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CONCEPTO TRADICIONAL DE FUNCIÓNCuando dos variables están relacionadas en tal formaque a cada valor de la primera corresponde un valorde la segunda, se dice que la segunda es función de laprimera.La variable cuyo valor puede fijarse a voluntad es lavariable independiente y aquella cuyo valor dependedel que se le dé a la independiente se llama variabledependiente.Si x es la variable independiente en una función y “y”es la variable dependiente se acostumbra escribiry f(x).ENFOQUE “MODERNO” DE FUNCIÓNEste enfoque está basado en la teoría de conjuntos.Así, una función es una regla que asigna a cadaelemento x de un conjunto A (Dominio) un únicoelemento “y” de un conjunto B (Codominio).Esquemáticamente:
fABRelación “uno a uno” (biunívoca)fABRelación uniforme (unívoca)Toda función es una relación, pero no toda relación esuna función. Las relaciones multiformes NO sonfunciones.RABRelación multiforme
Para verificar que cualquier relación sea una funciónse sugiere tabular y graficar la ecuación de la regla decorrespondencia y cortar la gráfica con rectasverticales. Ninguna de estas rectas debe cortar másde una vez la gráfica.Una función puede expresarse “por comprensión”como f x,y x A, y f(x ) o bien “porextensión” escribiendo todas las parejas que laformanf { (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), , (xn, yn) }FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REALSon funciones donde los elementos que intervienenpertenecen al conjunto de los números reales, esdecir, que tanto la variable independiente x como lavariable dependiente “y” son números reales (uniónde los racionales y los irracionales).
INTERVALOSSean los números reales a y b tal que a b. Sellama intervalo al conjunto de los númeroscomprendidos entre a y b.Los intervalos pueden ser finitos o infinitos, abiertos ocerrados.Intervalos finitosx R, a x b}abierto[a, b] {x x R, a x b}cerrado(a, b] {x x R, a x b}semiabierto por la izq.[a, b) {x x R, a x b}semiabierto por la der.(a, b) {xIntervalos infinitos, en donde x R(a, ) {x x a}abierto[a, ) {x x a}cerrado por la izq.(- , a) {x x a}abierto(- , a] {x x a}cerrado por la der.(- , ) {x x R}abierto
En un intervalo abierto (a, b) los extremos a y b noforman parte del mismo.En un intervalo cerrado [a, b] los extremos a y bforman parte de él.DOMINIO DE UNA FUNCIÓNEs el conjunto de valores que toma la variableindependiente. Esto es, si f { (x, y) x A, y f(x)} el dominio de la función es Df ACODOMINIO (CONTRADOMINIO) DE UNA FUNCIÓNEs el conjunto de valores posibles para la variabledependiente “y”. En el caso de las funciones reales devariable real, el codominio es precisamente elconjunto de los números reales.
RANGO DE UNA FUNCIÓNEs el conjunto de valores que toma la variabledependiente. Esto es, si f { (x, y) x A, y f(x) }el rango de la función es Rf { y y f(x) , x Df }.REPRESENTACIÓN GRÁFICA O GEOMÉTRICA DE UNAFUNCIÓNUna función se representa por el conjunto de puntosdel plano, cuyas coordenadas son las parejasordenadas de números reales (x, y) que constituyen lafunción.En otras palabras, la gráfica de una función es el lugargeométrico de todos los puntos P(x,y) cuyascoordenadas satisfacen la ecuación y f(x).
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONESLas funciones se clasifican de acuerdo con lainformación que pueda obtenerse de ellas.De acuerdo a la variable dependiente “y”FUNCIONES EXPLÍCITASUna función es explícita cuando en la ecuación queactúa como regla de correspondencia, se tienedespejada la variable dependiente “y” en términos dela variable independiente x.FUNCIONES IMPLÍCITASSon aquellas cuya regla de correspondencia es unaecuación del tipo f(x, y) 0. Una función de este tipose caracteriza porque en la ecuación que actúa comoregla de correspondencia, la variable dependiente “y”no se encuentra despejada.
De acuerdo a su formaFUNCIONES PARAMÉTRICASUna función paramétrica tiene la siguiente forma:f { (x, y) x f(t), y g(t), t Df Dg }FUNCIONES DEFINIDAS EN DIFERENTES INTERVALOSUna función puede estar constituida por una o másecuaciones diferentes que establecen el vínculo entrelas variables x, y en diferentes intervalos del dominio.De acuerdo a la relación entre su dominio y rangoFUNCIONES INYECTIVAS (BIUNÍVOCAS O“UNO A UNO”)Sean x1, x2 Df y x1 x2. La función f es inyectivasi y sólo si f(x1) f(x2). Es decir, para valoresdiferentes del dominio deben obtenerse valoresdiferentes en el rango.
fABFunciones inyectivas (biunívocas o “uno a uno”)Para verificar si una función es inyectiva se sugieretabular y graficar la función y cortar la gráfica conrectas horizontales. Ninguna de estas rectas debecortar más de una vez la gráfica.FUNCIONES SUPRAYECTIVAS O SOBREYECTIVASUna función es suprayectiva si su codominio es igual asu rango.FUNCIONES BIYECTIVASUna función f es biyectiva si f es inyectiva y ademássuprayectiva.
De acuerdo a su representaciónFUNCIONES ALGEBRAICASLas funciones algebraicas son aquellas en las queinterviene un número finito de operacionesalgebraicas de las funciones constante e identidad.Función constanteEs la función que tiene como dominio el conjunto delos números reales y cuyo rango es un solo númeronatural. Simbólicamente:C {(x, y) x R, y c} {(x, c)x R}La gráfica de la función constante es una rectaparalela al eje de las abscisas, con ordenada c.ycy cx0
Función linealFUNCIÓN IDENTIDADEs la que tiene como dominio al conjunto de losnúmeros reales y en la que a cada valor de la variableindependiente x le corresponde el mismo valor de lavariable dependiente “y”, por lo que su rango estambién el conjunto de los números reales.La función identidad se representa de la siguientemanera: I {(x, y) x R, y x} {(x, x) x R}o bien,I(x) xLa gráfica de la función identidad es la recta que pasapor el origen y tiene un ángulo de inclinación 45oyy x045ox
Función valor absolutoLa función permite obtener el mismo valor de lavariable independiente, pero si es negativa la funciónla hace positiva:f x x xf x xsisix 0x 0
Función entera o polinomialSon las que se obtienen al efectuar con las funcionesconstante e identidad un número finito deoperaciones de adición, sustracción y multiplicación.Una función polinomial es de la forma:P ao a1 I a2 I2 an InDonde ak, k 0, 1, 2, 3, , nson funcionesconstantes, I es la función identidad y el númeronatural n es el grado de la función polinomial.Una función de este tipo puede describirse por mediode su regla de correspondencia como:P(x) ao a1 x a2 x2 an xncuyo dominio es R, en donde ao, a1, a2, , an sonnúmeros reales y n es el grado si an 0.Función racionalSe definen como el cociente de dos funciones enteraso polinomiales. Las funciones racionales son de laforma r P1P2en donde P1 y P2 son funciones enteras.
Una función racional puede escribirse como:r(x) P1 (x)P2 (x) a0 a1 x a2 x2 an xnb0 b1 x b2 x2 bm xmdonde P2 (x) 0Nota.- Las funciones polinomialesparticulares de las funciones racionales.soncasosFunción irracionalSon aquéllas en donde además de interveniroperaciones de adición, sustracción, multiplicación,división y potenciación, interviene la radicación.Funciones pares e imparesf ( x) f ( x)función parf ( x) f ( x)función impar
FUNCIONES TRASCENDENTESUna función que no es algebraica es trascendente.Estas incluyen las funciones circulares directas,circulares inversas, exponenciales de base a y basee; logarítmicas de base a, base e y base 10; yfunción potencia.Función trigonométricaFUNCIONES PERIÓDICASUna función es periódica con período P 0, sisiempre que x esté en el dominio de f, entoncesx P también está en el dominio de f y ademásf(x P) f(x). Gráficamente:yf(x)f(x P)x0xPx P
Las funciones periódicas no son biunívocas. Tienenimportantes aplicaciones en física, como elmovimiento ondulatorio, vibraciones, etc.FUNCIONES CIRCULARES DIRECTASSe definen a partir de un círculo unitario de ecuaciónyx2 y2 1r 1θx0La función seno está definida por sen θ y;función coseno por cos θ x.y laEl dominio de ambas funciones es el conjunto de losnúmeros reales y su rango es el intervalo [-1, 1]. Soncontinuas en cualquier intervalo de θ.
Las funciones seno y coseno son periódicas conperíodo 2π, por lo que:sen θ sen (θ 2π)cos θ cos (θ 2π)http://es.wikipedia.org/wiki/Seno (trigonometr%C3%ADa)
A partir de las funciones seno y coseno se define lafunción tangente como:tg θ sen θcos θdonde cos θ 0El dominio de la función tangente es el conjunto delos números reales excluyendo los valores deπθ nπ2donde n 0, /- 1, /- 2, .Su rango es el conjunto de los números reales.
La función tangente es una función periódica conperíodo π dado que:tg (θ π) 𝑠𝑒𝑛 (θ π)cos(θ π) sen θ cos θ tg θPara valores negativos de θ se tiene:tg (-θ) sen ( θ)cos( θ) sen θcos θ -tg θ
Las funciones trigonométricas cotangente, secante ycosecante se definen como:ctg θ 1tg θsec θ csc θ cos θsen θ1cos θ1sen θLas gráficas de estas funciones son:
FUNCIONES INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASLas seis funciones trigonométricas descritas sonperiódicas y por tanto no son biunívocas. Luego lainversa de una función trigonométrica no es función.No obstante, es posible obtener una ringiendo el dominio. Por ej.:𝜋 𝜋y sen x, x [- , ], y [-1, 1]2 2
A esta parte de la gráfica se le conoce como la ramaprincipal.Su función inversa es:𝜋 𝜋x sen y, y [- , ], x [-1, 1]2 2𝜋 𝜋y ang sen x x sen y, y [- , ]2 2y su gráficaAnálogamente, para la función coseno se tiene que siy cos x, x [0, π], y [-1, 1](rama principal)x cos y, y [0, π], x [-1, 1]y ang cos x x cos y, y [0, π]
Para la función tangente, si𝜋 𝜋y tg x, x (- , ), y R2 2(rama principal)𝜋 𝜋x tg y, y (- , ), x R2 2𝜋 𝜋y ang tg x x tg y, y (- , )2 2
Para la cotangente, siy ctg x, x (0, π), y R(rama principal)x ctg y, y (0, π), x Ry ctg x x ctg y, y (0, π)
Para la función secante, siππ22ππ22y sec x, x {[-π, - ) U [0, )}, y {(- , -1] U [1, )}x sec y, y {[-π, - ) U [0, )}, x {(- , -1] U [1, )}ππ22y ang sec x x sec y, y {[-π, - ) U [0, )}π2y-x1 π2 πPara la cosecante, siππ22ππ22y csc x, x {(- π, - ] U (0, ]}, y {(- , -1] U [1, )}x csc y, y {(- π, - ] U (0, ]}, x {(- , -1] U [1, )}ππ22y ang csc x x csc y, y {(- π, - ] U (0, ]}yπ2-1 π2 πx
Función exponencialPara cualquier número real positivo a 1. La funciónExpa { (x, y) I y ax, x R}se llama función exponencial de base a.Es necesario que a 0 para evitar tratar connúmeros complejos; el rango de esta función es(0, ), lo que significa que ax 0 para cualquier valorde x.La forma de la gráfica depende del valor que tome labase a; será creciente si a 1 y decrecientesi 0 a 1.
La función de x que se define porExpe { (x, y) I y ex, x R}se llama función exponencial de base e (el número “e”es irracional y vale aproximadamente 2.7182818284).Nótese que es un caso particular de la funciónexponencial de base a.La función exponencial natural es creciente y cóncavahacia arriba.Algunas de sus propiedades son:1) El dominio de f(x) ex es (- , ) y el recorridoes (0, ).2) La función es continua, creciente e inyectiva entodo su dominio.FUNCIONES HIPERBÓLICASEs un tipo especial de funciones exponenciales. Estadenominación proviene de la comparación entre elárea de una región circular y la de una regiónhiperbólica.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICASshx chx ex e x2ex e x2shxt h x chx1csc h x s h xx 01sec h x c h x1ctg h x t h xx 0IDENTIDADES HIPERBÓLICASMuchas de las identidades trigonométricas tienen suscorrespondientes identidades hiperbólicas. Por ejemplo:c h2 x s h2 x 1t h2 x sec h2 x 1
ctg h2 x csc h2 x 1s h2 x 1 c h 2xc h2 x 1 c h 2x22s h (x y) s h x c h y c h x s h ys h (x - y) s h x c h y - c h x s h yc h (x y) c h x c h y s h x s h yc h (x - y) c h x c h y - s h x s h ys h 2x 2 s h x c h xc h 2x c h2 x s h2 xFUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSASComo las funciones hiperbólicas se definen en términos delas exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas seexpresan en términos de las funciones logarítmicas. Así,s h 1 x ln (x x 2 1)dominio (- , )c h 1 x ln (x x 2 1)dominio [1, )1t h 1 x 2 ln1 x1 xdominio (-1, 1)
1ctg h 1 x 2 lnsec hcsc h 1 1x lnx 1dominio (- , 1) (1, )x 11 1 x2dominio (0, 1]x1x ln (x 1 x2 x )dominio (- , 0) (0, )
Función logarítimicaFunciones Logarítmicas de base “a” y base “e”La función exponencial es biunívoca sobre R, y por lotanto, la inversa de la función exponencial tambiénes una función. Así, la función logarítmica de base aes la funciónlogax { (x, y) I x ay, y R, x (0, )}
La gráfica del loga x se obtiene de la gráfica de suinversa Expa.Para el caso de la función exponencial de base e, suinversa es la función logarítmica de base e definidaporLn { (x, y) I x ey, y R, x (0, )}La función Ln x es positiva si x 1 y es negativa para0 x 1. Además, Ln (1) 0.Tiene las siguientes propiedades:1) Su dominio es (0, ) y su recorrido es (- , ).2) La función es continua, creciente e inyectiva.3) La gráfica es cóncava hacia abajo.
La relación inversa entre las funciones logaritmonatural y exponencial natural puede expresarse dela siguiente manera:ln ( ex ) xyeln x xLeyes o propiedades de los logaritmosSi a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las siguientes propiedades:1)2)log (1) 0log (ab) log a log b3)log ( ) log a - log b4)log (a ) n log aabnCambios de baseSe parte de lo siguiente:si a 0, a 1 y x 0, entonces x aloga x (1)Para obtener una fórmula que relacione logaritmos debases diferentes se procede como sigue: sea b unnúmero positivo diferente de 1; tomando logaritmosde base b de los dos miembros de (1)log b x log b (alogax )
De las leyes de los logaritmoslog b x log a x log b aCualquier número positivo, excepto 1, se puede usarcomo base de un sistema de logaritmos.log b xlog a x log b aOtra manera de determinar la función logaritmo debase “a”, utilizando logaritmos naturales, es lasiguiente: si a es un número real positivo (a 1) y “x”es cualquier número real positivo, la funciónlogarítmicadebaseasedenota1log a x ln xln a
De acuerdo a su monotoníaFUNCIÓN CRECIENTESea una función f { (x, y) y f(x), x Df }Se dice que f(x) es creciente sobre un intervalo[a, b] Df si f(x1) f(x2) cuando x1, x2 [a, b]y x1 x2yf(x2 )f(x1 )x0ax1x2bFUNCIÓN DECRECIENTESea una función f { (x, y) y f(x), x Df }
Se dice que f(x) es decreciente sobre un intervalo[a, b] Df si f(x1) f(x2) cuando x1, x2 [a, b]y x1 x2yf(x1 )f(x2 )x0ax1x2b
OPERACIONES CON FUNCIONESEn lo que sigue se considerará que f y g sonfunciones con regla de correspondencia y f(x), y g(x) y dominio Df y Dg, respectivamente.SUMA DE FUNCIONESSe define como la suma de las funciones f y g a lafunción denotada f g con dominio D Df Dg ,tal que (f g) (x) f(x) g(x), x DRESTA DE FUNCIONESSe llama diferencia de la función f menos la función gy se denota por f – g a la función dada por(f – g) (x) f(x) – g(x), x Ddonde D Df Dg es el dominio de f – g
MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONESEl producto de las funciones f y g es la función condominio D Df Dg , denotada por fg y tal que si x D(fg) (x) f(x) g(x)DIVISIÓN DE FUNCIONESSe llama cociente de la función f entre la función g a lafunción𝐟𝐠tal quex D Df Dg ,𝐟𝐟(𝐱)𝐠𝐠(𝐱)( )(x) en dondeg(x) 0De las definiciones de suma y producto de funcionesse tiene que: La suma de n funciones de variable realf1 f2 f3 fn es una función real El producto de n funciones reales de variable realf1 f2 f3 fn es una función real Si se suma n veces una misma función, se tienef f f f nf (n sumandos)
Si se multiplica n veces por sí misma la función fresultaf f f f fn (n factores) Si m y n son números naturales, entoncesfn fm fn m sobre Dfn Dfm f0 1yf n 1fndonde n NCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES OFUNCIÓN DE FUNCIÓNDadas las funciones f y g con dominios Df y Dgrespectivamente, se define como la composición de lafunción f con la función g a la función denotada porf g tal que [f g ] f( g(x) )f g se lee “f composición g” y se trata de lafunción cuyo dominio está formado por todos loselementos x que pertenecen al dominio de g, para loscuales g(x) pertenece al dominio de f.Simbólicamente: Df g {x Dg , g(x) Df }
Si g tiene dominio en el conjunto A y rango en elconjunto B, y f tiene dominio en B y rango en elconjunto C, entonces f g tiene dominio en A yrango en C. Esquemáticamente:f gCAgCBCfCGeneralmente la composición de funciones no esconmutativa, es decir, f g g fLa gráfica de la función f gpartiendo de las gráficas de f y g.puede construirse
FUNCIÓN INVERSASi f es una función biunívoca entonces la inversa de fes la función f-1 definida por(x, y) f-1 si y sólo si (y, x) fEsto es, la inversa de una función biunívoca f es lafunción f-1 que se obtiene al intercambiar lascomponentes de cada una de las parejas ordenadasque constituyen la función f.Si f-1 es la inversa de f, el dominio de f es el rango def-1 y el rango de f es el dominio de f-1.Es importante recordar que es condición necesariapara que una función tenga inversa, el que seabiunívoca.Nota.- Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto ala función identidad I, es decir, la recta y x.Dada una función f { (x, y)biunívoca.Suinversaf-1y f(x), x Df },puedeobtenerse
intercambiando los papeles de lasdependiente e independiente. Es decir,variablesf-1 { (x, y) x f(y), y Df R f 1 }En esta última expresión, la ecuación x f(y) estableceque “y” es función implícita de x.TEOREMASi una función f es biunívoca y su función inversa esf-1:1) f f-1 I, donde el dominio de I es el rango de fDI R f Df 12) f-1 f I, donde el dominio de I es el dominio de fDI Df R f 1
PLANTEAMIENTO DE FUNCIONESLas funciones son modelos matemáticos querepresentan algún fenómeno físico de la vida real.Para el planteamiento de funciones no existen reglasprecisas ni método general. La recomendación eneste sentido sería identificar cuáles son los datos,variables e incógnitas del problema, y despuésencontrar alguna relación entre ellos. Es de especialayuda el trazo de una gráfica o diagrama.
las variables x, y en diferentes intervalos del dominio. De acuerdo a la relación entre su dominio y rango FUNCIONES INYECTIVAS (BIUNÍVOCAS O UNO A UNO _) Sean x 1, x 2 D f y x 1 x 2. La función f es inyectiva si y sólo si f(x 1) f(x 2). Es decir, para valores diferentes del dominio deben obtenerse valores diferentes en el rango.
