Transcription
MATEMATICAS (MAT I)1º BachilleratoGRÁFICAS DE FUNCIONESDepartamento de MatemáticasIes Dionisio Aguado
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES1.Dominio de de nición: D Dom f(x) {x R / existe f(x)}2.Simetríasa)b)3.Función par: Si f( x) f(x) para todo x D.Es simétrica respecto del eje OY (ordenadas):Función impar: Si f( x) f(x) para todo x D. Es simétricarespecto del origen de coordenadas.Periodicidad:a)f es periódica si existe T R tal que f(x T) f(x), (T periodomínimo).4.5.Puntos de corte con los ejes:a)Con el eje OX (abscisas): f(x) 0 : (x,0). Ninguno, uno o más puntos.b)Con el eje OY (ordenadas): f(0) y , (0,y). Ninguno o un punto.Asíntotasa) ,b)o algún limite lateral lo es.Asíntotas horizontales: La rectalimf (x) b Ro bienx c)x a es asíntota vertical si x alim f (x) Asíntotas verticales: La rectalimy bes asíntota horizontal sif (x) b Rx Asíntotas oblicuas: La rectay mx n es una asíntota oblicua,cuando:m 6.f (x) R y n lim (f (x) mx) Rx x xlimCrecimiento, decrecimiento. Extremos relativosa)b)c)f (x) 0 f es creciente en I.Si para todo x I D f (x) 0 f es decreciente en I.Si para todo x I DSi f (x0 ) 0, o bien f no es derivable en x0 D, o bien si f (x)cambia de signo a izquierda y derecha de x0 , en x0 hay unrelativo(máximo o mínimo)7.Concavidad, convexidad. Puntos de in exión8. Si para todo x I Df (x) 0 f es cóncava en I.9. Si para todo x I Df (x) 0 f es convexa en I.10. Si f (x0 ) 0, o bien f no es derivable en x0signo a izquierda y derecha de x0 , en x0 hay un11.extremo D, y f (x) cambia depunto de in exiónTabla de valores: Se puede hacer una tabla de valores como resumen dedatos1
Ejemplos de representación grá ca de funciones1. Ejemploa)b)f (x) x2 x4Dominio: R, es continua y derivable en RPuntos de corte con los ejes1) x 0 y 0, (0, 0) x 0(0, 0) x2 x4 0 x2 1 x2 0 x 1 (1, 0) , ( 1, 0) f ( x) ( x)2 ( x)4 x2 x4c ) Simetrías: f ( x) f (x) f (x) x2 x42) y 0f es una función par y por lo tanto es simétrica respecto del eje Y.d)e)Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica.Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y 2/2Dominiofcrecientef' decrecientecreciente0maxminmax Dom 22 6 56 , 36f%f' 0f -- , 660In excóncavamáx6 56 , 3600y 2 12x2 x 22 66MíNconvexaMÁXIn exión&0convexa%- punto (0,0), y máximos relativos en los puntos66Puntos de in exión:creciente0Concav.,convex., puntos de in exión: 2/200g) Mínimo relativo en el 22 , 14 , 22 , 14h) 2x p x 0 x 1/2 x 2/24x3 0 f)00 2& 0-0---
2.f (x) x3 6x2 9xa)b)Dominio: R, es continua y derivable en RPuntos de corte con los ejes1) x 0 y 0, (0,0) 322a y 0 x 6x 9x 0 x x 6x 9 0 x 0 (0, 0)x 3 (3, 0) 36( x)2 9( x) x3 6x2 9xSimetrías: f ( x) ( x) f (x) f ( x) 6 f (x) x3 6x2 9x f no es una función par ni impar y por lo tanto no es simétrica02)respecto del origen ni del eje de ordenadas.3)4)Asíntotas: No tiene por ser una función polinómica.Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos:3x2 12x 9 0 x3 4x 3 0 fcreciente1f (1) 4f' 0Dominioc)d)0y x 1x 3decreciente3f (3) 0creciente-0 La función tiene un mínimo relativo en el punto: (1, 4), y un máximorelativo en el punto (3, 0)e)Concavidad, convexidad, puntos de in exión: y00 6x 12 0 x 2Dominio213MÁXf)g)fcrece%f' 0f --Mindecrece&-Punto de in exión: (2, 2)30 crece%0-
3.f (x) a)b)c)x2 1xDominio: R {0}Puntos de corte con los ejes: no tiene. 1 1 x x x x 1Simetrías: f ( x) ( x) x222 f (x) f es impary por lo tanto es simétrica respecto al origen de coordenadas.d)Asíntotas1) Asíntotas verticales: x 02) Asíntotas Horizontales:limx x2 1x .No tiene3) Asíntotas oblicuas: y xe)Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y0x2 1x2 20 x 1 0 x 1Dominio( , 1)fcrecef' 1(-1,0)0(0,1)decreceNO DEFdecrece-NO DEF-0 (1, )1crece0max MinTiene un máximo en el punto: ( 1, 2) y un mínimo en (1, 2)f)Concavidad, convexidad, puntos de in exión:00g) y 2x36 0 Dominio( , 1)fcrecientef' f h)no tiene puntos de in exión 1(-1,0)0(0,1)decrecienteNO DEFdecreciente-NO DEF-01creciente0-NO DEF convexaNO DEFcóncavaGrá ca:4(1, )
4.f (x) a)b)c)d)x3(1 x)2Dominio: R { 1}Puntos de corte con los ejes: (0, 0).( x)6 f (x) f no tiene simetrías.Simetrías: f ( x) (1 x)Asíntotas32x32x 1 (1 x)1) Asíntotas verticales:x3lim2x 1 (1 x)lim2) Asíntotas Horizontales: 1x x3lim2 . No tienex (1 x)3) Asíntotas oblicuas: y xe) 2Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y0 x2 (x 3) 0 Dominio( , 3)ff' x 0.x 3Dom0f (x) R0 x3 3x2(1 x)3 { 1}(-3,-1) 1( 1, )creciente 3f (1) 4decrecienteNo defcreciente 0-No def No deff)Tiene un máximo en el punto: ( 3,g)Concavidad, convexidad, puntos de in exión: 27/4)0 x 0h)Dominio( , 3)fcreciente 3f (1) 4f' 0-f ---(-3,-1)decrecienteconvexaTiene un punto de in exión en el punto (0, 0)i)Grá ca:5 1 00y 6x(1 x)4( 1, 0) (0, )0creciente convexa0 cóncava
5.f (x) a)b)c)xx2 4Dominio: R { 2}Puntos de corte con los ejes: (0, 0). x xSimetrías: f ( x) ( x) 4 x 4 22 f (x) impar, simétricarespecto del origend)Asíntotas x x2 4 1) Asíntotas verticales:xlimx2 4 x 2 limx 2 )xx2 4 xlim 2x 4 x 2 limx 2 x 2x 22) Asíntotas Horizontales:xlim2x x 4 0 y 03) Asíntotas oblicuas: No tienee)Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y2 20 x 4 0 x 4 x 4 R/f) x2 4(x2 4)2 . No tieneDominio( , 2) 2(-2,2)2(2, )fdecrecienteNo defdecrecienteNo defdecrecientef'-No def-No def-No defg)0No defConcavidad, convexidad, puntos de in exión:0 2x(x2 12) 0 00y 2x3 24x(x2 4)3 x 0 /x2 12 0 x 12 RDominio( , 2) 22(2, )fdecrecienteNo defdecrecienteNo defdecrecientef'-No def-No def--No defconvexa(-2,2) 00conch)Tiene un punto de in exión en el punto (0, 0)i)Grá ca:6(0,2)convNo def cóncava
6.f (x) a)b)x3 3x2 4x2Dominio: R {0}Puntos de corte con los ejes:1) x 0 no de nida (0 2 (2, 0)2) y 0c)d)x3 3x2 4x2Simetrías: f ( x) Asíntotas6 Dom f )3 x 3x2 4 0 x 1 ( 1, 0), x ( x)3 3( x)2 4( x)26 f (x) f no tiene.x3 3x2 4 x2 x 01) Asíntotas verticales: x3 3x2 4lim 2xx 0 x3 3x2 4 2) Asíntotas Horizontales: limx2x lim3) Asíntotas oblicuas: y xe) x 0 no tiene3Crecimiento, decrecimiento, máximosy mínimos: y 0 x3 8 0 x3 8 x Dominio( , 0)038 20 .(2, )2(0,2)fcrecienteNo defdecrecientef' No def-creciente0 Tiene un mínimo en el punto: (2, 0)f)Concavidad, convexidad, puntos de in exión:00y 24x46 0, no tiene puntos de in exión.Dominio( , 0)0(0,2)fcrecienteNo defdecrecientef' No def-f No defcóncavag)20cóncavaGrá ca:7(2, )creciente x3 8x3
7.f (x) x2 a)b)2xDominio: R {0}Puntos de corte con los ejes:1) x 0 no de nida (02) y 0c)d)2 x 2x6 0 Dom f )x3 2x 0 x 3 3 2, 2, 0 Simetrías: f ( x) 6 f (x) f no tiene.Asíntotasx3 2 xx 0 1) Asíntotas verticales: x 03x 2 limx x 0x3 22) Asíntotas Horizontales: lim no tienex x3f (x)3) Asíntotas oblicuas: m lim lim x x 2 2x x x lim notienee)Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y 2x2 32x 2x2 0 2x3 2 0 x3 1 x 31 1 2x .Dominio( , 0)0(0,1)1(1, )fdecrecienteNo defdecrecientemincrecientef' No def-0 f)Tiene un mínimo en el punto: (1, 3)g)Concavidad, convexidad, puntos de in exión:00y 2 4x3Dominio2x3 4x3 0 2x3 4 0 x 33( , 2) 2 ( 3 2, 0) 3 20(0,1)1(1, )fdecrecienteNo defdecrecientemincrecientef' No def-0 f Cóncavah)0Punto de in exión en ( 30-No def in exconvexaNo defCóncava 2,80)
8.f (x) a)b)c)x3x2 1Dominio: R { 1}Puntos de corte con los ejes: (0,0)( x)xSimetrías: f ( x) ( x) 1 x 13322 f (x) f es impar y porlo tanto es simétrica respecto al origen de coordenadas.d)Asíntotas1) Asíntotas verticales: x 1 y x 12) Asíntotas Horizontales: No tiene3) Asíntotas oblicuas: y xe)Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos: y x2 3 00 x2Dominio ( , 3)f%f' f)3, 3 ( 03,-1)-1(-1,0)& &- - 3 33Dom ( , 3)f%f' f x4 3x2(x2 1)2 3 (0,1)1& &- -0 3, 33 3(1,3) 3 ( 3, )%0 y un mínimo en00 2x3 6x(x2 1)3 x 0x 3 R/ ( 03,-1)-1(-1,0)& &- -- convexa Grá ca:900conc0 (0,1)1& &- -inTiene un punto de in exión en el punto: (0 , 0)g)0Concavidad, convexidad, puntos de in exión: y0 x(2x2 6) 0 x 0x 31) Tiene un máximo en el punto: 0(1,3) 3%0 conve ( 3, )conca
9.f (x) x2 1a)Dominio:b)Puntos de corte con los ejes:c)( , 1] [1, )f ( x) Simetrías:q( 1 , 0) , (1 , 0) 2( x) 1 x2 1 f (x),es simétricarespecto del eje OY.d)Asíntotas1) Asíntotas verticales: No tiene2) Asíntotas horizontales: No tiene3) Asíntotas oblicuas: y mx ne) m limx x2 1limxx 1)limx x2 1x 1, n limx x x2 1 x 0 y xm x2 1 x q 2 x x 1 1 , n 2lim limx x2 1 x 0 y xf)Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos:0y xx2 1 0 x 0 / Dom f .g)Dom f h)En el intervalo( , 1) (1, )0( , 1) f (x) 0 0f es decrecientei)En el intervaloj)Concavidad, convexidad, puntos de in exión:f (x) Dom f segunda es negativa en(1 , ) f (x) 0 ( , 1) (1, ), la derivada es siempre convexatodo su dominiok)f es crecienteGrá ca:1000 1(x2 1)36 0,
10.f (x) 1 x2a)Dominio:b)Puntos de corte con los ejes:c)[ 1, 1]Simetrías:f ( x) q( 1 , 0) , (1 , 0) 21 ( x) 1 x2 f (x),es simétricarespecto del eje OY.d)Asíntotas1) Asíntotas verticales: No tiene2) Asíntotas horizontales: No tiene ya que el dominio de f [ 1, 1]3) Asíntotas oblicuas: No tienee)Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos:0.0y x1 x2 x Dom f ( 1, 1)En el intervaloEn el intervalo0( 1, 0) f (x) 0 f es creciente0(0 , 1) f (x) 0 f es decrecienteTiene un máximo en el punto: (0, 1)f)Concavidad, convexidad, puntos de in exión:00f (x) 1(1 x2 )36 0,Dom f ( 1, 1), la derivada segunda es negativa en todo su dominio g)es siempre convexa.Grá ca:11
MATEMATICAS (MAT I) 1 º Bachillerato GRÁFICAS DE FUNCIONES Departamento de Matemáticas Ies Dionisio Aguado. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Dominio de de nición : D Dom f(x) {x 2R / existe f(x)} 2. Simetrías . Dominio: R, es continua y derivable en R b ) Puntos de corte con los ejes 1)x 0 )y 0, (0,0) a 0y 0 )x3 26x2 .
