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CLASES DE FUNCIONESPERÍODO2ÁREAMATEMÁTICASFECHA:26 de agosto de 2019CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFAMUNICIPIO DE MEDELLÍNCÁLCULO Y ANÁLISIS MATEMÁTICOLOGROS:Reconoce el concepto de función dentro de las Matemáticas y su utilidad para resolver problemas deaplicación y de la vida diaria.INDICADOR DE LOGRO:Identifica relaciones que son funciones.Halla operaciones con funciones y calcula el dominio de cada una.Analiza, dibuja e interpreta gráficas de funciones reales y resuelve problemas de aplicación sobrerelaciones funcionales.HISTORIAFigura 1: LeibnizFuente: /Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpgGottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio, 1646 - 14 de noviembre, 1716) fue un filósofo, matemático,jurista y político alemán, de origen sorbio, nacido en Leipzig en julio de 1646.Educado en leyes y filosofía, Leibniz jugó un importante papel en la política y diplomacia europea de suépoca. Ocupa un lugar igualmente grande en la historia de la Filosofía y en la de las Matemáticas.Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se halla desdeentonces en uso general. También inventó el sistema binario, en que se basan casi todas las arquitecturasde computación actuales.En Filosofía es más recordado por el optimismo; por ejemplo, su conclusión de que nuestro universo esel mejor mundo posible que Dios podría haber creado. Junto con René Descartes, y Baruch Spinoza esuno de los tres grandes filósofos racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza con la tradiciónescolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica.
FUNCIONES REALESF. POLINÓMICAF. ALGEBRAÍCASF. RACIONALF. ConstanteF. LinealF. Lineal afínF. IdénticaF. PotenciaF. CuadráticaF. Polinómica GeneralF. EXPONENCIALF. TRASCENDENTESF. LOGARÍTMICAF. TRIGONOMÉTRICASF. SenoF. CosenoF. TangenteF. CotangenteF. SecanteF. CosecanteF. VALOR ABSOLUTOF. ESPECIALESF. MAYOR ENTERO CONTENIDOF. POR TRAMOS O PARTECLASES DE FUNCIONESFUNCIÓN CONSTANTE:Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hacex 0. La función constante se define como:𝑓(𝑥) 𝑘, donde k es una constante y 𝑘 𝑅El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k.La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y k.Ejemplo:𝑦 𝑓(𝑥) 32
Solución:𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝐼𝑓 { 3}La gráfica de f es una recta paralela al eje 𝑥, y corta el eje 𝑦 en 𝑦 3Tabla de valores( , )xy 3FUNCIÓN LINEALUna función es estrictamente hablando una aplicación entre conjuntos numéricos o subconjuntos deestos, también se puede decir que es una ley que relaciona una variable 𝑥 (llamada independiente) conotra variable 𝑦 (llamada dependiente) de forma unívoca, es decir, que a cada elemento de la primeravariable, le corresponde un valor y solo uno de la variable dependiente.La variable independiente 𝑥 corresponde al dominio de la función y la variable dependiente 𝑦 es elcodominio de ella. También se dice conjunto de partida (A) y conjunto de llegada (B).Las funciones pueden expresarse de diferentes maneras, mediante una gráfica, una tabla de valores, unafrase que exprese la relación entre ambas variables, una expresión matemática de la forma 𝑦 𝑓(𝑥),donde 𝑦 se llama imagen de 𝑥 y por consiguiente 𝑥recibe el nombre de preimagen de 𝑦.3
Las gráficas de las funciones lineales son rectas que pasan por el origen de coordenadas, su ecuación es𝑦 𝑚𝑥.Ejemplo:Un tanque de reserva tiene un grifo que vierte 4 litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros se almacenaránal cabo de 0 s, 0.2 s, 1 s, 1.5 s, 3.3 s, 4 s y 6 s? ¿Cuál es la fórmula que expresa el volumen en funcióndel tiempo?a. Si el volumen inicial del tanque de reserva fuera 0 litros:Tiempo (min)Volumen (l)000.20.8141.563.3 413.2 16624t4.tLa fórmula que expresa la relación entre el Volumen y el Tiempo es: V 4.t.𝐷𝑜𝑚 𝑓 [0, 6]𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝐼𝑓 [0, 24]Ejemplo:4
Graficar la función 𝑓 (𝑥 ) 3𝑥, hallar su dominio y rango.Tabla de valoresx0y01-3𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 ( , )FUNCIÓN LINEAL AFÍNLas gráficas de ecuación 𝑦 𝑚𝑥 𝑏 son rectas paralelas a la de 𝑦 𝑚𝑥, que atraviesan al eje deordenadas(𝑦) a una altura 𝑏. Estas funciones se denominan funciones afines. En consecuencia sólo seprecisan un par de valores para obtener su respectiva gráfica, siempre y cuando el dominio de la función𝐷𝑓 y su codominio 𝐶𝑓 o imagen es 𝐼𝑓 sean los números Reales.Una función afín es la que tiene por ecuación 𝒚 𝒇(𝒙) 𝒎𝒙 𝒃. Al coeficiente 𝒎 se le llamapendiente y a 𝒃 ordenada en el origen o intercepto con el eje y. Su gráfica es una línea recta.Ejemplo:De una función afín 𝑓: 𝑅 𝑅, cuya fórmula 𝑦 𝑚𝑥 𝑏 desconocida, sólo sabemos las imágenes delos valores 0, 1, 5, 7 y 10:5
xy 4 1Incremento de x:0213.5 259.5712.5 31017Incremento de y: 1.5 6 3 4.5El incremento de una función se representa con la letra griega en mayúscula , o en minúscula 𝛿, nombre“delta”, equivalente en romano a 𝑑 y que para el caso de las Matemáticas significan incremento ovariación de una variable. Si se asocia a cada incremento un segmento de igual longitud, se puedeobservar un triángulo rectángulo que permite en cada caso definir una razón entre sus lados. ¡Observa! 𝑥 incremento de x o distancia dirigida horizontal 𝑦 incremento de y o distancia dirigida verticalSi consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y: 𝑥 𝑦462334,5Observamos que se corresponde con una relación de proporcionalidad directa de razón, que en este casoes:𝑚 𝑦 𝑥 1.5 32¡compruébalo!6
A esta razón se le denomina pendiente y se representa generalmente con la letra 𝑚. Se puede demostrarque la fórmula que expresa la función tiene por pendiente 1.5, es decir, 𝑦 1.5𝑥 2 ¿Por qué?Como 𝑓 (1) 3,5; entonces será 3,5 1,5 (1) 𝑏, de donde 𝑏 2 y la fórmula buscada sería:3𝑦 1,5 𝑥 2 o también: 𝑦 2 𝑥 2Ejemplo:𝑓(𝑥) 2𝑥 4Solución:𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚 𝑓 ( , ) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓La pendiente de la gráfica es -2 y corta el eje y en 𝑦 4Tabla de valoresx0y420FUNCIÓN IDENTIDAD:xy-2-233557
La función identidad es una función lineal con a 1 y b 0. La función lineal se define por: 𝑓(𝑥 ) 𝑥.El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La funciónidentidad biseca los cuadrantes I y III.FUNCIÓN POTENCIA:Una función de la forma 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 𝑎 , donde a es una constante, se llama función de potencia.Consideramos varios casos.1. a n, donde n es un entero positivo.Las gráficas de 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 𝑛 para n 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en las siguiente figuras:La forma general de la gráfica de 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 𝑛 depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces 𝑓(𝑥 ) 𝑥 𝑛 es una función par y su gráfica es semejante a la parábola 𝑦 𝑥 2 ; si n es impar, entonces 𝑓(𝑥 ) 𝑥 𝑛 es una función impar y su gráfica es semejante a la de 𝑦 𝑥 3 .Sin embargo, a medida que n aumenta, la gráfica de 𝑦 𝑥 𝑛 se hace más plana cerca de 0 y más empinadacuando 𝑥 1.8
12. 𝑎 𝑛, donde n es un entero positivo.1La función 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 es una función raíz. Para n 2 es la función raíz cuadrada, cuyo dominioes [0, ) y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola 𝑥 𝑦 2.Para otros valores pares de n, la gráfica de 𝑦 𝑛 𝑥 es semejante a la de 𝑦 𝑥 . Para n 3 tenemos lafunción raíz cúbica 𝑓 (𝑥) 3 𝑥 cuyo dominio es R. La gráfica de 𝑦 𝑛 𝑥 para n impar (n 3) essemejante a la de 𝑦 3 𝑥 .9
3. 𝑎 1𝟏La gráfica de la función recíproca 𝒇(𝒙) 𝒙 𝟏 se muestra en la siguiente figura. Su gráfica tiene𝒙1la ecuación 𝑦 𝑥, o 𝑥𝑦 1, y es una hipérbola con los ejes de coordenadas como sus asíntotas.𝑥𝑦-4-0.25-3 0. 3̂-2-0.5Tabla de valores-1-0.5-0.4-1-2-2.5-0.2-5-0.1-100N.E.0.11010
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , 0) (0, ) 𝑅 {0}𝐼𝑓 ( , 0) (0, )FUNCIÓN CUADRÁTICA:Una función cuadrática es una función f de la forma 𝑓(𝑥 ) 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐, donde a, b y c son númerosreales y 𝑎 0.En particular, si se toma 𝑎 1, 𝑏 𝑐 0, se obtiene una función cuadrática simple que sería 𝑦 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 2 y de 𝑉(0, 0).FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICAUna función cuadrática 𝑓 (𝑥 ) 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐 se puede expresar en la forma estándar:𝑓 (𝑥 ) 𝑎 (𝑥 ℎ )2 𝑘completando el cuadrado. La grafica de f es una parábola con vértice (h, k); la parábola se abre haciaarriba si a 0 o hacia abajo si a 0.VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICASea f una función cuadrática con forma estándar. 𝑓(𝑥 ) 𝑎(𝑥 ℎ)2 𝑘. El valor máximo o mínimo de𝑓 ocurre en x h.Si a 0, entonces el valor mínimo de f es 𝑓 (ℎ) 𝑘Si a 0, entonces el valor máximo de f es 𝑓 (ℎ) 𝑘11
Si se está interesado solo en hallar el valor máximo o mínimo, entonces hay una fórmula para hacerlo.Esta fórmula se obtiene completando el cuadrado para la función cuadrática general como sigue:𝑓(𝑥 ) 𝑎𝑥 2 𝑏𝑥 𝑐𝑏𝑓(𝑥 ) 𝑎 (𝑥 2 𝑥) 𝑐𝑎𝑏𝑏2𝑏2𝑓(𝑥 ) 𝑎 (𝑥 2 𝑥 2 2 ) 𝑐𝑎4𝑎4𝑎𝑏2𝑏𝑎𝑏2 𝑎 (𝑥 2 𝑎 𝑥 4𝑎2) 𝑐 4𝑎2𝑏2𝑏2 𝑎 (𝑥 2𝑎 ) 𝑐 4𝑎Esta ecuación está en la forma estándar 𝑓 (𝑥 ) 𝑎(𝑥 ℎ)2 𝑘 con:h b2ayk 𝑐 𝑏24𝑎 4𝑎𝑐 𝑏 24𝑎Ejemplo:Hallar el valor máximo o mínimo de la función cuadrática 𝑓 (𝑥) 2𝑥 2 4𝑥 5. Puesto que a 0, lafunción tiene el valor máximo en:b4h 12a2( 2)k 5 4216 5 5 2 34( 2)8El valor de k también se puede obtener con la imagen de h, es decir f(h) kf(1) 2(1)2 4(1) 5 3Ejemplo:𝑓(𝑥) 𝑥 2 2𝑥 112
𝑥𝑦Tabla de valores-0.41 010-1-22.410Interceptos:𝑆𝑖 𝑥 0 𝑦 𝑓 (0) 02 2(0) 1 1(0, 1)𝑆𝑖 𝑦 0 𝑥 2 2𝑥 1 0 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 ( 2) ( 2)2 4(1)( 1) 2 8 2 2 2𝑥 1 22𝑎2(1)22𝑥1 1 2 2.41𝑥2 1 2 0.41( 0.41, 0) y (2.41, 0)FUNCIÓN POLINÓMICA:Una función se denomina polinómica si está definida por: 𝑓 (𝑥 ) 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑎𝑛 1 𝑥 𝑛 1 𝑎𝑛 2 𝑥 𝑛 2 𝑎2 𝑥 2 𝑎1 𝑥 𝑎0 , donde los coeficentes 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎𝑛 son números reales y 𝑛 𝑍 {0}.𝑓 se llama función polinomial de grado 𝑛, si el coeficiente principal 𝑎𝑛 0.El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.Ejemplo:𝑓(𝑥) 3𝑥 4 4𝑥 3 10𝑥 2 513
Solución:𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )La gráfica corta al eje 𝑦 en 5La gráfica corta al eje 𝑥, en dos puntos.𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 [𝑎, )Encontrar el valor de 𝑎, requiere conocimientos de cálculo diferencial, dado que se debe calcular puntosmáximos y mínimos por medio del concepto de Derivada.𝑥𝑦Tabla de valores-3-2-2.5 -155 -14 -2.81 -6050.53.1812245FUNCIÓN RACIONAL:Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales.Esto es, una función racional es de la forma:𝑓 (𝑥 ) 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), donde P y Q son polinomios. El dominio de la función racional consiste de todos losnúmeros reales, a excepción de aquellos para los cuales Q(x) 0.Ejemplo:3f(x) x, como el índice de la raíz es impar, en el numerador se puede dar cualquier valor real a x.xDebido a que la división por cero no está definida en los reales, se debe excluir este valor del dominio dela función. Así:𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅 {0}𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 (0, )314
Ejemplo:f ( x) x 3 3x 2 4 x 12x2 x 6Para hallar el dominio debemos resolver la siguiente ecuación:𝑥2 𝑥 6 0(𝑥 3)(𝑥 2) 0𝑥 3 0 𝑥 2 0𝑥 3 𝑥 2𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅 { 2, 3} ( , 2) ( 2, 3) (3, )Ahora:𝑥 3 3𝑥 2 4𝑥 12 (𝑥 3)(𝑥 2)(𝑥 2)𝑓 (𝑥 ) 𝑥 2, 𝑥 { 2, 3}(𝑥 3)(𝑥 2)𝑥2 𝑥 6𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝑅 { 4, 1}XY-2N.E.0-23N.E.4215
Ejemplo:2𝑥 2Hallar los interceptos, simetrías, dominio, rango y construir la gráfica de 𝑓(𝑥 ) 𝑥 2 1Interceptos: (0, 0)Simetrías: con el eje y𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅 { 1, 1}𝐼𝑓 ( . 0] (2, )RECORDEMOS QUE:LAS ASÍNTOTAS son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lomenos una de las variables (x o y) tienden al infinito.Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y f(x) de tal forma que, por lo menos, unade sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinadatiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.Las asíntotas se clasifican �í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 ���𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎𝑠FUNCIÓN EXPONENCIALSea 𝑎 un número real positivo. La función que a cada número real 𝑥 le hace corresponder la potencia 𝑎 𝑥se llama función exponencial de base a y exponente x.16
Como 𝑎 𝑥 0 para todo 𝑥 𝑅, la función exponencial es una función de R en 𝑅 .En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base𝑎 1 (fig. 1) y de base 𝑎 1 (fig. 2).Figura 1:Figura 2:17
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝐼𝑓 (0, )Note que cuando la base a 1, la función exponencial 𝑦 𝑎 𝑥 (fig.1) no está acotada superiormente. Esdecir, 𝑎 𝑥 crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremoinferior. Esto es, 𝑎 𝑥 tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos.Igualmente, cuando la base a 1, la función exponencial 𝑦 𝑎 𝑥 (fig.2) no está acotada superiormente,pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, 𝑎 𝑥 crece sinlímite, al tomar x valores grandes, pero negativos y 𝑎 𝑥 tiende a cero, cuando la variable x toma valoresgrandes positivos.Cuando a e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifrasy, frecuentemente, se denota por 𝑓 (𝑥 ) 𝑒 𝑥 .EL NÚMERO DE EULER (𝑒)Cualquier número positivo se puede usar como base para una función exponencial, pero algunas basesse usan con más frecuencia que otras.1 𝑛El numero e se define como el valor al que se aproxima (1 𝑛) cuando n se vuelve grande. (En calculoesta idea se hace más precisa por el concepto de limite).1 𝑛En la tabla de valores siguiente se muestran los valores de la expresión (1 𝑛) para valores de n cadavez más grandes.𝑛1510100100010 000100 0001 000 0001 𝑛(1 18272.71828Valor aproximado a 20 lugares decimales sería: 𝑒 2.71828182845904523536FUNCIÓN LOGARÍTMICASea a un real positivo fijo, 𝑎 1 y sea x cualquier real positivo, entonces:𝑦 log 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑥Así, log 𝑎 𝑥 es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.18
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base 𝑎 1 , denotadapor 𝑦 log 𝑎 𝑥 , se llama: función logarítmica de base a, y, el número log 𝑎 𝑥 se llama logaritmo de x enla base a.La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en una basedada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.Ejemplo:𝐷𝑜𝑚 𝑓 (0, )𝐼𝑓 ( , ). Asíntota: 𝑥 0Sí 𝑎 1, siempre creciente y continua.Sí 0 𝑎 1, siempre decreciente y continua.y 𝑙𝑜𝑔1 𝑥219
Sí 0 𝑎 1, siempre es decreciente y continua.𝑦 2𝑥 𝑒 𝑦 log 2 𝑥Observe que: las curvas son simétricas con respecto a la recta y x. Es decir, respecto a la funciónidéntica.Logaritmo Común o Decimal:Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base.log10 𝑥 log 𝑥Logaritmo Natural:Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el númeroe.log 𝑒 𝑥 ln 𝑥PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSPropiedad1.2.3.4.log 𝑎 1 0log 𝑎 𝑎 1log 𝑎 𝑎 𝑥 𝑥𝑎log𝑎 𝑥 𝑥RazónSe debe elevar 𝑎 a la potencia 0 para obtener 1.Se debe elevar 𝑎 a la potencia 1 para obtener a.Se debe elevar 𝑎 a la potencia x para obtener 𝑎 𝑥 .log 𝑎 𝑥 es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.20
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS NATURALESPropiedadRazónln 1 0𝑙𝑛 𝑒 1𝑙𝑛 𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑙𝑛 𝑥 𝑥1.2.3.4.Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.Se tiene que elevar 𝑒 a la potencia x para obtener 𝑒 𝑥 .𝑙𝑛 𝑥 es la potencia a la cual e debe ser elevar para obtener x.LEYES DE LOS LOGARITMOSSea a un número positivo, con 𝑎 1. Sea 𝑥 y 𝑦 números reales cualesquiera con 𝑥 0 y 𝑦 0.log 𝑎 (𝑥 𝑦) log 𝑎 𝑥 log 𝑎 𝑦𝑥log 𝑎 (𝑦) log𝑎 𝑥 log 𝑎 𝑦El logaritmo de un producto de números es igual a la suma de loslogaritmos de los números.El logaritmo de un cociente de números es igual a la diferencia delos logaritmos de los números.log 𝑎 (𝑥 𝑟 ) 𝑟 log 𝑎 𝑥El logaritmo de una potencia de un número es el exponentemultiplicado por el logaritmo del número. (Donde r es cualquiernúmero real).Ejemplo:Encuentre el dominio de la siguiente función y bosqueje su gráfica.ℎ(𝑥) log10 (𝑥 3)La grafica de h se obtiene de la gráfica de log10 𝑥 desplazándola a la derecha tres unidades, dado que esuna transformación.Recordemos que: 𝑦 𝑓 (𝑥 𝑐 ), la gráfica se desplaza una distancia de 𝑐 unidades hacia la derecha, conrespecto a 𝑦 𝑓(𝑥).La recta x 3 es una asíntota vertical. Puesto que log10 𝑥 se define solo cuando x 0, el dominio de ℎ(𝑥 )es:𝑥 3 0𝑥 3𝐷𝑜𝑚 𝑅 (3, )𝐼𝑓 ( , ) 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.𝑥𝑦 log10 (𝑥 3)34N.E. 050.306789130.47 0.60 0.69 0.77 121
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASy Sen xy Cos xy Tan xy Cot xy Sec xy Csc xEjemplo:𝑓(𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝐼𝑓 [ 1, 1]El rango también se puede expresar: 1 𝑦 122
1 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) 1, o bien, en términos de valor absoluto: 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 1Del mismo modo, los ceros de la función seno se presentan en múltiplos enteros de 𝜋; esto es, sen x 0cuando 𝑥 𝑛𝜋, n es un entero.Ejemplo:𝑓(𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienenperiodo 2𝜋. Esto significa que, para todos los valores de x:𝑠𝑒𝑛(𝑥 2𝜋) 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥 2𝜋) 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥Ejemplo:𝑓(𝑥 ) 𝑦 tan(𝑥)La función tangente está relacionada a las funciones seno y coseno por la ecuación:tan(𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)cos(𝑥)𝜋No está definida siempre que cos(𝑥) 0, es decir, cuando 𝑥 2 , Observe que la función tangente tiene periodo 𝜋:3𝜋2, . Su rango es ( , ).tan(𝑥 𝜋) tan(𝑥), para toda 𝑥.23
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOLa función valor absoluto se define por:𝑥,𝑓(𝑥) 𝑥 { 0, 𝑥,𝑠𝑖 𝑥 0𝑠𝑖 𝑥 0𝑠𝑖 𝑥 0La función valor absoluto está definida por partes.𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 [0, )24
FUNCIÓN MAYOR ENTERO CONTENIDOPara denotar el mayor entero contenido en un número real 𝑥, se usa el símbolo ⟦𝑥 ⟧.𝑦 𝑓(𝑥 ) ⟦𝑥 ⟧ está definida por la regla: ⟦𝑥 ⟧ 𝑛, donde 𝑛 es un entero que satisface 𝑛 𝑥 𝑛 1.La expresión anterior, traducida a lenguaje coloquial, significa lo siguiente: el valor funcional 𝑓(𝑥) esel entero mayor 𝑧 que es menor o igual a 𝑥, si 𝑥 𝑅.Ejemplo:𝑓( 1.5) ⟦ 1.5⟧ 2𝑓(0.4) ⟦0.4⟧ 0𝑓 ( 𝜋 ) ⟦𝜋 ⟧ 3𝑓 ( 5 ) ⟦5 ⟧ 5𝑓( 2) ⟦ 2⟧ 2El dominio de f es el conjunto de números reales y consta de la unión de una infinidad de intervalosajenos; en otras palabras, 𝑓 (𝑥 ) ⟦𝑥 ⟧ es una función definida por partes. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅 y el rango de f esel conjunto de enteros: 𝐼𝑓 𝑍.Para hacer la gráfica, es necesario calcular algunos valores para 𝑛 𝑍:Si 3 𝑥 2, entonces 𝑦 ⟦𝑥 ⟧ 3Si 2 𝑥 1, entonces ⟦𝑥 ⟧ 2Si 1 𝑥 0, entonces ⟦𝑥 ⟧ 1Si 0 𝑥 1, entonces ⟦𝑥 ⟧ 0Si 1 𝑥 2, entonces ⟦𝑥 ⟧ 1Si 2 𝑥 3, entonces ⟦𝑥 ⟧ 2 y así sucesivamente.25
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , )𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝐼𝑓 𝑍Geométricamente, el máximo entero ⟦𝑥 ⟧ es el número entero ubicado a la izquierda más próximo de 𝑥,o que coincide con este, en caso de ser 𝑥 un número entero.PROPIEDADESSea 𝑥 𝜖 𝑅 𝑦 𝑛 𝜖 𝑍, entonces:1.2.3.4.5.6.7.⟦𝑥 ⟧ 𝑍⟦𝑥 ⟧ 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 1⟦𝑥 ⟧ 𝑥 ⟦𝑥 ⟧ 1, 𝑥 𝑅0 𝑥 ⟦𝑥 ⟧ 1, 𝑥 𝑅⟦𝑥 ⟧ 𝑥 𝑥 𝑍⟦⟦𝑥⟧⟧ ⟦𝑥 ⟧⟦𝑥 𝑛⟧ ⟦𝑥 ⟧ 𝑛, 𝑛 𝑍Ejemplo:Resolver la ecuación ⟦𝑥 5⟧ 4⟦𝑥 5⟧ 4 ⟦𝑥 ( 5)⟧ 4 ⟦𝑥 ⟧ ( 5) 4 ⟦𝑥 ⟧ 4 5 ⟦𝑥 ⟧ 9 9 𝑥 9 1 9 𝑥 10𝑆 [9, 10)Ejemplo:𝑥 2Hallar el dominio de la función 𝑓 (𝑥 ) ⟦𝑥⟧ 2Se sabe que 𝑓(𝑥 ) 𝑅 ⟦𝑥 ⟧ 2 0Pero ⟦𝑥 ⟧ 2 0 ⟦𝑥 ⟧ 2 2 𝑥 2 1, aplicando la definición de máximo entero. Osea que 𝑥 [ 2, 1)Entonces ⟦𝑥 ⟧ 2 0 𝑥 [ 2, 1). Por lo tanto:𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , 2) [ 1, )Ejemplo:Construir la gráfica de la función 𝑔(𝑥 ) ⟦𝑥 3⟧Si ⟦𝑥 3⟧ 𝑛, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝑍 𝑛 𝑥 3 𝑛 1. Por definición de mayor entero contenido. 𝑛 3 𝑥 3 3 𝑛 1 3 𝑛 3 𝑥 𝑛 226
Entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓 {𝑥: 𝑥 [𝑛 3, 𝑛 2), 𝑛 𝑍} 𝑅Como 𝑦 𝑓 (𝑥 ) 𝑛, entonces el 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝑍Luego eligiendo algunos valores para 𝑛 𝑍, se tiene:. 2, 𝑠𝑖 5 𝑥 4 1, 𝑠𝑖 4 𝑥 30, 𝑠𝑖 3 𝑥 2𝑓 (𝑥 ) ⟦𝑥 3⟧ 1, 𝑠𝑖 2 𝑥 12, 𝑠𝑖 1 𝑥 03,𝑠𝑖 0 𝑥 1.{.NOTA: dada una función 𝑔, cuya gráfica es conocida (se traza de forma discontinua), la gráfica de lafunción 𝑓 (𝑥 ) ⟦𝑔(𝑥)⟧ estará constituida por segmentos horizontales, uno de cuyos extremos estarásobre la gráfica de 𝑔.FUNCIÓN SEGMENTADA O POR TRAMOSEjemplo:f(x) {𝑥 6 16 𝑥 26 𝑥𝑠𝑖 𝑥 4𝑠𝑖 4 𝑥 4𝑠𝑖 𝑥 427
Solución:La variable independiente 𝑥 puede tomar cualquier valor real, dado que:𝐷𝑜𝑚 𝑓 ( , 4] ( 4, 4) [4, ) ( , ) 𝑅De acuerdo con la gráfica de la función, los valores que puede tomar la viariable dependiente 𝑦, sería:𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 𝐼𝑓 ( , 4]El punto sólido indica que el punto por ejemplo (-4, 2) está incluido en la gráfica; el punto abierto indicaque el punto (-4, 0) está excluido de la gráfica.TABLA DE VALORES𝑥-4-5-6-7𝑥-4-3-2-101234𝑓(𝑥) 𝑥 6210-1𝑔(𝑥 ) 16 𝑥 20 (No está contenido) 7 2.642 3 3.46 15 3.874 15 3.872 3 3.46 7 2,640 (No está contenido)𝑥45678ℎ(𝑥) 6 𝑥210-1-228
SIMETRÍAFUNCIÓN PARSi una función f satisface 𝑓( 𝑥 ) 𝑓(𝑥) para todo número x en su dominio, entonces f se llama funciónpar. Por ejemplo, la función 𝑓(𝑥 ) 𝑥 2 es par porque:𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥 )2 𝑥 2 𝑓(𝑥)La importancia geométrica de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Estosignifica que si hemos trazado la gráfica de f para 𝑥 0, obtenemos toda la gráfica con sólo reflejar estaparte respecto al eje y.29
Ejemplo:𝑓(𝑥 ) 3𝑥 4 2𝑥 2Como el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅, por ser 𝑓 una función polinómica, entonces:Si 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅.𝑓( 𝑥 ) 3( 𝑥 )4 2( 𝑥 )2 3𝑥 4 2𝑥 2 𝑓( 𝑥 ) 𝑓(𝑥 )Por lo tanto, 𝑓 es una función par.Ejemplo:𝑔(𝑥 ) 𝑥 3 2𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ( 3, 3)Si 𝑥 ( 3, 3) 3 𝑥 3 3 𝑥 3 𝑥 ( 3, 3)Si 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ( 3, 3) 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ( 3, 3)𝑔( 𝑥 ) ( 𝑥 )3 2( 𝑥) 𝑥 3 2𝑥 (𝑥 3 2𝑥 ) 𝑥 3 2𝑥 𝑔( 𝑥 ) 𝑔(𝑥 ) 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑔Por lo tanto, 𝑔 es una función par.Ejemplo:3ℎ(𝑥) ⟦ 𝑥 ⟧ , 𝑠𝑖 𝑥 [ 2, 2]2Si 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 [ 2, 2] 2 𝑥 2 2 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 [ 2, 2]Luego:Si 𝑥 𝐷𝑜𝑚 ℎ [ 2, 2] 𝑥 𝐷𝑜𝑚 ℎ [ 2, 2]33ℎ( 𝑥 ) ⟦ 𝑥 ⟧ ⟦ 𝑥 ⟧ ℎ(𝑥 )22Por lo tanto, ℎ es una función par.¿Cuál sería su gráfica?Como La función es par es simétrica con respecto al eje y, por lo tanto, su punto medio con respecto aldominio está en cero. Para dibujar la gráfica se tiene que:𝐷𝑜𝑚 𝑓 [ 2, 0) [0, 2]Entonces se tienen dos partes para dibujar:33𝑓1 (𝑥 ) ⟦ 𝑥 ⟧ , 𝑠𝑖 𝑥 [0, 2] y 𝑓2 (𝑥 ) ⟦ 𝑥 ⟧ , 𝑠𝑖 𝑥 [ 2, 0)223Si 𝑥 [0, 2], 𝑥 𝑥 𝑓1 (𝑥 ) ⟦𝑥 2⟧ 𝑛, 𝑛 𝑍333Si 𝑥 [0, 2] 0 𝑥 2 0 2 𝑥 2 2 2337 2 𝑥 2 2 1.5 𝑥 1.5 3.53 7Ahora, se dan valores a 𝑛 hasta cubrir el intervalo [2 , 2] [1.5, 3.5], se sigue que:30
1, 𝑠𝑖 1.5 𝑥 1.5 23⟦𝑥 ⟧ { 2, 𝑠𝑖 2 𝑥 1.5 323, 𝑠𝑖 3 𝑥 1.5 3.5 𝑓1 (𝑥 ) {1, 𝑠𝑖 0 𝑥 0.52, 𝑠𝑖 0.5 𝑥 1.53, 𝑠𝑖 1.5 𝑥 2, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓Entonces la segunda parte de la gráfica se obtiene por reflexión, sobre el eje Y.FUNCIÓN IMPARSi f satisface 𝑓( 𝑥 ) 𝑓(𝑥) para todo número x en su dominio, entonces f se llama función impar. Porejemplo, la función 𝑓 (𝑥 ) 𝑥 3 es impar porque: 𝑓( 𝑥 ) ( 𝑥 )3 𝑥 3 𝑓(𝑥 )La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Si ya tenemos la gráfica de f para 𝑥 0,podemos obtener toda la gráfica al girar 180 esta parte alrededor del origen.31
Ejemplo:Determinar si la función dada es impar.𝑓(𝑥 ) 2𝑥 3 3𝑥Sí 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑅𝑓( 𝑥 ) 2( 𝑥 )3 3( 𝑥 ) 2𝑥 3 3𝑥 (2𝑥 3 3𝑥 ) 𝑓( 𝑥 ) 𝑓(𝑥)Por lo tanto, 𝑓 es una función impar.Ejemplo:Determinar si la función dada es impar.3𝑔(𝑥 ) 𝑥 (2 𝑥 ), si 𝑥 [ 2, 2]Sí 𝑥 [ 2, 2] 2 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 [ 2, 2]333𝑔( 𝑥 ) 𝑥(2 𝑥 ) 𝑥(2 𝑥 ) 𝑥 (2 𝑥 ) 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑔(𝑥)Por lo tanto, 𝑔 es una función impar.FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTESUna función 𝑓 se llama creciente en un intervalo 𝐼 si 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) siempre que 𝑥1 𝑥2 en el I.Se llama decreciente en un intervalo I si 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) siempre que 𝑥1 𝑥2 en el I.Ejemplo:Según los datos de la siguiente gráfica de la temperatura registrada a lo largo de un día:a) Estimar la temperatura máxima y mínima de ese día y las horas a las que se produjeron talestemperaturas.b) ¿En cuáles períodos del día la temperatura crece? ¿Y en cuáles decrece?c) ¿A qué hora la temperatura fue de 0 C?32
Solución:a) La temperatura máxima se produce a las 2 de la tarde y es aproximadamente de 15 C. Latemperatura mínima se produce a las 4 de la mañana y es de -4 C.b) La temperatura aumenta entre las 4 a.m. y las 8 a.m. y entre las 10 a.m. y las 2 p.m. Disminuyeentre las 0 horas y las 4 a.m., entre las 8 a.m. y 10 a.m. y entre las 2 p.m. y las 24 horas o 12 p.m.c) A las 2 a.m. y 5:15 a.m., aproximadamente.COMBINACIÓN DE FUNCIONESDos funciones f y 𝑔 se pueden combinar para formar nuevas funciones 𝑓 𝑔, 𝑓 𝑔, 𝑓 𝑔 y𝑓𝑔de unmodo semejante a como sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números reales. Las funcionesde suma y diferencia están definidas por:(𝑓 𝑔)(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) 𝑔(𝑥 )(𝑓 𝑔)(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) 𝑔(𝑥 )(𝑓 𝑔)(𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) 𝑔(𝑥 )𝑓𝑓(𝑥)( ) (𝑥 ) , con 𝑔(𝑥) 0𝑔𝑔(𝑥)Si el dominio de f es A y el dominio de 𝑔 es B, entonces el dominio de 𝑓 𝑔 es la intersección 𝐴 𝐵porque 𝑓(𝑥 )𝑦 𝑔(𝑥) tienen que estar definidas.FUNCIÓN COMPUESTAHay otra forma de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Por ejemplo, supongamosque 𝑦 𝑓 (𝑢) 𝑢 y 𝑢 𝑔(𝑥 ) 𝑥 2 1.33
Como y es una función de 𝑢 y u es, a su vez, una función de x, se deduce que y es en última instanciauna función de x. Calculamos esto por sustitución:𝑦 𝑓(𝑢) 𝑓[𝑔(𝑥)] 𝑓 (𝑥 2 1) 𝑥 2 1El resultado es una nueva función ℎ(𝑥 ) 𝑓 [𝑔(𝑥)] obtenida al sustituir 𝑔 en f. Se denomina composición(o compuesta) de 𝑓 𝑦 𝑔. Se denota por 𝑓 𝑔 (“f círculo 𝑔”).(𝑓 𝑔)(𝑥) 𝑓 [𝑔(𝑥 )]FUNCIÓN BIUNÍVOCA O INYECTIVADefinición: una función f recibe el nombre de función biunívoca o correspondencia uno a uno, si nuncatoma el mismo valor dos veces; esto es,𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) siempre que 𝑥1 𝑥2Otra definición equivalente de una función inyectiva es que la igualdad de dos elementos del rangoimplica la igualdad de dos elementos del dominio. Es decir: 𝑓: 𝐴 𝐵 cumple esta condición si:𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) 𝑥1 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥2 𝐴Ejemplo:La 𝑓: 𝑅 𝑅 definida por 𝑓 (𝑥 ) 2𝑥 1 es inyectiva, ya que𝑓 (𝑥1 ) 𝑓 (𝑥2 ) 2𝑥1 1 2𝑥2 1 2𝑥1 2𝑥2 𝑥1 𝑥2Igualdad de imágenes Igualdad de preimágenesPrueba de la recta horizontal:Una función es biunívoca si y sólo si no hay una recta horizontal que cruce su gráfica más de una vez.FUNCIÓN SOBREYECTIVAUna función es sobreyectiva cuando el rango y el codominio (conjunto de llegada) son iguales.También si todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A; es decir:𝑓: 𝐴 𝐵 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑓(𝐴) 𝐵Ejemplo:¿La función ℎ: 𝑁 {0} 𝑁 definida por la propiedad: ℎ(𝑥 ) 𝑥 1 es sobreyectiva?Puesto que el 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 ℎ 𝐼ℎ 𝑁, se concluye que la función es sobreyectiva.34
Ejemplo:Sea 𝑔: 𝑅 𝑅 definida por la propiedad: 𝑔(𝑥 ) 𝑥 2 1. ¿Es sobreyectiva?Miramos si el rango de 𝑔 coincide con el conjunto de llegada que son los Reales. Para ello despejamosla 𝑥.𝑦 𝑥2 1 𝑥2 1 𝑦 𝑥2 𝑦 1 𝑥 𝑦 1Si 𝑦 1 𝑅 𝑦 1 0𝑦 1𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑔 𝐼𝑔 [ 1, )Como el rango no coincide con el conjunto de llegada, entonces no es sobreyectiva.FUNCIÓN BIYECTIVASon inyectivas y sobreyectivas a la vez.La condición para que una función 𝑓 tenga inversa, es que 𝑓 sea biyectiva.FUNCIÓN INVERSALas funciones biunívocas o inyectivas son importantes porque son precisamente las que poseen funcionesinversas de acuerdo con la siguiente definición.Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa 𝑓 1 tiene dominioB y rango A y está definida por:𝑓 1 (𝑦) 𝑥 𝑓 (𝑥 ) 𝑦PROPIEDAD:𝑓 1 (𝑓(𝑥)) 𝑥, para cualquier 𝑥 en A𝑓(𝑓 1 (𝑥 )) 𝑥, para cualquier 𝑥 en BCOMO DETERMINAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNO A UNOa) Escriba 𝑦 𝑓(𝑥)b) Resuelva esta ecuación para 𝑥 en términos de 𝑦 (si es posible)c) Intercambie 𝑥 𝑦. La ecuación resultante es y 𝑓 1 (𝑥)OBSERVACIÓN:La gráfica de 𝑓 1 se obtiene reflejando la de f en la recta 𝑦 𝑥.35
LAS FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSVARIACIÓNExisten dos tipos de variación: variación directa y variación inversa.Variación Directa: es una función que se define por una ecuación que está en la forma y k x, donde kes una constante no igual a cero. La variable y varía directamente de x. La constante k es llamada laconstante de variación o de proporcionalidad. La variación directa establece un único valor de y paracada valor de x. En la variación directa las dos variables aumentan (o disminuyen) juntas. Cuando eldominio es un conjunto de números reales, la gráfica de la variación directa es una línea recta conpendiente k que pasa por el origen.𝑘Variación Inversa: es una función que se define por una ecuación que está en la forma 𝑦 𝑥, donde xno es igual a cero. La variable y varía a la inversa de x. En la variación inversa el aumento de una de lasvariables significa la disminución de la otra variable. La gráfica de esta variación es una hipérbola.ECUACIÓN𝑦 𝑘𝑥; con 𝑘 constante𝑦 𝑘𝑥 𝑛 ; con k constante𝑘𝑦 𝑥; con k constante𝑘𝑦 𝑥 𝑛; con k constanteSIGNIFICADOy varía directamente con xy es directamente proporcional a x.y varía directamente con la n-ésima potencia de x.y es directamente proporcional a la potencia n-ésima de x.y varía inversamente con x.y es inversamente proporcional a x.y varía inversamente con la n-ésima potencia de x.36
𝑦 𝑘𝑥𝑤; con k constantey es inversamente proporcional a la potencia n-ésima de x.y varía directamente con x e inversamente con w.TALLER: PLAN DE MEJORAMIENTO SEGUNDO PERÍODO1.
El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca los cuadrantes I y III. FUNCIÓN POTENCIA: Una función de la forma ( ) , donde a es una constante, se llama función de potencia. Consideramos varios casos. 1. a n, donde n es un entero positivo.
