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2º Bachillerato – Matemáticas CCSS IIUnidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales.UNIDAD 2: Sistemas de ecuaciones lineales a11 x a12 y a13 z b1 Un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es una expresión de la forma a21 x a22 y a23 z b2 . Las a x a y a z b32333 31incógnitas son x , y , z ; los coeficientes aij y los términos independientes bi son números reales.Conocidos los coeficientes y los términos independientes, un sistema queda totalmente determinado.Una solución del sistema es una terna de valores ( x0 , y0 , z0 ) que al sustituirlos por x , y , z verifiquen todaslas ecuaciones del mismo.Si esta terna es única, decimos que el sistema es compatible determinado; si pueden encontrarse infinitasternas diremos que es compatible indeterminado y si no existe ninguna (el sistema no tiene soluciones)diremos que es incompatible. Expresión matricial de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitasUn sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede representar matricialmente de la siguientemanera: a11 a21 a 31a12a22a32a13 x b1 a23 y b2 a33 z b3 a11 a11 a12 a13 A la matriz a21 a22 a23 se le llama matriz de los coeficientes y a la matriz a21 a a 31 31 a32 a33 por los coeficientes y los términos independientes se le llama matriz ampliada.a12a13a22a23a32a33b1 b2 , formadab3 Obsérvese que para construir la matriz ampliada el sistema tiene que estar dado con las incógnitas en elmismo orden en todas las ecuaciones, y los términos independientes en el lado derecho de las igualdades.Si el sistema no adopta la estructura anterior hemos de reestructurarlo hasta conseguir un sistemaequivalente que sí la tenga. Método de Gauss para la resolución de un sistema de tres ecuaciones y tresincógnitas a11 a12 a13 b1 a11 a12 Se trata de convertir la matriz ampliada a21 a22 a23 b2 en otra de la forma 0 a22 a 00 31 a32 a33 b3 mediante transformaciones elementales que pasaremos a describir a continuación.19 b1 a13 b2 a23 b3 a33

2º Bachillerato – Matemáticas CCSS IIUnidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales. a11 x a12 y a13 z b1 De esta forma conseguimos transformar el sistema a21 x a22 y a23 z b2 en otro equivalente de la forma a x a y a z b32333 31 a11 x a12 y a13 z b1 y a23 z b2 muy sencillo de resolver, pues de la tercera ecuación se despeja z , este valor sea22 z b3 a33 sustituye en la segunda ecuación y se despeja la incógnita y , para que finalmente, sustituyendo estos dosvalores ( z e y ) en la primera ecuación, se despeje x . Transformaciones elementales de la matriz ampliada1. Hay que procurar que a11 sea distinto de cero. Si no lo es cambiamos de orden alguna fila o columna(que no sea la de los términos independientes) hasta conseguir que a11 sea distinto de cero. Siintercambiamos alguna columna hay que tener en cuenta que cambia el orden de las incógnitas (porejemplo, si intercambiamos las columnas primera y segunda, la incógnita x pasará a ser la segunda y laincógnita y pasará a ser la primera).2. Realizamos las operaciones siguientes:a) ( 2ª fila ) a11 (1ª fila ) a21 b) ( 3ª fila ) a11 (1ª fila ) a31 En general, si a una fila o columna le sumamos o restamos otra previamente multiplicada por unnúmero, la matriz ampliada resultante da lugar a un sistema con las mismas soluciones que el original.Lo mismo ocurre si simplemente multiplicamos una fila por un número o cambiamos entre sí el ordende las filas. a11 a12 Con esto conseguimos transformar la matriz ampliada en otra de la forma: 0 a22 0 a 32 b1 a13 b2 .a23 b3 a33 fuera cero intercambiaríamos entre sí las filas segunda y tercera y el proceso finaliza. Caso de queSi a22 fuera cero, el proceso también habría terminado y no seguiríamos por el paso número 3.a323. En esta última matriz hacemos la siguiente operación: (1ª fila ) a32 ( 3ª fila ) a22 a11 a12 Así conseguimos transformar la matriz anterior en 0 a22 00 b1 a13 b2 , tal y como queríamos.a23 b3 a33Una vez terminado el proceso se pueden presentar varios casos: sea un número distinto de cero ( b3 puede ser cualquier número). En este caso existe solucióna) Que a33y es única. El sistema será pues compatible determinado.20

2º Bachillerato – Matemáticas CCSS IIUnidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales. y b3 sean ambos cero. Entonces existen infinitas soluciones. El sistema será compatibleb) Que a33indeterminado. valga cero, pero b3 sea un número distinto de cero. Entonces no existe solución. El sistema esc) Que a33incompatible.Ejercicio resuelto1Resolver los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Gauss: 2 x y 2 z 6 a) 3 x y z 2 x 2 y z 0 x 2 y 3z 4 b) x 3 y z 2 2 x y 4 z 6 3 x 2 y z 0 c) x 2 z 1 2 y 7 z 3 Solución 2 1 2 6 a) La matriz ampliada es 3 1 1 2 . Como a11 2 0 , saltamos directamente al paso 2. 1 2 1 0 Multiplicamos la segunda fila por 2 y la primera por 3 y restamos. Multiplicamos también la tercera fila6 2 1 2 por 2 y la primera por 1 y restamos. Obtenemos así la siguiente matriz: 0 5 8 14 . Por 0 306 último, tal y como nos dice el paso 3, multiplicamos la tercera fila por 5 y la segunda fila por 3 y6 2 1 2 restamos, obteniendo: 0 5 8 14 . Estos pasos, se pueden resumir del siguiente modo: 0 0 24 72 6 6 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 3 1 1 2 2 f 2 3 f1 0 5 8 14 0 5 8 14 1 2 1 0 2 f ( 1) f 0 3 06 5 f 3 3 f 2 0 0 24 72 1 3donde f1 , f 2 y f 3 son la forma de llamar, abreviada y respectivamente, a la fila 1, a la fila 2 y a la fila 3. 2 x y 2 z 6 El sistema asociado a esta matriz es: 5 y 8 z 14 . 24 z 72 21

2º Bachillerato – Matemáticas CCSS IIUnidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales.Despejando de la tercera ecuación se obtiene z 3 . Sustituyendo este valor en la segunda tenemos que5 y 24 14 de donde 5 y 10 y 2 . Sustituyendo por ultimo los valores de y y z en la primeraecuación tenemos: 2x 2 6 6 , de donde 2x 2 x 1 .234 1 b) La matriz ampliada es: 1 3 1 2 . Procedemos a hacer las transformaciones adecuadas 2 1 46 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 1 2 1 f 2 ( 1) f1 0 5 2 2 0 5 2 2 2 1 4 6 1 f 2 f 0 5 2 2 f f 0 0 0 0 31 3 2 Obsérvese que a veces, para “hacer un cero” en el lugar adecuado no es necesario seguir de maneraestricta el procedimiento. Es lo que ocurre con la última transformación. De manera estricta, según seha explicado en la teoría, tendríamos que hacer 5 f3 ( 5 ) f 2 . Esto no es necesario. Digamos que “seve” que si a la fila 3 se le suma la fila 2 se obtiene el cero en el lugar deseado. x 2 y 3z 4El sistema asociado a la última matriz es 5 y 2 z 2Estamos pues en el caso de un sistema compatible indeterminado, es decir, con infinitas soluciones.Las soluciones se calculan de la siguiente manera: a la última incógnita, en este caso z, le damos un valorcualquiera arbitrario; por ejemplo z y sustituimos este valor en la segunda ecuación para despejar2 2 la incógnita y : 5 y 2 2 5 y 2 2 y . Por último, sustituimos los valores obtenidos52 2 4 4 3 4 x 3 4 .para z e y en la primera ecuación y despejamos x : x 255Multiplicando los dos miembros de la igualdad por 5 y despejando:5 x 4 4 15 20 5 x 16 11 x 16 11 516 11 2 2 , y , z . Si el parámetro lo sustituimos55por cualquier número real, obtendremos tres valores concretos para x , y , z que será solución delsistema. De ahí que podamos obtener infinitas soluciones, una para cada valor de .Así pues, las infinitas soluciones son x 3 2 1 0 c) La matriz ampliada es ahora 1 0 2 1 . Realicemos las transformaciones pertinentes. 0 2 7 3 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 1 0 2 1 3 f 2 1 f1 0 2 7 3 0 2 7 3 0 2 7 3 0 2 7 3 f f 0 0 0 6 2 3 Observa que el primer paso no ha sido necesario modificar la tercera fila porque ya teníamos un cero enel lugar adecuado.22

2º Bachillerato – Matemáticas CCSS IIUnidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales. 3 x 2 y z 0 El sistema asociado a la última matriz es 2 y 7 z 3 . Esto significa que el sistema no tiene solución, 0 z 6 es decir, se trata de un sistema incompatible. La razón es que de la última ecuación se deduce que0z 6 0 6 y esto es una contradicción. Resolución de problemasEn la resolución de problemas los sistemas se emplean con mucha frecuencia. Para el correctoplanteamiento de estos problemas hay que:1. Identificar las incógnitas. Darles nombre ( x , y , z son los más usuales).2. Establecer las relaciones entre ellas (quizá haya que leer el enunciado varias veces, hasta cerciorarse dela corrección del planteamiento).3. Escribir el sistema de ecuaciones. Expresarlo en su forma estándar: incógnitas ordenadas y términosindependientes en el segundos miembro (a la derecha del signo igual) de cada ecuación.4. Resolver el sistema utilizando el método de Gauss.Ejercicio de aplicación2Un artesano hace botines, botas de media caña y botas de caña alta, vendiendo cada par,respectivamente, a 150, 200 y 250 euros. La diferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidasequivalen al número de caña media vendidas. El número de caña alta vendidas es la tercera parte de losbotines. Por el total de las ventas obtiene 5500 euros.a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se vendieron.b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.Solución:a) Designamos, respectivamente, por x , y , z al número de botines, botas de media caña y botas de cañaalta que se vendieron. Puesto que el precio de un par de botines es de 150 , el de un par de botas demedia caña es de 200 y el de un par de botas de caña alta es de 250 , y por el total de ventas se obtienen5500 euros, podemos plantear la siguiente ecuación: 150 x 200 y 250 z 5500 . Además, ya que ladiferencia entre los botines y las botas de caña alta vendidas equivalen al número de caña mediavendidas, se tiene esta otra ecuación: x z y . Finalmente, al ser el número de caña alta vendidas latercera parte de los botines, obtenemos una tercera ecuación: z x 3 . Estas tres ecuaciones forman unsistema: 150 x 200 y 250 z 5500 x z y z x 3 Antes de obtener la forma matricial del sistema, hemos de pasarlo a su forma reducida. Observa que laprimera ecuación la podemos dividir entre 50 (que es el MCD de 150 , 200 , 250 y 5500 ), obteniendo:3 x 4 y 5 z 110 .23

2º Bachillerato – Matemáticas CCSS IIUnidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales.En la segunda ecuación debemos escribir las tres incógnitas en el primer miembro (lo cual es fácil restandola incógnita y en los dos miembros de la igualdad): x y z 0 .Finalmente, multiplicando por 3 la tercera ecuación y restando luego x en los dos miembros de laigualdad obtenemos: z x 3 3z x x 3z 0 .Todo esto da lugar a un nuevo sistema, equivalente al anterior, al cual ya sí le podremos aplicar el métodode Gauss. 3 x 4 y 5 z 110 x y z 0 x 3z 0 3 4 5 110 b) La matriz ampliada asociada al sistema anterior es 1 1 1 0 . Apliquemos las transformaciones 1 0 30 para reducir el sistema a uno escalonado.5110 3 4 5 110 3 4 5 110 3 4 1 1 1 0 3 f 2 1 f1 0 7 8 110 0 7 8 110 1 0 30 3 f3 ( 1) f1 0 4 14 110 7 f 3 4 f 2 0 0 66 330 3 x 4 y 5 z 110 El sistema asociado a la última matriz es 7 y 8 z 110 . 66 z 330 De la tercera ecuación se obtiene que z 330 66 z 5 .Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos 7 y 40 110 7 y 70 y 10 .Finalmente, sustituyendo en la primera queda 3x 40 25 110 3x 45 x 15 .Así pues, se vendieron 15 botines, 10 botas de media caña y 5 botas de caña alta.24