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Guia mangá deCálculodiferencial e integralHiroyuki KojimaShin TogamiBecom Co., Ltd.novatec
Original Japanese-language edition Manga de Wakaru Bibun Sekibun ISBN 4-274-06632-0 2005 by Hiroyuki Kojimaand Becom Co., Ltd., published by Ohmsha, Ltd.English-language edition The Manga Guide to Calculus ISBN 978-1-59327-194-7 2009 by Hiroyuki Kojima andBecom Co., Ltd., co-published by No Starch Press, Inc. and Ohmsha, Ltd.Portuguese-language rights arranged with Ohmsha, Ltd. and No Starch Press, Inc. for Guia Mangá de Cálculo Diferencial eIntegral ISBN 978-85-7522-208-9 2009 by Hiroyuki Kojima and Becom Co., Ltd., published by Novatec Editora Ltda.Edição original em japonês Manga de Wakaru Bibun Sekibun ISBN 4-274-06632-0 2005 por Hiroyuki Kojima eBecom Co., Ltd., publicado pela Ohmsha, Ltd.Edição em inglês The Manga Guide to Calculus ISBN 978-1-59327-194-7 2009 por Hiroyuki Kojima e Becom Co.,Ltd., copublicação da No Starch Press, Inc. e Ohmsha, Ltd.Direitos para a edição em português acordados com a Ohmsha, Ltd. e No Starch Press, Inc. para Guia Mangá de CálculoDiferencial e Integral ISBN 978-85-7522-208-9 2009 por Hiroyuki Kojima e Becom Co., Ltd., publicado pela NovatecEditora Ltda.Copyright 2010 da Novatec Editora Ltda.Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998.É proibida a reprodução desta obra, mesmo parcial, por qualquer processo, sem prévia autorização, por escrito, do autore da Editora.Editor: Rubens PratesIlustração: Shin TogamiTradução: Edgard B. DamianiRevisão técnica: Peter Jandl Jr.Editoração eletrônica: Camila Kuwabata e Carolina KuwabataISBN: 978-85-7522-208-9Histórico de Segunda reimpressãoPrimeira reimpressãoPrimeira ediçãoNOVATEC EDITORA LTDA.Rua Luís Antônio dos Santos 11002460-000 – São Paulo, SP – BrasilTel.: 55 11 2959-6529Fax: 55 11 2950-8869E-mail: novatec@novatec.com.brSite: www.novatec.com.brTwitter: twitter.com/novateceditoraFacebook: facebook.com/novatecLinkedIn: linkedin.com/in/novatecDadosInternacionais de Catalogação na Publicação(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)Kojima, HiroyukiGuia mangá de cálculo : diferencial e integral /Hiroyuki Kojima, Shin Togami, Becom Co ;[ilutrações] Shin Togami ; [tradução Edgard B.Damiani]. -- São Paulo : Novatec Editora ;Tokyo : Ohmsha ; São Francisco : No Starch Press,2010. -- (The manga guide)Título original: The manga guide to calculus.ISBN 978-85-7522-208-91. Cálculo 2. Cálculo - Problemas, exercíciosetc. 3. Cálculo diferencial 4. Cálculo integral5. História em quadrinhos 6. Matemática - Históriaem quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co.III. Título. IV. Série.10-01418CDD-515Índices para catálogo sistemático:1. Cálculo : Matemática em quadrinhosPRL20120203515(CIP)
SumárioPREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiPrólogo:O QUE É UMA FUNÇÃO? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141VAMOS DERIVAR UMA FUNÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Aproximando com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calculando o Erro Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A Derivada em Ação! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Passo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Passo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Passo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calculando a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calculando a Derivada de uma Função Constante, Linear ou Quadrática . . . . . . . .Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162732343435394040412VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A Regra da Soma para Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Regra do Produto de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivando Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Encontrando os Pontos de Máximo E De Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Usando o Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Usando a Regra do Quociente de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calculando Derivadas de Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calculando Derivadas de Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4853626472747575763VAMOS INTEGRAR UMA FUNÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Ilustrando O Teorema Fundamental Do Cálculo . . . . . . . . .Passo 1 – Quando a Densidade é Constante . . . . . . . . .Passo 2 – Quando a Densidade Muda Gradualmente . .Passo 3 – Quando a Densidade Muda Continuamente .Passo 4 – Revisão da Função Linear Aproximada . . . . .Passo 5 – Aproximação Valor Exato . . . . . . . . . . . . . .Passo 6 – p(x) É a Derivada de q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . .82838485888990
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Uma Explicação Rigorosa do Passo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Usando Fórmulas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Aplicando o Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Curva de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Curva de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Revisão do Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Fórmula da Regra da Substituição para Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A regra da potência de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Usando Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Usando Integrais com Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Usando Funções Exponenciais e Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Generalizando as Funções Exponencial e Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Resumo das Funções Exponencial e Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mais Aplicações do Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1161251311351401421431445VAMOS APRENDER SOBRE EXPANSÕES DE TAYLOR! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Aproximando com Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Como Obter uma Expansão de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Expansão de Taylor de Várias Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O Que a Expansão de Taylor Nos Diz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1471551601611786VAMOS APRENDER SOBRE DERIVADAS PARCIAIS! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179O Que São Funções Multivariáveis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O Básico das Funções Lineares Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivação Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Definição da Derivação Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivadas Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Condições de Extremidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Aplicando a Derivação Parcial na Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .viii sumário180184191196197199202206218218
EPÍLOGO:PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219ASOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Prólogo . . .Capítulo 1 .Capítulo 2 .Capítulo 3 .Capítulo 4 .Capítulo 5 .Capítulo 6 .225225225226227228229BPRINCIPAIS FÓRMULAS, TEOREMAS E FUNÇÕES APRESENTADOS NESTE LIVRO . . 231Equações Lineares (Funções Lineares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivadas das Funções mais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Expansão de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231231232233234234Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235sumárioix
Prólogo:O QUE É UMA FUNÇÃO?
O ESCRITÓRIO DOASAGAKE TIMES EMSANDA-CHO DEVEESTAR POR AQUI.IMAGINE – EU,NORIKO HIKIMA, UMAJORNALISTA! MINHACARREIRA COMEÇAAQUI!É APENAS UMESCRITÓRIO LOCALDE UM JORNALPEQUENO, MASAINDA ASSIM SEREIUMA JORNALISTA!2PrólogoVOUTRABALHARPRA VALER!
O DISTRIBUIDOR DO ASAGAKETIMES EM SANDA-CHOESCRITÓRIOSANDA-CHO.SERÁQUE EU PEGUEI OMAPA ERRADO?UM DISTRIBUIDORDE JORNAL?FICA LOGOALI.VOCÊ ESTÁ PROCURANDOPELO ESCRITÓRIOLOCAL SANDA-CHO,certo? TODO MUNDONOS CONFUNDE COM OESCRITÓRIO PORQUESOMOS MAIORES.O QUE É UMA FUNÇÃO?3
O ESCRITÓRIO LOCAL EMSANDA-CHO DO ASAGAKE TIMESHUUUHHOH, NÃO!É UM GALPÃO!NÃO.NÃO SE IRRITE,NORIKO.4PrólogoÉ UM ESCRITÓRIOLOCAL, MAS AINDAÉ O VERDADEIROAsagake Times.
AQUI VAMOSNÓS!BOM DIA!NHENNzzzzzzZESTOU MOR---TA.N.ENTREGA DEALMOÇO?O QUE É UMA FUNÇÃO?5
PODE DEIXAR AÍ,POR FAVOR?ESPERE,O QUÊ?aH, VOCÊ FOIDESIGNADA PARATRABALHAR AQUI.EU SOUNORIKOHIKIMA.O GRANDÃO ALI ÉFUTOSHI MASUI, MEUÚNICO SOLDADO.VIAGEM LONGA,NÃO? EU SOUKAKERU SEKI,O CHEFE DESTEESCRITÓRIO.6PrólogoAPENASDOIS.
AQUI É UM ÓTIMOLUGAR. O AMBIENTEPERFEITO PARA SEPENSAR sobretudo.PENSAR.?SIM! PENSARSOBRE FATOS!UM FATO,DE ALGUMA FORMA,ESTÁ RELACIONADOA OUTRO FATO.A MENOS QUE VOCÊ ENTENDAESSES RELACIONAMENTOS,VOCÊ NÃO SERÁ UMAREPÓRTER DE VERDADE.JORNALISMO DEVERDADE!O QUE É UMA FUNÇÃO?7
BEM, VOCÊ SEESPECIALIZOU EMHUMANAS.SIM, ISSO MESMO!EU ESTUDO LITERATURADESDE QUE ERA UMACALOURA NO COLÉGIO.VOCÊ TEM MUITO ARELEMBRAR, ENTÃOVAMOS COMEÇARCOM FUNÇÕES.QUANDO UMA COISA MUDA,ELA INFLUENCIA OUTRACOISA. UMA FUNÇÃO ÉUMA CORRELAÇÃO.VOCÊ PODE PENSAR NOMUNDO EM SI COMOUMA GRANDE FUNÇÃO.FU.FUNÇÕES?MATEMÁTICA?O QUÊ?UMA FUNÇÃO DESCREVEUMA RELAÇÃO,CAUSALIDADE OUMUDANÇA.COMO JORNALISTAS,NOSSO TRABALHO ÉENCONTRAR A RAZÃO DASCOISAS ACONTECEREM –AS CAUSALIDADES.sim.
VOCÊ SABIA QUEUMA EXPRESSÃOCOSTUMA SERREPRESENTADOPOR y f(x)?Assuma que x SEJA UMSAPO. SE VOCÊ COLOCARO SAPO NA CAIXA f ECONVERTÊ-LO, O GIRINOy SAIRÁ DA CAIXA.o f SIGNIFICA FUNÇÃO,É CLARO.Não!!POR EXEMPLO,CONSIDERE QUEx e y sejamanimais.MAS, HÃ. OQUE É f ?f É USADO PARA MOSTRARQUE UMA VARIÁVEL yTEM UMA RELAÇÃOESPECÍFICA COM x.E, NA VERDADE,PODEMOS USARQUALQUER LETRANO LUGAR DE f.O QUE É UMA FUNÇÃO?9
Nesse caso,f EXPRESSA ARELAÇÃO OUREGRA ENTRE“UM PAI” E“UMA PROLE”um paiUMA PROLEE ESSA RELAÇÃOÉ VERDADE PARAQUASE TODOS OSANIMAIS. SE x ÉUM PÁSSARO, y ÉUM FILHOTE DEPÁSSARO.CORRETO!AGORA OLHEPARA ISSO.X-43NICOÔSR–SUPE ACH 9,6 DI A LOTAMJUNAA NÇ OR DE MCLAR ECNOVOdeVenda aiccav iarteduranãorecessPOR EXEMPLO, ARELAÇÃO ENTRERENDIMENTOS EDESPESAS PODESER VISTA COMOUMA FUNÇÃO.A VELOCIDADE DO SOM EA TEMPERATURA TAMBÉMPODEM SER EXPRESSASCOMO UMA FUNÇÃO. QUANDOA TEMPERATURA SOBE 1 C, AVELOCIDADE DO SOM SOBE0,6 METROS/SEGUNDO.COMO QUANDO ASVENDAS DE UMACOMPANHIA SOBEM,OS FUNCIONÁRIOSRECEBEM BÔNUS?-I ú úúú !r10PrólogoE A TEMPERATURANAS MONTANHAS CAICERCA DE 0,5 CPARA CADA 100METROS QUE VOCÊSOBE, NÃO É?
ENTENDEU? NÓSESTAMOS CERCADOSPOR FUNÇÕES.AQUI, NÓS TEMOSTEMPO DE SOBRAPARA PENSAR SOBREESSAS COISASSILENCIOSAMENTE.AS COISAS EM QUE VOCÊPENSAR AQUI PODERÃOSER ÚTEIS ALGUM DIA.ENTENDI OQUE VOCÊQUIS DIZER!É UM ESCRITÓRIOPEQUENO, MAS ESPEROQUE VOCÊ FAÇA O SEUMELHOR.SIM.FAREI.Pl u m !AAAHH!O QUE É UMA FUNÇÃO?11
VOCÊ ESTÁBEM?AH, O ALMOÇO JÁCHEGOU? ONDE ESTÁ OMEU PRATO COM BIFE?AI.FUTOSHI,O ALMOÇOAINDA NÃOCHEGOU.ESSA É.AINDA NÃO? PORFAVOR, ACORDE-MEQUANDO O ALMOÇOCHEGAR. ZZZ.FlopNÃO, FUTOSHI,NÓS TEMOSUMA NOVA.O ALMOÇO JÁCHEGOU?NÃO,AINDA NÃO.Zzz.12Prólogo
Tabela 1: CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕESASSUNTOCÁLCULOGRÁFICOCausalidadeA frequência do estridular de um grilo édeterminada pela temperatura. Podemosexpressar aproximadamente a relaçãoentre y estrídulos por minuto de um grilocom a temperatura x C comoQuando desenhamosessas funções, o resultado é uma linha reta. Épor isso que as chamamos de funções lineares.O resultado é 159 estrídulos por minuto.MudançasA velocidade do som y em metros porsegundo (m/s) no ar a x C é expressa comoA 15 C,y v (15 ) 0,6 15 331 340 m/sA 5 C,y v ( 5 ) 0,6 ( 5 ) 331 328 m/sConversão de Conversão de x graus Fahrenheit ( F) emUnidadey graus Celsius ( C)Então agora sabemos que 50 F equivalem aComputadores armazenam númerosusando um sistema binário (1s e 0s). umnúmero binário com x bits (ou dígitosbinários) tem o potencial de armazenar ynúmeros distintos.O gráfico é uma funçãoexponencial.(Isso é descrito com mais detalhes napágina 131.)O QUE É UMA FUNÇÃO?13
OS GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES NÃO PODEM SEREXPRESSoS POR LINHAS RETAS OU CURVAS COM FORMA REGULAR.O preço P das ações da companhia A no mês x de 2009 éy P(x)Yen300200100123456MêsP(x) não pode ser expressa por uma função conhecida, mas ainda assimé uma função.Se conseguisse encontrar uma maneira de prever P(7), o preço das açõesem julho, você poderia ter um grande lucro.A COMBINAÇÃO DE DUAS OU MAIS FUNÇÕES É CHAMADA DE“COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES”. A COMBINAÇÃO DE FUNÇÕESNOS PERMITE EXPANDIR O ESCOPO DE CAUSALIDADE.Uma função compostade f e gxff(x)gg( f(x))Exercício1.14Encontre uma equação que expresse a frequência de z estrídulos/minutode um grilo a x F.Prólogo
GENERALIZANDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICASAPESAR DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICASEREM CONVENIENTES, A DEFINIÇÃO QUE FIZEMOSDELAS ATÉ AGORA PERMITE APENAS NÚMEROSxNATURAIS PARA x em f(x) 2 E POTÊNCIAS DE 2para y em g(y) log2 y. NÃO TEMOS UMA DEFINIÇÃOPARA A POTÊNCIA 8, A POTÊNCIA 7 3 OU A POTÊNCIA, log25, ou log2 .VOU LHE CONTAR COMODEFINIMOS FUNÇÕESEXPONENCIAIS E LOGARÍTMICASEM GERAL, USANDO EXEMPLOS.HMM, O QUEFAZEMOS, ENTÃO?FELIZ QUE TENHA PERGUNTADO EU ESTOU.A FORÇA DO CÁLCULO USAMOS PARA ISSO. SIM.PRIMEIRO, USANDO O NOSSO EXEMPLO ANTERIOR, VAMOS MUDAR A TAXA DECRESCIMENTO ECONÔMICO ANUAL pAra SUA TAXA DE CRESCIMENTO INSTANTÂNEA.Taxa decrescimento anual Valor após 1 ano Valor atualValor atual f ( x 1) f ( x )f (x)COMEÇAREMOS COM ESSAEXPRESSÃO.Usando Funções Exponenciais E Logarítmicas135
AGORA, NÓS A TRANSFORMAMOS NA TAXA DE CRESCIMENTOINSTANTÂNEA, DA SEGUINTE MANEIRA.Taxa de crescimento instantânea Valor um pouco mais tarde Valor atual Idealização de Tempo decorrido Valor atual ENTÃO, DEFINIMOS ATAXA DE CRESCIMENTOINSTANTÂNEA COMOAgora, vamos considerar uma função que satisfaça a taxa de crescimento instantânea quando ela é constante, ouem que c é uma constante.Aqui assumimos que c 1,e encontraremos f(x) que satisfaçaENCONTRAR f(x)?MAS COMO aENCONTRAREMOS?1.Primeiro, chutamos que isso seja uma função exponencial.como, uAGORA, RECORDE QUE, QUANDO h ESTAVA PERTO O SUFICIENTEDE ZERO, TÍNHAMOS136Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
De u, temos quee ficamos comvSe x estiver perto o suficiente de h, temos quesubstituindo x por 2h e usando f ′(h) f(h),Substituiremos entãona nossa equação.Da mesma forma, substituímos 3h, 4h, 5h, ., por x e fazemos mh 1.De forma semelhante,Então, ficamos comem que usamos a (1 h)mque sugere uma função exponencial.** Como mh 1, h . Então,. Se fizermos m aqui,, ouconstante de Euler, um número que vale cerca de 2,718. Então, f(1) f(0) e, que é consistentecom a discussão da página 141.Usando Funções Exponenciais E Logarítmicas137
2.Em seguida descobriremos que f(x) existe com certeza e com o que ele separece.EXPRESSE A FUNÇÃO INVERSA DEy f(x) como x g(y).DE ACORDO COM O f ’(x) f(x) INDICADO NA PÁGINA 136, ADERIVADA DE f(x) É ELA MESMA. MAS ISSO NÃO NOS AJUDA.ENTÃO, QUAL É A DERIVADA DE g(y)?Como temos isso em geral,*wobtemos esse resultado,que mostra que a derivadada função inversa g(y) éexplicitamente dada por .xAgora, podemos usar o TeoremaFundamental do Cálculo:Como sabemos agora que g ′(y) , descobrimos que a funçãog(α) é obtida integrando1 até α.ySe assumirmos que g(1) 0 aqui . . .*obtemosótimo! agora, vamos desenhar o gráfico de!* Como mostrado na página 75, se a função inversa de y f(x) é x g(y), f ′(x) g ′(y) 1.138Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!de
ISSO É UM GRÁFICO DEPROPORÇÃO INVERSA.VAMOS DEFINIR g(α) COMO A ÁREA ENTRE ESTE GRÁFICO EO EIXO Y NO INTERVALO DE 1 até α. ISSO É UMA FUNÇÃOBEM DEFINIDA. EM OUTRAS PALAVRAS, g(α) É DEFINIDAESTRITAMENTE PARA QUALQUER α, SEJA UMA FRAÇÃO OU.ComoÉ UMA FUNÇÃO EXPLÍCITA, A ÁREA PODE SERPRECISAMENTE DETERMINADA.Comoque satisfaz y.Então, descobrimos a função inversa g(y), a área abaixo da curva, que também nos dá a função original f(x).AH, E QUANTOÀ TAXA DECRESCIMENTORECENTE DOAsagake Times?.POR FAVOR,DIGA A VERDADE.NÃO VOU FICARSURPRESA.VOCÊ TÁCHORANDO!É TÃO RUIMASSIM?Usando Funções Exponenciais E Logarítmicas139
Resumo Das Funções Exponencial E Logarítmicaé vista como sendo a taxa de crescimento.uv y f(x) que satisfazconstante de 1. 1 é a função que tem um crescimentoIsso é uma função exponencial que satisfazwSe a função inversa de y f(x) é dada por x g(y), temos xSe definimos g(α), podemos encontrar a área de h(y) ,A função inversa de f(x) é a função que satisfaz e g(1) 0.zz Área 11e é um número irracionalque vale cerca de 2,7178.140e1yyDefinimos e (a base dologaritmo natural) como o yque satisfaça g(y) 1. Ou seja,ele é o α para o qual a áreaentre a curva 1 / y e o eixo yno intervalo de 1 a α é igual a 1.Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
Como f(x) é uma função exponencial, podemos escrever, usando a constante a0,Como f(g(1)) f(0) a0a0 a0 e f(g(1)) 1, temosE então sabemos queDe forma semelhante, comoeEntão, temos que.A função inversa g(y) disso é loge y, que pode ser escrito simplesmentecomo ln y (ln representa o logaritmo natural).Agora, vamos reescrever de v a x em termos de e x e ln y.z{ } Para definir 2x, uma função dos bits, para qualquer número real x,fazemos(x é qualquer número real)A razão disso é mostrada a seguir. Como ex e ln y são funções inversasuma da outra,Portanto, para qualquer número natural x, temosResumo Das Funções Exponencial E Logarítmica 141
Mais Aplicações Do Teorema FundamentalOutras funções podem ser expressas na forma f(x) xα. Algumas delas sãoPara essas funções em geral, a fórmula que encontramos anteriormentemostra-se verdadeira.FÓRMULA 4-2: REGRA DA POTÊNCIA PARA DERIVAÇÃOExemplo:ParaParaPROVA:Vamos expressar f(x) em termos de e. Percebendo que eln x x, temos queEntão,Derivando ambos os lados, lembrando que a derivada de ln w cando a regra da cadeia,Portanto,142Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!, e apli-
INTEGRAÇÃO POR PARTESSe h(x) f(x) g(x), obtemos da regra do produto de derivadas,Então, como a função (a antiderivada) que dá f ′(x) g(x) f(x) g ′(x) após aderivação fica f(x) g(x), obtemos do Teorema Fundamental do Cálculo,Usando a regra da soma de integração, obtemos a seguinte fórmula.FÓRMULA 4-3: INTEGRAÇÃO POR PARTESComo exemplo, vamos calcular:Chutamos que a resposta da integral terá uma forma semelhante a x cos x,então dizemos que f(x) x e g(x) cos x. Então tentamos,Podemos avaliar queSubstituindo em nossas funções originais de f(x) e g(x), descobrimos quePodemos usar esse resultado em nossa primeira equação.Mais Aplicações Do Teorema Fundamental143
Então obtemos:Rearranjando mais ainda, resolvendo os sinais, descobrimos que:E você pode ver aqui que temos a integral original, mas agora atemos em termos que podemos realmente resolver! Resolvendo para nossa função original:Lembre-se que cos x dx seno x, e você pode ver queAqui está.Exercícios1.tan x é uma função definida como seno x / cos x. Obtenha a derivada detan x.2.Calcule3.Obtenha x tal que f(x) xex seja mínimo.4.CalculeUma dica: suponha que f(x) x2 e g(x) ln x, e use a integração porpartes.144 Capítulo 4 VAMOS APRENDER TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO!!
Condições De pontos extremos3ª AULAQUE VISTA!SANDA NÃO MUDOUNEM UM POUCO!PONTO DEMÁXIMO!AI, VOCÊ JÁCOMEÇOU ALIÇÃO?SE OLHARMOS PARA AQUELAMONTANHA COMO UMA FUNÇÃODE DUAS VARIÁVEIS, SEU TOPOÉ UM PONTO DE MÁXIMO.Condições De pontos extremos199
Os extremos de uma função com duas variáveis f(x, y) está no ponto emque seu gráfico equivale ao topo de uma montanha ou à base de um vale.MáximoPzzyyQx0Mínimox0Ponto de máximoPzPlano horizontaly0xComo o plano tangente ao gráfico no ponto P ou Q é paralelo ao planox-y, devemos tercom p q 0 na função linear de aproximação.Comoa condição de extremidade* é, caso f(x, y) tenha um extremo em (x, y) (a, b),ou* O oposto disso não é verdadeiro. Em outras palavras, mesmo que fx (a, b) fy(a, b) 0, f nemsempre terá um extremo em (x, y) (a, b). Então, essa condição apenas escolhe os candidatos aponto extremo.200Capítulo 6 VAMOS APRENDER SOBRE DERIVADAS PARCIAIS!
Nos EXTREMos DE UMA FUNÇÃOCOM DUAS VARIÁVEIS, AS DERIVADASPARCIAIS TANTO NA DIREÇÃO DEx QUANTO NA DIREÇÃO DE y SÃOIGUAIS A ZERO.EXEMPLOVamos encontrar o mínimo de f(x, y) (x y)2 (y 2)2. Primeiro, vamosencontrá-lo algebricamente.ComoSe substituirmos x y 2 aqui,Disso, f(x, y) f(2, 2) para todo (x, y). Em outras palavras, f(x, y) temum mínimo igual a zero em (x, y) (2, 2).Por outro lado,fizermose. See resolvermos esse sistema de equações,descobrimos que (x, y) (2, 2), tal como descobrimosacima.AS SOLUÇÕES SÃOIGUAIS!Condições De pontos extremos201
EPÍLOGO:PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA?
AEROPORTO DENAHAUFA, QUE CALOR!NÃO IMPORTA PARAONDE ME MANDEM,FAREI O MEU MELHOR.220EpílogoBEM, ONDE ESTÁO ESCRITÓRIO DAASAGAKE TIMESEM OKINAWA?
oquêê! ? !ESCRITÓRIO DAASAGAKE TIMES EMOKINAWAHUUUHHESSA SITUAÇÃO ESTÁSOANDO FAMILIARDEMAIS PRA MIM!não me digaQUE VOCÊ É OCHEFE DESSEESCRITÓRIO?!?SEM CHANCE!TAMBÉMACABEI DECHEGAR DOAEROPORTO.VOCÊ?!?ESTÁÊ NÃOCOVOM ASTEMPO A JÁAQUIRAP!!IENTESUFIC DORMINDOR!AOESTOLGADSEU FQUEM TÁENCARREGADODEStE ESCRITÓRIO?TapTapAI, QUE BOM!AIÊ!para que serve a matemática?221
COM LICENÇA, VOCÊSABERIA ME DIZERONDE ENCONTROA PESSOAENCARREGADA?AH, ELE ESTÁSEMPRE NADANDO.AÍ ESTÁ VOCÊ!taptaptap222 Epílogo
sr. Seki!!!sr. Seki!!MARAVILHA!VOU COMER TUDOQUE EXISTE EMOKINAWA!DECIDI PASSARMAIS UM ANOPENSANDOSOBRE ASCOISAS EM UMLUGAR QUENTE.AH, É?SR. SEKI,DESCOBRI OPROPÓSITO DAMATEMÁTICA.para que serve a matemática?223
DESCREVER COISASQUE NÃO PODEMSER DESCRITASCOM PALAVRAS.BEM, ENTÃO,NORIKO, SUPONHAQUE O HORIZONTESEJA O EIXO X.QUÊ?O QUE VAMOSCOMER HOJE ÀNOITE? HMMM,MACARRÃO SOABEM.AMANHÃSERÁ OUTROGRANDE DIA.HI HI224Epílogo
2010. -- (The manga guide) Título original: The manga guide to calculus. ISBN 978-85-7522-208-9 1. Cálculo 2. Cálculo - Problemas, exercícios etc. 3. Cálculo diferencial 4. Cálculo integral 5. História em quadrinhos 6. Matemática - História em quadrinhos I. Togami, Shin. II. Becom Co. III. Título. IV. Série.
