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Tema 3: Análisis en eldominio de la frecuenciaEnrique San Andrés

Objetivos del tema Analizaremos la respuesta de los circuitos linealesfrente a excitaciones sinusoidales– Fasores – impedancias– Potencia compleja– Circuitos resonantes– Fundamentos de filtrado de señalesTema III2

Análisis en régimen sinusoidal Vamos a estudiar respuesta con fuentes variablescon el tiempo sinusoidales– Denominación habitual: corriente alterna (AC) Razones para estudiar este tipo de excitación y noexponencial, lineal, triangular – 1.- Aparece naturalmente en un sistemaresonante amortiguado (sistema de 2ºorden)– 2.- Aparece en solución de ecuacionesdiferenciales Derivada de sen cos Derivada de cos -senTema III3

Análisis en régimen sinusoidal– 3.- Los generadores típicos utilizan una espira que gira a velocidadangular uniforme y un imán permanente (o viceversa) Producen una tensión que es una sinusoideImagen: hyperphysics.phy-astr.gsu.eduTema III4

Análisis en régimen sinusoidal– 4.-Toda función periódica puede descomponerse en sinusoides:series de Fourier Permite pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia Sin rigor: toda función periódica se puede expresar como una sumade sinusoidales con frecuencia múltiplo de la frecuencia de la señalFuente: Lucas V. Barbosa– Wikimedia commons– https://www.youtube.com/watch?v DzjwjDt2W1ITema III5

Transformada de Fourier Cálculo de la serie de Fourier de una señalperiódicaa0 2 n 2 n f t an cos t bn sen t 2 n 1 T T 2 T2 T2 T 2 n 2 n a0 f t dt; an f t cos t dt; bn f t sen t dt;0T 0T 0TTT – Permite describir completamente una función periódica medianteun conjunto discreto de valores (amplitudes de cada uno de lostérminos periódicos) - espectro discreto de frecuencias Las series de Fourier pueden extenderse aseñales aperiódicas - Transformada deFourierMicroelectrónica6

Análisis en régimen sinusoidal Un generador AC se conecta en un determinadomomento: respuesta transitoria forzada– Nos centraremos en el estacionario (respuesta forzada)Tema III7

Análisis en régimen sinusoidal Generador AC de tensión:v t Vm cos t – Vm: amplitud de pico– t argumento o fase [rad] o [º]– frecuencia angular [rad/s]– T 2 / periodo [s]– f 1/T frecuencia temporal [s-1]Tema III8

Análisis en régimen sinusoidal Fuente de tensión desfasada:– 0v t Vm cos t 0 es la fase inicial Si Si 0 0es positiva la señal está adelantadaes negativa está atrasadaTema III9

Análisis en régimen sinusoidal La elección de senos o cosenos es arbitraria sen cos 2 cos sen 2 – Recordatoriosen A B sen A cos B cos A sen B cos A B cos A cos B sen A sen B Ej: determinar amplitud, fase inicial, periodo yfrecuenciav t 12 cos 50t 10º Tema III10

Análisis en régimen sinusoidal Ej: calcular diferencia de fase entre las tensionesv1 t 10 cos t 50º ;v2 t 12sen t 10º Tema III11

Análisis en régimen sinusoidal Respuesta en alterna del circuito RLvs t Vm cos t – Aplicando KVLdiRi L Vm cos t dt– Ecuación diferencial lineal de primer orden: como solución particularvamos a probar una sinusoide de la misma frecuencia Veremos que todas las corrientes y tensiones del circuito sonsinusoidales de la misma frecuencia que la fuente– Por tanto la solución particular (forzada) seríai t I m cos t 0 – La solución homogénea será una exponencial decrecienteTema III12

Análisis en régimen sinusoidali t I m cos t 0 – Para separar incógnitasi t I m cos t 0 I m cos t cos 0 sen t sen 0 A cos t Bsen t – Relaciones entre incógnitasA I m cos 0 B I m sen 0 B A I m A2 B 2 0 tan 1 – Determinación de A y BRi Ldi Vm cos t dtR A cos t Bsen t L A sen t B cos t Vm cos t Tema III13

Análisis en régimen sinusoidal– Determinación de A y B RA LB cos t RB AL sen t Vm cos t RA LB Vm RB LA 0 RVmA 22R L LVmB 22R L – Empleando relaciones anteriores B A L R i t Vm 2R 2 L 0 tan 1 tan 1 Im A B 22VmR 2 L 2 L cos t tan 1 R Tema III14

Análisis en régimen sinusoidal Herramienta matemática para simplificar: fasor Definición de fasor:– Número complejo que representa la amplitud y la fase de unaseñal sinusoidalv t Vm cos t V Vm e j – No contiene información de la frecuencia– Transforma ED en operaciones algebraicas con complejosTema III15

Análisis en régimen sinusoidal Recordatorio de operaciones con complejosz x jy r r cos jsen r e j ; r x 2 y 2 ; tan 1z1 z2 x1 x2 j y1 y2 z1 z2 x1 x2 j y1 y2 z1.z2 r1r2 1 2z1 r1 z 2 r2 12z r /2z x jy r *yxImzyrr xRee j cos jsen ; j 1 j cos Re e j sen Im eTema III16

Análisis en régimen sinusoidal Si la señal es v t Vm cos t – Entonces v t Vm cos t Re Vm e j t Re Vm e j e j t Re V e j tdonde V V e j m– El uso de fasores sirve para trabajar en el dominio de la frecuencia enlugar de en el dominio del tiempo (dominio fasorial)– Resumiendo: Paso al dominio del tiempo conocido el fasor: v t Re V e j t Paso al dominio fasorial desde el dominio del tiempov t Vm cos t V Vm e j Tema III17

Análisis en régimen sinusoidal Ej: sumar en el dominio fasorial las corrientesi1 t 4 cos t 30º i2 t 5sen t 20º Tema III18

Análisis en régimen sinusoidal Supongamos una tensión general v t Vm cos t Derivación– En el dominio del tiempodv t Vm sen t Vm cos t dt2 – Representación fasorial del resultado Vm e j 2 j Vm e ej 2 j V– En conclusión Dominio del tiempodvdtDominio de la frecuencia j V Tema III19

Análisis en régimen sinusoidal Integración v t dt Vm cos t dt sen t cos t 2 VmVm e j 2 vdtVmVm j V e j j Vj Microelectrónica20

Análisis en régimen sinusoidal Supongamos una tensión general v t Vm cos t Derivación Dominio del tiempodvdtDominio de la frecuencia j V Integración Dominio del tiempo vdtDominio de la frecuencia V j Tema III21

Relaciones fasoriales para R, L y C Resistencia– Dominio del tiempo iv– Dominio de la frecuencia I V – Supongamos quei I m cos t I I m e j – Ley de OhmV RI v Riv RI m cos t V RI m e j ImV I Tema IIIRe22

Relaciones fasoriales para R, L y C Inductancia– Dominio del tiempo v- i– Dominio de la frecuencia VV - II – Supongamos quei I m cos t I I m e j – Relación v-ididtv LI m sen t v L LI m cos t 2 V j LI V LI m e j 2 j LI m e j Tema III23

Relaciones fasoriales para R, L y C Bobina– Dominio del tiempo v– Dominio de la frecuencia- VV - II iImV I V j LI Re– La corriente se retrasa 90º respecto de la tensiónTema III24

Relaciones fasoriales para R, L y C Condensador– Dominio del tiempo– Dominio de la frecuencia– Supongamos quev Vm cos t V Vm e j – Relación i-vI j CV dvdti CVm sen t i C CVm cos t 2 I CVm e j 2 1 V Ij C j CVm e j Tema III25

Relaciones fasoriales para R, L y C CondensadorImV I I j CV Re1 V Ij C– La corriente se adelanta 90º respecto de la tensiónTema III26

Impedancia Acabamos de encontrar las relaciones entre losfasores corriente y tensión para R, L y C– ExpresionesV RI V j LI 1 V Ij C Def. Impedancia (Z)– Es la relación entre la tensión fasorial y la corriente fasorialV Z I I Z V Es un número complejo, NO es un fasor. Unidades de ohm (complejos).Tema III27

Impedancia Impedancia de R, L y CZR RZ L j LZC 1j j C C En general, depende de la frecuenciaTema III28

Impedancia En un elemento lineal general (o su combinación)Z R jX– R y X números reales– R se denomina “Resistencia”– X se denomina “Reactancia” X 0 se denomina reactancia inductiva X 0 se denomina reactancia capacitivaTema III29

Impedancia Análogo de conductancia en AC: Admitancia1Y Z– Admitancia de elementos lineales1YR GRYL 1j LYC j CY G jB– G y B números reales– G se denomina “Conductancia”– B se denomina “Susceptancia”Tema III30

Impedancia ¿Qué ocurre con Kirchoff en AC? Caso 1: KVL𝑅𝑒 𝑉𝑚1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝜃1 𝑅𝑒 𝑉𝑚2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝜃2 𝑅𝑒 𝑉𝑚𝑛 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝜃𝑛 0𝑅𝑒 𝑉𝑚1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝜃1 𝑉𝑚2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝜃2 𝑉𝑚𝑛 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗𝜃𝑛 0𝑅𝑒𝑉𝑚1 𝑒 𝑗𝜃1 𝑉𝑚2 𝑒 𝑗𝜃2 𝑉𝑚𝑛 𝑒 𝑗𝜃𝑛 𝑒 𝑗𝜔𝑡 0𝑅𝑒෪2 𝑉෩𝑛 𝑒 𝑗𝜔𝑡 0𝑉෩1 𝑉෪2 𝑉෩𝑛 0𝑉෩1 𝑉Tema III31

Impedancia Leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia– Las leyes de Kirchhoff son válidas en el dominio de la frecuencia, dondedeben expresarse en forma fasorialN En cada lazo KVL V m 1m 0N En cada nudo KCL 0I nn 1– Por tanto, todas las técnicas de análisis estudiadas para DC puedenaplicarse a circuitos de alterna empleando fasores En particular, combinaciones serie, paralelo, etc.Tema III32

Impedancia Ej: Asociación de impedancias– Como la ley de ohm generalizada no cambia, ni Kirchhoff Impedancias en serieNZ eq Z1 Z 2 Z 3 . Z nn 1 Admitancias (impedancias) en paraleloNN11111Yeq Y1 Y2 Y3 . Yn . Z eq Z1 Z 2 Z 3n 1n 1 Z nTema III33

Impedancia Ej: circuito RL con fuente de tensión sinusoidalvS Vm cos t V S Vm e j 0 Vm– KVL a la mallaV S Z R I Z L I RI j LI R j L I I VmVV m j m e j R j L Z eZ Z R 2 2 L2 1 L tan R – Para pasar al dominio del tiempo Vm j j t Vm j ti t Re I e Re e e cos t Z Z Tema III34

Impedancia Ej: calcular la impedancia equivalente si 50rad/sTema III35

Análisis fasorial En resumen, para resolver un circuito en alternase siguen los pasos1. Se transforma del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia(análisis fasorial).2. Se calculan las impedancias3. Se resuelve el circuito con las técnicas del Tema 1.4. Se transforma de vuelta la solución al dominio del tiempo.Tema III36

Impedancia Ej: determinar la tensión en la bobinaV1 20 cos 4t / 12 Tema III37

Análisis fasorial Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton– El teorema de Thévenin se aplican también en AC Voc (ó Vth) es el voltaje (fasor) que aparece entre los terminalescuando B se desconecta Zth es la impedancia entre los terminales de A cuando todas lasfuentes independientes se anulan (fuentes de tensión secortocircuitan y fuentes de corriente en abierto) Entonces, A se puede sustituir por una fuente de tensión real conVS Voc y Zint Zth– El teorema de Norton también es aplicable IN Vth/Zth ZN ZthZthABBTema III38

Análisis fasorial Cuidado si hay frecuencias diferentesMicroelectrónica39

Potencia Potencia instantánea– Recordando el tema I, la potencia instantánea es el producto de v(t)i(t)– Supongamos un circuito en régimen sinusoidal– En una determinada parte del circuitov t Vm cos t v i t I m cos t i – Entonces p t v t i t Vm I m cos t v cos t i Aplicando la identidad cos A cos B – Resulta1 cos A B cos A B 211p t Vm I m cos v i Vm I m cos 2 t v i 22 Término constante término dependiente del tiempo (frecuenciadoble)Tema III40

Potencia Potencia instantánea11p t Vm I m cos v i Vm I m cos 2 t v i 22– Ej: Vm 4V, Im 0.5A, T 5ms, v 0– i 0 i /4 i /2Tema III41

Potencia Potencia media, P– Es el promedio de la potencia instantánea en un períodoP 1 Tp t dt 0T– Para señales de alterna– Al término cos( v- i) se le denomina factor de potenciaTema III42

Potencia Algunos casos particulares– Circuito puramente resistivo (tensión y corriente en fase) v i P Vm I m cos 0 Vm I m1212– Circuito puramente reactivo (L ó C) v i 1 P Vm I m cos 022 2 Tema III43

Potencia Potencia media, P– Se puede calcular empleando fasores:V Vm e j vI I e j im– Entonces1 * 111V .I Vm e j v I m e j i Vm I m e j v e j i Vm I m e j v i 22221 Vm I m cos v i jsen v i 2– Por tanto: 1 1Re V .I * Vm I m cos v i P 2 2Tema III44

Potencia Potencia media disipada, P– En una carga general, ZL 21 21 2 1 1 1P Re V .I * Re Z L I .I * Re Z L I I Re Z L I RL22 2 2 2– Recordatorio: en DCP I 2RTema III45

Potencia Ej: calcular potencias medias de la fuente y de laresistenciaTema III46

Máxima transferencia de potencia Supongamos que un circuito está conectado a unaimpedancia “regulable” ZL– ¿Cuándo se transmitirá la máxima potencia a la carga?Circuito linealde dosterminalesZthZL– Spoiler: máxima transferencia de energía cuandoZLZL Zth*Tema III47