WIXLIB

SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES LINEALES DE PRIMERORDEN8.1 Teoría preliminar8.2 Sistemas lineales homogdneos con coeficientes constantes8.2.1 Valores propios reales y distintos8.2.2 Valores propios repetidos8.2.3 Valores propios complejos8.3 Variación de parámetros8.4 Matriz exponencialEjercicios de repasoEn las secciones 3.3, 4.8 y 7.7 describimos sistemas de ecuaciones diferenciales yresolvimos algunos por eliminación sistemática o con la transformada de Laplace.Eneste capítulo nos concentraremos en los sistemas de ecuaciones lineales de primerorden. Si bien la mayor parte de los sistemas que estudiaremos se podrían resolvermediante la eliminación o la transformada de Laplace, desarrollaremos una teoríageneral para estos sistemas y, en el caso de sistemas con coeficientes constantes, unmétodo de solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices.Veremos que esta teoría general y el procedimiento de solución se parecen a los que seusan en las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior que vimos en lassecciones 4.1,4.3 y 4.6. Este material es fundamental para el análisis de los sistemasde ecuaciones no lineales de primer orden.365

366CAPíTULO8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENTEORíA PRELIMINARnnnnSistemas lineales I Sistemas homogéneos y no homogéneos n Vector soluciónProblema de valor inicial n Principio de superposición n Dependencia linealIndependencia lineal n El wronskiano n Conjunto fundamental de solucionesSolución general n La solución complementaria n Solución particularEn este capítulo emplearemos mucho la notación matricial y las propiedades de las matrices. El lectordebería repasar el apéndice II si no está familiarizado con estos conceptos.En la sección 4.8 del capítulo 4 manejamos sistemas de ecuaciones diferenciales en la formaP,l(D)Xl Pn2(D)x2 ’ ’ * P”,(D)X, b,(t),en donde las Pg representaban polinomios de diversos grados en el operador diferencial D. Aquírestringiremos el estudio a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como elsiguiente:- - g1(4q,x2,* * * TX,)&2- - gz(t,x1,x2,.’ . ,xn dtdxEste sistema de n ecuaciones de primer orden se llama sistema de orden n.Sistemas linealesSi cada una de las funciones gl, g2, . . . , gn es lineal en las variablesdependientes 1, 2, . . ., Xi, entonces las ecuaciones (2) son un sistema de ecuaciones linealesde primer orden. Ese sistema tiene la forma normal o estándar- m(t)x1 a12(t)xa . * ’ al,(t)&dtG52x u21(t)x1 fi(t) azz(t)xz . . * azn(t)xn .fi(t (3)h”- - U,l(T)Xl an2(t)x2 .* hzn(t)xn fnw.

Sección8.1 Teoría preliminar367Un sistema con la forma de las ecuaciones (3) se denomina sistema lineal de orden n, osimplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a,, y las funciones, , soncontinuos en un intervalo común, Z. Cuandoj(t) 0, i 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineales homogckeo; en caso contrario, es no homogéneo.Forma matricial de un sistema linealSi X, A(t) y F(t) representan las matricesrespectivasel sistema (3) de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar comosigue:0 simplemente como(4)X’ AX F.Si el sistema es homogéneo, su forma matricial esX’ AX.(5)Sistemas expresados en notación matriciala) Si X y , la forma matricial del sistema homogéneo0dx5 3x 4ys 5x - 7yes‘3 4x’ ( 5 - 7 1 X.la forma matricial del sistema no homogéneo

368CAPíTULO8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENComprobacióndesolucionesCompruebe que, en el intervalo (-CO, CO),son soluciones deSOLUCIÓNYGran parte de la teoría de los sistemas de P ecuaciones diferenciales lineales de primerorden se parece a la de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n.Problema de valor inicialSean t0 un punto en un intervalo I y%(to )1xz(to)Wto) , oo Y& en donde las ñ, i 1,2, . . . . n son constantes dadas. Entonces, el problemaResolver:X’ A(t)X F(t)Sujeto a:Wo) xoes un problema de valor inicial en el intervalo.(7)

Sección 8.1 Teoría preliminar369Sistemas homogéneos En las próximas definiciones y teoremas solo nos ocuparemosde los sistemas homogéneos. Sin decirlo explícitamente, siempre supondremos que las UV y lasJ; son funciones continuas en un intervalo común 1.Principio de superposición El siguiente resultado es un principio de superposiciónpara soluciones de sistemas lineales.Como consecuencia del teorema 8.2, un múltiplo constante de cualquier vector solución de unsistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden también es unasolución.mAplicación del principio de superposiciónEl lector debe practicar comprobando que los dos vectoresson soluciones del sistema(8)De acuerdo con el principio de superposición, la combinación lineales una solución más del sistema.

370CAPíTULO8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENDependencia lineal e independencia lineal Ante todo nos interesan las solucioneslinealmente independientes del sistema homogéneo, ecuación (5).Debe quedar claro el caso cuando k 2; dos vectores solución XI y X2 son linealmentedependientes si uno es un múltiplo constante del otro, y recíprocamente. Cuando k 2, unconjunto de vectores solución es linealmente dependiente si podemos expresar al menosun vector solución en forma de una combinación lineal de los vectores restantes.El wronskianoIgual que cuando explicamos la teoría de una sola ecuación diferencialordinaria, podemos presentar el concepto del determinante wronskiano como prueba deindependencia lineal. Lo enunciaremos sin demostrarlo.Se puede demostrar que si XI, XZ, . . . , X,, son vectores solución del sistema (5), entonces,para todo t en I se cumple W’(Xt , XZ, . . ., Xn) # 0, o bien W(Xt , XZ, . . ., X,J 0. Así, si podemosdemostrar que W f 0 para algún to en 1, entonces W z 0 para todo f y, por consiguiente, lassoluciones son linealmente independientes en el intervalo.

Sección 8.1 Teoría preliminar 371Obsérvese que a diferencia de nuestra definición de wronskiano de la sección 4.1, en estecaso no interviene la diferenciación para definir el determinante es del sistema (6).En el ejemplo 2 dijimos que XI ( -11)e- 5x, (3) 5 e sonEstá claro que XI y X2 son linealmente independientes en el intervalo (-, -) porqueninguno de los vectores es múltiplo constante del otro. Además,1npara todos los valores reales de t.Los dos teoremas siguientes para sistemas lineales equivalen a los teoremas 4.5 y 4.6.Solución general del sistema (6)pendientes de (6) en (-QO, -); por lo tanto, XI y X2 forman un conjunto fundamental desoluciones en el intervalo. En consecuencia, la solución general del sistema en el intervalo esx c*x1 q,x* Cl(3-“ c2(3e?(lQ)n

372CAPíTULO8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENSolución general del sistema (8)Los vectores/cos t\/oi/sen t\son soluciones del sistema (8) en el ejemplo 3 (véase el problema 16 en los ejercicios 8.1).Ahora bien,cos tW(XI,X2,&) -icost *sent-cost-sent0e ’0sen t- sent-tcosf el#O-sent cos tpara todos los valores reales de t. Llegamos a la conclusión de que XI, XZ y Xs constituyenun conjunto fundamental de soluciones en (-OD, co). Así, la solución general del sistema enel intervalo es la combinación lineal X 1x1 2x2 3x3; esto es,Sistemas no homogéneosPara los sistemas no homogeneos, una solución particularX, en un intervalo I es cualquier vector, sin parámetros arbitrarios, cuyos elementos seanfunciones que satisfagan al sistema (4).Solución general, sistema no homogéneoEl vector X, es una solución particular del sistema no homogéneo(11)

Sección 8.1 Teoría preliminar 373en el intervalo (-, -). (Compruébelo.) La función complementaria de (ll) en el mismointervalo, que es la solución general deX’ 1 3(53 x,)se determinó en (lo), en el ejemplo 5, y erax, 4 3!-2l c2(3e .Entonces, según el teorema 8.6,es la solución general de (ll) en (-, -).Las respuestas a los problemas de número impar comienzan en la página A-12.En los problemas 1 a 6 exprese el sistema respectivo en forma matricial.Ldxd; 3x-5y2 . 4x - 7 ydyz 4x 8y4d; 5xdw3 . z -3x 4y-92ddxdT x-y% 6x-ydy -x 2zz-dzz 1ox 4y 3zdzz -x z5. x-y z t-1z 2x y - z - 3t26. -3x 4y e?en2tdyz 5x 9y 4em’cos2t x y z t 2En los problemas 7 a 10 exprese al sistema dado sin usar matrices.7 .8.X’ (-1 x (J?xl (H-1- )x (p)eq )e-2t

374CAPíTULO8 StSTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LNEALES DE PRIMER ORDEN9. ;i) (-i ‘i a,(g (;)e-t-(-;)r10. - ) (y -T)(z) (l)senr (;gJe‘QEn los problemas ll a 16 compruebe que el vector X sea una solución del sistema dado.ll. 3x - 4y1dYd; 4x - 7y; X 2 e-*’0En los problema3 17 a 20 los vectores respectivos son soluciones de un sistema X’ AX.Determine si los vectores constituyen un conjunto fundamental en (-, -).17. Xl (:)e-2f,X2 (-i)e-6t18. Xl (-:)et,X, (ijet (-:)ret

Sección8.1 Teoría preliminar 375En los problemas 21 a 24 compruebe que el vector X, sea una solución particular del sistemadado.21.2 x 4y 2t - 7f -3x 2y-4t-18;22.x, (-3 (3xl (: -:)x (-z); xp (i)2 3 . X’ (; ;)X-(;)d;Xp ( ? ( ,f25. Demuestre que la solución general deen el intervalo (-, -) sea26. Demuestre que la solución general deen el intervalo (-, -) sea

376CAPíTULO8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDENSISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTESnnEcuación característica de una matriz cuadrada n Valores propios de una matriz n Vectores propiosFormas de la solución general de un sistema lineal homogéneo con coejcientes constantes8.2.1Valores propios reales y distintosEn el ejemplo 5 de la sección 8.1 ya vimos que la solución general del sistema homogéneoX’ 15 35 XesX el(-:)r-2’ R(:)e6f.Dedo que ambos vectores solución tieneni1la forma Xi h eXi’, i 1,2, en donde kl y k2 son constantes, nos vemos precisados a preguntarkz0si siempre es posible determinar una solución de la forma(1)\ ka Idel sistema homogéneo, lineal y de primer ordenX’ AX,(2)en donde A es una matriz de constantes, de n x n.Valores propios y vectores propios (eigenvalores y eigenvectores) Para que(1) sea un vector solución de (2), X’ KXek, de modo que el sistema se transforma enKk” AKe’.Al dividir por exr y reordenar, se obtiene AK XK; o sea(3)(A - hI)K 0.La ecuación (3) equivale al sistema de ecuaciones algebraicas simultaneas(au - A)kt alzkz . . . al,,kn 0ankt (au - A)kz . . . a&k,, 0a,lh u,,zkz . . . (a, - h)k, 0.Así, para determinar una solución X no trivial de (2), debemos llegar a una solución no trivialdel sistema anterior; en otras palabras, hay que calcular un vector K no trivial que cumpla con(3). Pero para que (3) tenga soluciones no triviales, se requieredet(A - XI) 0.

Sección 8.2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes377Ésta es la ecuación característica de la matriz A; en otras palabras, X Ke* será solución delsistema (2) de ecuaciones diferenciales si, y sólo si X es un valor propio de A, y K es un vectorpropio correspondiente a X.Cuando la matriz A de n x n tiene n valores propios reales y distintos, XI, Xz, . . . , &,,siempre se puede determinar un conjunto de n vectores propios linealmente independientes,Kl, K2 . . . , Ka YX1 KIeAl’,X, K2eAz’,. . . , X, K,e*Jes un conjunto fundamental de soluciones de (2) en (-, -).Valores propios distintosdxz 2x 3yResuelvady- 2x y.(4)Primero determinaremos los valores y vectores propios de la matriz deSOLUCIÓNcoeficientes.En la ecuación característicadet(A - AI) 2-A23 2 - 3A - 4 (h l)(A - 4 ) 0l - hlos valores propios son XI -1 y X2 4.Cuando XI -1, la ecuación (3) equivale a3k, 3k2 02kl 2k2 0.Por consiguiente, kl -kz. Cuando k2 -1, el vector propio relacionado esK1 Cuando X2 4,-2k, 3k2 02k, - 3k2 0de modo que kl 3k2/2 y, por lo tanto, con k2 2, el vector propio correspondiente esKz 032.