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4Salguero-Luna Sergio Alberto, Jovanovic-Dolecek Gordanade amplitud de la respuesta en magnitud de forma cosenoidal.Jovanovic & Fernández (2014) y Jovanovic et al.(2016) demostraron, que un compensador con la respuesta en magnitud dada por una función sinusoidal,puede aproximar bien la respuesta en magnitud inversa del filtro comb en la banda de paso, y de esta manera hacer una compensación de la caída de la respuestaen magnitud en la banda de paso del filtro comb. En eltrabajo de Jovanovic & Fernández (2014) se propuso larespuesta en magnitud del compensador en forma deseno elevada al cuadrado, mientras que en Jovanovicet al. (2016) se presentó un compensador de dos etapascon las respuestas en magnitud en forma de seno elevada al cuadrado y elevada a la cuatro. Un compensador simple, que requiere únicamente de dos sumadores, cuya respuesta en magnitud está basada en unafunción sinusoidal, se propone en Troncoso et al.(2015). Sin embargo, el compensador no tiene una faselineal.Por otro lado, técnicas encargadas de minimizar ladiferencia entre la máxima y la mínima amplitud en labanda de paso utilizando análisis de intervalos se presentaron en Dudarin et al. (2017) y Molnar et al. (2017).Adicionalmente, utilizando análisis de intervalos, sediseña un compensador en el cual la respuesta en magnitud está definida por una función sinusoidal (Salguero & Jovanovic, 2020).Técnicas de moldeado se propusieron en Jovanovic& Harris (2009); Molnar et al. (2018).Recientemente se propuso el uso del método Optimización de Enjambre de Partículas (PSO, por sus siglas en inglés), para evitar el error de truncamiento alconvertir los parámetros de diseño del compensador enforma de coma flotante a suma de potencias de dos(SPT, por sus siglas en inglés) (Xu et al., 2019). En estetrabajo se presenta la flexibilidad de diseño con un trade-off entre el número de sumadores y el valor absolutode la desviación en la banda de paso obtenida del filtrocomb compensado.Motivación y objetivoRevisando los métodos propuestos en la literatura sepueden observar las siguientes características favorables del compensador del filtro comb: Considerando que el filtro comb es un filtro sin multiplicadores, se desea que también el compensadorse maneje sin multiplicadores. Esto se puede lograr presentando los coeficientesdel compensador como suma de potencia de dosI ngeniería I nvestigacióny(SPT), lo cual se puede realizar con sumadores ydesplazamientos. El diseño debe presentar un buen trade-off del número de sumadores y el máximo valor absoluto dela desviación en la banda de paso del filtro combcompensado. Los parámetros del compensador dependen únicamente del orden del filtro comb K y prácticamenteno del factor de decimación M. Debe existir la flexibilidad de diseño que permitevariar el número de sumadores.Del vistazo de los métodos de diseño de compensadores existentes se puede observar lo siguiente: Existe un trade-off del número de sumadores y elmáximo valor absoluto de la desviación en la bandade paso del filtro comb compensado. En general, no hay flexibilidad de diseño que permita variar el número de sumadores al precio de uncontrolado aumento del máximo valor absoluto dela desviación en banda de paso. Sin embargo, el método PSO presentado en Xu et al.(2019) muestra que con PSO se puede obtener la flexibilidad en el diseño de compensadores y se presentan los resultados variando el número desumadores desde 7 hasta 23 y con su correspondiente máximo valor absoluto de la desviación, variandodesde 0.0176 dB hasta 0.0684 dB. Por otro lado, en Jovanovic et al. (2016) se mostróque la respuesta en magnitud en la forma de senoelevada al cuadrado y elevada a la cuatro puedeaproximar bien en la banda de paso y la respuestadel filtro comb inverso, si las amplitudes de las funciones seno son correctamente elegidas.Tomando en cuenta estas observaciones, en este trabajose introduce la flexibilidad en el diseño de compensadores con la respuesta en magnitud en forma de seno,elevada al cuadrado y elevada a la cuatro, variando elnúmero de sumadores del compensador y utilizando elmétodo PSO.El objetivo es cumplir con todas las característicasfavorables mencionadas de comb compensadores y obtener mejores resultados que los reportados en Xu et al.(2019).El resto del contenido del artículo está organizadode la siguiente manera: En la siguiente sección se presenta una breve descripción del método PSO y compensador sintetizado con funciones sinusoidales. El métodopropuesto en este trabajo se presenta en la sección tres,asimismo, algunos ejemplos del uso del método se re-T ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM3

4Incrementandola flexibilidad del diseño del compensador de filtro comb mediante optimización de enjambre de partículassuelven en la sección cuatro. Finalmente, se presenta ladiscusión de los resultados y comparaciones con losmétodos en la literatura.Método PSO y compensador con respuesta en magnitud basada en funciones sinusoidales [1 B1sin4(ωM / 2)][1 B2sin2(ωM / 2)](8)De esta manera, como se mostró en Jovanovic et al.(2016) el total número de sumadores del compensadorN es:Método PSON 9 NB1 NB2El método PSO se emplea para resolver problemas deoptimización. El algoritmo da inicio al considerar unconjunto de soluciones aleatorias, el cual se representapor la posición inicial de una población. Cada miembrode la población recibe el nombre de partícula (Eberhart& Shi, 2001).El proceso se basa en que las partículas evalúen lafunción objetivo del problema en su posición actual queocupan dentro del espacio de búsqueda. Por lo tanto, elmovimiento de las partículas depende de las posicionespropias anteriores Pi, las mejores posiciones encontradas por la población Pg y de algunas perturbacionespresentes en el espacio de búsqueda.Las expresiones que describen la manera en que sonmanipuladas tanto la posición Xi como la velocidad Vide la i-ésima partícula en la iteración t son (Eberhart &Shi, 2001):donde NB1 y NB2 son los números de sumadores parapresentar B1 y B2 en SPT, respectivamente.En la siguiente sección se presenta la obtención delos valores óptimos de B1 y B2 en (8) utilizando el Método PSO y finalmente presentarlos en forma SPT paraevitar los multiplicadores.Xi(t) Xi(t - 1) Vi(t)(6)Vi (t) ωVi (t - 1) c1ri1 [Pi (t - 1) - Xi (t - 1)] c2ri2 [Pg (t - 1) - Xi (t - 1)](7)(9)Método propuestoEl método consiste en calcular los valores óptimos de B1y B2 en (8) que minimicen el máximo valor absoluto dela desviación en la banda de paso, utilizando PSO yposteriormente presentarlos en forma SPT. Los parámetros iniciales del algoritmo son: el orden del filtrocomb K, el factor de decimación M, los números decoeficientes Nc1 y Nc2 que componen B1 y B2, respectivamente, y el número de bits de resolución L.En la Figura 1 se observa el diagrama de bloques delfiltro utilizado en el método desarrollado. El primero ytercer bloque corresponden a los filtros comb y compensador, respectivamente. La operación de downsampling se lleva a cabo durante el segundo bloque.Donde:ωc1 y c2 peso de inercia coeficientes de aceleración que regulan laatracción de las partículas hacia la mejor posición personal y la mejor posición global, respectivamenter1 y r2 par de números aleatorios en el intervalo[0,1].Más detalles se pueden encontrar en Eberhart & Shi(2001).Compensador con respuesta en magnitud basada enfunciones sinusoidalesTomando los resultados de Jovanovic et al. (2016), larespuesta del compensador se muestra de la forma: G(e jωM) G1(e jωM) G2(e jωM) 4I ngeniería I nvestigaciónyFigura 1. Diagrama de bloques del filtro comb compensadoComo podemos apreciar, la señal de entrada u(n) esprocesada por el filtro comb, derivando en x(n). Sin embargo, al aplicar downsampling la tasa de muestreo esdisminuida por el factor de decimación M. Posteriormente, el filtro de compensación procesa la señal y(m),dando lugar a y’(m). En lo que respecta al dominio de lafrecuencia, se considera una frecuencia de entrada fi, lacual disminuye por M a lo largo del proceso, obteniendo una frecuencia de salida fo.El algoritmo tiene dos pasos como se presenta a continuación.Paso 1: Se define (8) como la función a ser optimizada mediante PSO. Adicionalmente, se indican los límites inferior y superior para determinar el rango en elT ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM

4Salguero-Luna Sergio Alberto, Jovanovic-Dolecek Gordanaque trabajará el método PSO. Las simulaciones se realizan en MATLAB utilizando la función de MATLABparticleswarm.m. En este caso, las partículas se representan por el conjunto de valores a partir de los cuales secalcularán B1 y B2. Se varía el orden del filtro comb K de1 a 6. Las simulaciones con diferentes valores de Mmuestran que los resultados obtenidos prácticamenteno dependen de M si M 10. Los resultados para M 16,20, 32 y 50 se presentan en la Tabla 1.En la Tabla 1 se puede observar que el máximo valorabsoluto de la desviación en la banda de paso prácticamente no cambia con M para K 1 y 2. Para valores deK 3, 4, 5 y K 6, la variación es 0.0001 y 0.0002, respectivamente.Por tal razón, en el siguiente paso para presentarcoeficientes B1 y B2 en forma de SPT se va a elegir elpeor caso de la Tabla 1 presentado en negritas. De estamanera, se va a eliminar el parámetro M como un parámetro de diseño.Paso 2: A partir de los valores óptimos de B1 y B2 quese observan en la Tabla 1 en negritas, se efectuó la exploración de posibles soluciones dentro del espacio detrabajo, conformado por los elementos [-20, -2-1,., -2-(L-1),., -2-L, 0, 2-L, 2-(L-1),., 2-1, 20], donde L es el número debits de resolución, utilizando MATLAB. Para asegurarque el cambio de L no influya en la desviación en labanda de paso, se debe establecer L 12. Aquí se utilizóL 12. Terminada la búsqueda, se obtienen los coeficientes en forma SPT que integran a B1 y B2 con su correspondiente desviación en la banda de paso. Losresultados se presentan en la Tabla 2, donde K 1, , 6,varían el número de sumadores de 9 a 15 considerandouna resolución en bits de L 12. Por razones de comparación, en la última columna de la Tabla 2 se presentanen paréntesis los valores óptimos de la Tabla 1 correspondientes.De (9) se puede ver que el mínimo número de sumadores N 9 se tiene cuando B1 y B2 no necesitan sumadores y se presentan como potencia de dos. Por otrolado, se eligió como máximo número de sumadoresigual a 15 porque asegura que el máximo valor absolutoδ es menor a 0.0315.Los resultados de la Tabla 2 dan una flexibilidad dediseño de compensadores para elegir el número de sumadores para dado valor de K dependiendo del permitido valor de δ.Tabla 1. Valores óptimos de B1 y B2, y el máximo valor absoluto de la desviación en la banda de paso para K 1, 2, 3, 4,5, 6, con M 16, 20, 32, I ngeniería I nvestigaciónyMáximo valor absoluto de la desviaciónen labanda de paso (dB), 90.02320.02320.02330.02330.03090.03100.03110.0311T ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM5

4Incrementandola flexibilidad del diseño del compensador de filtro comb mediante optimización de enjambre de partículasTabla 2. Compensación para K 1, 2, 3, 4, 5, 6, variando el número de 2-3-32 - 2-82-3 - 2-7-32 - 2-7 - 2-102-3 - 2-7 - 2-9-32 - 2-6 2-8 2-122-12-22-2-22 2-7-12 - 2-2 2-72-2 2-7 - 2-9-22 2-8 2-10 2-1220-12 - 2-32-1 - 2-42-1 - 2-42-1 - 2-4 - 2-72-1 - 2-4 - 2-6-12 - 2-4 - 2-6 2-92002 - 2-42-1 2-32-1 2-32-1 2-3 - 2-92-1 2-3 - 2-8-12 2-3 - 2-8 - 2-112-12002 - 2-420 - 2-302 - 2-3 - 2-502 - 2-3 - 2-5 2-720 - 2-3 - 2-5202002 2-502 2-3 - 2-520 2-3 - 2-502 2-3 - 2-5 2-820 2-3 - 2-5 2-8B22-32-3 2-52-3 2-5-32 2-5 2-102-3 2-5 2-9-32 2-5 2-9 2-122-3 2-5 2-8 - 2-102-2-22 2-42-2 2-4 2-72-2 2-4 2-82-2 2-4 2-8-22 2-4 2-8 2-112-2 2-4 2-8 2-102-22-1-12 - 2-52-1 - 2-5 2-102-1 - 2-5 2-8-12 - 2-5 2-7 - 2-102-1 - 2-5 2-7 - 2-92-12-1-12 2-3-12 2-3 2-92-1 2-3 2-82-1 2-3 2-8 2-102-1 2-3 2-8 2-102002 - 2-220 - 2-202 - 2-2 2-620 - 2-2 2-520 - 2-2 2-520 - 2-2 2-5 2-8 - 2-102002 - 2-620 - 2-520 - 2-402 - 2-3 2-420 - 2-4 - 2-902 - 2-4 - 2-8 2-9En la Figura 2 se presentan los valores absolutos deerror de desviación en la banda de paso para el númerode sumadores de N 9, , 15, y K 1, , 6, donde elerror se define como:E δ - δopt (10)Como se espera, el error (10) prácticamente disminuyecon un incremento del número de sumadores.6I ngeniería I nvestigaciónyδ (δopt)0.1178 (0.0033)0.0103 (0.0033)0.0054 (0.0033)0.0049 (0.0033)0.0040 (0.0033)0.0038 (0.0033)0.0035 (0.0033)0.2225 (0.0071)0.0358 (0.0071)0.0096 (0.0071)0.0078 (0.0071)0.0078 (0.0071)0.0076 (0.0071)0.0072 (0.0071)0.2258 (0.0116)0.0277 (0.0116)0.0156 (0.0116)0.0151 (0.0116)0.0136 (0.0116)0.0123 (0.0116)0.0119 (0.0116)0.2293 (0.0169)0.1201 (0.0169)0.0238 (0.0169)0.0195 (0.0169)0.0178 (0.0169)0.0176 (0.0169)0.0172 (0.0169)0.2050 (0.0233)0.1471 (0.0233)0.0509 (0.0233)0.0373 (0.0233)0.0319 (0.0233)0.0250 (0.0233)0.0236 (0.0233)0.0832 (0.0311)0.0555 (0.0311)0.0470 (0.0311)0.0320 (0.0311)0.0320 (0.0311)0.0315 (0.0311)0.0315 (0.0311)EjemplosLos siguientes ejemplos ilustran el beneficio de este método.Ejemplo 1: En este se muestra que los resultados dela Tabla 2 se pueden utilizar para diferentes valores deM, tomando M 16 y 32, y K 4, y un número de sumadores de 11.T ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM

4Salguero-Luna Sergio Alberto, Jovanovic-Dolecek GordanaEn los dos casos los valores de B1 y B2 de la Tabla 2son 2-1 2-3 para N 11.Las respuestas en magnitud (en total y con zoom enbanda de paso) del filtro comb compensado y filtrocomb, se presentan en las Figuras 3a y 3b, respectivamente.Se puede observar que el compensador no afecta laatenuación en las bandas alrededor de los ceros del filtro comb a donde aparece aliasing.El siguiente ejemplo muestra el diseño de compensador para el valor deseado de δ, tomando los resultados de la Tabla 2.Ejemplo 2: Se diseña un compensador para un valorde decimación de M 25 y K 5 para δ que es menor de0.03dB. De la Tabla 2 se elige N 14 y los valores de loscoeficientes de B1 y B2 son 20 - 2-3 - 2-5 2-7 y 20 - 2-2 2-5.Las respuestas en magnitud en banda de paso del filtrocomb compensado y filtro comb se presentan en laFigura 4.Resultados y comparacionesLa presente sección tiene como finalidad comparar elmétodo propuesto con algunos métodos que han sidoreportados en la literatura.Comparación con el método de Jovanovic et al. (2016)En el Método de Jovanovic et al. (2016) se propone paracada valor del parámetro del filtro comb K un fijo número de sumadores, los cuales se presentan en la segunda columna de la Tabla 3, con los correspondientesvalores de δp (dB), en la banda de paso. Así mismo, en latercera columna se presentan los resultados del métodopropuesto de la Tabla 2, en los cuales se tiene una δp(dB), menor que en dicho método.Para K 1, 2, 3 y 6, el algoritmo propuesto logró unamejor compensación a expensas de utilizar más sumadores. Sin embargo, para K 4 y 5, el algoritmo pro-Figura 2. Comparación entre los valores absolutos de error de ladesviación en la banda de paso, de acuerdo con el número desumadores empleados, variando K desde 1 hasta 6a) M 16, K 4, N 11b) M 32, K 4, N 11Figura 3. Respuestas en magnitud del filtro comb y comb compensado para M 16 y 32 y K 4 tomando N 11I ngeniería I nvestigaciónyT ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM7

4Incrementandola flexibilidad del diseño del compensador de filtro comb mediante optimización de enjambre de partículasFigura 4. Respuestas en magnitud en la banda de paso del filtrocomb y comb compensado para K 5 y M 25, con δ menorde 0.03dBTabla 3. Comparación entre el método desarrollado en Jovanovic et al. (2016) y el método propuestoMétodo (Jovanovic et al. 2016) δpKN12345641010111110Absoluta desviación en labanda de paso, δp 111puesto obtiene una δp (dB), en la banda de paso menor,empleando el mismo número de sumadores.Los dos métodos son comparados en el siguienteejemplo.Ejemplo 3: Se considera M 20 y dos valores de K,K 3 y 6. En la primera comparación se toma K 3 y elmismo número de sumadores en los dos métodos,N 10. En el método de comparación los valores de B1 yB2 para K 3 son 2-1 y 2-1 - 2-4, respectivamente. Por otrolado, en el método propuesto, los valores de B1 y B2 paraK 3 son 2-1 - 2-3 y 2-1, respectivamente. La Figura 5acompara las respuestas en magnitud en la banda depaso de los dos métodos. Se puede observar que el método propuesto presenta mejor compensación, especialmente para las relativas frecuencias menores que 0.015.Además, tiene un menor valor de absoluta desviaciónen banda de paso.En la segunda comparación con K 6, en el métodode comparación N 10, mientras en el método propuesto se eligió N 12. Los valores de B1 y B2 están conformados por 20 y 20 - 2-6, respectivamente para el métodode comparación y por, 20 2-3 - 2-5 y 20 - 2-4, respectivamente, para el método propuesto. Las respuestas en8I ngeniería I nvestigaciónyMétodopropuestoAbsoluta desviación en labanda de paso, δp (dB)0.00540.00960.01560.02380.05090.0470magnitud en la banda de paso de los dos métodos sepresentan en Figura 5b. El método de comparación presenta mejor compensación para las relativas frecuenciasmenores que 0.013, mientras que el método propuestotiene mejor compensación para las relativas frecuenciasmayores que 0.013. Sin embargo, el método propuestopresenta menor valor de δp.Comparación con el método en Xu et al. (2019)Los dos métodos están basados en PSO. En la Tabla 4 semuestra la comparación entre este compensador y elcompensador propuesto en el trabajo, considerando diferentes valores de K. En todos los casos, el método propuesto logra obtener una mejor compensación, yademás para K 2, 3, 4 y 5, esto se consigue utilizandouna cantidad menor de sumadores.Comparación con el compensador enDudarin et al. (2018)En este método se utiliza la técnica de moldeado y elmétodo de análisis de intervalos. La Tabla 5 presenta laT ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM

4Salguero-Luna Sergio Alberto, Jovanovic-Dolecek Gordanaa) K 3, M 20, considerando N 10 para ambos métodosb) K 6, M 20, siendo N 12 y N 10, para el compensadorpropuesto y de comparación, respectivamenteFigura 5. Comparación de las respuestas en magnitud del filtro comb compensado para M 20 con K 3 y 6Tabla 4. Cuadro comparativo entre el método presentado en Xu et al. (2019) y el método propuestoK12345NMétodo Xu et al. (2019)Desviación en labanda de paso (dB)721192123NMétodo propuestoDesviación en labanda de paso 0.00960.01560.02380.0236Tabla 5. Comparación entre el compensador presentado en Dudarin et al. (2018) y el compensador propuestoMétodo Dudarin et al. (2018), δpK46p(x)9 2N15 41-2x 2 x-2-6x2 x42-8x2 - 2-3x4 x6-1 27(23x2 - 28x4 211x6)2-10x2 - 2-4x4 x6-1 27(24x2 - 210x4 214x6)389999Absoluta desviación en labanda de paso, δp �n de los dos métodos respecto del númerode sumadores y el valor absoluto de la desviación en labanda de paso, donde el grado del polinomio p(x) equivale al orden del filtro K.Una mejor compensación se realiza por el compensador de comparación, cuando K 4 utilizando un menor número de sumadores que el método propuesto.Sin embargo, cuando p(x) es -2-6x2 x4, el método propuesto consigue una δp (dB) menor a expensas de utilizar más sumadores. Por otro lado, en los casos en queK 6, hay más paridad entre los resultados obtenidosI ngeniería I nvestigaciónyN1313991212MétodopropuestoAbsoluta desviación en labanda de paso, δp (dB)0.01780.01780.08320.08320.03200.0320por los dos métodos. Por ejemplo, el método propuestologra un valor absoluto de desviación en la banda depaso menor que el método de comparación implementando el mismo número de sumadores en dos de estoscasos. Sin embargo, en el resto de los casos, es decir,cuando p(x) es 2-10x2 - 2-4x4 x6 o - 1 27(23x2 - 28x4 211x6), el método de comparación brinda una mejorcompensación.Cabe mencionar que la desventaja del método decomparación es que utiliza únicamente los parámetrosK 4 y 6.T ecnología , volumen XXII (número 2), abril-junio 2021: 1-12 ISSN 2594-0732 FI-UNAM9

4Incrementandola flexibilidad del diseño del compensador de filtro comb mediante optimización de enjambre de partículasA continuación, se presenta un ejemplo para comparar las respuestas en magnitud en la región de la banda de paso.Ejemplo 4: Se considera M 32 con K 4 y 6. SiendoK 4, de la Tabla 2 se toman valores B1 y B2 con N 12.En cambio, los coeficientes en forma SPT involucradosen la estructura del compensador de comparación, utilizan N 9. En la Figura 6a podemos apreciar la comparación entre l

ño de filtros de segundo y cuarto orden para llevar a cabo compensaciones en banda estrecha y banda an-cha, respectivamente, y con la respuesta en magnitud máximamente plana. Troncoso & Jovanovic (2013) proponen un compensador utilizando transformación 1 11 K z M Hz