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Respuesta en frecuencia Se puede representar completamente el comportamiento enfrecuencia que tiene un circuito (o sistema cualquiera) defunción de transferencia conocida mediante dos diagramas:a) Uno que represente la amplitud o ganancia en función dela frecuencia (f) o de la pulsación (ω)b) Otro que represente el ángulo de fase en función de lafrecuencia (f) o de la pulsación (ω)G( j ω )G( j ω )Diagrama demódulosDiagrama defasesωω Nota: es indiferente utilizar la pulsación o la frecuencia enabscisas: puesto que ω 2·π ·f, la representación essemejanteEl decibelio (dB) Unidad de medida de ganancias respecto de un punto dereferencia en el circuitoDefinición de ganancia de potencia en decibelios (dB) :B Punto referencia del circuitoA Punto donde se mide laganancia respecto de BSi la potencia se entrega sobre cargas iguales:A P (dB ) 10 log10PAPBV A2A P (dB ) 10 log 10PA VR 10 log 10 LOAD 10 log 10 APBVB2 VBR LOAD2 V 20 log 10 A VB VA Definición de ganancia de tensión en dB: A (dB) 20 log V u10B I ADefinición de ganancia de corriente en dB: A i (dB ) 20 log10 I B 1

Diagrama de Bode Representación de módulo y fase de una función detransferencia o ganancia, en función de la frecuencia (f) o lapulsación (ω)La frecuencia (o pulsación) se representa en escala logaritmicaEl diagrama de módulos se representa en decibelios (escalalogarítmica) El diagrama de fases se representa linealmente Ejemplo:G(j ω)[dB]40200-20-401102103104105106107108f (Hz)8f (Hz)10G(j ω) [º]900-90-180-27011021031041051061071010Diagrama de Bode Ventajas de la representación logarítmica: Se convierte el producto de amplitudes en suma:log( A B) log A log B Existe un método de trazado del logaritmo de la amplitud,basado en una aproximación mediante rectas (asintótica). Permite ver fácilmente la respuesta del sistema a baja yalta frecuencia en el mismo diagrama. DEFINICIÓN DE DÉCADAS Y OCTAVAS: Década: banda de frecuencias (o pulsaciones)comprendidas entre f0 y 10·f0. Octava: banda de frecuencias (o pulsaciones)comprendidas entre f0 y 2·f0. Sobre el diagrama, la distancia entre frecuencias (opulsaciones) que guardan igual relación es constante2

Diagrama de Bode DEFINICIÓN DE DÉCADAS Y OCTAVAS: Década: banda de frecuencias entre f0 y 10·f0. Octava: banda de frecuencias entre f0 y 01102f210-1Década3100410156 7 8 9 10102fOctavasTrazado del Bode asintótico En general, una función de transferencia será de la forma:N( jω)N(s)G( jω) (Regimen senoidal)G(s) (Laplace)D( jω)D(s)N(jω) y D(jω) se pueden factorizar siempre en factores degrado 2 como máximoFactores posibles: K( jω) 1ω 1)ωn (1 jωT ) 1 (1 j 2 ω ω 1 2ζ j jωn ωn Ganancia constante, y realFactores derivativos e integralesFactores de primer orden 1Factores de segundo orden3

Trazado del Bode asintóticoFactores de ganancia K AMPLITUD 20 log K 0 Si K 1 K[dB ] SiK 1 K [dB ] 20 log K 0Representación en funciónde la frecuencia: Rectahorizontal, de valor K[dB]G( jω)K[dB] 20log(K)ω NOTA: al multiplicar laganancia por 10, el valoren dB aumenta en 20 dBGanancia K0,01 10-20,1 10-11 10010 101100 102Ganancia K [dB]20·log(10-2) -4020·log(10-1) -2020·log(100) 020·log(101) 2020·log(102) 40Trazado del Bode asintótico Factores de ganancia K FASE SiK 0 ϕ 0º SiK 0 ϕ 180 º πG( jω)K 0Im(K)K 0180ºK 0K 0Re(K)-180ºωK 04

Trazado del Bode asintótico 1Factores derivativos e integrales: ( jω) Caso 1: Factor en el numerador: G1( jω) jωAMPLITUDG1 [dB ] 20 log G1 20 log jω 20 log ω00Para ω 1 10 G1 [dB ] 20 log10 0 Si se aumenta la frecuencia una década,pasando de ω ω1 a ω 10· ω1 20 log(10 ω1) 20 log10 20 logω1 (20 logω1 20)[dB]Representación en función de la frecuencia:RectaG( jω) [dB ]ω 1,G 0 Pasa por1 [dB ]20dB20dBdecada0 Pendiente: 20ωdecadaω 1ω 10 Trazado del Bode asintótico 1Factores derivativos e integrales: ( jω) Caso 1: Factor en el numerador: G1( jω) jωFASEϕ G1 jω 90 º π2Representación en función de la frecuencia:Recta ϕ 90ºG( jω)Im(G)90ºjωωRe(G)5

Trazado del Bode asintótico 1Factores derivativos e integrales: ( jω)Caso 2: Factor en el denominador: G2 ( jω) ( jω) 1 AMPLITUD1 j jω ω1 20 log1 20 log ω 20 log ωjω00 Para ω 1 10 G 2 [dB ] 20 log10 0 G2 [dB ] 20 logSi se aumenta la frecuencia una década: ω ω1 ω 10· ω1 20 log(10 ω1) 20 log10 20 logω1 ( 20 logω1 20)[dB]Representación en función de la frecuencia:G( jω) [dB ]Recta Pasa por ω 1, G2 [dB ] 00dB Pendiente: 20 20decadaω 1ω 10 ω 20dBdecadaTrazado del Bode asintótico 1Factores derivativos e integrales: ( jω)Caso 2: Factor en el denominador: G2 ( jω) ( jω) 1 FASEϕ G2 1 j jω ω1π 0º 90 º 90 º jω2Representación en función de la frecuencia:Recta ϕ -90ºG( jω)Im(G)Re(G)1 j jω ωω-90º6

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1ωωnCaso 3: Factor en el numerador: G3 ( jω) 1 j2AMPLITUD ω ωG3 [dB ] 20 log G3 20 log 1 j 20 log 1 ωn ωn ωFASEωG3 arctg n1 Si2 ω ω 1 G3 [dB ] 20 log 1 20 log100 0ωn ωn ωIm(G)ϕ 0ωnG3 arctg arctg 0 0ºRe(G)1Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1Caso 3: Factor en el numerador: G3 ( jω) 1 j Si2 ω ωω 1 G3 [dB ] 20 log 1 20 logωnωnω ωn ωG3 arctg n arctg ( ) 90 º1Si se aumenta la frecuencia una década:ω ω1 ω 10· ω1ωωnIm(G)ϕ 90ºRe(G) ω ω ω20 log 10 1 20 log10 20 log 1 20 log 1 20 ωn ωn ωn [dB]La ganancia aumenta en 20 dB por década7

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1ωωnω 1 ω ωnωnCaso 3: Factor en el numerador: G3 ( jω) 1 j Transición entre ambos casos: si Si2 ω ω 1 G3 [dB ] 20 log 1 20 log 2 3[dB]ωn ωn ωIm(G)ωG3 arctg n arctg (1) 45 º1ϕ 45ºRe(G)Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ) 1ωnωCaso 3: Factor en el numerador: G3 ( jω) 1 jωnDIAGRAMA DE BODE (Conclusión)FASESMÓDULOSω 1ωnG3 ( jω) 0[dB]Recta horizontalG3 ( jω) 0ºω 1ωnG3 ( jω) crece a 20[dB/dec]Recta de pendiente 20 dB/decG3 ( jω) 90 ºω 1ωnG3 ( jω) 3[dB]G3 ( jω) 45 º8

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ) 1ωnωCaso 3: Factor en el numerador: G3 ( jω) 1 jωnDIAGRAMA DE BODE(Aproximación asintótica)G( jω) [dB ]20200dBdecadaω ωn 10 ω ωn ω 10ωnωG( jω)ω ωn 10 ω ωn ω 10ωn2003[dB]ω ωn 10 ω ωn ω 10ωnωG( jω)45ºdecada90º0DIAGRAMA DE BODE(Curva real)G( jω) [dB ]ω90º045 ºω ωn 10 ω ωn ω 10ωnωTrazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j) 1ωnω Caso 3: Factor en el numerador: G3 ( jω) 1 jωn NOTA:ComparaciónPulsaciónDesfase (º)entre desfases reales(ω)RealAprox.y aproximadosG( jω)ωn·(1/10)ωn·(1/2)ωnωn·2ωn·10ϕ 5,7ºϕ 26,0ºϕ 45,0ºϕ 63,5ºϕ 84,5ºϕ 0ºϕ 31,4ºϕ 45,0ºϕ 58,5ºϕ 90º90º0ω ωn 10 ω ωn ω 10ωnω9

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1Caso 4: Factor en el denominador: G4 ( jω) 11 jωωnAMPLITUD ω ωG 4 [dB ] 20 log G4 20 log 1 j 20 log 1 ωn ωn ωFASEωG4 0 arctg n12Si2 ω ω 1 G 4 [dB ] 20 log 1 20 log10 0 0ωn ωn ωIm(G)ωnRe(G)G 4 arctg arctg 0 0º1ϕ 0 Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1Caso 4: Factor en el denominador: G4 ( jω) Si2 ω ωω 1 G4 [dB ] 20 log 1 20 logωnωn ωn ωωG 4 arctg n arctg ( ) 90º111 jωωnIm(G)Re(G)ϕ -90ºSi se aumenta la frecuencia una década:ω ω1 ω 10· ω1 ω ω ω 20 log 10 1 20 log10 20 log 1 20 log 1 20 ωn ωn ωn [dB]La ganancia decrece en 20 dB por década10

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1Caso 4: Factor en el denominador: G4 ( jω) Transición entre ambos casos: si Si11 jω 1 ω ωnωnωωn2 ω ω 1 G4 [dB ] 20 log 1 20 log 2 3[dB]ωn ωn ωIm(G)Re(G)ωG 4 arctg n arctg (1) 45º1ϕ -45ºTrazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1Caso 4: Factor en el denominador: G4 ( jω) 11 jωωnDIAGRAMA DE BODE (Conclusión)FASESMÓDULOSω 1ωnG 4 ( jω) 0[dB]Recta horizontalG 4 ( jω) 0ºω 1ωnG 4 ( jω) decrece a 20[dB/dec]Recta de pendiente -20 dB/decG4 ( jω) 90ºω 1ωnG4 ( jω) 3[dB]G4 ( jω) 45º11

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ω ωn ω 10ωn ωωdB0 ω n 20decada10 20ωω n ω ωn ω 10ωn10 45ºdecada1 jω 0ωnω ωn ω 10ωn10 45º 90ºTrazado del Bode asintótico ωωnω ωn ω 10ωnω0 ω n10 3[dB] 20G( jω)ω1DIAGRAMA DE BODE(Curva real)G( jω) [dB ]G( jω) 90º) 1Caso 4: Factor en el denominador: G4 ( jω) DIAGRAMA DE BODE(Aproximación asintótica)G( jω) [dB ]0ωnωω 12Factores de segundo orden: ω ω 1 2ζ j j ωn ωn Si ζ 1 se descompone en dos factores reales de grado 1 Si 0 ζ 1 no existen raíces reales (caso a analizar) 1 12 ω2ω ω ω Caso 5: Factor en G5 ( jω) 1 2ζ j j 1 2 2ζ j el denominadorωn ωn ωn ωn AMPLITUD1G5 ωω 2ζ jωn2ωn21 12 ω2 ω 1 2 2ζ ωn ωn 22 ω2 ω G5 [dB ] 20 log G5 20 log 1 2 2ζ ωn ωn 212

Trazado del Bode asintótico 12Factores de segundo orden: ω ω 1 2ζ j j ωn ωn Caso 5: 12 ωω Factor en el denominador G5 ( jω) 1 2 2ζ j FASE1G5 1 ω2ω 2ζ jωn2ωn 0 1 ωnωn ω2ω 2ζ j2ωnωn ω 2ζ ωn G5 arctg 2 1 ω ωn Trazado del Bode asintótico 12Factores de segundo orden: ω ω 1 2ζ j j ωn ωn Caso 5: 12 ωω Factor en el denominador G5 ( jω) 1 2 2ζ j ωn ωnω 1 Siωn22 ω2 ω 2G5 [dB ] 20 log 1 2 2ζ 20 log (1) 20 log1 0ωωn n ω 2ζ ω 0n G5 arctg arctg 0º21 ω 1 ω2 n Im(G)Re(G)ϕ 013

Trazado del Bode asintótico 12Factores de segundo orden: ω ω 1 2ζ j j ωn ωn Caso 5: 12 ωω Factor en el denominador G5 ( jω) 1 2 2ζ j ωn ω ωn 1 Siωn222 ω2 ω G5 [dB ] 20 log 1 2 2ζ 20 log ωn ωn 22 ω2 ω ω 20 log 2 20 log 40 logωn ωn ωn Decrece a 40dB/década ω 2ζ ω 2ζ ωn n G5 arctg arctg 180 º2 ω ω 1 ω2 n Im(G)ϕ 180ºTrazado del Bode asintótico 2 ω2 ω 2 2ζ ωn ωn Re(G) 12Factores de segundo orden: ω ω 1 2ζ j j ωn ωn Caso 5: 12 ωω Factor en el denominador G5 ( jω) 1 2 2ζ j Transición entre ambos casos: si Siω 1 G5 [dB ] 20 log(2ζ )ωnωnωn ω 1 ω ωnωn0 ζ 1Depende de los valores de ζ ωG5 2ζ ωn 1 ω j G5 arctg 2ζj 90º ωn Im(G)Re(G)ϕ -90º14

Trazado del Bode asintóticoω 1Factores de primer orden: (1 jωT ) (1 j ωn) 1Caso 4: Factor en el denominador: G5 ( jω) 11 jωωnDIAGRAMA DE BODE (Conclusión)FASESMÓDULOSω 1ωnG5 ( jω) 0[dB]Recta horizontalG5 ( jω) 0ºω 1ωnG5 ( jω) decrece a 40[dB/dec]Recta de pendiente -40 dB/decG5 ( jω) 180 ºω 1ωnG5 ( jω) Depende de ζG5 ( jω) 90 ºTrazado del Bode asintótico 12Factores de segundo orden: ω ω 1 2ζ j j ωn ωn Caso 5: 12 ωω Factor en el denominador G5 ( jω) 1 2 2ζ j Siω 1ωnG5 [dB ] 20 log(2ζ )0 ζ 1 Si ζ 0ωnωn G5 [dB ] ( ) 1 0,70 G5 [dB ] 20log 2 3[dB]2Si ζ 1 G5 [dB ] 20log2 6[dB]Si ζ ζ 0,3ζ 0,4ζ 0,6G ( jω )ζ 0,7ζ 0,8ωnωdB 40década15

Trazado del Bode asintóticoUna función de transferencia cualquiera será de la forma: G( jω) N( jω) N1( jω) N2 ( jω) . Nn ( jω) D( jω) D1( jω) D2 ( jω) . Dm ( jω)2 Factores: K, ( jω) , (1 jωT ) (1 j ω ) 1, 1 2ζ j ω j ω ωnωn ωn 1 1 1En dB, el producto pasa a ser una suma:N( jω)G( jω) [dB ] 20 log D( jω) 20 log[N1( jω)] . 20 log[Nn ( jω)] 20 log[D1( jω)] 20 log[Dm ( jω)]¿Cómo afecta cada factor agregado a G(jω)?GN ( jω) Factor G( jω) GN ( jω) [dB ] 20 log Factor G( jω) [dB ]Trazado del Bode asintótico Diagrama de MÓDULOSFactor K(jω) cte Suma una constanteG( jω) [dB]G( jω) [dB ]G( jω) [dB]ωGNUEVA ( jω) [dB ]K[dB]ωG( jω) [dB]K[dB]K[dB]ω16

Trazado del Bode asintótico Diagrama de MÓDULOSFactor en el numerador: jω Suma 20dB/decadaG( jω) [dB]G( jω) [dB ]GNUEVA ( jω) [dB ]G( jω) [dB ]ω2020jω [dB]200dBdecada40ω0 20200ω 1ωω 1Trazado del Bode asintótico Diagrama de MÓDULOSFactor en el denominador: (jω)-1 Resta 20dB/decadaG( jω) [dB]G( jω) [dB ]G( jω) [dB ]ω jω [dB]20ωω 1 2000 20ω 1 200 40 G ( jω)N[dB ] 20ωdBdecada17