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Teoría de NúmerosGrado en MatemáticasColección manuales uex - 99PedroSancho de Salas99
TEORÍA DE NÚMEROSGRADO EN MATEMÁTICAS
MANUALES UEX99
PEDRO SANCHO DE SALASTEORÍA DE NÚMEROSGRADO EN MATEMÁTICAS2015
EditaUniversidad de ExtremaduraN Servicio de PublicacionesCN3 Caldererosw B I Planta Bª I X88zX Cáceres 4EspañaFTelfN DBz Bóz 8qX I Fax DBz Bóz 8qúpublicac@unexNeswwwNunexNes3 publicacionesISSN XXéóIyz8IXISBN de méritos DzyIyqIú8úIDqDDIXCualquier forma de reproducciónw distribuciónw comunicación pública o transformación de esta obrasolo puede ser realizada con la autorización de sus titularesw salvo excepción prevista por la leyN Diríjasea CEDRO 4Centro Español de Derechos Reprográficosw wwwNcedroNorgF si necesita fotocopiar o escanearalgún fragmento de esta obraN
Índice general1. Dominios de factorización única1.1. Introducción . . . . . . . . . . . .1.2. Anillos noetherianos . . . . . . .1.3. Dominios de ideales principales1.4. Anillos euclídeos . . . . . . . . .1.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . .1.6. Cuestionario . . . . . . . . . . . .1.7. Biografía de Emmy Noether . .1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . .7.2. Dominios de Dedekind2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Localización . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . .2.4. Puntos singulares. Criterios diferenciales2.5. Anillos normales de dimensión de Krull 12.6. Definición de anillo de números enteros .2.7. Apéndice: Morfismos finitos . . . . . . . .2.8. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9. Biografía de Dedekind . . . . . . . . . . . .2.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Fibras de un morfismo finito3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Longitud de un módulo . . . . . . . . . .3.3. Fibras de un morfismo finito . . . . . . .3.4. Espectro primo del anillo de invariantes3.5. Automorfismo de Fröbenius . . . . . . .3.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8. Biografía de Fröbenius . . . . . . . . . .3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 586061636468MANUALES UEXIntroducción5
ÍNDICE GENERALMANUALES UEX4. Invariantes de los anillos de números4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Traza y métrica de la traza . . . . . .4.3. Discriminante. Desingularización . .4.4. Discriminante y volumen . . . . . . .4.5. Norma en anillos de números . . . .4.6. Desingularización por explosiones . .4.7. Apéndice: Variedades proyectivas . .4.7.1. Espacio tangente en un punto4.8. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . .4.9. Biografía de Heisuke Hironaka . . .4.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .6.7171717274767983858788915. Valoraciones y valores absolutos5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Valoraciones. Anillos de valoración . . . . . .5.3. Anillos de valoración y cierre entero . . . . .5.3.1. Variedad de Riemann . . . . . . . . . .5.3.2. Ceros y polos de una función . . . . . .5.4. Valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.1. Valores absolutos no arquimedianos .5.4.2. Valores absolutos arquimedianos . . .5.5. Producto de valores absolutos de una función5.6. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7. Biografía de Riemann . . . . . . . . . . . . . .5.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0121122123126127130133134137.6. Teoremas de la Teoría de Números6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Divisores afines y completos . . . . . . . .6.3. Grado de un divisor . . . . . . . . . . . . .6.4. Teorema de Riemann-Roch débil . . . . . .6.5. Finitud del grupo de Picard . . . . . . . . .6.6. El discriminante: invariante fundamental6.7. Invertibles. Elementos de norma 1 . . . .6.8. Número de ideales de norma acotada . . .6.9. La función zeta . . . . . . . . . . . . . . . .6.9.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . .6.10.Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.11.Biografía de Dirichlet . . . . . . . . . . . .6.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bibliografía143Índice de términos145
El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignaturacuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de laUEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especialénfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemosque los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un cursode Variedades Algebraicas (Álgebra II).El manual está divido en seis temas. En cada tema incluimos un cuestionario, unalista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (eninglés).Describamos brevemente el contenido de la asignatura.La Teoría de Números, "the Queen of Mathematics", es la rama de las Matemáticasmás antigua y que modernamente usa conceptos y herramientas de las más diversasramas de las Matemáticas, como el Álgebra, la Geometría, el Análisis, la VariableCompleja, etc. La Teoría de Números es la rama de las matemáticas que estudia losnúmeros naturales y las soluciones de los sistemas de ecuaciones diofánticas (sistemasde ecuaciones con coeficientes números enteros). El estudiante conoce ya tópicos de laTeoría de Números: El teorema fundamental de la Aritmética (o teorema de factorización única), la teoría de congruencias, etc.Para la resolución de múltiples problemas enunciados sólo en términos de númerosnaturales y para la resolución de los sistemas de ecuaciones diofánticas, es necesarioconsiderar los anillos de números enteros, que son los anillos generados por raícesde un polinomio con coeficientes enteros. Por ejemplo, en el problema de qué númerosprimos son suma de dos cuadrados perfectos conviene considerar el anillo de enteros deGauss Z[ i ]. Este anillo es un anillo euclídeo, por lo tanto es un dominio de factorizaciónúnica.Por desgracia, en general los anillos de números enteros no son dominios de factorización única. Dado un anillo de números enteros, A , existe un número finito deaafracciones b i (donde a i , b i A y b i son raíces de polinomios mónicos con coeficientesiien Z) de modo que B : A [ ab11 , . . . , ab nn ] ya es casi un dominio de factorización única: todoideal de B es igual a un producto de ideales primos de modo único. Estos anillos, B, sonanillos localmente de ideales principales (como lo es Z). Para todo ello estudiaremosla dependencia entera y la desingularización. Estamos hablando, pues, de los dominios de factorización única y cómo resolver el problema de que un anillo de númerosenteros no sea dominio de factorización única.Para el estudio de un anillo de números enteros A (como para el estudio de las ecua-MANUALES UEXIntroducción7
MANUALES UEXIntroducción8ciones diofánticas), conviene estudiar A / pA para todo primo p, es decir, conviene hacercongruencias módulo p. Así el grupo de Galois de un polinomio P ( x) con coeficientesen Z (o con coeficientes en un anillo de números enteros A ) , queda determinado por elgrupo de Galois de las reducciones de P ( x) módulo p (variando los primos p), que es elgrupo de Galois de un cuerpo finito, que es un grupo cíclico generado por el automorfismo de Fröbenius. Obtendremos múltiples aplicaciones de este hecho, entre ellas elcálculo del grupo de Galois de diversos polinomios, la Ley de reciprocidad cuadráticade Gauss, etc.Para el estudio de un anillo de números enteros A (y la clasificación de estos anillos) se introducen el discriminante de A , el grupo Pic( A ) y el grupo de los invertiblesde A . El teorema de Hermite afirma que sólo existe un número finito de cuerpos denúmeros de discriminante fijo dado. El grupo de los ideales de A módulo isomorfismos,Pic( A ), es un grupo finito. Como consecuencia se obtiene que existe una extensión finita de anillos de A , B, tal que todo ideal de A extendido a B es principal. Probamosque el grupo de los invertibles de A , que son los elementos de norma 1, es un grupofinito generado, cuya parte de torsión es el grupo de las raíces de la unidad que estánen A .Por último introducimos la función zeta de Riemann, que es de gran importancia enla Teoría de números en el cálculo de la distribución de los números primos. Aplicamosla función zeta de Riemann para determinar cuándo dos extensiones de Galois sonisomorfas y para demostrar que un sistema de ecuaciones diofánticas tiene solucionescomplejas si y sólo módulo p admite soluciones enteras, para infinitos p.La Teoría de Curvas Algebraicas y la Teoría de Números están estrecha y sorprendentemente relacionadas. Z y k[ x] son anillos euclídeos y ambos son dominios defactorización única. Los anillos de funciones algebraicas de las curvas algebraicas sonk[ x]-álgebras finitas (geométricamente: toda curva se proyecta vía un morfismo finitoen lap recta afín). Los anillos de números enteros, como veremos, son Z-álgebras finitas(Z[ 2], Z[ i ] son ejemplos). Estamos hablando en ambos casos de anillos noetherianosde dimensión de Krull 1. Entre estos anillos, en ambas teorías, destacarán los anillosque son localmente anillos de ideales principales: los anillos de Dedekind. En la teoríade Galois se han estudiado anillos de dimensión de Krull cero, ahora estudiamos losde dimensión de Krull 1.Finalmente, quiero agradecer al profesor Juan Antonio Navarro González el haberpuesto a mi disposición sus notas sobre la Teoría de Números, en las que me he basado para escribir este curso. También agradezco al profesor Juan Bautista Sancho deSalas sus notas sobre valoraciones y valores absolutos que he seguido para escribir elcapítulo quinto.
Capítulo 1Dominios de factorización única1.1.IntroducciónTodo número natural se escribe de modo único como producto de números primos.En este capítulo vamos a estudiar los anillos donde se cumple esta propiedad, es decir,aquellos anillos donde todo elemento (no nulo, ni invertible) es producto de modo únicode elementos irreducibles (salvo orden de los factores y multiplicación por invertibles).1.2.Anillos noetherianos1. Definición : Se dice que un A -módulo M es noetheriano si todo submódulo de M esfinito generado. Se dice que un anillo A es noetheriano si es un A -módulo noetheriano,es decir, si todo ideal es finito generado.2. Ejemplos : Si k es un cuerpo entonces es un anillo noetheriano y los k-módulosnoetherianos son los k-espacios vectoriales de dimensión finita.Z y k[ x] son anillos noetherianos.Demostración. La implicación directa es obvia.Veamos la inversa: Dado un submódulo N 0 M , tenemos que N 0 N 〈 n 1 , . . . , n r 〉es un módulo finito generado. La imagen del morfismo N 0 M / N , n0 7 n̄0 es isomorfaa N 0 /( N 0 N ), que como es un submódulo de M / N , es un módulo finito generado. Portanto, N 0 /( N 0 N ) 〈 m̄ 1 , . . . , m̄ s 〉. Luego, N 0 〈 n 1 , . . . , n r , m 1 , . . . , m s 〉. 4. Corolario : M M 0 M 00 es un A -módulo noetheriano si y sólo si M 0 y M 00 sonA -módulos noetherianos.MANUALES UEX3. Proposición : Sea M un A -módulo y N M un submódulo. M es noetheriano N y M / N son noetherianos.Demostración. Podemos considerar M 0 como submódulo de M : M 0 , M , m0 7 ( m0 , 0). Como M / M 0 ' M 00 , ( m0 , m00 ) 7 m00 , concluimos por la proposición anterior.5. Teorema : Si A es un anillo noetheriano todo A -módulo finito generado es noetheriano.9
Dominios de factorización única1.2. Anillos noetherianosDemostración. Si M A n entonces es noetheriano por el corolario anterior. Si M P〈 m 1 , . . . , m n 〉, entonces es isomorfo a un cociente de A n : A n M , (a i ) 7 i a i m i . Portanto, M es noetheriano. p3x]/( x3 2) es un Z-módulo generado por 1̄, x̄,px̄2 (de hecho es6. Ejemplo : Z[ 2] ' Z[p33una base). Por tanto, Z[ 2] es un Z-módulo noetheriano. Luego, Z[ 2] es un anillonoetheriano.7. Teorema de la base de Hilbert : Si A es un anillo noetheriano entonces A [ x] esun anillo noetheriano.Demostración. Sea I A [ x] un ideal. Tenemos que ver que es finito generado:Sea J A el conjunto formado por los coeficientes de máximo grado de los p( x) I .Es fácil ver que J es un ideal de A . Observemos para ello, que si p( x) a 0 x n · · · a n , q( x) b 0 x m · · · b m I , entonces x m p( x) x n q( x) (a 0 b 0 ) x n m · · · I , luego sia 0 , b 0 J entonces a 0 b 0 J .Por ser A noetheriano, J ( b 1 , . . . , b r ) es finito generado. Así, existen p 1 , . . . , p r Icuyos coeficientes de grado máximo son b 1 , . . . , b r , respectivamente. Además, multiplicando cada p i por una potencia conveniente de x, podemos suponer que gr p 1 · · · gr p r . Escribamos gr p i m.Dado p( x) a 0 x n · · · a n I . Supongamos que n m. Escribamos a 0 λ1 b 1 · · · PPλr b r , con λ i A para todo i . Tenemos que p( x) λ i x n m p i I y gr( p( x) λ i x n m p i ) iigr p( x).Recurrentemente obtendré queI ( p 1 , . . . , p r ) A[x] I { A Ax · · · Ax m 1 }Ahora bien, I { A Ax · · · Ax m 1 } es un A -módulo finito generado ya que es submódulo de { A Ax · · · Ax m 1 }, que es un A -módulo noetheriano. En conclusión, si escribimos I { A Ax · · · Ax m 1 } 〈 q 1 , . . . , q s 〉 A , tenemos que I ( p 1 , . . . , p r , q 1 , . . . , q s ). MANUALES UEX8. Corolario : Si A es un anillo noetheriano entonces A [ x1 , . . . , xn ]/ I es un anillo noetheriano.Demostración. A [ x1 , . . . , xn ] A [ x1 , . . . , xn 1 ][ xn ] es noetheriano por el teorema de labase de Hilbert y por inducción sobre n. Por tanto, el cociente A [ x1 , . . . , xn ]/ I es unanillo noetheriano. 9. Proposición : Un módulo M es noetheriano si y sólo si toda cadena creciente desubmódulos de M , M1 M2 · · · M n · · · estabiliza, es decir, para n 0, M n M m ,para todo m n.Demostración. Si M es noetheriano y M1 M2 · · · M n · · · una cadena creciente desubmódulos de M , consideremos el submódulo N : i M i 〈 m 1 , . . . , m r 〉. Para n 0,m 1 , . . . , m r M n , luego M n N M n , es decir, N M n y M n M m , para todo m n.10
1.2. Anillos noetherianosDominios de factorización únicaVeamos el recíproco. Sea N un submódulo, si N , 0 sea 0 , m 1 N y M1 : 〈 m 1 〉.Si M1 , N , sea m 2 N \ M1 y M2 : 〈 m 1 , m 2 〉. Así sucesivamente vamos construyendouna cadena 0 M1 M2 M3 · · · que por la propiedad exigida a M ha de ser finita.,,,,Luego, para n 0, N M n 〈 m 1 , . . . , m n 〉. 10. Definición : Los elementos de un anillo íntegro que no son nulos ni invertibles selos denomina elementos propios del anillo.11. Definición : Un elemento propio de un anillo íntegro se dice que es irreduciblesi no descompone en producto de dos elementos propios. Se dice que dos elementospropios son primos entre sí, si carecen de divisores propios comunes.12. Notación : Los elementos irreducibles positivos de Z se denominan números primos. Los elementos irreducibles positivos de k[ x] se denominan polinomios irreducibles.13. Lema : Sea A un anillo íntegro y a, b A . Entonces, (a) ( b) si y sólo si a b · i ,con i A invertible.Demostración. ) Como a ( b), existe c A tal que a bc. Como b (a), existe d Atal que b ad . Por tanto, a bc adc, dc 1 y c es invertible. 14. Teorema de descomposición en factores irreducibles : Todo elemento propioa A , de un anillo noetheriano íntegro, descompone en producto de factores irreduciblesa p1 · · · p n .Demostración. Empecemos probando que a todo elemento a A lo divide algún elemento irreducible: Si a no es irreducible entonces a a 1 · b 1 , a 1 , b 1 elementos propios.Si a 1 no es irreducible, entonces a 1 a 2 · b 2 , con a 2 , b 2 elementos propios. Así sucesivamente, vamos obteniendo una cadena (a) (a 1 ) (a 2 ) . . . que ha de ser finita por,,,noetherianidad y terminará cuando a n sea irreducible.Ahora ya, sea a 1 irreducible que divide a a y escribamos a a 1 · b 1 . Si b 1 no esirreducible sea a 2 irreducible, que divide a b 1 y escribamos a a 1 · b 1 a 1 · a 2 · b 2 . Asísucesivamente, vamos obteniendo la cadena (a) ( b 1 ) ( b 2 ) . . . que ha de ser finita,,15. Definición : Se dice que un anillo íntegro, A , es un dominio de factorización únicasi todo elemento propio de A es igual a un producto de irreducibles de modo único,salvo factores por invertibles y orden.MANUALES UEX,y terminará cuando b n sea irreducible. En tal caso a a 1 · · · a n 1 · b n es producto deirreducibles. Veremos que Z, k[ x] y en general los anillos euclídeos son dominios de factorizaciónúnica.16. Teorema (Gauss): Si A es un dominio de factorización única, entonces A [ x] también lo es.17. Ejemplos : Por el teorema de Gauss, Z[ x1 , . . . , xn ] y k[ x1 , . . . , xn ] son dominios defactorización única.11
Dominios de factorización única1.3. Dominios de ideales principales18. Definición : Sea A un anillo. Diremos que p A no nulo es primo si el ideal pAgenerado por p es un ideal primo.19. Proposición: Sea A un anillo íntegro. Si p A es primo entonces p es un elementoirreducible de A .Demostración. Si p ab, entonces a pA (o equivalentemente b pA ). Entonces,existe c A tal que a pc. Luego, p pcb, por tanto cb 1 y b es invertible. 20. Lema de Euclides: Sea A dfu y a A propio. Entonces, a es irreducible a esprimo.Demostración. ) Sea b · c (a). Existe d A tal que b · c a · d . Si consideramoslas descomposición en factores irreducibles de b, c y d , y recordamos que A es dfu ,tenemos que a aparece (salvo multiplicación por un invertible) en la descomposiciónen producto de factores irreducibles de b o c. Luego, a divide a b o c. En conclusión,(a) A es un ideal primo. 21. Teorema : Sea A un anillo noetheriano íntegro. A es un dominio de factorizaciónúnica si y sólo si todo elemento irreducible de A es primo.Demostración. ) Por ser A noetheriano todo elemento propio del anillo es productode irreducibles. Veamos ahora la unicidad. Sean a p 1 · · · p n q 1 · · · q m dos descomposiciones en factores irreducibles. Por el Lema de Euclides, q 1 divide algún factor p i ,luego coincide con él (salvo un factor invertible). Reordenando, podemos decir que p 1 q 1 (salvo invertibles). Simplificando la igualdad original tenemos p 2 · · · p n q 2 · · · q m(salvo invertibles). Razonando con q 2 como hemos hecho antes con q 1 llegamos a queq 2 coincide con algún p i . Reiterando el argumento, obtendremos que las dos descomposiciones son iguales (salvo orden y multiplicación por invertibles). MANUALES UEX1.3.Dominios de ideales principales1. Definición : Se dice que un anillo es un dominio de ideales principales si es unanillo íntegro y todos sus ideales son principales (es decir, generados por un elemento).Evidentemente, los dominios de ideales principales son noetherianos.2. Ejemplos : Veremos que los anillos euclídeos son dip. Así pues, Z y k[ x] son dip.3. Ejercicio : Probar que k[ x, y] no es dip.4. Lema de Euclides : Si a A es un elemento irreducible de un dominio de idealesprincipales, entonces es primo.Demostración. Si a es irreducible y divide a bc, entonces si a no divide a b implica que(a, b) (1). Por tanto, existen α, β A tales que αa β b 1. Luego αac β bc c. Deesta igualdad obtenemos que a divide a c. 12
5. Teorema : Si A es dip entonces es dfu.Demostración. Es consecuencia del teorema 1.2.21. 6. Teorema : Sea A un anillo noetheriano íntegro. A es dip si y sólo si todo idealmaximal es principal.Demostración. Sea I ( i 1 , . . . , i n ) un ideal de A . Si I A entonces está incluido en un,ideal maximal, I m1 ( t 1 ). Por tanto, i j t 1 · i 0j para ciertos i 0j A , además ( i j ) ( i 0j ).,Tenemos que I t 1 · ( i 01 , · · · , i 0n ). Sea I 2 ( i 01 , · · · , i 0n ). Si I 2 A entonces está incluido,en un ideal maximal, I 2 m2 ( t 2 ). Por tanto, i 0j t 2 · i 00j para ciertos i 00j A , además( i 0j ) ( i 00j ). Tenemos que I t 1 · t 2 · ( i 001 , · · · , i 00n ). Este proceso por noetherianidad ha de,terminar en un número finito n de pasos y terminará cuando I t 1 · · · t n · I n con I n A .Es decir, I ( t 1 · · · t n ). Si A es dip entonces no existen más ideales primos que (0) y que los maximales:Si tenemos (0) p ( t0 ) m ( t), siendo p un ideal primo y m maximal, entonces,,t0 t · t00 , para cierto t00 A . Observemos que ( t0 ) ( t00 ), luego t00 ( t0 ) p. Llegamos a,contradicción porque t · t00 p y t, t00 p. En conclusión, A es un cuerpo o A es un anillode dimensión de Krull 1.1.4.Anillos euclídeos1. Definición : Un anillo íntegro A se dice que es euclídeo si existe una aplicaciónδ : A \{0} N, que cumple1. δ(a) δ(ab), para todo a, b A \{0}.2. Para cada a A y b A no nulo, existen c, r A , de modo que a bc r , y r esnulo ó δ( r ) δ( b).3. Ejercicio : Sea ( A, δ) un anillo euclídeo. Probar que a A \{0} es invertible si ysólo si δ(a) δ(1). Probar que si a A \{0} no es invertible entonces δ(a) δ(1). Seaδ0 : A N , δ0 (a) : δ(a) δ(1). Probar que ( A, δ0 ) es un anillo euclídeo y que a A \{0}es invertible si y sólo si δ0 (a) 0.4. Definición : Diremos que el grado de P ( x) a n x n a n 1 x n 1 · · · a 1 x a 0 A [ x],con a n , 0 es n y denotaremos gr (P ( x)) n. Seguiremos la convención: gr (0) .MANUALES UEX2. Ejemplo : Z es un anillo euclídeo. Definimos δ : Z\{0} N, δ( n) n , donde n nsi n es positivo y n n si n es negativo. Es fácil probar que (Z, δ) es euclídeo.5. Observación : Si A es un anillo íntegro, entonces el grado de polinomios es aditivo,es decir, se verifica la fórmulagr (P ( x)Q ( x)) gr (P ( x)) gr (Q ( x)) .para cada par de polinomios P ( x),Q ( x) A [ x]. Por tanto, si P ( x) es múltiplo de Q ( x),entonces gr P ( x) gr Q ( x).13
Dominios de factorización única1.4. Anillos euclídeos6. Algoritmo de división en el anillo de polinomios: Sea A k un cuerpo. Paracada par de polinomios no nulos P ( x),Q ( x) k[ x], existen otros dos, C ( x), R ( x), quedenominaremos cociente y resto de dividir P ( x) por Q ( x), únicos con las condiciones:1. P ( x) C ( x) · Q ( x) R ( x).2. gr (R ( x)) gr (Q ( x)).Demostración. Existencia: Si gr Q ( x) gr P ( X ) entonces C ( x) 0 y R ( x) P ( x). Supongamos gr Q ( x) m n gr P ( x) y escribamos P ( x) a 0 x n . . . a n y Q ( x) b 0 x m · · · b m . Procedemos por inducción sobre gr P ( x). Si gr P ( x) 0, entonces gr Q ( x) 0 y C ( x) a0a00n m· Q ( x) es deb 0 y R ( x) 0. Sea, pues, gr(P ( x)) 0. El polinomio P ( x) : P ( x) b 0 · x0grado menor que el de P ( x), luego por hipótesis de inducción, existen C ( x) y R 0 ( x) talesque P 0 ( x) C 0 ( x) · Q ( x) R 0 ( x) y gr (R 0 ( x)) gr (Q ( x)). Entonces, C ( x) : C 0 ( x) ab00 · x n my R ( x) : R 0 ( X ) cumplen lo exigido.Unicidad: Al lector. 7. Corolario : ( k[ x], gr) es un anillo euclídeo.8. Ejemplo : Sea Z[ i ] : {a bi C : a, b Z}. Z[ i ] es un anillo (subanillo de C) y sedenomina el anillo de los enteros de Gauss. Veamos que es un anillo euclídeo. Consideremos la aplicaciónδ : Z[ i ] N,δ(a bi ) : (a bi ) · (a bi ) a2 b2Dados z, z0 Z[ i ] no nulos se cumple que δ( zz0 ) δ( z)δ( z0 ) δ( z). Dado un númerocomplejo a bi C, denotemos a bi a2 b2 R. Consideremos el número complejoz/ z0 C y consideremos un entero de Gauss c Z[ i ] lo más cercano posible a z/ z0 .Tenemos que z/ z0 c 1. Sea r : z z0 c, si r , 0 entoncesδ( r ) δ( z z0 c) z0 ( z/ z0 c) z0 z/ z0 c z0 Tenemos, pues, que z z0 c r con r 0 ó δ( r ) δ( z0 ). En conclusión, (Z[ i ], δ) es unanillo euclídeo.MANUALES UEX9. Proposición : Si ( A, δ) es un anillo euclídeo entonces es dip, luego dfu.Demostración. Sea I A un ideal. Si I {0} entonces I (0). Podemos suponer I , {0}.Sea i I no nulo tal que δ( i ) mı́n{δ( j ) : para todo j I no nulo}. Veamos que I i · A .Sea j I no nulo, entonces existen c, r A tales que j c · i r , con r 0 ó δ( r ) δ( j ).Si r , 0 observemos que r j c · i I y δ( r ) δ( i ), lo cual es contradictorio. Por tanto,r 0 y j c · i . Es decir, I i · A . 10. Definición : Sea A dip y a, b A . Existe un d A único salvo multiplicación porinvertibles tal que (a, b) ( c). Diremos que d es el máximo común divisor de a y b ydenotaremos d m.c.d (a, b).11. Teorema de Bezout: Sea A dip. Sean a, b A y d A el máximo común divisorde a y b. Existen λ, µ A de modo queλa µ b d14
1.5. EjemplosDominios de factorización únicaObservemos que a, b (a, b) ( d ), es decir, d divide á a y b. Si c divide á a y b,entonces como λa µ b d , c divide a d .12. Algoritmo de Euclides Este algoritmo nos permite calcular en anillos euclídeosel máximo común divisor de dos elementos del anillo: Dados dos a 1 , a 2 A definimospor recurrencia a i 1 el resto de dividir a i 1 por a i . Entonces, escribimosa1 a2 c1 a3a2 a3 c2 a4a3 a4 c3 a5···a s 2 a s 1 c s 2 a sy terminamos cuando s sea el primero tal que a s 0.Observemos que d divide á a 1 y a 2 si y sólo si divide a a 2 y a 3 , si y sólo si .divide a a s 2 y a s 1 , si y sólo si divide a a s 1 . Luego, si d divide á a 1 y a 2 , se tiene queδ( d ) δ(a s 1 ) y δ( d ) δ(a s 1 ) si y sólo si d a s 1 · i , con i invertible. Por eso escribimos,m.c.d (a 1 , a 2 ) a s 1 (único salvo invertibles).Además, el algoritmo de Euclides nos permite calcular λ, µ tales que λ · a 1 µ · a 2 m.c.d (a 1 , a 2 ): Sabemos expresar a 3 como combinación A -lineal de a 1 y a 2 , luego sabemos expresar a 4 como combinación lineal de a 1 y a 2 , y así sucesivamente sabremosexpresar a s 1 como combinación lineal de a 1 y a 2 .1.5.EjemplosVeamos algunos ejemplos y problemas clásicos de la teoría de números.1. Calculemos las soluciones enteras de la siguiente ecuación diofántica (es decir,ecuación con coeficientes enteros),2000 x 266 y 4Primero calculemos mediante el algoritmo de Euclides, n, m Z, tales quea. 2000 7 · 266 138. b. 266 1 · 138 128. c. 138 1 · 128 10. d. 128 12 · 10 8 e.10 1 · 8 2. Luego, m.c.d (2000, 266) 2. Lo cual era evidente, pero ahora sabremoscalcular n y m: 2 10 1 · 8 10 1 · (128 12 · 10) 128 13 · 10 128 13(138 128) 13 · 138 14 · 128 13 · 138 14(266 138) 14 · 266 27 · 138 14 · 266 27(2000 7 ·266) 27 · 2000 203 · 266.Por tanto, una solución particular de nuestro sistema de ecuaciones diofánticases x0 2 · 27 54, y0 2 · 203 406. Las soluciones de la ecuación homogénea2000 x 266 y 0 son las soluciones de 1000 x 133 y 0, que son x n · 133, y n · 1000.Todas las soluciones de nuestro sistema de ecuaciones diofánticas son½x 54 n · 133y 406 n · 1000MANUALES UEX2000 n 266 · ( m) m.c.d (2000, 266)15
Dominios de factorización única1.5. Ejemplos2. Sabemos también resolver los sistemas de ecuaciones lineales diofánticos. Consideremos el sistema de ecuacionesa 11 x1 · · · a 1n xn b 1···a m1 x1 · · · a mn xn b mcon a i j , b k Z para todo i, j.k, que escribimos abreviadamente A · x b. Mediantetransformaciones elementales (en columnas y filas), sabemos calcular matrices cuadradas invertibles B y C de modo que B · A · C ( d i j ), con d i j 0 para todo i , j .Entonces, si denotamos x0 : C 1 · x y b0 : B · b,( d i j ) · x0 B · ( a i j ) · C · x0 B · A · x B · b b 0Sistema que sencillo de resolver y acabamos porque x C · x0 .3. El anillo de los enteros de Gauss, Z[ i ] : {a bi C : a, b Z}, es euclídeo: Seaδ : C N definido por δ( z) z · z̄ a2 b2 (con z a bi ). Como δ( zz0 ) δ( z)δ( z0 ),entonces δ( z) δ( zz0 ), para todo z, z0 Z[ i ], no nulos. Dados z, z0 Z[ i ], z0 , 0, sea c unentero de Gauss tal que δ( z/ z0 c) 1 (luego δ( z z0 c) δ( z0 )). Entonces, z z0 c r , conr z z0 c y δ( r ) δ( z0 ).Veamos que un número primo p Z descompone en suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si p no es irreducible en Z[ i ]: Si p a2 b2 entonces p (a bi ) · (a bi ) yp no es irreducible en Z[ i ]. Recíprocamente, si p z · z0 , con z, z0 Z[ i ] y no invertibles,entonces p2 δ( p) δ( z) · δ( z0 ), luego p δ( z) δ( z0 ) (si δ( z) 1, entonces z sería unode los invertibles 1, i ), luego p a2 b2 (donde z a bi ).Veamos cuándo el número primo p es irreducible en Z[ i ]. Que p sea irreducibleequivale a que Z[ i ]/( p) sea cuerpo. Denotemos F p Z/ pZ y observemos que Z[ i ] Z[ x]/( x2 1). Entonces, Z[ i ]/( p) F p [ x]/( x2 1) es cuerpo si y sólo si x2 1 no tieneraíces en F
Por ejemplo, en el problema de qué números primos son suma de dos cuadrados perfectos conviene considerar el anillo de enteros de Gauss Z[i]. Este anillo es un anillo euclídeo, por lo tanto es un dominio de factorización única. Por desgracia, en general los anillos de números enteros no son dominios de fac-torización única.
