Transcription
UNIDAD 12LA RECTA Y SUS ECUACIONESObjetivo general.Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemascorrespondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones.Objetivos específicos:1.Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejescoordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos del plano.2.Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntoscualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a unsegmento en una razón r.3.Recordarás la definición de línea recta y de pendiente de una recta.4.Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta dadasdos condiciones que la definen.5.Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y lascondiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectasen el plano.6.Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la formanormal y cómo obtenerla a partir de la forma general.
12. 2Objetivo 1. Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejescoordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano.Una característica básica de la Geometría Analítica es el uso de un sistema coordenado. Enlos cursos de Álgebra y Trigonometría se ha utilizado el sistema de coordenadasrectangulares - llamado también sistema cartesiano en honor al filósofo y matemáticoRené Descartes (1596-1650) - que consiste en dos rectas, llamadas ejes, que se cruzanformando ángulos rectos. Generalmente un eje se coloca en forma horizontal y el otrovertical; el primero se llama eje de las abscisas y se representa con la letra x, y el segundose denomina eje de las ordenadas y se representa con la letra y. El punto en que se cruzanlas rectas define al origen del sistema.Eje yEje de las ordenadasOrigenEje xEje de las abscisasFigura 1.1Cuando en cada eje coordenado se representan los números reales, cada punto del planotiene asociada una y sólo una pareja ordenada de números, llamados coordenadas; yviceversa, a cada par de números le corresponde uno, y sólo un punto del plano. El primernúmero de la pareja es la abscisa del punto, e indica la distancia del eje y al punto; elsegundo número es la ordenada, y corresponde a la distancia del punto al eje x. La parejaordenada se denota como (x, y).
12. 3Sobre el eje de las abscisas, a la derecha del origen se localizan los reales positivos y a laizquierda los negativos. Sobre el eje de las ordenadas, los reales positivos se encuentranhacia arriba del origen y los negativos hacia abajo.Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, que senumeran del I al IV en sentido contrario a las manecillas del reloj (Figura 1.2). Los puntosque se encuentran en el primer cuadrante tiene abscisa y ordenada positivas; los puntos enel segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva; en el tercer cuadrantetanto la abscisa como la ordenada son negativas, y en el cuarto cuadrante la abscisa espositiva y la ordenada negativa.IIIx 0y 0x 0y 0IIIIVx 0y 0x 0y 0Figura 1.2Trazar un punto en el plano significa medir las distancias indicadas por sus coordenadas: apartir del eje y para la abscisa, y a partir del eje x para la ordenada.Ejemplos:1.) Para localizar en el plano coordenado los puntos:P1(2, –3); P2(–3, 0); P3(–2, 1); P4(2, –1),
12. 4e indicar el cuadrante en que se encuentran se debe partir del origen y ubicar enprimer lugar la abscisa en el eje horizontal – hacia la derecha del origen si espositiva, o hacia la izquierda si es negativa – y después, a partir de tal punto sobre eleje x, subir, o bajar, el número de unidades que indique la ordenada del punto –según sea positiva o negativa – siempre en forma paralela al eje y.Así, para ubicar el punto P1(2, -3), a partir del origen se debe avanzar hacia laderecha 2 unidades sobre el eje x, y de este punto bajar 3 unidades en paralelo conel eje y. El punto se localiza en el IV cuadrante.El punto P2(–3, 0) se encuentra retrocediendo 3 unidades desde el origen sobre eleje x y, como su ordenada es 0, no se separa de dicho eje.Del mismo modo, P3(–2, 1) se localiza 2 unidades a la izquierda del origen sobre eleje de las abscisas y subiendo una unidad en paralelo con el eje y.Finalmente, P4(2, –1) se encuentra 2 unidades a la derecha del origen y una unidadhacia abajo del eje x.Los cuatro puntos mencionados se representan en la siguiente figura:Figura E1.1
12. 52.) Si A(2, 2) y B(5, 2) son dos vértices de un cuadrado, se pueden encontrar lascoordenadas de los otros dos vértices. (Dos soluciones posibles)Es conveniente localizar los puntos en el plano cartesiano para visualizar lascondiciones del problema y lo que se pide determinar. Como los puntos A y Btienen la misma ordenada, el lado que definen es paralelo al eje x y su longitud es de3 unidades.Figura E1.2aCon esta información se pueden encontrar los otros dos vértices y, como se puedever en la Figura E1.2b, una posibilidad es que se encuentren arriba de A y de B, encuyo caso sus coordenadas se obtienen sumando la longitud del lado a la ordenadade los vértices conocidos:C(2, 2 3) (2, 5) y D(5, 2 3) (5, 5)O bien que se ubiquen hacia abajo, para lo cual se deberá restar la longitud del ladoa las ordenadas de A y de B:C’(2, 2 – 3) (2, –1)y D’(5, 2 – 3) (5, –1)
12. 6Figura E1.2b3.) Dados los puntos P1(1, –3) y P2(4, –3), es posible encontrar las coordenadas delpunto con el que P1 y P2 forman un triángulo isósceles, en el que P2 sea el vértice deun ángulo recto. (Dos soluciones posibles)Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y, si además tiene un ángulo recto, losdos lados iguales son los que forman dicho ángulo. Por las coordenadas de lospuntos y al representarlos en una gráfica, se encuentra que la longitud de los ladosiguales es 4 – 1 3. Como P2 es el vértice del ángulo recto, el tercer vértice P3, seencuentra hacia arriba o hacia abajo de él, a 3 unidades de distancia. Por ello, lascoordenadas de cada caso son:P3(4, –3 3) (4, 0) óP3(4, –3 – 3) (4, –6)
12. 7Figura E1.34.) Si se localizan los puntos (–5, –7) y (3, 9) y se unen con una recta y se hace lomismo con los puntos (–3, 7) y (2, –8), a partir de la gráfica se pueden encontrar lascoordenadas del punto donde se intersectan.Figura E1.4Como se puede ver en la figura, las rectas que unen cada par de puntos seintersectan en el punto (–1, 1)
12. 8 9 7 5.) Para localizar en el plano cartesiano el punto: A , puesto que 5 4 9 1.85y7 1.75 ,4las coordenadas de A son dos números racionales cuyo cociente es finito, es posiblelocalizarlos en cada eje con cierta aproximación, considerando las coordenadas delpunto como (–1.8, 1.75).Figura E1.5 6.) Para localizar en el plano cartesiano el punto: B 1, 2 , como se sabe que2 es unnúmero irracional, también le corresponde un punto en el eje de los números reales.Para localizarlo en el eje de las ordenadas se puede recurrir al Teorema de Pitágoras( c 2 a 2 b 2 ), ya que en un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1, suhipotenusa medirá exactamente 2 .En la Figura E1.6 se localiza el punto B(1, 2 ) y se muestra el procedimiento que sesiguió para ello.
12. 9Figura E1.6Objetivo 2. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entredos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del puntoque divide a un segmento en una razón r.a) Distancia entre dos puntos.Dados dos puntos cualesquiera del plano coordenado, uno de los siguientes tres casospuede ocurrir:1. Que ambos puntos tengan la misma ordenada: A(x1, y1), B(x2, y1). La distancia entretales puntos se determina tomando el valor absoluto de la diferencia de las abscisas:Figura 2.1
12. 10d x 2 x12. Que los puntos tengan la misma abscisa: A(x1, y1), B(x1, y2). En este caso la distanciase obtiene tomando el valor absoluto de la diferencia de las ordenadas:Figura 2.2d y 2 y13. Que A y B sean dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano: A(x1, y1), B(x2, y2).Para calcular la distancia entre ellos, se considera el punto C(x2, y1) que corresponde ala intersección de las rectas paralelas a los ejes que pasan por los puntos A y B,respectivamente (Figura 2.3), con las que se forma un triángulo rectángulo y C es elvértice del ángulo recto. La distancia d que se busca es la hipotenusa del triángulo,por lo que se utiliza el Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de loscatetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”:d 2 a 2 b2
12. 11Figura 2.3Las longitudes de los catetos a y b se obtienen aplicando los casos 1. y 2.:a AC x 2 x1 ,yb BC y 2 y1Al sustituir, queda:2d 2 x 2 x1 y 2 y1 2y al tomar la raíz cuadrada, dado que se trata de una distancia, sólo se considera la raízcuadrada positiva:d x2 x1 2 y 2 y1 2Ejemplos:1.) Encontrar la distancia entre los puntos: A(9, –2) y B(9, 11)Como los puntos tienen la misma abscisa, su distancia se encuentra aplicando laexpresión del caso 2:d y 2 y1 11 2 11 2 132.) Encontrar el perímetro del triángulo que determinan los puntos A(2, 2), B(0, 5) yC(–2, 2)
12. 12Figura E2.2El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. El lado AC esparalelo al eje x. Su longitud se encuentra aplicando la fórmula del primer caso:AC x2 x1 2 2 4 4Los otros dos lados del triángulo no son paralelos a alguno de los ejes, por lo que sedebe aplicar la fórmula del caso 3 para encontrar su longitud:AB BC 2 0 2 2 5 2 0 2 2 5 2 24 9 13 4 9 13Como el triángulo tiene dos lados iguales, es un triángulo isósceles. Su perímetro es:Perímetro 4 2 13 ; aproximadamente 11.21 unidades3.) Encontrar el área del triángulo que forman los puntos A(-2, 2), B(1, 0) y C(0, 5)El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura:A b h2
12. 13Figura E2.3En la gráfica se observa que, aparentemente, el vértice A corresponde a un ángulorecto y, en un triángulo rectángulo, uno de los catetos es la base y el otro la altura.Para comprobar que efectivamente es un triángulo rectángulo se puede utilizar elTeorema de Pitágoras, verificando que la suma de los cuadrados de los catetos seaigual al cuadrado de la hipotenusa:AB 1 2 2 0 2 2 9 4 13AC 0 2 2 5 2 2 4 9 13BC 0 1 2 5 0 2 1 25 26Como en un triángulo rectángulo la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera delos catetos, se hace c 26 y: 26 13 13 22226 13 13Con lo que se demuestra que el triángulo efectivamente es rectángulo. Así, su áreaes igual a:A b h 213 13 13 6.5 unidades22
12. 14b) Coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada.Por razón se entiende un cociente de dos números expresado en forma de fraccióncomún, por ejemplo:1;23;46;198Cuando se dice que un punto P divide al segmento AB en la razón r, significa queAP rPBFigura 2.4La razón es el cociente de la distancia que hay del inicio del segmento (A) al punto quelo divide (P), entre la distancia del mismo punto de división (P) al punto final delsegmento (B).Obsérvese que sir1 BPPAy si P no es el punto medio del segmento, entonces r r1 , por lo que es importanteconocer cuál es el punto de inicio del segmento y cuál el final.
12. 15Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son los extremos de un segmento AB , las coordenadas de unpunto P(x, y) que divide a este segmento en la razón dada r x x1 rx 2;1 ry Cuando P es el punto medio del segmento, r APson:PBy1 ry 21 rAP 1 1PB1Y las fórmulas se reducen ax x1 x 2;2y y1 y 22Como se está considerando la dirección del segmento, las razones deben tomarse con elsigno que resulte, positivo o negativo. La razón tiene signo negativo cuando el puntoestá fuera del segmento.Ejemplos:1.) Si el punto medio de un segmento sobre el eje x es (7, 0) y uno de los extremostiene abscisa 2, se pueden encontrar las coordenadas del otro extremo de lasiguiente manera:Los datos del problema son las coordenadas de un extremo del segmento, el puntoA(2, 0) (porque el segmento está sobre el eje x), y las del punto medio (7, 0).Como la abscisa del punto medio es:x x1 x 227 2 x2;2Entonces:
12. 1614 2 x 2 ;x 2 12y, dado que el segmento está sobre el eje x, la ordenada del punto medio es 0, demodo que el otro extremo del segmento es B(12, 0) .2.) Para encontrar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento que va deA(–2, 3) a B(6, –3), es necesario recordar que los puntos de trisección son los quedividen al segmento en tres partes iguales, por lo tanto son dos puntos.Por la definición de razón, el primer punto P1 se encuentra a una “parte” dedistancia del inicio del segmento, y a dos “partes” del final del segmento, por loquer AP11 2P1 BLas coordenadas de P1 son:x x1 rx 21 ry y1 ry 21 r 1 2 6 2 312 2 13331 222 1 333 3 3 2 2 2 1 1331 222P1 2 ,1 3 Para encontrar las coordenadas del segundo punto P2, se observa que ahora ladistancia del punto de inicio a P2 es de dos “partes” y de P2 al punto final es deuna “parte”, es decir
12. 17r 2 21y las coordenadas de este otro punto que divide al segmento son:x y x1 rx 2 2 2 6 10 1 r1 23y1 ry 23 2 3 3 6 11 r1 23P2 10 , 1 3 Como se puede corroborar en la representación gráfica, estos puntos dividen alsegmento en tres partes iguales.Figura E2.43.) Si A(–4, 2) y B(4, 6) son los extremos de un segmento dirigido de A a B, se puedenencontrar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en una razóncualquiera, como podría ser la razón r –3r x y AP –3PBx1 rx 2 4 3 4 16 81 r1 3 2y1 ry 22 3 6 16 81 r1 3 2
12. 18Entonces P(8, 8) que, como se ve en la figura, está fuera del segmento. Esto sedebe al hecho de que la razón sea negativa.Figura E2.5Objetivo 3. Recordarás la definición de pendiente de una recta y de línea recta.Se llama ángulo de inclinación de una recta al ángulo que se forma por la parte positiva deleje x y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Se designa por la letra griegaα.Figura 3.1
12. 19Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta, a la tangente de su ángulo deinclinación. Se designa comúnmente por la letra m, por lo tanto m tan α.Figura 3.2Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos puntosdiferentes cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m resulta siempre constante.Dados dos puntos de una recta, P1 x1 , y1 y P2 x 2 , y 2 , la pendiente se calcula comom y 2 y1, x1 x 2x 2 x1Por lo tanto, si P x, y es un punto cualquiera de dicha recta, las coordenadas del punto Psatisfacen la ecuaciónm y y1x x1o bieny y1 m x x1 (1)que es la ecuación de la recta que pasa por P1 x1 , y1 y tiene pendiente m. Esta expresión sellama forma punto–pendiente de la ecuación de una recta.
12. 20Figura 3.3Objetivo 4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta,dadas dos condiciones que la definen.Una recta en particular tiene una pendiente dada, pasa por un número infinito de puntos, eintersecta a cada uno de los ejes coordenados en un punto específico. Conocidas doscualesquiera de estas condiciones, es posible determinar la ecuación de la recta que lascumple.Ejemplos:1.) Para determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y pasa por el punto(11, –8):La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 y tiene pendiente m está dada porla fórmula (1)y y1 m x x1
12. 21Entonces, la ecuación de la recta con pendiente –3 y que pasa por el puntoP1(11, –8) se obtiene sustituyendo estos valores en la ecuación:y 8 3 x 11 y 8 3x 33la ecuación pedida es:y 3 x 252.) Para determinar la ecuación de la recta tal que el ángulo que forma con el eje x esde 72 y pasa por el punto (1, 1):Figura E4.1Como la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje x, seobtiene el valor de la tangente de 72º:tan 72 3.0777 m
12. 22Como en el ejemplo anterior, se sustituyen en la forma punto–pendiente losvalores de m y las coordenadas del punto:y 1 3.0777 x 1 y 1 3.0777 x 3.0777la ecuación pedida es:y 3.0777 x 2.07773.) Para determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, 2) y (–5, 7):Figura E4.2Para aplicar la fórmula (1) se necesita conocer la pendiente y un punto; cualquierade los dos puntos servirá para la ecuación. Sólo se requiere calcular la pendiente,la cual se puede determinar con los dos puntos dados. El cálculo se puede realizardirectamente en la fórmula (1) sustituyendo la expresión de m:y y1 y 2 y1 x x1 x 2 x1Esta ecuación se llama forma dos puntos de la ecuación de una recta.(2)
12. 23Si se utiliza P1 para sustituir en la ecuación:y 2 2 7 x 4 4 5 y 2 5 x 4 9520y 2 x 99Y si se quita el denominador del segundo miembro para tener una ecuación concoeficientes enteros:9 y 18 5 x 209 y 5 x 384.) Para determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es 1 y su intersección con7el eje y se encuentra a 2 unidades del origen.Como no se precisa si la intersección con el eje y es en la parte positiva o en laparte negativa del eje, o bien el punto de intersección es P1(0, 2), o es P2(0, –2).En cualquier caso, se cuenta con las dos condiciones necesarias para determinar laecuación de la recta: la pendiente y un punto. Si el punto es P1(0, 2), la ecuaciónesy 2 1 x 0 7y 2 1x7Si esta ecuación se reacomoda de manera que en el primer miembro quedesolamente la variable y, quedarán explícitos tanto el valor de la pendiente como laordenada del punto donde la recta intersecta al eje y (esta intersección se denotapor b y, en este caso, b 2):
12. 24y 1x 27Si se toma el punto P2(0, –2), la ecuación en la forma punto-pendientes esy 2 1 x 0 7Y si, como antes, se reacomoda de forma que aparezcan explícitamente lapendiente y la ordenada al origen, ahora b –2 y la ecuación es:y 1x 27Debido a las dos condiciones que se requieren para utilizarla, la expresióny mx bse denomina forma pendiente–ordenada al origen de la ecuación de una recta.5.) Para determinar la ecuación de la recta tal que los segmentos que determina sobrelos ejes x y y son 2 y –3 respectivamente.A diferencia del ejemplo anterior, en éste, los signos de los segmentos indican queel punto de intersección sobre el eje x es hacia el lado positivo y el segmentomedido sobre el eje y es hacia abajo.Figura E4.3
12. 25Los puntos en los que la recta intersecta a cada eje son P1(2, 0) y P2(0, –3). Conellos se emplea la forma dos puntos de la ecuación de una recta:y y1 y 2 y1 x x1 x 2 x1Y tomando alguno, por ejemplo P1, la ecuación de la recta es:y 0 3 0 x 2 0 2y y 3 x 2 23x 32Si se toma el punto P2:y 3 3 x 0 2y 3 y 3x23x 32Que, por supuesto, es la misma ecuación que se obtuvo con el punto P1.Otra alternativa sería calcular la pendiente de la recta a partir de los dos puntos ydespués sustituir el valor de m y el de b (b –3) en la forma pendiente–ordenada alorigen.Cuando, como en este ejemplo, se conocen la abscisa y la ordenada al origen, seutiliza la llamada forma simétrica de la ecuación de una recta, que se obtiene apartir de la forma dos puntos, igualando a 1 el segundo miembro. Así, si laintersección con el eje x es el punto (a, 0) y la intersección con el eje y es el punto(0, b), la ecuación de la recta es:x y 1a b
12. 266.) Para encontrar la ecuación de la recta en la forma simétrica, si los segmentos quedetermina sobre los ejes x y y son 2 y –3 respectivamente:En el ejemplo 5, se aplicó la forma dos puntos obteniendo:y 3x 32Si se multiplica por 2 para tener sólo coeficientes enteros:2 y 3x 6La forma simétrica se obtiene igualando a 1 la ecuación, de modo que deberándejarse los términos en x y en y en el primer miembro y dividir entre –6 toda laecuación: 3 x 2 y 6 6 6 6Para que la ecuación muestre claramente las intersecciones con los ejes, convieneque en la segunda fracción se deje el signo menos en el denominador:xy 12 3Como se puede ver, cada variable está dividida por la intersección de la recta conel eje correspondiente.7.) Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–3, 0) y (0, 5):Es claro que los puntos dados son las intersecciones con el eje x y con el eje y,respectivamente. La forma de la ecuación de la recta que se puede utilizardirectamente cuando se conocen sus intersecciones con los ejes coordenados es laforma simétrica:x y 1a b
12. 27donde:a intersección con el eje x,b intersección con el eje y,Entonces, la ecuación de la recta esxy 1 3 5Resumen de fórmulas:Si se conocen:La pendiente m y un puntoDos puntosLa forma que conviene emplear es:y y1 m x x1 y y1 y 2 y1 x x1 x 2 x1La pendiente m y la intersección b con el eje yy mx bLas intersecciones a con el eje x, y b con el ejex y 1a byObjetivo 5. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y lascondiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dosrectas en el plano.Generalmente la ecuación de una recta se expresa igualando a cero el segundo miembro.En los ejemplos del objetivo anterior, el resultado se daría como sigue:
12. 28En el Ejemplo 1:y 8 3x 333 x y 25 0 En el Ejemplo 2:y 1 3.0777 x 3.0777 3.0777 x y 2.0777 0En el Ejemplo 3:9 y 18 5 x 20 5 x 9 y 38 0En el Ejemplo 4:y 1x 27 1x y 2 07 x 7 y 14 0En el Ejemplo 5:3x 32 xy 12 3 y 3x y 3 02 3x 2 y 6 0En el Ejemplo 6:3x 2 y 6 0En el Ejemplo 7:xy 1 3 5 5 x 3 y 15 0 5 x 3 y 15 0Una ecuación en una o dos variables de primer grado igualada a cero, se llama formageneral de la ecuación de una recta. Su expresión genérica es:Ax By C 0
12. 29donde al menos uno de los coeficientes, A ó B , debe ser diferente de cero y C puede o noser cero. Esta expresión también se denomina ecuación lineal.Dada una ecuación lineal en la forma general con B 0, al expresarla en la forma puntopendiente se encuentra que:Ax By C 0By Ax Cy ACx BBla pendiente m de la recta está dada por el cocientem ABb CBy su ordenada al origen, b , es el cocienteSi ahora se expresa en la forma simétrica para conocer sus intersecciones con los ejescoordenados:Ax By C 0Ax By CAx By C C C Cxy 1 C CABLa intersección con el eje x es a CC, y la intersección con el eje y es b AB
12. 30Ejemplos:1.)Dada la ecuación de la recta 6 x 5 y 18 0 , se pueden encontrar su pendiente yel punto de intersección con el eje y.Como la ecuación está dada en la forma general donde A 6; B –5; C 18, lasolución se encuentra aplicando las fórmulas anteriores.La pendiente de la recta es:m A66 B 55Y el punto de intersección con el eje y es:b 2.)C1818 B 553Dada la recta 3 y 1 x 4 , se pueden encontrar la pendiente, sus2intersecciones con los ejes coordenados y representarla en el plano cartesiano.La ecuación de la recta no está en la forma punto-pendiente ni en la formapendiente-ordenada al origen; de manera que lo más conveniente es expresarla enla forma general y aplicar las fórmulas para determinar la pendiente y lasintersecciones con los ejes.Para ello, se multiplica la ecuación por el denominador de la fracción, se iguala acero y se reducen términos semejantes:33y 1 x 426 y 2 3 x 83x 6 y 2 8 0
12. 313 x 6 y 10 0Con la ecuación de la recta en la forma general, donde A 3; B 6 y C –10, seencuentra quem A31 B62a C 10 10 A33b C 10 5 B63La representación en el plano se puede hacer fácilmente con las dos interseccionessobre los ejes:Figura E5.13.)Al analizar la ecuación: x 2 2 6 y 1 x x 5 y ,si se efectúan lasoperaciones indicadas queda:x 2 4 x 4 6 y 1 x 2 5x ySi se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen términossemejantes:
12. 32x 2 x 2 4 x 5x 6 y y 1 0 9x 7 y 1 0lo que se obtiene es la ecuación de una recta en la forma general9x 7 y 1 0Por tanto, la expresión x 2 2 6 y 1 x x 5 yrepresenta una recta.Dadas dos rectas, puede ocurrir uno y sólo uno de los siguientes casos:1. Las rectas son paralelas2. Las rectas son coincidentes (es la misma recta)3. Las rectas se cortan en uno y solamente un punto y, al cruzarse, el ángulo queforman esa) de 90º, por lo tanto son perpendicularesb) diferente de 90ºConocidas las rectas Ax By C 0 y A' x B' y C ' 0 , la(s) condición(es) necesaria(s)y suficiente(s) para estos casos son:1. ParalelasPara esto se requiere que sus pendientes sean iguales, m m .m m AA' BB'A B A' B 'lo cual ocurre cuando los coeficientes de x y de y son proporcionales.2. CoincidentesPara esto se necesita que tengan la misma pendiente y un punto común, es decir:m m y, que por ejemplo, para el punto en que cada recta intersecta al eje x se tenga:
12. 33 C C' ,0 ,0 A A' Por la igualdad de pendientes: AA' BB' A B A' B 'y, por la igualdad del punto: CC' AA'A C A' C ' Como dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí, se tiene que:A B C A' B' C 'Por lo tanto, para que dos rectas coincidan, sus coeficientes correspondientesdeben ser proporcionales.3. Se intersecten en un punto y sólo uno:Dos rectas se intersectan solamente en un punto cuando no son paralelas.Entonces, por el caso 1, dos rectas se intersectan en un punto cuando loscoeficientes de x y de y no son proporcionales:AB ' A' B 0a) Formando un ángulo de 90º (rectas perpendiculares).Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signocontrario:m 1m'm m – 1 A A' 1 B B'
12. 34AA' 1BB'AA' BB'AA' BB' 0Y esto ocurre cuando la suma de los productos de los coeficientesrespectivos de x y de y, es cero.b) Formando un ángulo diferente de 90º.SiAB ' A' B 0 y AA ' BB ' 0.Ejemplos:1.) Para encontrar el valor de k para que la recta kx k 1 y 18 0 sea paralelaa la recta 4 x 3 y 7 0 , como dos rectas son paralelas si los coeficientes de xy y son proporcionales, es decir, siA B AB ' A' B 0 , se puedenA' B 'tomar los coeficientes de la primera recta como A y B: A k y B k – 1; y losde la segunda como A’ y B’: A’ 4 y B’ 3. Entonces:AB ' A' B 03k 4 k 1 03k 4k 4 0 k 4 0k 4yk 1 3La recta es:4 x 3 y 18 0
12. 35Se puede observar que los coeficientes de x y de y son iguales en las dos rectasy queAB ' A' B 0 4 3 4 3 0Las dos rectas sólo difieren en el término independiente.2.) Para determinar si las rectas R1 que pasa por los puntos (1, 1) y (4, 4) y R2 quepasa por (0, 4) y (3, 1) son perpendiculares entre sí conviene analizar los datosque se proporcionan para resolver el problema de la manera más eficiente.Si los datos fueran las ecuaciones de las rectas, lo más sencillo sería verificar sila condición AA' BB' 0 se cumple o no. Pero como la información son dospuntos de cada recta, lo mejor es utilizar la condición de que las rectas seránperpendiculares si m 1. Entonces:m'm R1 y 2 y14 13 14 13x 2 x1ym R2 1 4 3 13 03Por lo quem R1 1; m R1 m R" 1 ,m R2y las rectas sí son perpendiculares.3.) Si la ecuación de la recta R1 es 5 x 7 y 11 0 , se puede escribir la ecuaciónde todas las rectas paralelas a ella de la siguiente manera:
12. 36Como dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales, o sea que suscoeficientes de x y de y son tales que:A B A' B 'y si la ecuación de todas las rectas paralelas a R1 se representa comoAx By C 0 , los coeficientes de R1 serán A’ 5 y B’ –7, de modo queA B A' B 'AB ,5 7de dondeA 5B 7Al sustituir A por su equivalente en Ax By C 0 :5Bx By C 0 7Que también puede expresarse como:5 Bx 7 By 7C 05B7B7Cx y 0BBB5x 7 y Dado que 7C 0B7Ces una constante arbitraria, se le puede llamar k y la ecuaciónBanterior queda como5x 7 y k 0De modo que todas las rectas paralelas a R1: 5 x 7 y 11 0 , son aquellas quedifieren de ésta únicamente en el término independiente.Como una recta está determinada unívocamente por dos condicionesindependientes, cuando sólo se establece una única condición geométrica existe
12. 37una infinidad de rectas que la satisfacen a las que se llama familia o haz derectas.En este ejemplo, la familia de rectas con pendientem 55 7 7es:5x 7 y k 04.) Para comprobar que cada una de las rectas:a) 65 x 91y 17 0b) x c) 7y 5 0520x 4y 4 07son paralelas a la recta R1: 5 x 7 y 9 0 basta encontrar expresionesequivalentes para ellas con los coeficientes de x y de y iguales o proporcionales alos de R1.a) 65 x 91y 17 0Como 65 es múltiplo de 5 (ya que 65 5 x 13), y 91 es múltiplo de 7 enla misma proporción (91 7 x 13) se tiene:A51 A ' 5 13 13yB71 B ' 7 13 13entonces:A B A' B 'y las rectas son paralelas.b) x 7y 5 05
12. 38Por comodidad, puede encontrarse una expresión equivalente concoeficiente 5 (para eliminar la fracción en el coeficiente de y). Almultiplicar por 5 ambos miembros de la ecuación y simplificar, queda:7 5 x y 5 0 5 5 x 7 y 25 0Se obtiene que A A’ , B B’ y las rectas son paralelas.c) 20x 4y 4 07Como en el anterior, en este caso es sencillo encontrar las operacionesque se deben efectuar para llegar a una ecuación equivalente concoeficientes proporcionales a 5 para x y a –7 para y al eliminar eldenominador del coeficiente de x: 20 7 x 7 4 y 7 4 7 0 7 20 x 28 y 28 0Puesto queA B A' B 'se corrobora que R1 y la recta propuesta son paralelas.Objetivo 6. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en laforma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general.La forma normal de la ecuación de una recta se obtiene conociendo su distancia al origen,la cual se mide trazando una perpe
12. 6 Figura E1.2b 3.) Dados los puntos P 1(1, -3) y P 2(4, -3), es posible encontrar las coordenadas del punto con el que P 1 y P 2 forman un triángulo isósceles, en el que P 2 sea el vértice de un ángulo recto. (Dos soluciones posibles) Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y, si además tiene un ángulo recto, los
