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Sistemas de ecuacionesEcuaciones lineales con dos incógnitas1. Método de reducción1)𝑎 𝑏 9}𝑎 𝑏 1Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos:2𝑎 10Regla del producto: dividimos entre 2𝑎 5Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor obtenido en alguna de las dos ecuaciones. Porejemplo, sustituyendo en la primera obtenemos:(5) 𝑏 9Si restamos 5 en las dos ecuaciones, obtenemos:(5) 𝑏 5 9 5𝑏 4Con lo que la solución del sistema es ( 5, 4)𝑥 2𝑦 132)}3𝑥 𝑦 14Como el mcm de los coeficientes de la y es menor, reducimos por dicha incógnita.𝑚𝑐𝑚(𝑦) 2Ajustamos los coeficientes:1 (𝑥 2𝑦 13)} 2 (3𝑥 𝑦 14)He puesto un signo negativo en el coeficiente de la segunda para que no se queden los coeficientesde la y con el mismo signo. Ahora multiplicamos:𝑥 2𝑦 13} 6𝑥 2𝑦 28Sumamos las dos ecuaciones: 5𝑥 15Dividimos entre 5 toda la ecuación: 𝑥 3Sustituimos el valor de x en la primera ecuación (en realidad, puedes sustituir en la que quieras):( 3) 2𝑦 13Regla de la suma: Restamos 3 en los dos miembros: 2𝑦 10Regla del producto: dividimos los dos miembros de la ecuación por 2: 𝑦 5

Solución del sistema: ( 3, 5)4𝑥 𝑦 103)}2𝑥 𝑦 4En este caso, vamos a reducir por la incógnita y porque tiene el mismo coeficiente en las dosincógnitas. Lo único es que tiene el mismo signo en las dos por lo que vamos a multiplicar una deellas por 1:4𝑥 𝑦 10} 1 (2𝑥 𝑦 4)Operamos:4𝑥 𝑦 10} 2𝑥 𝑦 4Sumamos las dos ecuaciones: 2𝑥 6Regla del producto: dividimos entre 2: 𝑥 3Para calcular la otra incógnita, sustituimos, por ejemplo, en la segunda ecuación:2( 3) 𝑦 46 𝑦 4Regla de la suma: restamos 6: 𝑦 2Regla del producto: dividimos entre 1𝑦 2Solución del sistema de ecuaciones: ( 3, 2)4)6𝑥 7𝑦 79}5𝑥 11𝑦 49En este caso, vamos a reducir por la incógnita x porque el mcm de sus coeficientes es 30 que es máspequeños que el mcm de los coeficientes de la otra (77). Ajustamos los coeficientes:5 (6𝑥 7𝑦 79)} 6 (5𝑥 11𝑦 49)En la segunda ecuación, ponemos el coeficiente negativo para que los dos coeficientes de la incógnitaporque la que estamos reduciendo no salgan de igual signo:30𝑥 35𝑦 395} 30𝑥 66𝑦 294Sumamos las dos ecuaciones del sistema:101𝑦 101Regla del producto: dividimos entre 101:𝑦 1Para calcular la otra incógnita, sustituimos, por ejemplo, en la segunda ecuación:5𝑥 11( 1) 495𝑥 11 49Regla de la suma: sumamos 11 en los dos miembros de la ecuación:

5𝑥 60Regla del producto: dividimos entre 5𝑥 12Solución del sistema de ecuaciones: ( 12, 1)5)5𝑥 𝑦 5}7𝑥 𝑦 13Como la incógnita y tienen el mismo coeficiente con signos opuestos en las dos ecuaciones, laelegimos para reducir por ella el sistema. Sumamos las dos ecuaciones:12𝑥 1818Regla del producto: dividimos entre 12: 𝑥 123Y simplificamos el resultado: 𝑥 2Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor que hemos encontrado, por ejemplo, en laprimera ecuación:35( ) 𝑦 5215 𝑦 52Quitamos denominadores de la ecuación:15 2𝑦 10Regla de la suma: restamos 15:15 2𝑦 15 10 152𝑦 55Regla del producto: dividimos entre 2: 𝑦 235Resultado del sistema de ecuaciones: (2 , 2)5𝑥 8𝑦 76)}𝑥 1 𝑦En primer lugar, colocamos los términos con incógnitas de la segunda ecuación en su lugar con laregla de la suma:5𝑥 8𝑦 7}𝑥 𝑦 1Reducimos por la x multiplicando la segunda ecuación por 5:5𝑥 8𝑦 7} 5 (𝑥 𝑦 1)Hacemos los cálculos:5𝑥 8𝑦 7} 5𝑥 5𝑦 5Y sumamos las dos ecuaciones para reducir el número de incógnitas: 3𝑦 2Regla del producto: dividimos entre 3:

23Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor que hemos encontrado, por ejemplo, en lasegunda ecuación:2𝑥 ( ) 132𝑥 13Quitamos denominadores multiplicando por 3:3𝑥 2 3Regla de la suma: restamos 2:3𝑥 2 2 3 23𝑥 11Regla del producto: dividimos entre 3: 𝑥 3𝑦 12Solución del sistema de ecuaciones: (3 , 3)7)8𝑥 4𝑦 6}9𝑥 3𝑦 6Vamos a reducir por la y porque el mcm de sus coeficientes es menor. Además, multiplicaremos pormenos para que las dos tengan signos opuestos: 3 (8𝑥 4𝑦 6)} 4 (9𝑥 3𝑦 6)Operamos: 24𝑥 12𝑦 18} 36𝑥 12𝑦 24Sumamos las dos ecuaciones del sistema:12𝑥 66Regla del producto: dividimos entre 12: 𝑥 121Simplificando: 𝑥 2Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor que hemos encontrado, por ejemplo, en lasegunda ecuación:19 ( ) 3𝑦 629 3𝑦 62Multiplicamos por 2:9 6𝑦 12Regla de la suma: restamos 99 6𝑦 9 12 9 6𝑦 3Regla del producto: dividimos entre 6

𝑦 36𝑦 12Simplificando:11Solución del sistema: ( 2 , 2)3𝑥8)22𝑥3 4𝑦𝑦 43 1 07} 12Para quitar denominadores, multiplicamos la primera ecuación por 6 y la segunda por 1212 3𝑥 12 4𝑦 12 1 12 0231}12 2𝑥 12 𝑦12 7 3412Simplificamos:18𝑥 16𝑦 12 0}8𝑥 3𝑦 7Colocamos bien el término independiente de la primera ecuación restando 12:18𝑥 16𝑦 12}8𝑥 3𝑦 7Simplificamos la primera ecuación dividiendo entre 2:9𝑥 8𝑦 6}8𝑥 3𝑦 7Reducimos por la y porque el mcm de sus coeficientes (24) es menor. Ajustamos los coeficientes ymultiplicamos una de ellas por menos para que los coeficientes sean distintos: 3 (9𝑥 8𝑦 6)}8 (8𝑥 3𝑦 7)Operamos: 27𝑥 24𝑦 18}64𝑥 24𝑦 56Sumamos las dos ecuaciones que forman el sistema:37𝑥 74Dividimos entre 37: 𝑥 2Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor que hemos encontrado, por ejemplo, en lasegunda ecuación:8(2) 3𝑦 716 3𝑦 7Regla de la suma: restamos 163𝑦 9Regla del producto: dividimos entre 3𝑦 3

Resultado del sistema: ( 2, 3)𝑥 19)4 2𝑥 𝑦 252𝑦 53 3 𝑦 8}Para quitar los denominadores, multiplicamos la ecuación de arriba por 20 y la de abajo por 3:20 (𝑥 1) 20 (𝑦 2) 20 345}3 (2𝑦 5)3 2𝑥 3 (𝑦 8)3Simplificamos:5 (𝑥 1) 4 (𝑦 2) 60}6𝑥 (2𝑦 5) 3𝑦 24Quitamos paréntesis:5𝑥 5 4𝑦 8 60}6𝑥 2𝑦 5 3𝑦 24Simplificamos términos semejantes:5𝑥 4𝑦 13 60}6𝑥 2𝑦 5 3𝑦 24Colocamos en su sitio cada término:5𝑥 4𝑦 73}6𝑥 5𝑦 19Vamos a reducir por la y porque su mcm (20) es más pequeño:5 (5𝑥 4𝑦 73)}4 (6𝑥 5𝑦 19)Operamos:25𝑥 20𝑦 365}24𝑥 20𝑦 76Sumamos las dos ecuaciones:49𝑥 441Regla del producto: dividimos entre 49: 𝑥 9Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor que hemos encontrado, por ejemplo, en laprimera ecuación:5(9) 4𝑦 7345 4𝑦 73Regla de la suma: restamos 4545 4𝑦 45 73 454𝑦 28Regla del producto: dividimos entre 4𝑦 7Solución del sistema de ecuaciones: ( 9, 7)

10)𝑥 𝑦 8}𝑥 𝑦 2Sumamos las dos ecuaciones:2𝑥 10Regla del producto: dividimos entre 2𝑥 5Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor que hemos encontrado, por ejemplo, en la primeraecuación:(5) 𝑦 8Regla de la suma: restamos 5𝑦 3Solución del sistema de ecuaciones: ( 5, 3)

Solución del sistema de ecuaciones: ( 12, 1) 5) 5 5 7 13} Como la incógnita y tienen el mismo coeficiente con signos opuestos en las dos ecuaciones, la elegimos para reducir por ella el sistema. Sumamos las dos ecuaciones: 12 18 Regla del producto: dividimos entre 12: 18 12 Y simplificamos el resultado: 3 2