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PresentaciónEn la actualidad, la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la admi nistración, la economía y en las políticas públicas, así como en diversas ramas en donde se empleacomo la auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria,equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, cualquier inversión que signifique unproceso en el cual debe de realizarse una evaluación del proyecto. Pero no solo en estas áreas sofisticadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarlapara analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitantener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda personaque tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.El libro Matemáticas Financieras Serie Patria responde a los programas de bachillerato y licenciatura.Su estructura motiva al estudiante a ser el protagonista en la construcción de su aprendizaje, basado enel enfoque educativo por competencias en el ámbito constructivista, esto con el objetivo de potencializar el saber qué hacer en la vida académica y profesional; lo anterior lleva al estudiante al aprendizajesignificativo.El libro presenta los conceptos con un lenguaje sencillo y ameno. Contiene de tres a cinco ejerciciosresueltos (paso a paso) del ámbito nacional en cada subtema, inicia con los sencillos y aumenta su complejidad, con la idea que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver losproblemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera que se le llegue a presentar en la vida académica o profesional con éxito. Al inicio de cada unidad se plantean los objetivos y la sección ¿Qué sabes?, en ella se exponen una serie de preguntas y problemas que permiten al estudiante recordar susconocimientos previos o despertar la inquietud de conocer más del tema. También contiene pequeñoscuadros de alerta como son: el histórico, que contiene breves biografías de personajes vinculados conla matemática o pasajes de la misma; para pensar, que encierra los pasos que se realizan mentalmente;de definiciones, para resaltar definiciones importantes, teoremas y conceptos; de advertencia, paraindicar las operaciones y pasos que no deben realizarse. En las ocho unidades que conforman el librose da una breve información teórica del subtema a estudiar y se plantean de dos a cuatro problemasresueltos paso a paso. Al final de cada unidad se cuenta con un formulario, un glosario, los problemasa resolver y la sección de problemas reto.El contenido del texto está estructurado en ocho unidades.Unidad 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes. En nuestro país, la realidad comercial y, sobre todo, la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a lasociedad. Dos de estos avances lo representan las calculadoras modernas y las computadoras.El manejo de estas y sus programas de cálculo permiten a los alumnos, profesores y analistasde datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera y logra al mismo tiempo unmáximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón noshemos preocupado por incluir en esta unidad la forma de resolver las operaciones aritméticasbásicas, exponentes, radicales, logaritmos, proporciones, regla de tres y porcentajes, utilizandoestas herramientas indispensables en el aprendizaje de las matemáticas financieras.Unidad 2 Series y sucesiones. Inicia con las sucesiones o progresiones aritméticas, al explicarla forma de encontrar el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión. DespuésVII

UNIDAD1Contenidose estudian las progresiones geométricas, se indica la forma de encontrar el n-ésimo término,número de términos y la suma total de términos en una serie.Unidad 3 Interés simple. Comienza con la explicación del concepto de interés simple, la tasa deinterés y la forma de calcularlos. Se continúa con el interés simple o real, el ordinario o comercial,el monto, el valor presente o actual y el tiempo (plazo). También se incluye el descuento simpley se estudian los siguientes casos: el valor descontado o ganancia, tasa de rendimiento, valor devencimiento, relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento, plazo y el pagaré. Porúltimo, se ven las ecuaciones de valor equivalentes o de valor, la diferencia entre interés ordinarioy exacto, ecuaciones de valor, descuento bancario y descuento comercial.Unidad 4 Interés compuesto. Empieza con la forma de calcular el monto compuesto, la comparación del interés simple con el compuesto, el valor actual o presente y el tiempo. Despuésse estudia el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y nominales. También se ve la aproximación a la tasa de interés y la ecuación de valor y de tiempoequivalente.Unidad 5 Anualidades. En esta se muestra el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazoy la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas y diferidas. Además, se incluye elestudio de la anualidad general y anualidades perpetuas.Unidad 6 Amortización. Se inicia con la amortización gradual y tasa negativa. Se presentancasos sobre cómo es la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de uncrédito y fondos de amortización. Se continúa con la depreciación y se explica en qué activosse aplica y en cuáles no. Después, se explica la forma de utilizar los diferentes métodos como lalínea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondode amortización. Tanto para la amortización como para la depreciación se enseña cómo utilizarExcel para elaborar cuadros de amortización y depreciación.Unidad 7 Análisis de proyectos de inversión. En esta unidad se muestra la metodología empleada en el ámbito financiero para realizar un proyecto de inversión, como es el caso del análisisde flujo de efectivo de un proyecto y su variabilidad, al emplear los conocimientos adquiridosen las unidades anteriores. Se estudia la forma de calcular el valor presente en la metodologíadenominada Valor Actual Neto (VAN) y el costo de capital (TIR) para calcular el valor presente deun proyecto de inversión.Unidad 8 Bonos y obligaciones. Se estudia lo referente a bonos y obligaciones como principales mecanismos de financiamiento para proyectos de inversión pública y privada. También aconocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro, las relativas abonos de cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.Es importante mencionar que los resultados de los problemas resueltos pueden variar un poco debidoa los que se obtengan. Esto se debe a la forma en que esté programada la calculadora con respecto ala fracción decimal o el número de fracciones decimales que utilice.Se espera que con Matemáticas Financieras Serie Patria, nuestros lectores puedan resolver los problemas financieros que se les presenten.Los autoresVIII

Grupo Editorial Patria ContenidoUNIDAD 1  Exponentes, logaritmosy porcentajes11.1 Exponentes21.2 Exponentes enteros31.3 Exponente negativo41.4 Radicales51.5  Suma de radicales semejantes71.6  Suma y resta de radicales del mismo índicecon subradical diferente71.7 Multiplicación de radicales del mismo índice71.8 División de radicales del mismo índice81.9 Redondeo91.10  Notación científica91.11  Propiedades de los logaritmos base 10101.12  Únicos números cuyos logaritmos son enteros111.13  Propiedades de los logaritmos131.14  Antilogaritmo141.15  Logaritmos naturales151.16 Tanto por ciento16Problemas para resolverProblemas reto2326UNIDAD 2  Series y sucesiones272.1 Introducción282.2 Sucesiones o progresión aritmética282.3 Progresiones aritméticas30IX

Contenido2.4 Progresiones geométricas332.5 Aplicaciones38Problemas para resolverProblemas reto4243UNIDAD 3  Interés simple453.1 Introducción463.2 Cálculo del monto533.3 Valor presente o actual553.4 Cálculo del tiempo o plazo573.5 Descuento simple593.6 Valor descontado o ganancia603.7  Tasa de rendimiento623.8 Valor de vencimiento633.9 Tasa de descuento643.10  Relación entre la tasa de descuentoy la tasa de rendimiento653.11 Plazo673.12 Pagaré683.13 Aplicaciones713.14 Inversión en cetes723.15 Inversión en udis733.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor75Problemas para resolverProblemas reto8084UNIDAD 4  Interés compuesto 854.1 Introducción864.2 Monto864.3  Comparación del interés simplecon el interés compuesto934.4 Valor actual o presente954.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales1004.6 Ecuación de valor1054.7 Tiempo equivalente110

Grupo Editorial Patria 4.8 Inflación113Problemas para resolverProblemas reto120122UNIDAD 5  Anualidades1235.1 Introducción1245.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua1255.3 Anualidades vencidas1255.4 Anualidades anticipadas1385.5 Anualidades diferidas1475.6 Anualidades generales1665.7 Anualidades generales anticipadas1765.8 Anualidad general diferida1775.9 Anualidad general variable1785.10 Anualidades perpetuas183Problemas para resolverProblemas reto191194UNIDAD 6  Amortización y depreciación1956.1 Introducción1966.2 Inflación2096.3 Unidades de inversión (udi)2126.4 Fondos de amortización2136.5 Depreciación2166.6 Depreciación e inflación2266.7 Método de la suma de dígitos o enteros2296.8 Método de unidades de producción o servicio2316.9 Método del fondo de amortización234Problemas para resolverProblemas reto241244XI

ContenidoUNIDAD 7  Análisis de proyectos de inversión7.1 Introducción2467.2 Metodologías de evaluación de inversiones2477.3 Método del valor actual neto (van)2487.4  Método de la tasa interna de rendimiento (tir)o costo de capital2527.5 Análisis de inversiones con van y tir255Problemas para resolverProblemas reto262263UNIDAD 8  Bonos y obligacionesXII2452658.1 Introducción2668.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero2678.3  Bonos con cupón, rendimiento actualy rendimiento al vencimiento268Problemas para resolverProblemas reto275276Referencias bibliográficas276Bibliografía final277

UNIDAD1Exponentes, logaritmosy porcentajesOBJETIVOSIdentificar y manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativosy fraccionarios.Aprender a dividir, multiplicar y reducir expresiones con radicales.Convertir expresiones con radicales a exponentes fraccionarios.Conocer y comprender el sistema de logaritmos y sus propiedades.Aprender a encontrar el logaritmo de base a, base 10 y base e.Aprender a encontrar el antilogaritmo de base 10.Realizar el cálculo e interpretación de los porcentajes.Aprender a utilizar la calculadora y hoja de cálculo Excel, con exponentes radicales ylogaritmos.Comprender la trascendencia de los temas estudiados y su importancia en la aplicaciónen matemáticas financieras.¿QUÉ SABES?Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problemaEncontrar el resultado de las operaciones aritméticas 9 6 4 - 5 48/8 El producto de las potencias (x 3)(x 6) es igual a: .Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: [(2)(6)]3

UNIDAD1Exponentes, logaritmos y porcentajes 1 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 3 3 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 3 8 9 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 5 7 8 7 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 2 3 11 (3 3 48 ) Completar el cuadroLogaritmoCaracterísticaMantisaLog 0.47713Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: log 3 999 Andrea compró un refrigerador en 5 400.00; ella dio 20% de enganche delprecio del refrigerador. ¿Cuánto pagó de enganche (en pesos)?1.1 ExponentesLa potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y alresultado de la operación se le llama potencia.Si x R y n N entonces:ÏÔÌÔÓxn (x)(x) (n) n-ésima potencia de xn factoresn entero positivo es el exponentex es la base La primera potencia de una expresión es:La segunda potencia de una expresión es:La tercera potencia de una expresión es:x1 xx2 (x)(x)x3 (x)(x)(x)Problema resuelto1. a) 25 2 2 2 2 2 32c) (x 1)2 (x 1)(x 1)b) 123 12 12 12 1 728d ) (x a)n (x a)(x a) , n 1, 2, 3 Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias operaciones,con números y símbolos, ejemplo: 4x2, 7x 4a, 6 x 8 x 5En la calculadora la tecla para encontrar la potencia de una expresión es la siguiente:yx o    Encontrar la elevación a potencia.Problema resuelto2.2ProblemaOperacióna)(23) 82b)(4 ) 644 3Teclas en la calculadorayx 33Resultado en pantalla 8 64

Grupo Editorial Patria Problema resuelto3. Con la hoja de cálculo Excela) Con la función POTENCIA(número, potencia)b) Con el acento circunflejo número[alt gr] [ ] potencia1.2 Exponentes enteros 1.2.1 Producto de potencias de igual base(an)(am) an mProblema resuelto4. a) (32)(34) 36 729c) (a2)(a6) a4 6 a10b) (12 )(12 ) 12 248 83232d ) (x a)2(x a)3 (x a)55Problema resuelto5.ProblemaOperacióna)(22)(24) 22 4 26 64b)(4 )(4 ) 64 16 1 02432Teclas en la calculadora2yx2 2Resultado en pantallayx 4 3 4 (2 4) 641 024 1.2.2 Elevar una potencia a otra potencia(an)m a(n)(m)Problema resuelto6. a) (42)3 42 · 3 46 4 096d ) (22)6 22 · 6 212 4 096b) (8 ) 8 8 16 777 216e) ((x m)3)5 (x m)3 · 5 (x m)15c) (4 ) 4 4 4 096f  ) (25)4 2(5)(4) 220 1 048 5762 42 32·4(2)(3)863

UNIDAD1Exponentes, logaritmos y porcentajes 1.2.3 Producto elevado a una potencia nEl producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:[(a)(b)]n (a)n(b)nProblema resuelto7. a) [(2)(3)]2 (22)(32) 4 9 36b) [(4)(3)]3 (43)(33) 64 27 1 728c) [(8)(5)]4 (84)(54) 4 096 625 2 560 000d ) [(x 1)(x a)]2 (x 1)2(x a)2e) [(2)(5)]2 (22)(52) (4)(25) 100f  ) [(3)(2)]3 (33)(23) (27)(8) 216 1.2.4 Elevar un cociente a una potencia nEl producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión: a bn anbnsi b 0;Problema resuelto 2 8. a) 3 2 4 b) 7 3 22324337 49 8 d ) 74 5 e) 6 2643432 84745262 4 0962 40125363 6 2 36 6 c) 0 .73469388 7 72 49 33 3 27f  ) 0 .078717 7 73 3431.3 Exponente negativoSe encuentra al dividir dos potencias de igual base, con un exponente menor en el numerador y mayoren el denominador.a2a3 a 2 3 a 1Se conoce a 1/a como el inverso multiplicativo de a, cuando a 0.a 1 1aProblema resuelto9. a) ax 1 4axb) m 2 ( xy ) 1 m2xy

Grupo Editorial Patria e) a 2 4 3 c) 4-3 0.015625 1 2 d ) 3 2 132 1 0.1119a243 9 f  ) 1 1 2a264 9119 2911 51210.0019535121.4 Radicales 1.4.1 Exponentes fraccionariosEl exponente fraccionario se obtiene de extraer una raíz a una potencia.a1 n nes el índice de la raízacantidad subradical o radicandona ; con a R y n 0símbolo del radicalProblema resuelto10. a) x 3 4 4x3c) ( x a )2 5 b) am1 3 a 3 mxyo x1/y o d ) 81 2 25( x a )28teclas para encontrar raíces con índice igual a dos o superior a dos.Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo y debe satisfacer:na c cn aSi c n a y n es un entero positivo, entonces c es la raíz n-ésima de a.Problema resuelto11. a) (-3)2 9,entonces: la raíz cuadrada de 9 es 3 y -3,29 3b) (-2)3 -8,entonces: la raíz cúbica de -8 es solamente -2,3 8 2na Si n es par y a positiva entonces: la raíz es positiva y negativa Si n es impar y a negativa entonces: la raíz es solamente negativaSi m y n son enteros, la base a diferente de cero y la potencia fraccionaria es m/n, se puede expresarcomo radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m el exponente del subradical.am n nam5

UNIDAD1Exponentes, logaritmos y porcentajesProblema resuelto312. a)c) 3 3 6 2 3 3 3685 85 3 32 1 109 ( 10 .44 ) 5 .22 2 21b)d)3 3 ( 361 3 ) ( 3.30 )( 3 ) 9.9 27 ( 27 )1 3 3Problema resuelto13.Operacióna)4b)16 2Teclas en la calculadora16 21/4n41 4 Resultado en pantalla216 xCMin16 yxRM 2Para otro tipo de calculadorac)d)464 2 .82827 31/34 SHIFT(1 3 ) Minx2.82864 C27 RM ) 3Con la hoja de cálculo ExcelProblema resueltoa) Con la función RAIZ(número), solo se obtiene la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo,la expre sión29 3 , en Excel con la función RAIZ(9)b) Con el acento circunflejo número[alt gr ] [ ˆ ] potencia. Por ejemplo, la expresiónExcel 27 ˆ (1/3)Problema resueltoProblemas en Excel6327 3 , en

Grupo Editorial Patria 1.5 Suma de radicales semejantesEn los radicales semejantes se deben sumar algebraicamente los coeficientes, y la suma de estos es elcoeficiente del radical común.Problema resueltoc)3 9 4 9 (3 4) 9 7( 3 ) 21.0d)5 6 3 6 2 6 (5 3 2) 614. a) 2 5 4 5 ( 2 4 ) 5 2 5 4 .472b) 2 7 3 7 ( 2 3 ) 7 4 6 4 2.4494 9.80 5 7 5 2 .645 13 .2281.6  Suma y resta de radicales del mismo índicecon subradical diferenteProblema resuelto15. a) 2 5 3 9 2 ( 2 .236 ) 3 ( 3 ) 4 .472 9 4 .528d ) 5 64 2 10 5 ( 8 ) 2 ( 3 .162 ) 40 6 .324 46 .324b) 4 16 3 7 4 ( 4 ) 3 ( 2 .64 ) 16 7 .937 23 .937e) 3 21 7 6 4 6 3 ( 4 .58 ) ( 7 4 ) 6c) 5 25 4 11 5 ( 5 ) 4 ( 3 .3166 ) 25 13 .26 38 .266f  ) 6 26 3 6 2 6 6 ( 5 .099 ) ( 3 2 ) 6 13 .748 3 6 6 .399 30 .59 6 28 .1451.7 Multiplicación de radicales del mismo índiceEn la multiplicación de radicales del mismo índice se deben multiplicar los radicales, y el resultado deesta operación es el nuevo subradical, siendo el índice el mismo en el nuevo radical.n)a (n b n( a )( b )Problema resuelto16. a)5 ( 9) b)3 ( 27 ) 5 9 45 6 .73 27 81 93 5 ( 4 12 ) 3 ( 2 .236 ) [ 4 ( 3 .464 )] ( 6 .708 )( 13 .8564 ) 92 .99 52c)d)3)64 ( 3 10 4 ( 2 .15 ) 8 .6177

UNIDAD1Exponentes, logaritmos y porcentajes2 3 81 ( 3 27 ) 2 ( 4 .32 3 ) 2 ( 12 .96 ) 25 .96e))f  ) 5 25 ( 3 18 2 5 ( 5 ) [3 ( 4 .24264 )] 2 ( 25 )( 12 .72792 ) 2 3 18 .198 2 320 .1981.8 División de radicales del mismo índiceEn la división de radicales del mismo índice se obtiene un radical con el mismo índice y el cociente deambos radicales.nnab nabProblema resuelto1217. a)512 d)5 3843112 .4 1 .5499b)25 e)593540.36 0.6c)3381273 3 384117 .636 5 593423 .25 1 .87681 3 1 .969925 f  )273 1.44444811 4 448114 .36364 1 .445Problema resueltoResuelve las ecuaciones exponenciales i 18. a) 1 12 1212 i 1 12 1 i12i12 0 .125 1 6 61212 12( 1 0 .020833 )61 .13169 ( 1 .13169 )1 12 1i 12 ( 1 .13169 )0.0833 1 i 12 ( 0 .01036 )i 0 .1243 686 0 .22 b) e 1 16 e ( 1 .03667 )6 1e 1 .2412 1e 0 .2 4 12

Grupo Editorial Patria i c) 1 12 1212 i 1 12 1 i12 0 .116 1 4 41212 12( 1 0 .029 )41 .1211443i ( 1 .1211443 )1 12 112i 12 ( 1 .1211443 )0.0833 1 i 12 ( 0 .009574 )i 0 .1 1491.9 RedondeoRedondeo de una cantidad hacia arriba a cuatro cifras.Problema 689.712c)0.79887450.7989Redondeo hacia abajo a cuatro cifras de las siguientes cantidades:Problema 63970.1246c)3.41618533.4161.10 Notación científicaCuando se trabaja con números muy grandes o pequeños utilizamos la notación científica. El puntodecimal se mueve a la derecha cuando el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo, el exponente indica el número de lugares que se tiene que mover el punto decimal.EXP o EE tecla para escribir la notación científica en la calculadoraProblema resuelto21.a)12 10-2 0.12b)1.578E - 1 0.15781.578 EXP-1 0.1578c)0. 9510E 2 95.10.9510 EXP 2 95.112EXP- 20.129

UNIDAD1Exponentes, logaritmos y porcentajesForma de representar una cantidad en notación científica hacia arriba.Problema resuelto22.NúmeroNotación científicaCon calculadora EXPa)679.196.7919 106.7919 1002b)48.564.856 1014.856 1001c)5.315.31 10d)258 9162.58916 10525.3102.58916 1005Forma de representar una cantidad en notación científica hacia abajo.Problema resuelto23.NúmeroNotación científicaCon calculadora EXP0.34713.471 10-13.471 10-01b)0.0126-21.26 101.26 10-02c)0.008798.79 10-38.79 10-03d)0.0002978-42.978 102.978 10-04e)793.247.9324 1027.9324 1002a)El logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro número llamado base paraobtener un tercer número.Problema resueltoEjemplos:24. a) 90 1c) 92 81b) 9 9d ) 9 729 etcétera1e) 94 6 5613La base es un número positivo y este es la base de un sistema de logaritmos.Sistemadelogaritmos * * * Logaritmos vulgares o Briggs la base es 10( log10 x log x )Logaritmos naturales o neperianos la base es:e 2.71828182845 loge x ln xSe puede tomar como base para un sistema de logaritmos cualquier número positivo.1.11 Propiedades de los logaritmos base 10 1.11.1 ProgresionesProblema resuelto1025 a) 100 1c) 102 100b) 101 10d ) 10 1 1101e) 10 2 0 .1f  ) 10 3 110 2110 3 0 .01 0 .001

Grupo Editorial Patria 1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enterosProblema resuelto26. a) log 1 0c) log 100 2e) log 0.01 -2b) log 10 1d ) log 0.1 -1f  ) log 0.001 -3El logaritmo de los números entre 1 y 10, su logaritmo se encuentra entre 0 y 1.Problema resuelto27. a) log 1 0c) log 3 0.4771e) log 9 0.9542b) log 2 0.3010d ) log 8 0.9031f  ) log 10 1El logaritmo de los números entre 100 y 1 000, su logaritmo

rencias, en semanas de matemáticas y en maratones de matemáticas financieras y estadística. También ha otorgado diversas entrevistas radiofónicas en Radio Educación, Radio UAEM y MVS-Noticias. Es fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Admi-nistración (UNAM) de noviembre de 1999 a junio .