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MEDECONMATERIAL DE ENSEÑANZADEPARTAMENTO DE ECONOMÍAPontificia Universidad Católica del PerúDEPARTAMENTO DE ECONOMÍAPontificia Universidad Católica del PerúNº5DEPARTAMENTO DE ECONOMÍAPontificia Universidad Católica del PerúMATEMÁTICASDEPARTAMENTODE ECONOMÍAPARA Católica del PerúPontificia UniversidadDEPARTAMENTODE ECONOMÍAECONOMISTASPontificia Universidad Católica del PerúDEPARTAMENTO DE ECONOMÍATessy Grace VásquezPontificia UniversidadCatólica del PerúDEPARTAMENTO DE ECONOMÍAPontificia Universidad Católica del PerúDEPARTAMENTO DE ECONOMÍAPontificia Universidad Católica del PerúDEPARTAMENTO DEECONOMÍA
MATERIAL DE ENSEÑANZA N 5MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS 1Tessy Grace Vásquez BaosAbril, 2019DEPARTAMENTODE ECONOMÍAMATERIAL DE ENSEÑANZA 005.pdf
Matemáticas para Economistas 1Material de Enseñanza 5 Tessy Grace Vásquez BaosAv. Universitaria 1801, Lima 32 – Perú.Teléfono: (51-1) 626-2000 anexos 4950 - economia/Encargado de la Serie: José RodríguezDepartamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú,jrodrig@pucp.edu.peTessy Grace Vásquez BaosMatemáticas para Economistas 1Lima, Departamento de Economía, 2019(Material de enseñanza 5)PALABRAS CLAVE: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices.Vectores. Cálculo. Análisis realLas opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de susautores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía.Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2019-05533ISSN 2413-8606 (Impreso)ISSN (En línea –en trámite)
Notas de ClasesProf. Ramón Garcı́a CobiánMatemáticas para Economistas I1Tessy Grace Vásquez BaosAgosto, 20181 Lasnotas fueron revisadas por el Prof. Ramón Garcı́a Cobián, el Prof. Alejandro Lugon y no hubiera sido posible sin la asistencia en redación de ChristianMaravı́, Marco Cerón y César Castro; ası́ como el apoyo del Departamento deEconomı́a, en ese entonces a cargo del Prof. Waldo Mendoza.
Matemática para Economistas 1Tessy Grace Vásquez BaosResumenEl presente texto consolida las notas de las clases dictadas por el Prof. Ramón García-Cobián en elcurso “Matemática para Economistas 1". Aborda conceptos básicos de matrices, vectores y funciones,así como una introducción al cálculo y análisis en Rn, incluyendo espacio euclidiano, cálculo diferencialy el teorema de la función implícita. Este texto tiene como objetivo servir de guía a los estudiantes delos primeros ciclos de la carrera de economía.Palabras Clave: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices. Vectores. Cálculo. Análisis real.Códgo JEL: C02AbstractThis document presents the classroom notes of Prof. Ramón García-Cobián for the "Mathematics forEconomics 1" course. The notes cover the concepts of matrices, vectors and functions as well asproviding an introduction of calculus and analysis on Rn, including Euclidean space, differential calculusand the implicit function theorem. The objective is to serve as a guide for students in the first year ofthe Economics degree program.Key Words: Mathematics for economics. Functions. Matrix. Vectors. Calculus. Real Analysis.Jel Code: C02.
Índice general1. Nociones de Funciones, Matrices y Vectores1.1. Elementos de un modelo económico . . . . .1.2. Ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . .1.2.1. Ecuación de definición . . . . . . . .1.2.2. Ecuación de comportamiento . . . .1.2.3. Ecuación de equilibrio . . . . . . . .1.3. Teorı́a de conjuntos . . . . . . . . . . . . . .1.4. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.1. Funciones Reales de Variable Real . .1.5.2. Funciones Racionales . . . . . . . . .1.5.3. Funciones Trascendentes . . . . . . .1.5.4. Funciones de varias variables . . . . .1.6. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1. Matriz de números reales . . . . . . .1.6.2. Matriz identidad . . . . . . . . . . .1.6.3. Nociones de Igualdad . . . . . . . . .1.6.4. Suma de Matrices . . . . . . . . . . .1.6.5. Multiplicación de Matrices . . . . . .1.6.6. Resta Matricial . . . . . . . . . . . .1.6.7. Propiedades de la Matrices . . . . . .1.6.8. Determinante de una matriz . . . . .1.6.9. Propiedades de los Determinantes . .1.6.10. Solución de ecuaciones lineales . . . .1.7. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.1. Multiplicación vectorial . . . . . . . .1.7.2. Interpretación geométrica de 3132
2ÍNDICE GENERAL1.7.3. Interpretación geómétrica del vector por un escalar1.7.4. Independencia lineal de dos vectores . . . . . . . .1.8. Análisis del Equilibrio Económico . . . . . . . . . . . . . .1.8.1. Equilibrio Parcial del Mercado . . . . . . . . . . . .1.8.2. Modelos de Equilibrio parcial . . . . . . . . . . . .1.8.3. Modelos de Equilibrio General . . . . . . . . . . . .1.8.4. Modelo Macroeconómico . . . . . . . . . . . . . . .2. Nociones de Cálculo y Análisis en Rn2.1. Espacio Euclidiano Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Generación de un Subespacio . . . . . . . . . .2.1.2. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3. Distancia o Métrica en un Conjunto . . . . . . .2.1.4. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . .2.2. Cálculo Diferencial y Análisis Matemático . . . . . . .2.2.1. Tasa de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Tasa de cambio de variable dependiente . . . . .2.2.3. Propiedades de la Derivada: . . . . . . . . . . .2.2.4. Continuidad y diferenciabilidad de una función .2.2.5. Concepto Riguroso de Continuidad . . . . . . .2.2.6. Reglas de las derivadas o de diferenciación . . .2.2.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.8. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.9. Diferenciación parcial . . . . . . . . . . . . . . .2.2.10. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.11. Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.12. Reglas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.13. Teorema de la función implı́cita . . . . . . . . 97103105
Capı́tulo 1Nociones de Funciones,Matrices y Vectores1.1.Elementos de un modelo económicoMás allá de las particularidades de cada modelo económico, la totalidadde estos posee una serie de elementos bien definidos:1. Variables endógenas: son aquellas variables cuyos valores se determinan dentro del modelo.2. Variables exógenas: son aquellas variables cuyos valores se determinan fuera del modelo.3. Parámetros: se define de esta forma a cualesquiera variables que sepresenten en el modelo y que a la vez desempeñen el rol de constanteen el modelo.1.2.1.2.1.Ecuaciones del modeloEcuación de definiciónA lo largo del texto se hará referencia abreviada a expresiones en términosde elementos ya conocidos. Por ello se recurre a la ecuación de definición,3
4CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESrelación que posee la forma:Definiens : Definiendum {z } {z}Lo DefinidoLa DefiniciónEjemplo 1.2.1 Una definición básica dentro del marco de la contabilidadnacional es la de demanda agregada:Demandaagregada {z}YdConsumoInversiónConsumoExportaciones . (1.1)privadototalpúbliconetas: {zC} {zI}{z G} {zXN}En (1,1), el simbolo : debe leerse como sigue ‘es definido(a) como’.1.2.2.Ecuación de comportamientoUna vez establecidas las variables de trabajo, las ecuaciones de comportamiento explicitan las hipótesis hechas. Por ejemplo, la ecuación:C C(Y ) plantea una relación directa entre el consumo privado C y el nivel de ingresosY . Por relación directa se entiende que a mayores niveles de ingreso mayorserá el nivel de consumo privado. En términos formales:C(Y0 ) C(Y1 ) para todo Y0 y Y1 tal que Y0 Y1 .De manera análoga se plantea una relación inversa entre la inversión privaday la tasa de interés:I I(r ) y, de manera similar, por relación inversa se entiende que a mayores nivelesde tasas de interés menor será el nivel de inversión que corresponde. Formalmente se cumple:I(r0 ) I(r1 ) para todo r0 y r1 tal que r0 r1 .Ejemplo 1.2.2 La oferta agregada depende de los factores de producción,como el capital (K) y el trabajo (L):Y s Y s (K, L).
1.3. TEORÍA DE CONJUNTOS1.2.3.5Ecuación de equilibrioComo es habitual, la combinación de relaciones de comportamiento generan funciones de oferta y demanda. Tradicionalmente, una forma común deinteracción entre oferta y demanda es la condición de equilibrio de mercado,la cual estipula:Demanda Oferta.1.3.Teorı́a de conjuntosDado que el lenguaje en términos de conjuntos será de uso extensivo,convencionalmente el sı́mbolo denotará una relación de pertenencia.Definición 1.3.1 (Axioma de Extensión) Dos conjuntos son iguales siposeen los mismos elementos. Es decir: X, Y : X Y ( z : z X z Y ).Al respecto el primer intento por elaborar una teorı́a de conjuntos provinode Cantor en el siglo XIX, lo cual resultó en una teorı́a intuitiva. En el sigloXX, B. Russell formula la siguiente paradoja: x : x x x /xy defı́nase:ϑ : {x : x / x}.Por lo tanto:(ϑ ϑ) (ϑ / ϑ).Pero, si ϑ ϑ, entonces, por definición de ϑ, se sigue que ϑ / ϑ. Y si ϑ / ϑ,igualmente se sigue que ϑ ϑ. De cualquier manera surge una contradicción.Posteriormente, y como consecuencia de la paradoja, surge la axiomatización de las teorı́as, atribuida a Peano, Zermelo y Von Neumann.Definición 1.3.2 (Axioma de Especificación) Si existe un conjunto y estádada una ‘idea’1 , entonces existe un conjunto formado por los elementos de1Idea expresable en el lenguaje formal de la teorı́a, como P (x), siendo P un predicadoy x una variable libre.
6CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESaquel que satisfacen dicha idea. Si P (x) es una proposición referida a x y Ces un conjunto, entonces hay un conjunto de la forma:{x C : P (x)} .Entonces, ya no es posible formular la paradoja de Russell pues ¿de quéconjunto, cuya existencia estuviera ya garantizada se sacarı́an los x tales quex / x?.2Definición 1.3.3 (Diferencia de conjuntos)A\B : {x A x / B}Figura 1.1: Diferencia de conjuntos.Por ejemplo, sean:A {5; 12 }, B {5; 0.51}. Entonces A\B { 12 }Definición 1.3.4 (Relación) Una relación es un conjunto cuyos elementos(si los tuviera) son pares ordenados.2Suele decirse, erróneamente, que del “universo”, i.e., del “conjunto de todos losconjuntos”; pero éste no puede existir, pues si A es cualquier conjunto, entonces elB : {x A : x / x} es un conjunto tal que B / A(Demostrarlo es un ejercicio para el lector). Ası́, no puede haber ningún universo.
1.4. NÚMEROS REALES7Por ejemplo, no es relación el conjunto: {(2, 1), 3}, pero son relacioneslos conjuntos {(2, 1), (0, 3)} y . Ejemplo de relaciones:R {(0, 0), (1, 0), (1, 2)} yS {(0, 0), (1, 0)}.En el conjunto R observamos elementos diferentes que comparten el primercomponente.1.4.Números reales Consideremos el siguiente ejemplo: ¿Será 2 un número racional? Deserlo, habrı́a enteros positivos, m y n, tales que.m2 2, por lo tanto m2 2n2 .n2Sin pérdida de generalidad se pueden tomar m y n como primos relativos,i.e., que no poseen factor común.Entonces m es par y:m 2R, R N.Luego4R2 2n2 2R2 n2 .Por lo que n también es par. Pero esto contradice el que m y n fueran primosrelativos. Ası́, la respuesta es que 2 no es un número racional, sino un“irracional”. 2 / Q R.De manera similar se puede mostrar que:π R π / Q.1.5.FuncionesDefinición 1.5.1 (Función) Una función es una relación en la que no hayelementos diferentes que compartan el primer componente.
8CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESEsto da lugar al denominado criterio de la lı́nea vertical, mediante el cualla gráfica de dicha función en el plano no puede ser cortada en más de unpunto cuando se le interseca con una lı́nea vertical.Definición 1.5.2 (Dominio) Dada una función, el dominio de dicha función es el conjunto de todos los primeros componentes.Ejemplo 1.5.3DR {0, 1} ; DS {0, 1}Definición 1.5.4 (Rango o Codominio) Conjunto de todos los segundoscomponentes de la relacióncDR {0, 2}cDS : {0}Según definición 1.5.1 , R no es función, pero S sı́ lo es. Se dirá que R esuna “correspondencia” de DR a cDR y que S es una función de DS a cDS .R : {1, 0} {0, 2}S : {0, 1} {0}Notación para funciones: f : A Bx f (x) x3 2x 1f ( 2) 31.5.1.Funciones Reales de Variable Realf :R RFunciones ConstantesSon funciones que a cada número real le asignan una misma imagen:x 7 f (x) 3 (polinomio de grado cero)
1.5. FUNCIONES9Figura 1.2: Función constante.Funciones PolinómicasSon aquellas f : R R tales que f (x) es un polinomio en x:f (x) a0 a1 x a2 x2 · · · an xn .Función LinealSi f (x) a0 a1 x, se dice que es lineal de grado 1, y tendrı́a la gráfica1.3.Figura 1.3: Función lineal con a1 0La anterior representación de la función lineal implica:f (x 1) f (x) (a0 a1 (x 1)) (a0 a1 x) a1 x a1 a1 x a1 .
10CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESComo se puede observar en el caso de la función lineal, a1 representa cuántoasciende la recta por unidad horizontal, es decir, a1 es la pendiente de lagráfica.Ejemplo 1.5.5 La función lineal denotada por y f (x) 2x 1 tienela gráfica 1.4. Si se desea conocer el punto donde la gráfica interseca al ejehorizontal debe resolverse:0 y 2x 1.Luego de resolver en x se obtiene que:1x .2Figura 1.4: Función lineal segundo ejemplo.Función CuadráticaSi la función tiene la siguiente forma f (x) a0 a1 x a2 x2 , se dice que es1una función cuadrática, y su gráfica es una parábola con vértice en x a.2a2Si a2 0 entonces la abscisa del vértice de la parábola se encuentra abajo, ysi a2 0 entonces la abscisa del vértice de la parábola se encuentra arriba.Ejemplo 1.5.6 Sea la función f con regla de correspondencia:f (x) x2 2x 3.En dicho caso a2 0, mientras que las propiedades del vértice de la parábolapermiten obtener:2abscisa del vértice 1.2
1.5. FUNCIONES11En la abscisa x 1 se cumple lo siguiente:f ( 1) 1 2 3 4.Por otro lado:0 x2 2x 3.Con lo cual los puntos de intersección con el eje de abscisas son:x1 3 y x2 1.Entonces la gráfica es tal como se describe en la figura 1.5.Figura 1.5: Función cuadrática.Ejemplo 1.5.7 Considérese la siguiente función:f (x) 5x2 3x 1.En dicho caso, se obtiene que:abscisa del vértice 310y en dicho punto f vale:f ( 3)10 5 310 2 3 310 Lo cual se puede observar en la gráfica 1.6. 1 1120
12CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESFigura 1.6: Ejemplo: función cuadrática.Ejemplo 1.5.8 Sea la gráfica de la siguiente función:1y x2 3x 2.2En dicho caso, el coeficiente del término cuadrático es igual a:1a 02y la fórmula de la abscisa da lugar a:abscisa del vértice 3 3 1y la ordenada se obtiene reemplazando x por la abscisa del vértice:1y (9) 9 22Por lo tanto:y 2.5Recuérdese que si se desea resolver una ecuación de la forma:x2 6x 4 0,(1.2)
1.5. FUNCIONES13se puede aplicar la siguiente fórmula para su solución:x b b2 4ac.2aEn el caso de la ecuación (1,2), que tiene la gráfica 1.7, la solución es lasiguiente: 6 36 16x 2 x1 3 5 x2 3 5Figura 1.7: Gráfica de función cuadrática.1.5.2.Funciones RacionalesEste tipo de funciones se definen como el cociente de funciones polinomiales.Ejemplo 1.5.9 A continuación se presentan diversos ejemplos de funciones
14CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESracionales:2x 1x2 11y xy 3xy 1.5.3.Funciones TrascendentesFunción Exponencial:y ex .En el caso de esta función y 1 cuando x 0. Esta función tiene la propiedadde crecer al infinito muy rápido (ver figura 1.8).Figura 1.8: Función exponencial.Función Logarı́tmica,(ver figura 1.9):y log x.Definición 1.5.10 (Logaritmo en base b 0) El “logaritmo en base b dea” es el exponente al que hay que elevar b para obtener a:logb a msi y solo si:a bm .Se introduce como notación:loge ln (logaritmo neperiano).Cabe precisar que esta función no se encuentra definida para los negativos niel cero.
1.6. MATRICES15Figura 1.9: Función logarı́tmica.1.5.4.Funciones de varias variablesEjemplo 1.5.11z f (x, y) 2x yesto indica que:Si x 1 e y 2 entonces z 0.Si x 2 e y 1 entonces z 3.Y ası́ sucesivamente.Ejemplo 1.5.12 Sea la función z 2xy x ux2.1.6.y1.u 1.z7.MatricesDefinición 1.6.1 (Matriz) Se trata de una arreglo rectangular de números.
16CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES1.6.1.Matriz de números realesSean las matrices: 2 0 4A 1π 3 79 2 3213 B [ 1 1 0 3]1 4 1 0 0D 0 2 0 0 0 1 3 3 0 C 2 1 4 1 E π2 1234 2 2Dentro de las clases de matrices tenemos:Matrices cuadradas: D y E.Matriz fila: B.Matriz columna: C.Matriz diagonal: D.Consideremos además los siguientes ejemplos: G 2 11 3 2 1 1H 1 3 2 1 2 0 3 3 2 2Las Matrices H y G son matrices cuadradas y simétricas a la vez. Las matrices tienen elementos que son marcados por subı́ndices que indican el lugarque ocupan en la fila y en la columna.Por ejemplo, sea: G 2 11 3 2 2
1.6. MATRICES17Ası́ que G11 2, G12 1, G21 1 y G22 3. Otra forma de extraer elementos de acuerdo a una ordenación puede expresarse de la siguiente manera:A1· [ 2 0 4], que indica la primera fila de la matriz A, o: E 2 2 34el cual indica la segunda columna de la matriz E.Ejemplo 1.6.2 Sea: 1 0 0D 0 1 0 0 0 1 3 3Esta matriz es conocida como diagonal pues cumple que dij 0 i 6 j 2 1 1H 1 3 2 1 2 0 3 3Esta matriz es conocida como simétrica pues cumple que hij hji i, j.1.6.2.Matriz identidadSe dice que una matriz es identidad cuando los elementos de la diagonalprincipal son todos iguales a 1 y los otros iguales a 0. I : [1] ,1.6.3.1 00 1 1 0 0, 0 1 0 0 0 1Nociones de IgualdadDos matrices son iguales si sus correspondientes elementos lo son. Esdecir:A B si y solo si i, j : Aij A0ji .
18CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES1.6.4.Suma de MatricesDadas A y B, ambas m n, su suma A B se define por:(A B)ij : Aij Bij .Ejemplo 1.6.3 A 2 0 41π 3 792 B 2 31 0 00 2 0 2 3Como ambas matrices son del mismo tipo, entonces su suma es igual a: 104A B 1π 2 3 79 2 321.6.5.Multiplicación de MatricesMultiplicación de Matrices por escalarDadas A y B, ambas m n, la multiplicación de una matriz por unescalar, se define de la siguiente manera:Si A es m n y α R. Entonces (αA)ij : αAijEjemplo 1.6.41 A 2 10 21π 4 2 1 89 2 3Multiplicacion de Matrices por MatricesSean A y B matrices de dimensiones m h y h n, respectivamente; sedefine A B por:AB será m n, y (AB)ij Ai1 B1j · · · Aih BhjEsto implica que cada valor de la primera fila de la matriz A, multiplicael correspondiente valor de la primera columna de la matriz B. O la sumaproducto de la primera fila de la matriz A y la primera columna de la matrizB, y ası́n sucesivamente.
1.6. MATRICES19Nota.-La condición para que se dé la multiplicación de dos matrices es que el primer factor debe tener tantas columnas comofilas tiene el segundo factor.Ejemplo 1.6.5 A 2 0 41π 3 972Por lo tanto: AB 2 3 12 0B 1 1 1 0 1 0 3 3 2 8017 ππ 2π29 2 3Lo que se hizo fue:[AB]2 3 [A]2 3 [B]3 3Por lo que no existe B A.Ejemplo 1.6.6 Sean las siguientes matrices: 1 2 012 0D 1 1 1 C 0 1 1 1 0 0 3 30 1 0 3 3Por lo tanto: 1 4 2CD 1 2 1 1 2 0 3 3 14 2DC 2 1 1 0 1 1 3 3Si A es m h y B es h n entonces (AB)ij hPaik bkj , con aik repre-k 1sentando el elemento ubicado en la fila i, columna k.La multiplicación matricial es siempre asociativa, pero no necesariamentesiempre conmutativa.Ejemplo 1.6.7 De producto nulo con matrices no nulas. 2 6 60 1 320
20CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESDe ese modo, debemos diferenciar resultados en números reales con losresultados en matrices.Para los números reales se aplica:ab 0 (a 0 b 0)(a 6 0 ab ac) b cMientras que para las matrices:AB 0 ; (A 0 B 0)(A 6 0 AB AC) ; B CDefinición 1.6.8 (Inversa de una matriz) En M (n, n), si AB I entonces se dice que B es “inversa de A” y que A es “inversa de B” (Seescribe: B A 1 A B 1 ).Ejemplo 1.6.9 2 61 3 a cb d 1 00 1 2a 6b 1a 3b 02c 6d 0c 3d 1 2 6No existe solución, por lo tanto la matrizno tiene inversa.1 3Con ello, se demuestra que algunas matrices cuadradas carecen de inversa.2 0Perosı́ tiene inversa:1 3 2 01 3 a cb d 2a 1a 3b 01 00 1
1.6. MATRICES21121b 62c 0a c 3d 1c 0 1 12 0 d . Entonces1 3312 160 13Teorema 1.6.10 Si una matriz post-multiplicando a otra, da la identidad,entonces esta también dará la identidad al premultiplicarlo, i.e. AB I BA I.Transpuesta de matrizDefinición 1.6.11 Si A es matriz m n entonces su transpuesta es otramatriz n m definida por:(A0ij ) AjiEjemplo 1.6.12 A Entonces:1.6.6. 1 2 00 3 21 2 3 1 03 A0 20 12 3 2 Resta MatricialA B : A ( 1)BEjemplo 1.6.13 Sean: A 1 2 00 7 1 B 2 33 1 1 1 0 2 2 3 2C 1 1 3 1
22CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESDe ese modo, 2 3 117 3A B AC 08 2 3 2 1Ejemplo 1.6.14 Consideremos los siguientes ejemplos de “sumatorias”3 :3X2 2 2 2 6k 13X1k 1k 2Xk 1k 1k X1k 11k1 1 111 1 2 36 1 1 2 17 122111 ···11 12 13 Xark a ar ar2 ar3 · · · a(1 r r2 · · · ) k 01.6.7.a1 rPropiedades de la Matrices1. (A0 )0 A. Ejemplo. 1 03 A0 20 12 3 20 0(A ) 3 1 2 00 3 21 A2 3Aunque el término “sumatoria” aún no ha sido aceptado por la Real Academia Española, su uso está tan generalizado que ya lo será.
1.6. MATRICES232. (AB)0 B 0 A0 . Ejemplo:A m nB n hAB m h(AB)0 h m B 0 A03. [A 1 ]0 (A0 ) 1 . Ejemplo: A 1A 1 02 1 0A 1 0 1 0 2 1 1 20 1 (A ) (A0 ) 1 2 2 2 2 2 2 1 20 1 1 20 1 2 22 2Por lo tanto:[A 1 ]0 (A0 ) 14. (AB) 1 B 1 A 1 , si A y B tienen inversas.5. (A B)0 A0 B 0 .1.6.8.Determinante de una matrizTeorema 1.6.15 Dada una matriz A, n n, A 1 0 6 det(A), dondedet(A) se define inductivamente ası́:
24CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESSi: n 1, entonces det([a]): a; a11 a12Si: n 2, entonces det: (a11 a22 ) (a12 a21 ); a21 a22 a11 a12 a13Si: n 3, entonces det a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 a31 a22 a13 a21 a12 a33 a32 a23 a11Si ya se sabe para n, entonces para n 1, sesi se elige la fila 1, entonces el det(A): 1 2 0 20 1 det A 03 1 1 0 2define de la siguiente manera: 1 2 0 40 1 22 1 2 ( 1)1 1 1 3 1 0 ( 1)1 2 ( 2) 0 1 00 2 4 1 2 4 ( 1)1 3 02 0 12 0 20 3 0 ( 1)1 4 ( 1) 0 3 1 1 0 2 1 0 4 27n 1PSi se elije fila i, entonces det(A) Cik ; donde Cik : es el co-factor ikk 1de la matriz A se define como: Ci,k ( 1)i k Mik y Mik es el determinantede la matriz que queda luego de suprmir la fila i, columna k. Es preferibleelegir las filas o columnas con mayor cantidad de ceros. 3C32 C33 3( 1)3 2 M32 ( 1)3 3 M331 0 11 2 102 3 2 1 2 2 1 2 4 1 0 4 3 ( 4 4 5) (4 16) 27
1.6. MATRICES1.6.9.25Propiedades de los Determinantes1. det(A0 ) det(A).2. Al intercambiar entre sı́ dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.Ejemplo 1.6.16 cambia 1 con 3 fila de M32 de la matriz A. 1 2 42 1 21 0 1 1 4 4 4 133. Si una lı́nea se multiplica por un número, el determinante resulta multiplicado por ese número.Ejemplo 1.6.17 Se multiplica la última columna del M32 de la matriz A por 2 y se obtiene que el determinante resulta multiplicado por dicho número.1 0 22 1 4 1 2 8 8 8 2 8 26Si una matriz n n se multiplica por α, el determinante de la matrizresultará multiplicado por αn .Si 2 lı́neas paralelas son proporcionales, entonces el determinante es 0.Ejemplo 1.6.18 Nótese que si tenemos la siguiente matriz: 1 0 1 2 1 2 6 3 6donde la tercera fila es el triple de la segunda, tenemos que:E1 1 0 12 1 26 3 6 1 ( 1)4 (6 ( 6)) 3 ( 1)5 (2 ( 2)) 12 12 0
26CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESAl sumar a una lı́nea cualquiera un múltiplo arbitrario de otra lı́neaparalela, el determinante no cambia.Ejemplo 1.6.19 Consideremos la matriz: 1 0 1E2 2 1 2 1 2 4con determinante igual a -13, conforme se demuestra:1 0 12 1 2 1 2 4 4 ( 4) 0 (1) 0 4 13Si ahora tenemos que la primera fila es igual a la primera fila más la tercerafila: 1 f ila (1)3 f ila de E2 :0 2 52 1 2 1 2 4 20 4 5 16 13Teorema 1.6.20 Si en una matriz, las filas o las columnas son linealmentedependientes entonces el determinente es nulo si son linealmente independientes, el determinante es diferente de 0.Redefinición en una matriz A m n:1. Rango(A) : máximo número de filas linealmente independientes.2. Rango(A) : máximo número de columnas linealmente independientes.3. Rango(A) : máximo orden de una submatriz de determinante 6 0.Las tres definiciones dan lo mismo según un teorema del álgebra lineal.Ejemplo 1.6.21 2 1 02 A 1 03 2 2
1.6. MATRICES270 Rango(A) mı́n(m, n)máx Rango(A) mı́n(m, n)Ası́ Rango(A) 0 si es matriz nula.Como A3· 2A1· A2· , entonces el determinante de A es cero, por lo tantoel Rango(A) 2.A las matrices cuadradas cuyo determinante es diferente de cero se las llama“regulares”, y a aquellas cuyo determinante es igual a cero, se las llama“singulares”.Teorema 1.6.22 Si An n es tal que det(A) 6 0, entonces su inversa es: 0C11 · · · C1n1 . . . det(A)Cn1 · · · Cnn A 1donde Cij es el co-factor ij de la matriz A, ya definido.Ejemplo 1.6.23 A 2 1 1 0 det(A) 0 ( 1) 1 A 1 0 01 C11 C12( 1)2 M11 ( 1)3 M12 1 A ( 1)3 M21 ( 1)4 M221 C21 C22 0 0 M11 M120 10 1 1A M21 M22 1 21 2Por lo que podemos verificar: A A 1 I 2 1 1 0 0 11 2 1 00 1
28CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESEjemplo 1.6.24 1 0 1A 2 1 0 1 2 0det(A) 5 0( 1)2 M11 ( 1)3 M12 ( 1)4 M131 M21M22 M23 5M31 M32M33 0 52 15A 1 0 51 25 1 52 15 A 11.6.10.Solución de ecuaciones linealesSi Anxn xnx1 bnx1 y det(A) 6 0 entonces, x A 1 bDefinición 1.6.25 Regla de Cramer: b1 a12 · · · a1n . . . x1 A1 / A donde A1 : . . .bn an2 · · · ann a11 b1 · · · a1n . . . x2 A2 / A donde A2 : . . , etc.an1 bn · · · ann Es un método para encontrar solución a ecuaciones lineales.Ejemplo 1.6.26x y 22y z 1x 2z 4 1 1 0A 0 2 1 ,1 0 2
1.6. MATRICES29 2b 1 4det(A) 3x 2 1 0 1 2 140 232x .31 2 00 1 11 4 2y 3 4y .3z 1 1 20 2 11 0435z .3Una manera de comprobar este resultado es resolviendo ecuación por ecuaciónel sistema de ecuaciones:x y 22y z 1x 2z 4De estas ecuaciones podemos expresar x, y, z de la siguiente forma:x 2 yz 1 2y
30CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORESy 2 xx 4 2zResolviendo:2 y 4 2z2 y 4 2( 1 2y)2 y 4 2 4y 4y 35z 32x 3Ejemplo 1.6.27Y C(Y ) I(r) GM P L(Y, r)Donde:r: Tasa de interésVariables endógenas: Y, rVariables exógenas: G, M, PSi: C(Y ) a bY con a 0, 0 b 1; I(r) α βr con α, β 0 yL(Y, r) γY δr con γ, δ 0.Entonces:Y a bY α βr GM P (γY δr)Equivalente a: 1 bβP γ P δ Yr a α GM
1.7. VECTORES31D : (1 b)P δ β(P γ) 6 0Y r 1.7.1.7.1.1D1Da α GβM P δ1 b a α G P γM (a α G)P δ βMDM (1 b) P γ(a α G)DVectoresMultiplicación vectorialEjemplo 1.7.1 Consideremos los siguientes vectores: 2u 1 1 3 1v 3 1 1 2y 6 2u v 3 1 .3 1 3 2Sea:w 3 1 2 1 3 6 2 4u w 3 1 2 3 1 2 3 3El producto escalar es:u.w 2(3) ( 1)( 1) (1)(2) 9A partir de estos ejemplos podemos observar los siguientes resultados:1. Si dados dos vectores cualesquiera, el primero es columna y el segundoes fila, entonces siempre se pueden multiplicar como matrices.
32CAPÍTULO 1. NOCIONES DE FUNCIONES, MATRICES Y VECTORES2. Dado dos vectores de igual número de componentes, se define su producto escalar4 ası́:u [ u1 u2 · · · un ]v [ v1 v2 · · ·u.v nXvn ]ui vii 11.7.2.Interpretación geométrica de vectoresPrimero se tiene solo un componente: u (2 21 ), ver Figura 1.10Figura 1.10: Vector de un componente.Luego podemos tener vectores de dos componentes u (2 12 , 1 21 ) (verfigura 1.11), que pueden aparecer como vector fila, ó vector columna. [ u1 u2 ];u1u2 .Definición 1.7.2 (Suma de vectores) Si los vectores u y v tienen igualnúmero de componentes (ver representación gráfica de la suma en el figura1.12), su suma se define por:(u v) : (ui vi )4También llamado “producto interno”.
1.7. VECTORES33Figura 1.11: Vector de dos componentes.1.7.3.Interpretación geómétrica del vector por un escalarEjemplo 1.7.3 Sea u (2 12 , 1 12 ), si este es multiplicado por un factor,obtenemos un comportamiento como el de la figura 1.13.1 u.41.7.4.Independencia lineal de dos vectoresEjemplo 1.7.4 Sean u (2, 1) y v (1, 1), cuya representación gráficade observa en la figura 1.14.{αu α R} es la recta Lu{βv β R} es la recta Lv¿ α, β R tal que αu βv (0, 0)?α(2, 1) β(1, 1) (0, 0)(2α β, α β) (0, 0)2α β 0
34CAPÍTULO 1. NOCIONES
así como una introducción al cálculo y análisis en Rn, incluyendo espacio euclidiano, cálculo diferencial y el teorema de la función implícita. Este texto tiene como objetivo servir de guía a los estudiantes de los primeros ciclos de la carrera de economía. Palabras Clave: Matemáticas para la Economía. Funciones. Matrices. Vectores .
