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11.SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES1.1.SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDENUn sistema de ecuaciones diferenciales del tipo dx1 dt a11 (t)x1 · · · a1n (t)xn f1 (t). dxn an1 (t)x1 · · · ann (t)xn fn (t)dtse denomina sistema lineal de primer orden. Las funciones aij (t), fi (t) sesupondrán continuas en un intervalo dado I (a, b). Si fi (t) 0 para todoi 1, . . . , n, se dice que el sistema es homogéneo.La expresión del sistema anterior se suele hacer en forma matricial(1)X 0 AX Fsiendo x1 (t) X X(t) . xn (t) a11 (t) · · · .A A(t) .an1 (t) · · · a1n (t) . .ann (t) f1 (t) F F (t) . fn (t)Si el sistema es homogéneo, se escribe X 0 AX. x1 (t) Definición 1. Diremos que el vector X . es solución de (1) enxn (t)un intervalo I si sus elementos son funciones diferenciables que satisfacen(1) en dicho intervalo.Definición 2. Problema del valor inicial. x01 Dado t0 I y dado X0 . un vector cuyas entradas son consx0ntantes dadas, el problema de resolverX 0 AX Fsujeto a la condición X(t0 ) X0 se denomina problema de valor inicial enel intervalo I.

21 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESTeorema 1. Dadas A(t) y F (t) continuas en el intervalo I (a, b), elproblema de valor inicial X 0 AX F(2)X(t0 ) X0tiene una solución única definida en todo el intervalo I.Teorema 2. Principio de superposición.Dados X1 , X2 , . . . , Xm un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo X 0 AX en un intervalo I, la combinación linealX c1 X1 · · · cm Xmes también solución de X 0 AX en el intervalo I.Definición 3. Dependencia e independencia lineal de soluciones.Dados X1 , . . . , Xm un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo X 0 AX en un intervalo I, se dice que el conjunto es linealmentedependiente en I si existen constantes c1 , . . . , cm , no todas cero, tales quec1 X1 · · · cm Xm 0para todo t I. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente, sedice que es linealmente independiente.Teorema 3. Sean X1 , . . . , Xn n vectores solución del sistema homogéneo den ecuaciones y de primer ordenX 0 AXen un intervalo I. El conjunto de vectores es linealmente independiente en Isi y sólo si el wronskianoW (X1 , . . . , Xn ) X1 . . . Xn 6 0Se puede probar que, si X1 , . . . , Xn son soluciones de X 0 AX, entoncesW (X1 , . . . , Xn ) 6 0 para todo t I o bien W (X1 , . . . , Xn ) 0 para todot I. De modo que, si existe un t0 tal que W 6 0 en t0 , entonces W 6 0para todo t I, con lo que las soluciones son linealmente independientes enI.Definición 4. Conjunto fundamental de soluciones. Matriz fundamental.Sea X 0 AX un sistema homogéneo de n ecuaciones y de primer orden.Un conjunto X1 , . . . , Xn de soluciones linealmente independientes del sistemaen un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones . A la matrizΦ(t) (X1 . . . Xn ) que tiene a estos vectores solución por columnas, se lellama matriz fundamental del sistema X 0 AX. Obsérvese que Φ(t) 6 0para todo t I.

1.1 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN3Teorema 4. Solución general de un sistema homogéneo.Dado un sistema homogéneo X 0 AX en un intervalo I, existe siempreun conjunto fundamental de soluciones X1 , . . . , Xn en I, esto es, siempre sepuede encontrar una matriz fundamental Φ(t).La solución general del sistema homogéneo en I seráX c1 X1 · · · cn Xndonde c1 , . . . , cn son constantes arbitrarias. Dicho de modo eqivalente:X Φ(t)C c1 donde Φ(t) es una matriz fundamental y C . es un vector formadocnpor constantes.Si buscamos la solución del problema de valor inicial X 0 AXX(t0 ) X0obtenemos X Φ(t)Φ(t0 ) 1 X0Teorema 5. Solución general de un sistema no homogéneo.Dado el sistema no homogéneo X 0 AX F y dada una solución particular Xp del mismo en el intervalo I, la solución general seráX Xh Xpsiendo Xh la solución general del sistema homogéneo asociado X 0 AX.Escrito de modo equivalente,X Φ(t)C XpSistemas no homogéneos. Método de variación de las constantes.Por lo visto arriba, si somos capaces de resolver el sistema homogéneoX 0 AX, para obtener la solución general de X 0 AX F basta con conocer una solución particular del mismo. Pero, ¿cómo encontrarla? Se aplica elmétodo de variación de las constantes, esto es, se conjetura la existencia deuna solución particular del sistema no homogéneo, Xp (t) Φ(t)C(t), dondelas constantes del vector C pasan a ser funciones c1 (t) C(t) . .cn (t)

41 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESEntonces Xp0 Φ(t)C 0 (t) Φ0 (t)C(t). Al sustituir en X 0 AX F setieneΦ(t)C 0 (t) Φ0 (t)C(t) AΦ(t)C(t) FComo la solución general del sistema homogéneo es X Φ(t)C, entonces Φ0 (t)C AX AΦ(t)C, con lo que Φ0 (t) AΦ(t). Se tiene, alsustituir en la ecuación de arriba,X0Φ(t)C 0 (t) AΦ(t)C(t) AΦ(t)C(t) F0 (t) F (t), lo cual implica que C 0 (t) Φ 1 (t)F (t) y,de manera que Φ(t)CR 1por tanto, C(t) Φ (t)F (t)dt. Como Xp Φ(t)C(t), resultaZXp Φ(t)Φ 1 (t)F (t)dtLa solución general del sistema X 0 AX F es entoncesZX Xh Xp Φ(t)C Φ(t)1.2.Φ 1 (t)F (t)dtSISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOSDescribimos a continuación el modo de resolver un sistema homogéneode primer orden con coeficientes constantes, X 0 AX. Se calculan la formacanónica de Jordan J de A y la matriz de paso P tales que P 1 AP J. Setiene A P JP 1 . El siguiente paso es hacer el cambio de variable X P Yy1 . con Y . y sustituir en la ecuación. Se tiene P Y 0 AP Y , esto es,ynY 0 P 1 AP Y con lo que la resolución del sistema X 0 AX queda reducidaa la resolución del nuevo y más simple sistemaY 0 JYUna vez resuelto éste último, se deshace el cambio y se tiene la solucióndel sistema homogéneo original. Desarrollaremos todo este proceso para elcaso de los sistemas homogéneos planos (dos ecuaciones). Para sistemas conmás ecuaciones el procedimiento es análogo.1.2.1.Sistemas lineales homogéneos planosSea X 0 AX un sistema lineal homogéneo de coeficientes constantes yplano.

1.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS5Caso 1. Si la matriz A M2 (R) es diagonalizable con autovalores reales, laforma canónica de jordan de A es λ1 00 λ2J Se hace el cambio X P Y y se resuelve el sistema Y 0 JY y10y20 λ1 00 λ2y1y2 Resulta y1 (t) c1 eλ1 t , y2 (t) c2 eλ2 t . Escrito en forma matricial, Y y1 (t)y2 (t) eλ1 t0 c1 c2 0 eλ2 teλ1 t0λ0 e 2t c1c2 Al deshacer el cambio X P Y , se tiene X x1 (t)x2 (t)λ1 t P c1 ep11p21eλ1 t00 eλ2 t p12p22 λ2 t c2 ec1c2 p11p12siendoylas columnas de P , esto es, los autovectoresp21p22asociados a los autovalores λ1 y λ2 respectivamente. Obsérvese que lamatriz Φ(t) Peλ1 t0λ0 e 2t es una matriz fundamental.Caso 2. Si la matriz A no es diagonalizable, con un autovalor doble λ R,entonces J λ 10 λ Se considera X P Y y se resuelve el sistema Y 0 JY . Queday2 (t) c2 eλt

61 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESAl sustituir en y10 λy1 y2 se tiene y10 λy1 c2 eλt . Esta ecuación,para cada valor de c2 fijo, es lineal de primer orden. Al resolver, dalugar ay1 (t) c1 eλt c2 teλtPor tanto, escrito en forma matricial, Y y1 (t)y2 (t) c1eλt0 c2teλteλt eλt teλt0 eλt c1c2 Se deshace el cambio X P Y y queda X Peλt teλt0 eλt La matriz Φ(t) Pc1c2 p11p12 e (c1 c2 t) c2p21p22λteλt teλt0 eλt es una matriz fundamental.Caso 3. Si la matriz A tiene dos autovalores complejos conjugados λ a ib, λ a ib, la forma canónica de Jordan es la matriz J λ 00 λ M2 (C)La matriz de paso P (P 1 P 2 ) M2 (C) tiene por columnas P 1 , P 2 P 1 a los autovectores (complejos conjugados) asociados a los autovalores λ y λ.Se hace el cambio X P Y y se resuelve el sistemaY 0 JYSe obtiene y1 (t) c1 e(a ib)t , y2 (t) c2 e(a ib)t con c1 , c2 C constantesarbitrarias. Escrito en forma matricial, Y y1 (t)y2 (t) e(a ib)t00e(a ib)t c1c2 c1c2 Deshaciendo el cambio, obtenemos X x1 (t)x2 (t) Pe(a ib)t0(a ib)t0e

1.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS7 c1 e(a ib)t P 1 c2 e(a ib)t P 1que es la solución general compleja del sistema X 0 AX. Nosotrosdeseamos encontrar la solución general real (las funciones x1 (t), x2 (t)deben ser reales). Para obtenerla, basta observar que si X(t) es solucióncompleja del sistema X 0 AX, entonces Re(X(t))Im(X(t)) son e pu1 iv11101soluciones reales de X AX. Si P ,pu2 iv2 21 u1v1se tiene Re(P 1 ) y Im(P 1 ) . Consideremos lau2v2solución complejae(a ib)t P 1 eat (cos bt i sen bt)at e cos btat iesen btu1u2 v1v2 u1u2 sen btu1u2 v1v2 i cos btv1v2u1u2 v1v2 u1u2 v1v2 Por lo dicho arriba, tantoat X1 (t) ecos bt sen btcomoat X2 (t) e sen bt cos btson soluciones reales (e independientes) del sistema X 0 AX, de modoque la solución general será X c1 X1 c2 X2 u1 v1u2 v2 eat cos bt eat sen bt eat sen bt eat cos bt c1c2 Obsérvese que la matriz Q u1 v1u2 v2es la matriz de paso tal queforma canónica real de A. Re(P 1 ) Im(P 1 )Q 1 AQ J 0,siendoJ0 a b b a la

81 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESEn cualquiera de los tres casos, si los dos autovalores de la matriz A sontales que Re(λ) 0, se tiene quelı́m xi (t) 0,i 1, 2t para cualquier solución X x1 (t)x2 (t) del sistema X 0 AX.Observación 1. Considérese una ecuación lineal de segundo orden homogéneade coeficientes constantes x00 a1 x0 a2 x 0 con a1 , a2 R. Mediante elcambio de variables x x1x0 x2se puede reducir el estudio de las soluciones de la ecuación al estudio delsistema plano equivalente (1)x01 x2x02 a2 x1 a1 x2 óx01x02 01 a2 a1 x1x2 01es p(λ) λ2 a1 λ a2 a1a2 . Obsérvese la relación existente entre el polinomio p(λ) y la ecuación desegundo orden.Utilizando lo hecho en los sistemas planos, y teniendo en cuenta que sólonos interesa x1 (t), se concluye que:El polinomio característico de A Caso 1. Si los dos autovalores λ1 , λ2 son reales (y distintos, ya que de ser igualesla matriz A debería ser diagonal), entonces x(t) x1 (t) k1 eλ1 t k2 eλ2 t , siendo k1 y k2 constantes arbitrarias.Caso 2. Si hay un autovalor real doble, λ, entonces x(t) x1 (t) k1 eλt k2 teλt , siendo k1 y k2 constantes arbitrarias.Caso 3. Si los autovalores son complejos conjugados, entonces x(t) x1 (t) k1 eat cos bt k2 eat sen bt, siendo k1 y k2 constantes arbitrarias.1.2.2.Puntos críticos. Diagrama de fases de sistemas linealeshomogéneos planosDado un sistema de ecuaciones del tipo dxdtdydt f1 (x, y) f2 (x, y)

1.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS9decimos que un punto (x0 , y0 ) es un punto crítico o singular si el vectorconstante x0X(t) y0es solución del sistema.La representación gráfica de las soluciones en el plano, junto con la indicación del sentido en que se recorren, se denomina diagrama de fases delsistema.Dado el sistema X 0 AX con A M2 (R), es claro que el vector X (0, 0) es un punto crítico. Supondremos que dicho punto crítico es aislado(no hay más en un entorno suyo). Esto implica que Det(A) 6 0 y, por tanto,λ 0 no es autovalor de A.El análisis cualitativo de los diagramas de fases en un entorno del puntocrítico X (0, 0) se hace en función de los signos de los autovalores de A,tal como queda indicado en el siguiente esquema:

101 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1.2 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS11

Sea X0 AX un sistema homogéneo de n ecuaciones y de primer orden. Un conjunto X 1,.,X n de soluciones linealmente independientes del sistema en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones . A la matriz Φ(t) (X 1.X n) que tiene a estos vectores solución por columnas, se le llama matriz fundamental del sistema X0 AX .