorrespondiente gráfica:𝑭( 𝑪) 𝟗 𝑪 𝟑𝟐𝟓14
Tabla 2𝟗Función: 𝑭( 𝑪) 𝟓 𝑪 𝟑𝟐 𝑪010203040506 𝑭32506886104122140CFigura 4. Función: 𝐹( 𝐶) D 𝐶 32 Fuente: Elaboración propiaD𝐶 ( 𝐹 ) C ( 𝐹 32)Tabla 3Función: 𝑪( 𝑭) 𝟓𝟗( 𝑭 𝟑𝟐) 𝑭14325068778695 𝑪-100102025303515
Figura 5. Función:𝑪( 𝑭) 𝟓𝟗( 𝑭 𝟑𝟐). Fuente: Elaboración propiaEn los anteriores ejemplos se infiere que la función se representa en cuatro formas:a. En un lenguaje verbal cotidiano.b. En forma analítica o expresión algebraica.c. A través de tablas.d. Representación gráfica en el plano cartesiano.1.2.3 El modelo matemáticoCon frecuencia hay situaciones que se desean describir el comportamientode algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dichosistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción16
matemática de un sistema o fenómeno se llama Modelo Matemático. (Zill yWright, 2002, p. 22)Ejemplo:El ingreso de vender x unidades en una empresa está dado por la función:R (x) -χ² 60x que corresponde a un modelo matemático en el contexto de laeconomía. A partir de esto, se pueden obtener algunos datos interesantes:a. ¿Cuál es el ingreso al vender 15 unidades?Entonces: R (15) - (15) ² 60 (15) 675Significa que si se venden 15 unidades, el ingreso es de 675unidades monetarias.b. Interpretación de la gráfica: De acuerdo a la gráfica no existen ingresos negativos, ni unidades parala venta negativas. Por esta razón, la gráfica está en el primer cuadrantecon unidades e ingresos siempre positivos. Los ingresos son ceros cuando no hay ventas o cuando la venta es de 60unidades, muy posiblemente los costos y los ingresos son exactamenteiguales. Se puede visualizar para qué número de unidades el ingreso es elmáximo, y se observa en la gráfica que el punto máximo corresponde a17
(30,900), es decir, que al venderse 30 unidades, el ingreso máximo seráde 900 unidades monetarias.Figura 6. Función: R( x) - x 2 60 x Máximo:(30,900) Fuente: Elaboración propia1.3Clase de funciones:1.3.1 Función constante: es una función de la forma: 𝒇(𝒙) 𝒃𝟎 , donde𝒃𝟎 es una constante. Su representación es una línea recta. El Dominioson todos los reales y el rango corresponde al valor de la constante 𝒃𝟎18
Ejemplo:La función: 𝑓 (𝑥 ) 5 se puede representar a través de una tabla:Tabla 4Función: 𝒇(𝒙) ura 7. Función: 𝑓(𝑥) 5 Fuente: Elaboración propiaPresentación a través del lenguaje matemático del dominio y el rango:Dominio: 𝑫𝒇(𝒙) {𝒙 𝒙 𝑹}Rango: 𝑹𝒇(𝒙) {𝒇(𝒙) 𝟓} o también: 𝑹𝒇(𝒙) {𝟓}19
1.3.2 Función lineal: Es una función de la forma: 𝑦 𝑚𝑥 𝑏, y surepresentación es una línea recta.A 𝑚 se le conoce como la pendiente de la recta y puede ser negativa o positiva. Sies positiva, significa que hay crecimiento, y si es negativa decrecimiento. Si lapendiente es cero, es una función constante.La pendiente se puede calcular a través de la misma ecuación. A la constante 𝑏, sedefine como el punto de corte con el eje de las ordenadas, o exactamente cuandola abscisa es cero. Se representa este punto como (0, 𝑏)Ejemplo:De la función f (x) 2x 6, encuentre las imágenes para los valores mostrados enla tabla:Tabla 5Función: f ( x) 2 x 6𝒙 𝟓 𝟐𝟎𝟑𝟓𝟖𝟏𝟐𝒚 4261216223020
Gráfica:Figura 8. Función: f ( x) 2 x 6 Fuente: Elaboración propiaLa pendiente de la función es 𝒎 𝟐 positiva, significa que hay crecimiento.Dominio:𝑫𝒇(𝒙) {𝒙 𝒙 𝑹}Rango: 𝑹𝒇(𝒙) {𝒇(𝒙) 𝑹} o también: 𝑹𝒇(𝒙) 𝑹21
1.3.3 La función cuadrática: Es una función de la forma: 𝒇 (𝒙)a 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 con𝒂 𝟎 . Su gráfica en el plano cartesiano es una curva simétrica llamada Parábola.Figura 9. Función: 𝑓 (𝑥) 𝑥 e Fuente: Elaboración propiaEs una función muy importante que tiene algunos elementos interesantes:a. Un vértice cuyas coordenadas son las siguientes: (𝑥 fgeh, 𝑓(𝑥 fgeh)b. Si 𝑎 0 entonces el vértice es un mínimo (la parábola abre hacia arriba)y si 𝑎 0, entonces el vértice es un máximo (la parábola abre haciaabajo).c. Los puntos del corte con el eje x se obtienen a través de la ecuación:𝑎𝑥 e 𝑏𝑥 𝑐 0. Es importante reconocer que si la ecuación no tienesolución en los números reales, la curva no interseca el eje x.d. El punto de corte con el eje y, se obtiene haciendo 𝑥 0.22
e. Con los anteriores elementos se puede trazar la curva, teniendo encuenta que es simétrica a la recta vertical que pasa por el vértice.Ejemplo:De la función: f ( x) x - 4 x - 12 , se obtienen los siguientes elementos:2a. Coordenadas del vértice: 𝒙 f(f𝟒)𝟐(𝟏)entonces: x 2 , por lo tanto, laordenada se obtiene de: f (2) (2) 2 - 4(2) - 12 , y se obtiene: f (2) -16 . Porlo tanto, las coordenadas del vértice son: V (2,-16)b. Como a 1 0 , entonces la parábola abre hacia arriba y en el vértice seobtiene el punto mínimo.c. Puntos del corte con el eje x , entonces: x 2 - 4 x - 12 0Al factorizar se tiene: ( x - 6)( x 2) Þ x 6; x -2 .Por lo tanto, los puntos de intersección con el eje x son: (6,0); (-2,0)d. Punto de corte con el eje y, si x 0 , entonces: f (0) -12El punto de corte con el eje y es: (0,-12) .e. Trazo de la curva en el plano cartesiano:23
Figura 10. función :f ( x) x 2 - 4 x - 12 Fuente: Elaboración propiaDominio: 𝑫𝒇(𝒙) {𝒙 𝒙 𝑹}Rango: 𝑹𝒇(𝒙) {𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙) [ 𝟏𝟔, )}Ejemplo:Graficar la función: f ( x) 12 x - 2 x 2 y determinar todos sus elementos:f𝟏𝟐a. El vértice: 𝒙 𝟐(f𝟐) 𝟑 (abscisa) y f (3) 12(3) - 2(3) Þ f (3) 18 , el vértice2tiene como coordenadas 𝑽(𝟑, 𝟏𝟖)b. Como: 𝒂 𝟐 𝟎, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo.c. Puntos de corte con el eje x . La ecuación: 12 x - 2 x 2 0 Þ 2 x(6 - x) Þ x 0; x 6,Por lo tanto, los puntos de corte en el eje x son: (𝟎, 𝟎); (𝟔, 𝟎)d. Punto de corte con el eje y. x 0 , entonces 𝒇(𝟎) 𝟎, por lo tanto, el puntode corte con el eje y es: (𝟎, 𝟎)24
e. Con base a los anteriores elementos se puede trazar la curva de la función.Figura 11. Función : f ( x) 12 x - 2 x 2 Fuente: Elaboración propiaDominio: 𝐷r(s) {𝑥 𝑥 𝑅 }Rango: 𝑅r(s) {𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) [18, )}La aplicación de la función cuadrática, como la modelación matemática, tiene uncampo muy amplio, veamos un ejemplo:Ejemplo:El ingreso de una empresa se determina por: I (q) 1000q - 2q 2 , donde q representael número de unidades vendidas. Determine el número de unidades para que elingreso sea máximo en la empresa.25
Siguiendo la metodología encontramos las coordenadas del vértice:a. Coordenadas del vértice:𝒒 f𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐(f𝟐) 𝒒 𝟐𝟓𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔, y 𝑰(𝟐𝟓𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟐𝟓𝟎) 𝟐(𝟐𝟓𝟎)𝟐 ; y se obtiene: 𝑰(𝟐𝟓𝟎) 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 de ingreso.b. Como 𝒂 𝟐 𝟎, se tiene que el vértice: 𝑽(𝟐𝟓𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎). La gráficade la función abre hacia abajo o es cóncava hacia abajo.c. Se concluye que para 250 unidades hay un ingreso máximo de 125.000unidades monetarias.d. Verificación a través de la gráfica:e.Figura 12. Función: I (q) 1000q - 2q 2 Fuente: Elaboración propia1.3.4 Función cúbica: La función cúbica es una función polinomial de grado 3 y serepresenta de la siguiente forma:f ( x) ax 3 bx 2 cx d .26
También puede generase a través de un modelo matemático.Ejemplo:Graficar la función 𝒇(𝒙) 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟓 y hallar sus elementos:La gráfica es la siguiente:Figura 13. Función: 𝑓 (𝑥) 𝑥 𝑥 e 5𝑥 5 Fuente: Elaboración propiaDominio: 𝑫𝒇 {𝒙 𝒙 𝑹}Rango: 𝑹𝒇 {𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙) 𝑹}La gráfica tiene tres raíces (la raíz de una función corresponde a los valores de lavariable x, cuando la ordenada es cero, o más exactamente, cuando la curva ‘cruza’el eje x). Dos de las raíces son negativas y una es positiva.Ejemplo:Se puede presentar un modelo matemático con esta clase de funciones:27
De las funciones de oferta y demanda de un artículo: R( x) 3x3 - x 2 - 10 x , yh( x) - x 2 2 x encuentre los puntos de intersección, donde posiblemente seintersecan las curvas de cada función. Este punto se conoce en economía como elpunto de equilibrio.Gráfica de las funciones:Figura 14. Funciones: R( x) 3x3 - x 2 - 10 x ; h( x) - x 2 2 x Fuente: Elaboración propiaSe observa en la gráfica tres puntos de corte: ( 𝟐, 𝟖); (𝟎, 𝟎); (𝟐, 𝟎). Dentro delcontexto económico, el punto de equilibrio ocurre en (𝟐, 𝟎), los demás valores notienen sentido, es decir en los puntos: ( 𝟐, 𝟖); (𝟎, 𝟎).1.3.5 Función escalón: Es una función que se traza con base en los intervalosdefinidos para la variable independiente. También se denomina función atrozos.28
Como se visualiza en la gráfica, la función se subdivide en tres secciones a saber:a. 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 e 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [ 2,0)b. 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 1, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [0,2]c. 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: (2,4]Gráfica:𝑥 e 𝑠𝑖: 2 𝑥 0Figura 15. Función: ‡ 𝑥 1 𝑠𝑖: 0 𝑥 2 Fuente: Elaboración propia𝑠𝑖: 2 𝑥 4 𝑥Por lo tanto, para graficar este tipo de función, se requiere del intervalo y elconocimiento de las anteriores funciones.29
Ejemplo:Cierto operador de telefonía móvil, ofrece a sus usuarios la posibilidad de hablar acualquier otro operador con un costo de 200 por minuto o fracción. La graficaque refleja el costo C de una llamada de t minutos (𝒕 𝟎), se muestra acontinuación:Figura 16. Función: Escalón. Fuente: Elaboración propia1.3.6 FunciónPolinomial:Estafunciónesdelaforma:f ( x) c0 c1 x c 2 x c3 x . c n x , donde 𝒄𝟎 ,𝒄𝟏 𝒄𝟐 ,𝒄𝟑 , . 𝒄𝒏23nsonconstantes. Su gráfica se representa en el plano cartesiano, ygeneralmente, su dominio y rango son todos los reales, siempre ycuando no existan restricciones en el dominio.30
Ejemplo:La gráfica de la función: f ( x) 4 5 x -Figura 17. Función: f ( x) 4 5 x -1 2x 2 x 3 3x 4 es:21 2x 2 x 3 3x 4 Fuente: Elaboración propia2Estas funciones no presentan dificultad y se grafican a partir de un software.1.3.7 Funciones Racionales: son las funciones de la forma: f ( x) p ( x); q ( x) ¹ 0q ( x)con 𝒑(𝒙) 𝒚 𝒒(𝒙) polinomios. Es importante en estas funciones, que eldenominador jamás sea cero, para ello, se debe tener en cuenta la restricciónpara algunos valores del dominio.Ejemplo:En la función racional f ( x) x2el grado del polinomio del numerador esx2 - x - 2igual al grado del polinomio del denominador. En estos casos, siempre se puedeafirmar que la gráfica tendrá asíntotas verticales, ya que cuando la variable x toma31
valores que hacen que el denominador sea cero, se dice que la función tiene unaasíntota. Para encontrar estos posibles valores, nos apoyamos en el álgebra de lasiguiente manera:x 2 - x - 2 0 Þ ( x - 2)(x 1) 0 Þ x 2; x -1, lo que indica que hay dos asíntotasverticales en 𝒙 𝟐; 𝒙 𝟏.Lo anterior se puede verificar a través de la siguiente gráfica:Figura 18. Función: f ( x) x2Fuente: Elaboración propiax2 - x - 2Dominio: 𝑫𝒇(𝒙) {𝒙 𝒙 𝑹 𝒙 𝟏; 𝒙 𝟐}Ejemplo:La fracción racional f ( x) xse caracteriza porque el polinomio delx 7 x 122numerador es de menor grado que el polinomio del denominador.32
Se procede de la misma manera para rencontrar aquellos valores de los dominiosque sean cero en el denominador: 𝒙𝟐 𝟕𝒙 𝟏𝟐 𝟎 (𝒙 𝟒)(𝒙 𝟑) 𝟎, luegolos valores son: 𝒙 𝟒; 𝒙 𝟑, los cuales son las asíntotas de la función.Se verifica a través de la gráfica:Figura 19. Función: f ( x) xFuente: Elaboración propiax 7 x 122Dominio: 𝐷r(s) {𝑥 𝑥 𝑅 𝑥 4; 𝑥 3}1.3.8 Función compuesta: De la composición de dos funciones a partir de:𝒇(𝒙): 𝑨 𝑩y 𝒈(𝒙): 𝑪 𝑫 es posible construir una tercera función: 𝒉(𝒙): 𝑨 𝑫 de la forma:𝒉(𝒙) 𝒈 𝒇(𝒙)a Es costumbre usar la notación: 𝒉 𝒈 𝒐 𝒇.33
Ejemplo:A las funciones: 𝒇(𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝒙 y 𝒈(𝒙) 𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟗 hallar: 𝒉 𝒈 𝒐 𝒇 y 𝒉 𝒇 𝒐 𝒈Solución:𝒉 𝒈 𝒐 𝒇 𝒉(𝒙) 𝒈 𝒇(𝒙)a 𝒉(𝒙) 𝒈(𝒔𝒆𝒏𝒙)𝒉 𝒈 𝒐 𝒇 (𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 𝟓(𝒔𝒆𝒏𝒙) 𝟗Ahora:𝒉 𝒇 𝒐 𝒈 𝒉(𝒙) 𝒇 𝒈(𝒙)a 𝒇(𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟗)𝒉 𝒇 𝒐 𝒈 𝑺𝒆𝒏(𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟗)Ejemplo:A las funciones: f (t ) t 2 7t 1 y g (t ) 2hallar: 𝒉(𝒙) 𝒇 𝒐 𝒈 y 𝒉(𝒙) 𝒈 𝒐 𝒇t -1Solución:𝟐a. 𝒉(𝒙) 𝒇 𝒐 𝒈 𝒉(𝒙) 𝒈(𝒇𝒙) 𝒉(𝒙) 𝒕𝟐 –𝟕𝒕–𝟏f𝟏 lo cual se concluye en𝟐𝒉(𝒙) 𝒕𝟐 –𝟕𝒕𝟐𝟐𝟐𝟐b. 𝒉(𝒙) 𝒈𝒐𝒇 𝒉(𝒙) 𝒇 𝒈(𝒙)a 𝒇 —𝒕f𝟏 𝒉(𝒙) —𝒕f𝟏 𝟕 —𝒕f𝟏 𝟏𝟒𝟏𝟒Realizando algo de álgebra se obtiene: 𝒉(𝒙) (𝒕f𝟏)𝟐 𝒕f𝟏 𝟏1.3.9Función exponencialSe tiene en un laboratorio un cultivo de bacterias creciendo con tal rapidez que, acada hora, el número de bacterias se duplica. En estas condiciones, si había 10.00034
bacterias cuando el cultivo empezó a crecer, el número habría aumentado a 20.000después de una hora, 40.000 después de 2 horas y así, sucesivamente.20,000 (10,000)2140,000 (10,000)2280,000 (10,000)23Se concluye que: y f(x) (10,000)2xa. Lo anterior se representa con una función para calcular el número debacterias presentes después de 𝒙 horas.b. Esta ecuación define una función exponencial con la variable independiente𝒙 y la variable dependiente (o función) 𝒚.c. Una función como 𝒇(𝒙) 𝒃𝒙 , que tiene a la variable como exponente, seconoce con el nombre de función exponencial.d. Usamos 𝒃 𝟎 para evitar las raíces de números negativos, como en el caso𝟏de: (𝟒) 𝟐 𝟒Ejemplo:Graficar y g(x ) Como g(x ) 1y relacionarla con la gráfica de y f (x) 2x.2x1 2-x f (-x ), los valores de y para la función g son los mismosx2valores de y correspondientes a f, pero en el lado opuesto del eje de las y. Enotras palabras, la gráfica de g es el reflejo de la gráfica de f, respecto al eje de lasy así:35
šFigura 20. Función exponencial: 𝑓(𝑥) e› ; 𝑔(𝑥) 2s . Fuente: Elaboración propiaEl dominio de la función exponencial son todos los reales, el rango siempre tendrávalores positivos diferentes de cero.𝑫𝒇(𝒙) {𝒙 𝒙 𝑹}𝑹𝒇(𝒙) {𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙) (𝟎, )}1.3.10Funciones logarítmicas: La ecuación 𝒙 𝒃𝒚 nos dice que y es elexponente de la base b que produce 𝒙. En situaciones como esta, se usa lapalabra logaritmo en lugar de exponente. Entonces, un logaritmo es unexponente.36
Ahora, podemos decir que 𝒚 es el logaritmo de base b que produce 𝒙. Estadefinición se puede abreviar así: 𝒚 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓𝒊𝒕𝒎𝒐𝒃 𝒙, y se abrevia más para llegar ala forma definitiva: 𝒚 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙Forma exponencial: 𝒙 𝒃𝒚Forma logarítmica: 𝒚 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙Como podemos analizar, las funciones son inversas.Tabla 6Propiedades de logaritmosForma logarítmicaForma exponencial𝒚 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙𝒙 𝒃𝒚Log5 25 252 25Log27 9 2/3272/3 9Log6 1/36 -26-2 1/36𝑙𝑜𝑔g 1 0b0 11.3.10.1 Logaritmos Neperianos:Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos quetienen por base el número e.𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 𝒍𝒏𝒙 Se lee logaritmo natural de 𝒙37
Ejemplo:Escriba la ecuación de g, la función inversa de y f(x) 2x y elabore las gráficasde ambas en los mismos ejes coordenados.𝑥La inversa g tiene la ecuación 𝑦 𝑓(𝑥) 2 , y su gráfica se puede obtener𝑥reflejando 𝑦 𝑓(𝑥) 2 al otro lado de la recta definida por 𝑦 𝑥Figura 21. Función: 𝑓(𝑥) 2s 𝑦 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎. Elaboración propia.Ejemplo:Encuentre el dominio de y log2 (x – 3).En y log2 (x – 3), la expresión x – 3 desempeña el mismo papel de la x en log2x.Por lo tanto, x – 3 0, despejando: x 3. Representa el dominio de la función otambién se nota: 𝐷r : {𝑥 𝑥 3)}38
Se podría preguntar: ¿Cuánto vale log ( -100) ? La respuesta es: no existe. Si nosbasamos en los ejemplos antes vistos, se podría decir quesabemos que10x -100,pero10 x siempre es positivo, de ahí que los logaritmos de argumentosnegativos no estén definidos.Ejemplo:Grafique y realice un estudio completo de la función logarítmica dada porf : IR IR ; f ( x) log 1 x2Solución: Hallar algunos elementos del grafico def,así:1æ1öa. f ç log 1 12è2ø25æ5öb. f ç log 1 » 0,266è6ø21æ 1 öc. f ç» 9,07 log 1540è 540 ø2d . f (15) log 1 15 » -3,902e. f (150) log 1 150 » -7,222f . f (500) log 1 500 » -8,9621æ1ög . f ç log 1 12è2ø2h. f (1) log 1 1 02i. f (5) log 1 5 » -2,32239
Analizando los pares ordenados que las operaciones aritméticas anterioresdeterminan, podemos ver que conforme a los valores del dominio def se acercana cero, sus respectivas imágenes también, sin embargo, nunca llegan a cero.Figura 22. Función:f : IR IR ; f ( x) log 1 x Fuente: Elaboración propia21.3.10.2 Propiedades de los logaritmos:Tabla 7Propiedades de los logaritmosDefinición de logaritmox log a y si y sólo si y a x40
Ej.:log 2 16 4porque 2 4 16Logaritmo de un productologa (uv ) loga u loga vLogaritmo de un cocienteæuölog a ç log a u - log a vèvøLogaritmo de un cociente con numerador la unidadæ1ölog a ç - log a vèvøLogaritmo de una potencialog a (u ) n log a unlog n u log a unLogaritmo para cambio de baseln b,ln alog blog a b log alog a b otraln 8 3ln 2log 8log 2 8 3log 2log 2 8 maneraEj:Base al exponente de logaritmo de igual basea loga x x1.3.11Función par e impar: Una forma sencilla para graficar unafunción es identificar si la función es par o impar.a. Una función 𝒇(𝒙)es par si: 𝒇( 𝒙) 𝒇(𝒙)41
b. Una función 𝒇(𝒙)es impar si: 𝒇( 𝒙) 𝒇(𝒙)En un intervalo de ( 𝑳, 𝐋), la gráfica de una función par es simétrica al eje𝒚, y la función impar tiene simetría con el origen.Ejemplo:Diga si la función es par o impar: 𝒇(𝒙) 𝒙𝟐Se hace uso de la definición: 𝒇( 𝒙) ( 𝒙)𝟐 𝒙𝟐 que cumple con: 𝒇( 𝒙) 𝒇(𝒙),por lo tanto, se concluye que la función: 𝒇(𝒙) 𝒙𝟐 es par.Gráfica:Figura 23. Función: 𝑓(𝑥) 𝑥 e Fuente: Elaboración propia42
Ejemplo:Diga si la función: 𝒇(𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 es par o imparEntonces: 𝒇(𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒇( 𝒙) 𝐜𝐨𝐬( 𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙, por lo tanto, la función es par.Gráfica:Figura 24. Función: 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 Fuente: Elaboración propia43
Ejemplo:Diga si la función es par o impar: 𝒇(𝒙) 𝒙𝟑De nuevo se aplica la propiedad: 𝒇(𝒙) 𝒙𝟑 𝒇( 𝒙) ( 𝒙)𝟑 𝒇( 𝒙) 𝒙𝟑 y severifica que: 𝒇( 𝒙) 𝒇(𝒙), entonces la función es impar.Gráfica:Figura 25. Función: 𝒇(𝒙) 𝒙𝟑 Fuente: Elaboración propia44
Ejemplo:Diga si la función es par o impar: 𝒇(𝒙) 𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟐:De nuevo se aplica la definición: 𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥)e 5( )𝑥 2, entonces se tiene:𝑓( 𝑥 ) 𝑥 e 5𝑥 2, por lo tanto, no cumple con las condiciones de función paro impar, por ende, no es ninguna de las dos.Gráfica:Figura 26. Función: (𝑥) 𝑥 e 5𝑥 2 Fuente: Elaboración propia45
1.3.12Funciones inversas: Una función uno a uno, con dominio enA e imagen en B. Su función inversa tiene dominio B e imagen A. ntemanera:si : y f ( x) Þ x f -1 ( y)Revisar la siguiente gráfica:Figura 27. Concepto de función inversa Nota: Wikipedia (s/f). Función matemática[Presentación en Página web] Recuperado de:https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n matem%C3%A1ticaMétodo para hallar la función inversa:a. Se escribe la función: y f (x)b. Se resuelve esta ecuación para x en términos de y (si es posible)46
c. Para expresar: x f-1( y) como función de 𝑥, se intercambia 𝑥 𝑒 𝑦d. La ecuación resultante es : y f-1( x)Ejemplo:𝑫 {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆}𝑳 {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}Entonces: f-1( L) D o también: 𝒇f𝟏 : 𝑳 𝑫Tabla 8Función inversaL1234DabcdEjemplo:De la función: f ( x) x 2 hallar la función inversa.3Se escribe la función como variable dependiente e independiente: y x 23Se despeja la variable x, luego: y - 2 x Þ x 3 y - 23Se intercambian las variables: y 3 x - 2Se escribe en notación de función inversa: f-1( x) 3 x - 247
Ahora se muestra en la gráfica:Figura 28. Función inversa Fuente: Elaboración propia1.3Operaciones entre funcionesDadas las funciones 𝒇(𝒙) 𝒚 𝒈(𝒙) con sus respectivos dominios, se pueden realizarlas operaciones entre las funciones:a. Suma: 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)b. Producto: 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)𝒇(𝒙)c. Cociente: 𝒈(𝒙);𝒈(𝒙) 𝟎48
Ejemplo:De las funciones f ( x) x 3 y g ( x) x 5 determinar:a.[ f g ] ( x)b.[ f g ] ( x)c.[ f g ] (4)d.[ f / g ] ( x)e.[ f / g ] (7)Solución:a. 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) [𝒙 𝟑] [𝒙 𝟓] 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) 𝟐𝒙 𝟖b. 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) [𝒙 𝟑] [𝒙 𝟓] 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) 𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟏𝟓c. 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)(𝟒) [𝒙 𝟑] [𝒙 𝟓] 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)(𝟒) 𝟒𝟐 𝟖 𝟒 𝟏𝟓 𝟔𝟑𝒇(𝒙)𝒙–𝟑d.𝒈(𝒙) 𝒙–𝟓e.𝒈(𝒙)𝒇(𝒙) ; 𝒙 𝟓𝟕–𝟑𝒇(𝒙)𝟓(𝟕) 𝟕–𝟓 𝒈(𝒙) (𝟕) 𝟔1.4 Aplicaciones en el contexto de la disciplina y otras disciplinasComo se mencionó anteriormente una de las aplicaciones al concepto de funciónes el de la modelación en matemática.49
Ejemplo:Cuando el aire seco se eleva, este se expande y se enfría. A 500 metros del suelola temperatura es de 𝟏𝟓 𝑪 y a un kilómetro de altura es de 𝟏𝟎 𝑪 .De lo anterior se puede analizar lo siguiente:a. En la situación que se ha descrito, indique las variables dependiente eindependiente.b. Trace una gráfica que muestre la relación entre las variables que indicoen (a),
1.2.1 Dominio y rango Una función es una regla entre dos conjuntos A y B, de tal forma que para cada elemento 4 que pertenece a A, le corresponde un ÚNICO elemento 5 que pertenece al conjunto B. Al conjunto A se le conoce como dominio de la función y al conjunto B se le denomina condominio de la función.
