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E.T.S. Arquitectura. EDO.1Profesora: Eugenia Rosado1Introducción a las ecuaciones diferencialesUna ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Lasecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental tanto en la propia Matemática comoen otras ciencias como la Física, Química, Economía, Biología, etc.Si y f (x) es una función dada, su derivada respecto de la variable independiente x sepuede interpretar como el ritmo de cambio de la variable y respecto de la variable x. Porejemplo, es bastante usual que en un proceso económico, las variables involucradas y susritmos de variación estén relacionados entre sí por medio de los principios económicos quegobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en términos matemáticos el resultadoes, con frecuencia, una ecuación diferencial.A diferencia de las ecuaciones algebraicas, en una ecuación diferencial la incógnita esuna función (en ocasiones del tiempo), no un número.Una ecuación diferencial es aquélla que relaciona una o varias variables independientes,una función de dichas variables (que es la función incógnita) y las derivadas de dicha funciónhasta un cierto orden.Ecuación diferencial en derivadas parciales. Cuando la función incógnita dependede más de una variable, tendremos una ecuación diferencial en derivadas parciales. Porejemplo, la ecuación:Fx; y; z(x; y);@z@2z@2z@2z@z(x; y); (x; y); 2 (x; y);(x; y); 2 (x; y)@x@y@x@x@y@y 0relaciona las variables independientes x; y con la variable dependiente z(x; y) y las derivadasparciales de z(x; y).Un ejemplo de ecuación diferencial en derivadas parciales esx@z@z y kz@x@ydonde la función incógnita es z z(x; y).Ecuación diferencial ordinaria. Cuando la función incógnita depende de una variable, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria; esto es, la ecuación:F x; y(x); y 0 (x); y 00 (x); : : : ; y (n (x) 0relaciona la variable independiente x con la variable dependiente y(x) y las derivadas hastaorden n de y(x).Si la ecuación anterior se puede escribir comoy (n (x) f (x; y(x); y 0 (x); :::; y (n 1 (x))donde f es una determinada función de nida en un subconjunto de Rn 1 , se dice que laecuación viene dada en su forma normal.
E.T.S. Arquitectura. EDO2Profesora: Eugenia RosadoSe llama orden de una ecuación diferencial ordinaria al mayor de los órdenes de lasderivadas que aparecen en la ecuación.En el primer tema nos centraremos en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; esto es, ecuaciones de la formaF (x; y(x); y 0 (x)) 0:Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer ordenF (x; y(x); y 0 (x)) 0en el conjunto DR a toda función y '(x) tal queF (x; '(x); '0 (x)) 0para todo x 2 D R.En general, una ecuación diferencial ordinaria tiene in nitas soluciones pero se suelen tener condiciones, por ejemplo, valores iniciales, que limitan el número de solucionesadecuadas al modelo a estudiar.Llamamos solución general de una ecuación diferencial al conjunto de todas las soluciones. Y se denomina solución particular de una ecuación diferencial a una cualquiera desus soluciones.El proceso de obtención de las soluciones de una ecuación diferencial se denominaresolución o integración de la misma.Teoría cualitativa de ecuaciones diferencialesCuando se empezó a desarrollar la teoría de las ecuaciones diferenciales, se trató dehallar soluciones explícitas de tipos especiales de ecuaciones pero pronto se advirtió quesólo unas pocas ecuaciones se podían resolver de esta manera. Sin embargo, en muchoscasos no es necesario obtener fórmulas explícitas de las soluciones y basta con poner enrelieve las propiedades más relevantes de la solución. La teoría de las ecuaciones diferenciales comprende muchos resultados sobre el comportamiento general de las soluciones.Esto es lo que se llama teoría cualitativa. Sus resultados principales son los teoremas deexistencia y unicidad de solución, los análisis de sensibilidad e investigaciones de estabilidad de equilibrios. Estos temas tienen tanto interés teórico como una gran importanciapráctica.NOTA: Usaremos indistintamente las siguientes notaciones para una EDO de primerorden en forma normal:y 0 (x) f (x; y(x)); x variable independiente, y(x) variable dependiente,u0 (x) f (x; u(x)); x variable independiente, u(x) variable dependiente,x0 (t) f (t; x(t)); t variable independiente, x(t) variable dependiente.
E.T.S. Arquitectura. EDO3Profesora: Eugenia Rosado2Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenVamos a estudiar diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ylas técnicas de integración que nos permiten calcular la solución general en cada caso.En primer lugar, y antes de proceder a realizar las operaciones oportunas para el cálculode la solución del problema planteado, es necesario veri car la existencia y unicidad desolución, para ello contamos con el Teorema de existencia y unicidad de solución, que nosdice que, dado un problema de Cauchyy 0 f (x; y)y(x0 ) y0esto es, dada una ecuación diferencial ordinaria y 0 f (x; y) donde f es una función realde clase C 1 en un abierto A R2 , (es decir, existen las derivadas primeras de f en A y sonfunciones continuas) y dada una condición inicial y(x0 ) y0 , con (x0 ; y0 ) 2 A, entoncesexiste un entorno de x0 en el cual dicha ecuación diferencial posee una única solucióny '(x), que veri ca la condición inicial '(x0 ) y0 .La solución de un problema de Cauchy concreto se encuentra a partir de la integral general de la ecuación diferencial '(x; C), donde C es una constante arbitraria, determinandola constante C de manera que se obtenga una curva que contenga al punto (x0 ; y0 ).En muchas ocasiones puede ser conveniente apoyarnos en la interpretación geométricade las soluciones diferenciales de primer orden, para ello, analicemos el siguiente ejemplo:Ejemplo 1: Sea la ecuación diferencial:y0 xy(1)La ecuación (1) es una ecuación diferencial de las denominadas en variables separables,cuya resolución se efectuará más adelante (Ejemplo 3); se adelanta que su solución es:y 2 x2 C;C 2 R:Esto es,pla solución general es una familia de circunferencias concéntricas, de centro (0; 0)y radio C.Para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial (1) que veri que: (x; y) (2; 1), únicamente tendríamos que sustituir el punto (2; 1) en la solución general y de estamanera obtendríamos el parámetro C:12 22 C de donde C 5:Es decir, la solución particular es:x2 y 2 5que, geométricamente, es la circunferencia de centro (0; 0) y radiop5.
E.T.S. Arquitectura. EDO4Profesora: Eugenia Rosado2.1Ecuaciones diferenciales de variables separablesUna ecuación diferencial ordinaria de primer ordenu0 (x) f (x; u(x))se dice que es de variables separables si se puede expresar en la formag(u(x))u0 (x) h(x)donde g y h son funciones dadas.La solución general de este tipo de ecuaciones se calcula integrando los dos miembrosde la ecuación; esto es,ZZ0g(u(x))u (x)dx h(x)dx C:Ejemplo 2: Vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer ordende variables separables:u0 (x) 2x(u(x) 3);esto es,Integrando tenemosesto es,u0 (x) 2x:u(x) 3Zu0 (x)dx u(x) 3Z2xdx;ln ju(x) 3j x2 Cy, tomando exponenciales a ambos lados de la igualdad y operando, obtenemos la solucióngeneral:223; donde K eC .u(x) ex C 3 Kex
E.T.S. Arquitectura. EDO5Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 3: Hallar la curva tal que la pendiente de la recta tangente a la curva en cadapunto es x y. Por tanto, dicha curva debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial:y0 con (x; y) 2 R2xyf(0; 0)g. La ecuación anterior se puede escribir como sigue:yy 0 e integrando, tenemosesto es,Z0xy(x)y (x)dx 1y(x)2 2Zxdx;1 2x C2de donde, operando se tieney 2 x2 C:NOTA: A la constante 2C, la denominamos también C ya que vuelve a ser una constantearbitraria.Ejemplo 4: Vamos a resolver ahora la siguiente ecuación diferencial:u0 (x) 2u(x)2 xcon valor inicial: u(0) 1 2.Operando obtenemos:u0 (x) 2x;u(x)2e, integrando la ecuación anterior se tieneZ 0Zu (x)dx 2xdx;u(x)2esto es,1 x2 C:u(x)Con lo que la solución general de la ecuación dada es la siguiente familia de curvas:u(x) x21; con C 2 R. CPara hallar la curva integral que veri ca u(0) constante C correspondiente. Tenemos que11 20 C1 2, debemos hallar el valor de la
E.T.S. Arquitectura. EDO6Profesora: Eugenia Rosadoluego C 2. Así, la curva integral esu(x) 1x22que es la solución particular buscada. Puede verse su representación grá ca en la siguiente gura:y1.00.5-5-4-3-2-11-0.52345x
E.T.S. Arquitectura. EDO7Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 5: La ecuaciónu0 (x) (1 x2 )(1 u(x))se puede escribir comou0 (x) 1 x2 :1 u(x)Integramos a ambos lados de la igualdad:ZZu0 (x)dx 1 x2 dx1 u(x)ln j(1 u(x))j x )x3 C:3Y, operando obtenemos:x3u(x) Cex 31:Ejemplo 6: La ecuaciónu0 (x) se puede escribir como1 u2 (x) 0;xu0 (x) 1 u2 (x)1:xIntegramos a ambos lados de la igualdad:ZZu0 (x)1dx dx ) arctg(u(x)) 21 u (x)xln jxj C lnY, operando obtenemos:u(x) tg ln1jxj C :1jxj C:
E.T.S. Arquitectura. EDO8Profesora: Eugenia RosadoProblema: Hallar la curva tal que por cada punto de la curva, el segmento cuyosextremos son los puntos de corte de la recta tangente a la curva en dicho punto con losejes coordenados, se divide a la mitad en el punto de tangencia.Supongamos que la curva es la grá ca de una función y(x). Un punto de la curva esde la forma (x; y(x)). La condición es:y0 Por tanto, integrandoobtenemos:Zy 0 (x)dx y(x)y:xy 0 (x) y(x)Z1dxx )1;xln jy(x)j ln jxj C lnY, tomando exponenciales a ambos lados de la igualdad, obtenemos:y(x) K1:jxj1jxj C:
E.T.S. Arquitectura. EDO9Profesora: Eugenia Rosado2.2Ecuaciones diferenciales homogéneasUna ecuación diferencial ordinaria de primer orden u0 (x) f (x; u(x)) se dice que es homogénea si la función f es una función homogénea de grado 0; esto es,f (tx; tu(x)) t0 f (x; u(x)) f (x; u(x)):En este caso, la ecaución diferencial se puede escribir de la siguiente manera:u0 (x) f1;u(x)x:(2)La integral general de este tipo de ecuaciones se puede obtener haciendo el cambio devariable:u(x)v(x) () u(x) xv(x);(3)xcon lo que, derivando, obtenemosu0 (x) v(x) xv 0 (x):(4)Sustituyendo (3) y (4) en la ecuación (2) se obtiene la siguiente ecuación diferencial quees de variables separables:v(x) xv 0 (x) f (1; v(x))pues operando, se puede escribir de la siguiente forma:v 0 (x)1 :f (1; v(x)) v(x)xVeamos algunos ejemplos.Ejemplo 7: Vamos a obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencialordinaria de primer orden:(x2 u(x)2 )2xu(x)u0 (x) 0:Despejamos u0 (x) de la ecuación anterior:u0 (x) x2 u(x)2:2xu(x)Y así escrita es fácil ver que es una ecuación homogénea. Dividiendo el numerador y eldenominador del miembro de la derecha de la igualdad entre x2 , obtenemosu0 (x) u(x)2x2 :u(x)2x1
E.T.S. Arquitectura. EDO10Profesora: Eugenia RosadoHaciendo el cambio de variable v(x) u(x) x, y por tanto,u0 (x) v(x) xv 0 (x)obtenemos1 v(x)2v(x) xv (x) 2v(x)0esto es,xv 0 (x) de donde1v 2 (x)2v(x)12v(x) 0v (x) :21 v (x)xIntegrando a ambos lados de la ecuación anterior se obtiene:ZZ2v(x) 0dxv(x)dx 1 v 2 (x)xesto es,ln 1v 2 (x) ln jxj C;ln 1v 2 (x) ln jxjC lnTomando exponenciales en la ecuación anterior se obtiener11 v 2 (x) K ) v(x) 1x1jxjC:K:xDeshaciendo el cambio de variable: v(x) u(x) x, tenemosrKu(x) x 1xque es la solución general del problema planteado.Ejemplo 8: Vamos a obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencialordinaria de primer orden:u(x)u0 (x) 1:xEs inmediato comprobar que es una ecuación homogénea. Haciendo el cambio de variablev(x) u(x) x, y por tanto,u0 (x) v(x) xv 0 (x)
E.T.S. Arquitectura. EDO11Profesora: Eugenia Rosadoobtenemosv(x) xv 0 (x) v(x) 1esto es,1:xIntegrando a ambos lados de la ecuación anterior se obtiene:ZZdx0v (x)dx xv 0 (x) esto es,v(x) ln jxj C:Deshaciendo el cambio de variable: v(x) u(x) x, tenemosu(x) x (ln jxj C)que es la solución general del problema planteado.Ejemplo 9: Vamos a obtener la solución general de la ecuaciónu0 (x) x u(x) 2:x u(x) 2Esta ecuación no es una ecuación homogénea. Vamos a hacer un cambio de coordenadasde manera que en el nuevo sistema de coordenadas la ecuación sea homogénea. Las rectasx y 2 0x y 4 0se cortan en el punto ( 1; 3). Consideramos el cambio de variablesx z 1u(x) v(z) 3luego, u0 (x) v 0 (z) y obtenemos la siguiente ecuación homogénea:v 0 (z) (z(zz v(z)1) (v(z) 3) 2 1) (v(z) 3) 4z v(z)que sí es una ecuación homogénea. Dividimos por z el numerados y el denominador delmiembro de la derecha de la ecuación y obtenemos:0v (z) 1 1v(z)zv(z)z
E.T.S. Arquitectura. EDO12Profesora: Eugenia RosadoHaciendo ahora el cambio de variable w(z) v(z) z obtenemosw(z) zw0 (z) 1 w(z),1 w(z)de donde, obtenemoszw0 (z) 1 w(z)1 w(z)w(z) 1 w2 (z)1 w(z)luego1 w(z) 01w(z) 1 w2 (z)ze, integrando, se tieneTenemosZZ1 w(z) 0w (z)dz 1 w2 (z)Z1dz:zZ112w(z)0w(z)dzw0 (z)dz221 w (z)21 w (z)1 arctan w(z)ln(1 w2 (z)):21 w(z) 0w (z)dz 1 w2 (z)ZPor tanto,1ln(1 w2 (z)) ln jzj C2y, deshaciendo los cambios de variables considerados (primero w(z) v(z) z y despuésx z 1, u(x) v(z) 3, se tiene!2u(x) 31u(x) 3arctanln 1 ln jx 1j C;x 12x 1arctan w(z)que es la ecuación implícita de la solución general de la ecuación diferencial dada.
E.T.S. Arquitectura. EDO13Profesora: Eugenia Rosado2.3Ecuación lineal de primer ordenDecimos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si se puede escribirde la siguiente forma:y 0 (x) y(x)f (x) g(x):(5)Para su resolución, hacemos el cambio y(x) u(x)v(x). Entoncesy 0 (x) u0 (x)v(x) u(x)v 0 (x)y la ecuación se escribe como sigue:u0 (x)v(x) u(x)v 0 (x) u(x)v(x)f (x) g(x);de dondeu0 (x)v(x) u(x) [v 0 (x)v(x)f (x)] g(x):Elegimos v(x) en el cambio y(x) u(x)v(x) de manera quev 0 (x)v(x)f (x) 0:Nótese que v(x) es solución de la parte homogénea de la ecuación lineal.Integramos la EDO anterior:v 0 (x) f (x)v(x)después de unas operaciones elementales, obtenemos la solución particularRv(x) ef (x)dxque, sustituida en la ecuación (6), nos dahRRu0 (x)e f (x)dx u(x) f (x)e f (x)dxesto es,Ru0 (x)ef (x)dxRef (x)dxif (x) g(x) g(x);que es una ecuación en variables separadas, cuya solución general es de la forma:ZRu(x) g(x)e f (x)dx dx CLa solución general de la ecuación lineal será y(x) u(x)v(x), por tanto,ZRRf (x)dxy(x) eg(x)e f (x)dx dx C :(6)
E.T.S. Arquitectura. EDO14Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 10: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencialy 0 (x) y(x) e3x :Haciendo el cambio y(x) u(x)v(x) obtenemosu0 (x)v(x) u(x)v 0 (x) u(x)v(x) e3x ;de dondeu0 (x)v(x) u(x) [v 0 (x)Una solución particular de la ecuación v 0 (x)v(x)] e3x :v(x) 0 esv(x) ex :Y lo sustituimos en nuestra ecuación:u0 (x)ex e3x :Por tanto, integrando u0 (x) e3x ex e2x obtenemos:1u(x) e2x C:2Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) y(x) e3x esy(x) COMPROBACIÓN:Derivando y(x) 1 2xe21 2xe C ex :2 C ex obtenemos:1 2xe C ex2 e3x y(x):y 0 (x) e2x ex
E.T.S. Arquitectura. EDO15Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 11: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencialy 0 (x) tg(x)y(x) sin(x):Haciendo el cambio y(x) u(x)v(x) obtenemosu0 (x)v(x) u(x)v 0 (x) tg(x)u(x)v(x) sin(x);de dondeu0 (x)v(x) u(x) [v 0 (x)0Imponiendo v (x)tg(x)v(x)] sin(x):tg(x)v(x) 0 obtenemosv 0 (x) tg(x)v(x) )v 0 (x) tg(x)v(x)e integrando tenemos:Z 0ZZv (x)sin(x)dx tg(x)dx dx v(x)cos(x)ln j cos(x)j CPor tanto,ln jv(x)j ln j cos(x)j C ) v(x) KTomo K 1 y sustituyo v(x) u0 (x)1cos(x)1:cos(x)en la ecuación. Obtenemos:1 sin(x) () u0 (x) sin(x) cos(x):cos(x)Por tanto, integrando u0 (x) sin(x) cos(x) obtenemos:Zu(x) sin(x) cos(x)dxsin2 (x) C:2Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial y 0 (x) tg(x)y(x) sin(x) es y(x) sin2 (x)1 C:2cos(x)COMPROBACIÓN: h 2isin (x)1Derivando y(x) C cos(x)obtenemos:21sin2 (x)sin(x) Ccos(x)2cos2 (x)sin2 (x)1 sin(x) sin(x) C2cos(x) cos(x) sin(x) y(x)tg(x):y 0 (x) sin(x) cos(x)
E.T.S. Arquitectura. EDO16Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 12: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencialy 0 (x) y(x) sin2 (x):Hacemos el cambio y(x) u(x)v(x) con v(x) solución de la parte homogénea de la EDO;esto es,v 0 (x) v(x)luegoZv 0 (x)dx v(x)Z1dx ) ln jv(x)j x ) v(x) ex :Tomando y(x) u(x)v(x) con v(x) ex la EDO se escribe como sigue:u0 (x)v(x) sin2 (x);de dondeu0 (x) sin2 (x)e x :Integrando obtenemos:u(x) Integramos por partes tomando:Zsin2 (x)e x dxu sin2 (x) du 2 sin x cos xdxdv e x dx v e xluegoZ2x2sin (x)e dx sin (x)eIntegramos otra vez por partes tomando:u 2 sin x cos x du 2 cos2 xdv e x dxv e xobtenemos:Zsin2 (x)e x dx sin (x)ex sin2 (x)ex sin2 (x)ex sin2 (x)ex2 Zx Z2 sin x cos xe x dx:sin2 x dx 2 12 sin2 x dx2 sin x cos xe x dxZx2 sin x cos xe 2 1 2 sin2 x e x dxZZxx2 sin x cos xe 2e dx 4 sin2 xe x dxZxx2 sin x cos xe2e4 sin2 xe x dx:
E.T.S. Arquitectura. EDO17Profesora: Eugenia RosadoPor tanto,Zsin2 (x)e x dx 15sin2 (x)ex2 sin x cos xex2ex C :Luego la solución general de nuestra EDO es:1sin2 (x)e x 2 sin x cos xe x 2e x C ex :5Ejemplo 13: Obtengamos la solución del problema de Cauchy:y(x) y 0 (x) cos2 (x) y(x) tg(x)y 4 2Hacemos el cambio y(x) u(x)v(x) con v(x) solución de la parte homogénea de la EDO;esto es,v 0 (x) cos2 (x) v(x) 0:LuegoZv 0 (x)dx v(x)Z1dx ) ln jv(x)j cos2 (x)Tomando y(x) u(x)v(x) con v(x) etg(x)u0 (x)v(x) de dondeu0 (x) Integrando obtenemos:u(x) Ztg(x) ) v(x) ela EDO se escribe como sigue:1tg(x);cos2 (x)1tg(x)etg(x) :cos2 (x)1tg(x)etg(x) dx:2cos (x)Integramos por partes tomando:(u tg(x)du cos12 (x) dxdv cos12 (x) etg(x) dx v etg(x)Tenemos:Z1tg(x)etg(x) dxcos2 (x)Z1tg(x) tg(x)eetg(x) 2 dxcos (x)tg(x)tg(x) tg(x)ee Ctg(x) (tg(x) 1) e C:u(x) tg(x):
E.T.S. Arquitectura. EDO18Profesora: Eugenia RosadoLuego la solución general de nuestra EDO es:y(x) (tg(x) (tg(x)Queremos que y41) etg(x) C e1) Cetg(x)tg(x): 2 por tanto,tg 41 Cetg4 2de donde: C 2e. Luego la solución del problema de Cauchy es:y(x) (tg(x)1) 2e1tg(x):
E.T.S. Arquitectura. EDO19Profesora: Eugenia Rosado2.4Ecuaciones de BernouilliDecimos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de Bernouilli si se puedeescribir de la siguiente forma:y 0 (x) y(x)f (x) y(x)n g(x); con n 6 0; 1.Si n 0 tenemos una EDO de variables separables y con n 1 tenemos una ecuaciónlineal.Dividiendo por y(x)n obtenemos:y 0 (x)y(x) f (x) g(x):ny(x)y(x)nPara convertirla en una EDO lineal hacemos el cambio:u(x) y(x):y(x)nEntoncesy(x)ny(x)n 1 y 0 (x)y(x)2ny(x)n ny(x)n y 0 (x)y(x)2n1; y 0 (x)(1 n)y(x)nu0 (x) y 0 (x)y(x)nluego,y 0 (x)u0 (x) :y(x)n1 nSustituyéndolo en la EDO obtenemos la siguiente EDO lineal que resolvemos siguiendo lospasos del apartado anterior:u0 (x) (1n) f (x)u(x) (1n) g(x):Ejemplo 14: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencialy 0 (x) 1y(x)x 21(x 2)4 y(x)2 :2Es una EDO de Bernuilli con n 2. Dividiendo por y(x)2 , obtenemos:y 0 (x) y(x)211x 2 y(x)1(x 2)4 ;2
E.T.S. Arquitectura. EDO20Profesora: Eugenia Rosadoy hacemos el cambio de variable:u(x) 1:y(x)luegoy 0 (x):y(x)2Lo sustituimos en la EDO y obtenemos la siguiente ecuación lineal:u0 (x) u0 (x) 11u(x) (x 2)4 :x 22Hacemos el cambio u(x) w(x)v(x). Luego u0 (x) w0 (x)v(x) w(x)v 0 (x), y lo sutituimosen la EDO:11w0 (x)v(x) w(x)v 0 (x) w(x)v(x) (x 2)4 :(7)x 22Tomamos v(x) tal que:1v 0 (x) v(x):x 2Integrando esta EDO obtenemos:Z 0Zv (x)1dx dxv(x)x 2luego,v(x) x 2:Luego la EDO (7) se escribe como sigue:11w0 (x) (x 2) (x 2)4 ) w0 (x) (x 2)3 :22Luego, integrando obtenemos:Z11 (x 2)4w(x) (x 2)3 dx C:224Luegou(x) w(x)v(x)(x 2)4 C (x 2)8(x 2)5 8C(x 2) :8y la solución general de nuestra EDO es:y(x) (x 2)58: 8C(x 2)
E.T.S. Arquitectura. EDO21Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 15: Obtengamos la solución general de la ecuación diferencialy 0 (x) x2 y(x) (x21)e3x1:y(x)22. Multiplicando por y(x)2 , obtenemos:Es una EDO de Bernouilli con n y 0 (x)y(x)2 x2 y(x)3 (x21)e3x :Y tomando u(x) y(x)3 obtenemos u0 (x) 3y(x)2 y 0 (x) luego la EDO se escribe como lasiguiente EDO lineal:1 0u (x) x2 u(x) (x2 1)e3x :3Hacemos el cambio u(x) w(x)v(x) siendo v(x) solución de la EDO homogénea asociada:v 0 (x)v (x) 3x v(x) ) 3x2 ;v(x)02e integrando obtenemos:ln jv(x)j ZZv 0 (x)dx v(x)Tomamos3x2 dx x3 :3v(x) ex :Luego u0 (x) w0 (x)v(x) w(x)v 0 (x), y lo sutituimos en la EDO anterior:w0 (x)v(x) w(x)v 0 (x) 3 x2 w(x)v(x) (x21)e3x :Y la EDO lineal que teníamos se escribe como sigue:3w0 (x)ex 3(x21)e3x ) w0 (x) 3(x2Integrando obtenemos:Zw(x) 3(x2 1)ex3 3xdx Por tanto,u(x) hZe1)e3x e3( x2 1)ex3 3xy la solución general de nuestra ecuación es:x3 3(x2x3 3xi 3 C ex ;y(x) u(x)1 3hi1 3 x33 e x 3x Ce3:dx 1)eex3 3xx3 3x: C:
E.T.S. Arquitectura. EDO22Profesora: Eugenia Rosado2.52.5.1AplicacionesTrayectorias ortogonalesDecimos que dos curvas planas se cortan ortogonalmente si sus tangentes en los puntos decorte son perpendiculares.Problemas comunes de física requiere conocer una familia de curvas todas ellas ortogonales a las curvas de otra familia dada. Por ejemplo, en electrostática, las lineas de fuerzason ortogonales a las curvas equipotenciales.Sea F (x; y(x)) C la ecuación de nuestra familia de curvas. La ecuación diferencialde dicha familia se obtiene derivando la ecuación anterior respecto de x. Tenemos:(F (x; y(x)) CFx Fy y 0 0La familia de curvas ortogonales es la que satisface la ecuación:FxFy1 0:y0Ejemplo 16: Obtener las curvas ortogonales a la familia de curvas dadas por y C x,C 6 0.Derivamos respecto de x la ecuación. Tenemos:8C y 0 (x) x2 : y(x) Cxsustituimos el valor de C en la primera ecuación y obtenemos la EDO de nuestra familia:y 0 (x) xy(x) x2y(x):xEstamos buscando una familia de curvas cuyas pendientes sean ortogonales a las pendientesde las curvas de la familia dada. Por tanto, buscamos curvas y y(x) tales que:y 0 (x) x:y(x)Operando e integrando la EDO anterior obtenemos:y(x)2x2 K:22Luego la famila de curvas ortogonales a las hipérbolas de ecuación y C x es la familiade las hipérbolas de ecuación y 2 x2 2K.
E.T.S. Arquitectura. EDO23Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 17: Obtener las curvas ortogonales a una familia de circunferencias centradasen el origen de coordenadas.La ecuación implícita de la familia de circunferencias centrada en el origen de coordenadas es:x2 y(x)2 C:Derivando los dos miembros de la ecuación anterior respecto de x obtenemos:2x 2y(x)y 0 (x) 0:Por tanto, la pendiente en cada punto (x; y(x)) de esa familia de circunferencias es:x:y 0 (x) y(x)Por tanto, la familia de curvas ortogonales tiene pendientey 0 (x) y(x):xResolvamos la EDO anterior y obtenemos:Z 0Zy (x)1dx dx ) ln jy(x)j ln jxj Cy(x)x ) y(x) Kx:Luego la familia de rectas de ecuación y(x) Kx es ortogonal a la familia de circunferenciascentradas en el origen.Ejemplo 18: Obtener las curvas ortogonales a una familia de elipses de ecuación:3x2 2y(x)2 C:Derivando los dos miembros de la ecuación anterior respecto de x obtenemos:6x 4y(x)y 0 (x) 0:Por tanto, la pendiente en cada punto (x; y(x)) de esa familia de elipses es:y 0 (x) 6x:4y(x)Por tanto, la familia de curvas ortogonales tiene pendientey 0 (x) 2y(x):3xResolvamos la EDO anterior y obtenemos:Z 0Zy (x)22dx dx ) ln jy(x)j ln jxj Cy(x)3x32 3 ) y(x) K(x) :Luego la familia de curvas de ecuación y(x) K(x)2 3 es ortogonal a la familia de elipsesde ecuación 3x2 2y(x)2 C.
E.T.S. Arquitectura. EDO24Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 19: Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y 2 2ax a2 ,con a 0.Calculamos primero la ecuación diferencial asociada a dicha familia. Derivando respectode x la ecuación implícita de la familia de curvas; esto es, y(x)2 2ax a2 , obtenemos:2y(x)y 0 (x) 2a 0:Por tanto, dicha famila de curvas satisface las ecuaciones:y(x)2 2ax a2 ;y(x)y 0 (x) a 0:Despejamos a de la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera. Tenemos:y(x)222y(x)y 0 (x)x y 2 (x) (y 0 (x)) ;que es la ecuación diferencial que describe a la familia de curvas dadas. Las curvas dela familia ortogonal tienen pendiente 1 y 0 (x). Por tanto, las trayectorias ortogonales seobtienen sustituyendo en la ecuación diferencial de la familia y 0 (x) por 1 y 0 (x). Obtenemos:11y(x)2 2y(x) 0 x y 2 (x) 0:y (x)(y (x))2Multiplicando la ecuación anterior por (y 0 (x))2 obtenemos:y(x)2 (y 0 (x))2 2y(x)x y 2 (x):Que coincide con la ecuación diferencial de la familia de curvas dada. Por tanto, dichascurvas son autoortogonales.
E.T.S. Arquitectura. EDO25Profesora: Eugenia RosadoEjemplo 20: Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y ax3 , cona 6 0.Calculamos primero la ecuación diferencial asociada a dicha familia. Derivando respectode x la ecuación implícita de la familia de curvas; esto es, y(x) ax3 , obtenemos:y 0 (x) 3ax2 :Por tanto, dicha famila de curvas satisface las ecuaciones:y(x) ax3 ;y 0 (x) 3ax2 :Despejamos a de la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera. Tenemos:y(x) y 0 (x) 3 1 0x y (x)x;3x23que es la ecuación diferencial que describe a la familia de curvas dadas. Las curvas dela familia ortogonal tienen pendiente 1 y 0 (x). Por tanto, las trayectorias ortogonales seobtienen sustituyendo en la ecuación diferencial de la familia y 0 (x) por 1 y 0 (x). Obtenemos:1 1x;y(x) 3 y 0 (x)esto es,3y(x)y 0 (x) x;e integrando la ecuación anterior obtenemos:3 2y (x) 21 2x C:2Luego la familia de curvas ortogonales es:3y 2 (x) x2 2C:
E.T.S. Arquitectura. EDO26Profesora: Eugenia Rosado2.5.2Trayectorias parabólicasProblema: Hallar la curva y y(x) tal que los rayos paralelos al eje de las x que incidensobre la curva al re‡ejarse pasan todos por el origen de coordenadas.Por la ley de la re‡exión tenemos que el ángulo de incidenciaes igual al ángulore‡ejado . Luego, .Sabemos que y 0 tg yytg2 :xPor tanto, comotg2 se tiene:sin 2cos 2 2 sin coscos2sin2 sin2 cos1cos2y2y 0 () y(y 0 )2 2xy 0x1 (y 0 )2Despejando y 0 obtenemos:0x sin22tg1 tg2y 0:px2 y 2;yque es una EDO homogénea. Hacemos el cambio u(x) y(x) x. Tenemos:pxx2 x2 u2 (x)xu0 (x) u(x) xu(x)y esto es,1 u2 (x)u(x)p1 u2 (x)1:xu0 (x) (Tomamos la raíz positiva). Integrando obtenemos:ZZu(x)t0pu (x)dx 2 dt2t 1 u2 (x); tdt u(x)u0 (x)dxt t1 u2 (x) 1 u2 (x)Zp1 dt ln jt 1j ln j 1 u2 (x) 1j:t 1Por tanto,Luego,pln j 1 u2 (x) 1j p1 u2 (x) 1 ln jxj C ln1y 2 (x)K() jxjx2() y 2 (x) (Kx)21 C:jxj1Kjxjx2 K 22112x:
E.T.S. Arquitectura. EDO27Profesora: Eugenia Rosado3Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superiorEstudiamos en este tema las EDO de orden superior:F (x; y(x); y 0 (x); :::; y (n 1 (x); y (n (x)) 0:Dentro de esta clase de ecuaciones nos restringiremos al caso en el que la función F eslinea, esto es, la EDO se escribe de la siguiente forma:a0 (x)y (n (x) a1 (x)y (n 1 (x) an 1 (x)y 0 (x) an (x)y(x) b(x):Si b(x) 0 diremos que la EDO de orden n es lineal y homogénea y si b(x) no es idénticamente cero, diremos que la EDO es no homogénea.Si las funciones ai (x), 0cientes constantes.in, son constantes, diremos que la EDO lineal es de coe -Ejemplos:1. La ecuación y 000 (x) sin(xy(x)) y 0 (x) es una EDO de tercer orden no lineal.2. La ecuación y 000 (x) sin(x)y(x) ex y 0 (x) (x2 2)y 00 (x) es una EDO de tercer ordenlineal homogénea con coe cientes no constantes.3. La ecuación y 000 (x) sin(x)y(x) ex y 0 (x) (x2 2)y 00 (x) cos(x) es una EDO detercer orden lineal no homogénea con coe cientes no constantes.4. La ecuación y 000 (x) 7y 00 (x) 8y 0 (x) 5y(x) cos(x) es una EDO de tercer ordenlineal no homogénea con coe cientes constantes.La solución general de una ecuación lineal de orden n no homogéneaa0 (x)y (n (x) a1 (x)y (n 1 (x) an 1 (x)y 0 (x) an (x)y(x) b(x);se escribe como la suma de la solución general de la homogénea más una solución particularde la no homogénea.Si yh (x) es solución de la homogénea se tiene:(n(n 1a0 (x)yh (x) a1 (x)yh(x) an 1 (x)yh0 (x) an (x)yh (x) 0:Y si yp (x) es una solución particular de la no homogénea entonces:a0 (x)(yh yp )(n (x) (n a0 (x)yh (x) a0 (x)yp(n (x) b(x): an 1 (x)(yh yp )0 (x) an (x)(yh yp )(x) an 1 (x)yh0 (x) an (x)yh (x){z}0 an 1 (x)yp0 (x) an (x)yp (x){z}b(x)Empezaremos con las ecuaciones lineales de segundo orden.
E.T.S. Arquitectura. EDO28Profesora: Eugenia Rosado3.1Ecuaciones lineales de segundo ordenLa ecuación diferencial lineal de segundo orden general es:y 00 (x) a1 (x)y 0 (x) a2 (x)y(x) b(x):(8)La ecuación lineal de segundo orden homogénea asociada a la anterior ecuación es:y 00 (x) a1 (x)y 0 (x) a2 (x)y(x) 0:(9)Tenemos los siguientes teoremas:Teorema: La solución general de una ecuación lineal de orden 2 no homogéneay 00 (x) a1 (x)y 0 (x) a2 (x)y(x) b(x);se escribe como la suma de la solución general de la homogénea más una solución particularde la no homogénea.Teorema: Si y1 (x) e y2 (x) son dos soluciones cualesquiera de la ecuación lineal homogénea(9), entoncesc1 y1 (x) c2 y2 (x)es también solución de (9) para todo par de constantes c1 ; c2 .Demostración: Se tiene:(c1 y1 c2 y2 )00 (x) a1 (x) (c1 y1 c2 y2 )0 (x) a2 (x) (c1 y1 c2 y2 ) (x) c1 (y100 (x) a1 (x)y10 (x) a2 (x)y1 (x)) c2 (y200 (x) a1 (x)y20 (x) a2 (x)y2 (x)) {z}{z}00 0:Diremos que c1 y1 (x) c2 y2 (x) e
Profesora: Eugenia Rosado E.T.S. Arquitectura. EDO2 Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria al mayor de los órdenes de las derivadas que aparecen en la ecuación. En el primer tema nos centraremos en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordi-narias de primer orden; esto es, ecuaciones de la forma F(x;y(x);y0(x)) 0:
