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FUOC XP00/71004/00017274. Medidas de dispersiónLos cuartiles y la desviación estándarEn el capítulo 3 hemos aprendido varias maneras de medir el centro de unadistribución. Pero, para describir una distribución de forma adecuada no es suficiente con conocer el centro. También queremos resumir de una maneraconcisa hasta qué punto las observaciones se extienden alrededor del centro.En este capítulo se nos presentarán diferentes maneras de resumir la dispersión de una distribución. Una manera simple es identificar la menor y la mayor de las observaciones. Después podemos identificar los cuartiles de ladistribución, que son el punto medio de la mitad superior e inferior del conjunto de datos. Finalmente, definimos una medida muy conocida de dispersión de una distribución llamada la desviación estándar.En este capítulo sobre medidas de dispersión aprenderéis: Cómo se resume la dispersión de una distribución mediante cincocantidades: el mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartily el máximo. Cómo se representa el resumen de estas cinco cantidades en un diagrama de caja. Cómo se calcula la desviación estándar de un conjunto de valores.InstrucciónMirad el vídeo de la unidad 5.Resumen del vídeoEl recuento de calorías de los frankfurts varía con el tipo de bocadillo, así comode una marca a otra. Vemos a un analizador que examina frankfurts y nos damos cuenta de que el centro por sí solo no es una descripción numérica adecuada de una distribución, además necesitamos una medida de dispersión ovariabilidad.En el vídeo se muestra el diagrama de tallos y hojas del contenido en calorías de20 marcas de frankfurts de ternera, y tenemos como resultado que la medianadescribe el centro. Después vemos los cuartiles –de la misma manera que la mediana es el punto medio, los cuartiles son el punto del cuarto y los tres cuartosMedidas de dispersión

28 FUOC XP00/71004/00017Medidas de dispersiónen las observaciones ordenadas–. Los cuartiles son los puntos centrales respectode la primera mitad de los datos, bajo la mediana, y la segunda mitad de los datos, sobre ésta. Los cuartiles ofrecen una idea de hasta qué punto se extiendenlos datos, ya que la mitad de las observaciones caen entre los mismos. Ahora sepueden usar cinco cantidades para describir una distribución: el valor mínimo,el cuartil inferior, la mediana, el cuartil superior y el valor máximo. Estos elementos se denominan los cinco números resumen de los datos.El diagrama de caja es un gráfico de los cinco números resumen. Se dibuja uncuadro entre los cuartiles y dentro del mismo se marca la media. Se dibujanunos brazos que se extienden hasta los valores máximo y mínimo. Los diagramas de caja no muestran una distribución de manera tan detallada como losdiagramas de tallos y hojas, pero, a pesar de todo resultan útiles para compararvarias distribuciones.Medir la extensiónEn el capítulo 2 hemos considerado varias maneras de dibujar la distribuciónde una variable. En el capítulo 3 hemos definido diferentes modos de calcularlos números que miden el centro de una distribución, sabiendo que el centrono es suficiente para describir una distribución adecuadamente. También necesitamos medir hasta qué punto a lado y lado del centro se extienden las observaciones. Existen diferentes maneras de medir la dispersión, las cualestambién dependen de si la distribución es simétrica o no y de si se da la presencia de datos insólitos.Los valores mínimo y máximoLa manera más simple de medir la dispersión es identificar los valores mayory menor de un conjunto de datos. La diferencia entre los valores mínimo ymáximo se denomina el rango (o recorrido) de las observaciones.En términos de la notación definida en el capítulo 4, en que x(1), x(2), ., x(n)son el orden estadístico de una distribución:valor mínimo x(1)valor máximo x(n)rango x(n) – x(1)Los cuartilesMientras que la mediana divide la distribución en mitades, los cuartiles deuna distribución son una variación de la idea de una mediana. Los cuartilesNotaEl primer cuartil divide de manera similar la mitad inferior delos datos en dos partes iguales–es decir, es la mediana de lamitad inferior de éstos, mientras que el tercer cuartil es lamediana de la mitad superior–.Está claro entonces que loscuartiles primero y tercero suman la mitad de los datos.

29 FUOC XP00/71004/00017Medidas de dispersiónson los valores que dividen la distribución en cuartos. El primer cuartil presenta un cuarto de las observaciones por debajo del mismo, y tres cuartos porencima. El segundo cuartil tiene dos cuartos por debajo y dos por encima –portanto, el segundo cuartil es idéntico a la mediana–. Y el tercer cuartil tiene trescuartos de las observaciones por debajo y un cuarto por encima. Otra manerade pensar en esto es que la mediana, o segundo cuartil, divide los datos en dosgrupos del mismo tamaño, que denominaremos la mitad inferior de los datosy la mitad superior. A menudo se denominan el primer y el tercer cuartil cuartil inferior y superior, respectivamente.Calcular los cuartilesCalculamos los cuartiles exactamente de la misma manera que calculamos lamediana, excepto por el hecho de que aplicamos el cálculo a las mitades inferior y superior de los datos de forma separada. El vídeo muestra un ejemploque considera el contenido en calorías de los frankfurts, y nosotros mostramosotro ejemplo aquí. Observad los datos de la figura 3.1: para las 27 observaciones habíamos visto que la mediana era el valor decimocuarto en la lista ordenada, es decir, 7. La mitad inferior de los datos es, por lo tanto, el conjunto deobservaciones desde la primera a la decimotercera, y la mitad superior es elconjunto desde la decimoquinta a la vigesimoséptima. Fijaos en que el valordecimocuarto es el tercer 7 en la lista ordenada, y que hay cuatro 7 en los datos(consultad el diagrama de tallos y hojas en la figura 3.2), de manera que la mitad inferior de los datos incluye dos 7:23344449955667711 1112121317y la mitad superior incluye un 7:78888Para hallar los cuartiles, encontramos las medianas de estas mitades de los datos por separado. Cada mitad consta de 13 valores, por lo tanto, la mediana esel valor con el número de secuencia (13 1)/2 7 en cada lista. El séptimovalor en la mitad inferior es 4, y el séptimo en la mitad superior es 9.El rango intercuartílicoLa diferencia entre los cuartiles primero y tercero se denomina el rango intercuartílico. En nuestro ejemplo anterior, el rango intercuartílico es igual a9 – 4 5 minutos.

30 FUOC XP00/71004/00017Los cinco números resumen de los datosLos cinco números resumen de una distribución forman el siguiente conjunto: el mínimo el primer cuartil la mediana (el segundo cuartil) el tercer cuartil el máximoEn nuestro ejemplo de tiempo de espera, los cinco números resumen son 2, 4, 7,9 y 17. En otras palabras, la mediana del tiempo de espera es 7 minutos, la mitadde las esperas quedan entre 4 y 9 minutos (con un rango intercuartílico de 5 minutos), el tiempo mínimo de espera era 2 minutos y el máximo, 17 minutos (conun rango de 15 minutos). Estos datos conforman un resumen global de la distribución.Diagramas de cajaEl diagrama de caja es un gráfico simple de los cinco números resumen delos datos. Se dibuja una escala vertical u horizontal que se corresponde conla escala de la variable. Después se dibuja un cuadro con los niveles inferiory superior en los cuartiles primero y tercero respectivamente. Se traza unalínea en el cuadro que corresponde a la mediana. Después se dibujan dosbrazos arriba y abajo del cuadro hasta los valores máximo y mínimo respectivamente. Los ejemplos que se muestran en el vídeo ilustran perfectamentecómo se hace.Lo que tenemos ahora es una descripción gráfica compacta de toda la distribución de la variable. Se pueden dibujar los diagramas de caja correspondientes a los diferentes conjuntos de observaciones sobre la misma variable, unoal lado de otro, y después compararlos visualmente.InstrucciónAhora revisad el vídeo y volved a visionar la unidad 5. Centraos en la maneracomo se calculan los cuartiles y cómo se obtienen los cinco números resumen. Tomad nota de la manera como estos cinco números se transfieren auna forma gráfica como un diagrama de caja, y cómo estos diagramas permiten unas comparaciones muy sencillas de los diferentes conjuntos de observaciones de una misma variable.Medidas de dispersión

31 FUOC XP00/71004/00017Medidas de dispersiónActividad4.1. Los índices de desempleo, medidos como un porcentaje de la población activa, para27 países del primer mundo son los 11,112,3 8,28,2 4,614,5 14,34,78,42,214,45,411,82,92,612,7Calculad los cinco números resumen de estos datos.Ahora veremos una definición numérica, alternativa, de dispersión, llamadadesviación estándar. Se trata de un número único que se puede usar paracuantificar la dispersión de un conjunto de datos, más que diferentes números, como en el caso de los cinco números resumen.InstrucciónMirad el vídeo de la unidad 6.Resumen del vídeoObservamos que los investigadores e investigadoras estudian los análisis desangre automatizados y tratan de identificar lecturas anormales en los mismos. Para saber cuándo una observación es anormal, necesitamos saber hastadónde se extienden las lecturas normales. Vemos los resultados de un análisisespecífico realizado a diez personas. Un diagrama de tallos y hojas muestraque la distribución es aproximadamente simétrica, sin datos insólitos. Por tanto, podemos usar la media aritmética para describir el centro. Para medir la dispersión en torno a la media aritmética, primero calculamos las desviacionesentre las observaciones y la media aritmética. Algunas son positivas y otras negativas. Por este motivo, tomamos el cuadrado de estas desviaciones, las sumamos, y las dividimos por n – 1 (una menos que el número de observaciones),en este caso, 9. Esta operación nos da la varianza, indicada por s2. La desviación estándar, indicada por s, es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Ladesviación estándar se usa para resumir la desviación de las observaciones respecto de la media aritmética, y se usa como base para decidir si un análisis desangre es anormal o no. Se presentan algunas propiedades básicas de las desviaciones estándar: s siempre es positivo o cero; s 0 sólo cuando no se produce dispersión, es decir, cuando todas las observaciones tienen el mismovalor; a medida que la dispersión aumenta, s se vuelve mayor; al igual que lamedia aritmética, las observaciones extremas influyen en gran medida sobre s.Un aspecto divertido de este vídeo es el uso que los investigadores e investigadoras dan a la música para “volver a oír” los datos en la forma de una melodíamuy conocida, incluyendo una nota estridente cada vez que encontramos unaobservación anormal.Reflexionad¿Qué valor obtenemos si sumamos todas las diferencias delos valores de una distribuciónrespecto de la media?