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Calculo DiferencialFETD-UCSGFunciones y ModelosMSc. Orlando Philco A.

Funciones y dominiosUna función real f de una variable es una regla que asigna a cada númeroreal x en un conjunto especificado de números reales llamadoel dominio de f, un número real único f(x).La variable x se llama la variable independiente. Si y f(x) llamamosa y la variable dependiente.Una función puede ser especificado: numéricamente: por medio de una tabla algebraicamente: por medio de una formula gráficamente: por medio de una gráfica.Nota acerca de los dominiosEl dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuandono se especifica algún dominio para una función f, supondremos que eldominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tienesentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominionatural.

EjemplosFunción especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla:x0123f(x)3.01-1.032.220.01Entonces, f(0) 3.01, f(1) -1.03, y así sucesivamente.Función especificado algebraicamente: Sea f la función especificada por f(x) 3x2 -4x 1. Entoncesf(2) 3(2)2 - 4(2) 1 12 - 8 1 5,f(-1) 3(-1)2 - 4(-1) 1 3 4 1 8.Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales.Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguientegráfica.Entonces, f(0) 1, f(1) 0, y f(3) 5.

IntervalosEl intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a x b.El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a x b.El intervalo (a, ) es el conjunto de todos números reales x tal que a x , y (- , b) es elconjunto de todos números reales x tal que - x b.Tenemos también intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b].IntervaloDibujoDescripción[-1, 6)-1 x 6(2, 4)2 x 4(- , 0]- x 0Gráfica de una funciónLa gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, tal querestringimos los valores de x al estar en el dominio de f.

Funciones linealesUna función lineal es una función de la formadonde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).Papel de m: Si y mx b, entonces:(a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.(b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy mΔx unidades en y.(c) Despejando a m, se obtienePapel de b: Cuando x 0, y b (forma de ecuación), o f(0) b (forma de función)La función f(x) 5x - 1es una función lineal donde m 5 y b -1.Las siguientes ecuaciones se puede solucionarpara y como funciones lineales de x.3x - y 4 0y 3x 44y 0y 03x 4y 5y -(3/4)x 5/4

RectasLa gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) y(x2, y2) es se expresa por la formulaLa gráfica de la función lineales una recta con pendiente m y intersección en y igual a b.

Funciones CuadráticasUna función cuadrática es una funciónen la formaf(x) ax2 bx c (con a 0).Su gráfica se llama una parábola.El vértice de este parábola se ocurre alpunto de la gráfica con coordenada x dadopor -b/(2a).Cruza el eje y (intersección en y) a y c.Cruza el eje x (intersección(es) en x) a lassoluciones de la ecuacióncuadrática x2 bx c 0 (si haycualesquiera soluciones).Es simétrica respecto a la recta verticalpor el vértice.Si es positivo el coeficiente (a) de x2,es cóncava hacia arriba (como en elejemplo hacia la derecha). Si es negativoel coeficiente a, es cóncava haciaabajo (como en la figura debajo).

MODELOS MATEMÁTICOS.Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términosmatemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelomatemático de la situación.Los ejemplos 1 y 2 sonmodelosanalíticos,obtenidos por analizarla situación que estásiendomodelada,mientras que el ejemplo3 es un modelo ajustede curva, obtenido porhallarunaformulamatemáticaqueaproxima los datosobservados.

Modelos costo, ingreso y utilidadUna función costo especifica el costo C como una función de la cantidad deartículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la formaCosto Costo variable Costo fijoen la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Unafunción costo de la forma C(x) mx bSi el costo a fabricar x refrigeradoras esC(x) 2x2 150x 6000 dólares, entonces el costo variable es 2x2 150x y elcosto fijo es 6000.se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. Lapendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículoUna función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de xartículosSi se vende las refrigeradoras para 500 cada una, entonces el ingreso esI(x) 500x dólares

Una función utilidad U especificala utilidad (ingreso neto) I(x) queresulta de la venta de x artículos.Las funciones costo, ingreso yutilidad se relacionan con laformulaU(x) I(x) - C(x).Equilibrio se ocurre cuandoP(x) 0o, equivalentemente, cuandoI(x) C(x).Equilibrio ocurre cuandoP(x) 2x2 350x 6000 0. Despejar a x porla formula cuadrática se da dos soluciones: x 19.26 y 155.74. Cuando x está entre estos dosvalores, U(x) es positiva, que significa unautilidad. Por lo tanto, se debe fabricar y venderal menos 20 refrigeradoras (pero no más que155) para realizar una utilidad.

Ejercicios

El costo diario de una compañía por imprimir x novelas de ciencia ficción en formatorústica esC(x) 3.50x 1200 dólares.Note que C es medido en dólares, y x es medido en libros (novelas de ciencia ficción enrústica, más precisamente).El costo marginal es m 3.5, y el costo fijo es b 1200.C(0) 3.50(0) 1200 1200C(100) 3.50(100) 1200 1550C(101) 3.50(101) 1200 1553.5m 3.5.aumentar x por 1 libro aumenta el costo por m 3.5.parte no constante, 3.5x de la función costo.

Función de ingreso El ingreso que resulta de una o más transaccionescomerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) esel ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la funciónlineal I(x) mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.Ejemplo Suponga que la casa editorial vende libros de ciencia ficción rústicos a undistribuidor para 6.50 por libro. EntoncesI(x) 6.50x dólares.El ingreso marginal es m 6.50 por libro.

Si regresamos al ejemplo de las novelas de ciencia ficción, ya tenemos lasfunciones costo y ingreso:C(x) 3.50x 1200 dólares.Costo diario de imprimir x librosI(x) 6.50x dólares.Ingresos por la venta de x librosLa utilidad marginal es el coeficiente de x en lafunción utilidad.: 3.00/artículo.Por lo tanto, debería vender ? libros por día para salir tablas, y más para obtener unautilidad de ? por libro adicional. ( ? es la utilidad marginal.)

A veces, es más conveniente expresar modelos en forma ecuación:

Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indicaque un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habráradio transistores x horas después.ensamblado¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máximaeficacia?Cantidad de radios producida por hora t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidadesnegativas.Ahora comprobaremos que es la máxima productividad

Un fabricante ha estado vendiendo lámparas a 6 dólares cada una y, a este precio,los consumidores han estado comprando 6,000 lámparas por mes. El fabricantedesearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio sevenderán 1,000 lámparas menos cada mes. El fabricante puede producir laslámparas a un costo de 4 dólares por lámpara. ¿A qué precio debería vender elfabricante las lámparas para generar al mayor beneficio posible?Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para podercalcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lodichoEntonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer esreducir el precio en 0.002 hasta 5.998

Un cultivador de naranjas estima que si se plantan 60 naranjos, la producciónmedia por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árbolesdebería plantar el cultivador para maximizar la producción total?Para maximizar PT

Oferta y demandaLas funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p) 4p 200 yD(p) -3p 480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y elcorrespondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje lascurvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.En punto de equilibrio: S(p) D(p)

La demanda de consumo para un cierto artículo es D(p) -200p 12.000 unidades pormes cuando el precio de mercado es de p dólares por unidad.a) Dibuje esta función de demanda.b) Exprese el gasto total mensual de los consumidores para el artículo como una funciónde p. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado por los consumidorescada mes en el artículo.)GT p (-200p 12000)GT - 200p2 12000pc) Dibuje la función gasto total mensual.e) Use el gráfico de la parte c) para estimar elprecio de mercado que genera el mayor gastode consumo.Para determinar con que precio se obtendrá elmayor gasto tendremos que derivar el gasto

CostosSuponga que el coste total (en dólares) de fabricación de q unidades viene dadopor la función C (q) 3q2 q 48.a. Exprese el coste medio de fabricación por unidad como una función de q.Cme b. ¿Para qué valor de q es menor el coste medio?c ¿Para qué valor de q es igual el coste medio al coste marginal? Compare este valorcon su respuesta de la parte b).Primero hallamos el costo marginalAhora igualamos el Cme y el Cmg

Se puede deducir que el valor obtenido es del mismo valor que en lapregunta b), con lo cual se puede deducir que el punto en el que se intercepta elcosto marginal con el costo medio es justo cuando el costo medio esta en sumínimo. En el mismo conjunto de ejes represente las funciones de coste total, costemarginal y coste medio

Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 metroscúbicos. El material para el suelo y la tapa de la caja cuesta 2 dólares pormetro cuadrado y el material para los lados cuesta un dólar por metrocuadrado. ¿Puede construirse la caja por menos de 300 dólares?

Funciones lineales Una función lineal es una función de la forma donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales). Papel de m: Si y mx b, entonces: (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad. (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy mΔx unidades en y.(c) Despejando a m, se obtiene Papel de b: Cuando x 0, y b (forma .