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Tema 7:SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOSEN TENSIONES.7.0 OBJETIVOS7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA EINVERSA.7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONESSIMPLES Y COMPUESTAS.7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA.7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO.7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS EQUILIBRADAS.7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS.7.6.1 CARGA EN ESTRELLA.7.6.2 CARGA EN TRIANGULO.7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES.7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS.7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS.7.9.1 MÉTODO DE ARON7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS.7.11 BIBLIOGRAFIA
7.0 OBJETIVOS Saber las posibles conexiones de fuentes y cargas en sistemas trifásicos.Comprender la importancia de la secuencia en un sistema trifásico.Conocer métodos particulares de análisis en la resolución de circuitos trifásicos.Estudiar la resolución de circuitos trifásicos equilibrados mediante su equivalentemonofásico.Estimar la importancia del Teorema de Kenelly en la resolución de estrellas a tres hilospor métodos de sustitución.Valorar la importancia de la medida de potencia activa y reactiva en circuitos trifásicos.Analizar el método de Aron y todas las consecuencias que de el se derivan.2
7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (1)DEFINICIÓN:Se denomina sistema trifásico al que se compone de tres tensiones.Si las tres tensiones tienen el mismo modulo y están desfasadas entre si 120º, se diceque el sistema es trifásico equilibrado en tensiones, cuando no se cumple un de las doscondiciones entonces decimos que el sistema es desequilibrado en 0φ1U10U20φ1U10U20Sistema trifásico equilibradoSistema trifásico desequilibradoSistema trifásico desequilibrado U10 U20 U30 y φ1 φ2 φ3 U10 U20 U30 pero φ1 φ2 φ3φ1 φ2 φ3 pero U10 U20 U30 Nosotros en este tema solo estudiaremos los circuitos trifásicos equilibrados entensiones3
7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (2)Si al recorrer el diagrama vectorial de las tensiones encontramos que pasan según elorden 1-2-3, entonces decimos que la secuencia es directa, si por el contrario pasansegún el orden 1-3-2, entonces a la secuencia le llamamos inversa.U30U20ωωU10U20RS.D.U10U30S.I.1S2T3Para pasar de un sistema directo a un sistema inverso o viceversa bastaría conpermutar el orden de llegada de dos fases4
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLESY COMPUESTAS (1)U10U20U300 0 01 I12 I23 I3Z1I1 Z2U 10U 10Z1Z 1 ϕ1U 20U 20I2 Z2Z 2 ϕ 2Z300 0U 30U 30 I3 Z3Z 3 ϕ 3I0 -(I1 I2 I3)Este sistema de seis hilos puede reducirse a uno de cuatro hilos si tenemos en cuentaque la diferencia de potencial entre los seis puntos 0 es de 0 V.5
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLESY COMPUESTAS (2)U101I1Z1I2Z2I3Z3U12U200U3023U23U31I1 0’ 0U 10U 10Z1Z 1 ϕ1U 20U 20 I2 Z2Z 2 ϕ 2I3 U 30U 30 Z3Z 3 ϕ 3I0 -(I1 I2 I3)En este sistema de cuatro hilos se siguen cumpliendo las mismas condiciones que enel de seis, además podemos decir que: 0 es el neutro del generador 0’ es el neutro de la carga U10, U20, U30 son las tensiones simples U12, U23, U31 son las tensiones compuestas6
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLESY COMPUESTAS (3)De la aplicación de la 2ª ley de Kirchhoffa las tensiones simples y compuestasU101I1Z1I2Z2I3Z3U12U2002U30U233U31U 12 U 10 U 20U 23 U 20 U 30U 31 U 30 U 100’ 0I0 -(I1 I2 I3)U23ωU12 20U30U23U202U12U31U30U12U101U3137
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLESY COMPUESTAS (4)De la observación de las ecuaciones y teniendo en cuenta que las tensiones simplesformaban un sistema trifásico equilibrado en tensiones, se puede afirmar que lascompuesta también lo forman, y teniendo en cuenta que la representación gráfica de lasuma vectorial coincide en todos los casos formando triángulos de las mismasdimensiones, si llamamos al modulo de las tensiones simples Us, se puede decir que:U12Sec. DirectaU 10 U S 0 U 20 U S 120 U 30 U S 120 Sec. InversaU 10 U S 0 U 12 U 10 U 20U 30 U S 120 U 31 U 30 U 10U 20 U S 120 U 23 U 20 U 30U 12 U 10 cos30 U 20 cos30 U S U 12SD 3 U 10 30 U 23 U 12 120 U 31 U 12 120 U 1230º30ºU10-U20333 US 2 U S 3 U S222SI 3 U 10 30 U 23 U 12 120 U 31 U 12 120 8
7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (1)Cuando a cada una de las fases se conecta una carga y estas se unen entre si y al hiloneutro, se dice que las cargas están cerradas formando una estrella para S.D.1I1Z12 U12I2Z2U23I3Z3U3130’ 0U 10UUs 10 ϕZ 1 Z λ ϕ Z λλλI 1 I 2 I 3 IλU 10U 10Z1Z 1 ϕ1I3 U 30U 30 Z3Z 3 ϕ 3I2 U 20U 20 Z2Z 2 ϕ 2Además, cuando las tres cargas sonidénticas entre si se dice que la estrella esequilibrada y en este caso se cumple que:Z 1 ϕ1 Z 2 ϕ 2 Z 3 ϕ 3 Z λ ϕ λI0 -(I1 I2 I3)I1 I1 I2 U 20 U 20Us 120 ϕZ 2 Z λ ϕ Z λλλI3 U 30 U 30Us 120 ϕZ 3 Z λ ϕ Z λλλI 1 I 2 I 3 I 0 09
7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (2)Con las consideraciones expuestas anteriormente se puede decir que el diagramavectorial del sistema se corresponde con:Z 1 ϕ1 Z 2 ϕ 2 Z 3 ϕ 3 Z λ ϕ λS.D.S.I.I1 I1 U 10U 10Us Z1Z λ ϕ λ Z λU 10U 10Us Z1Z λ ϕ λ Z λI 1 I 2 I 3 Iλ ϕ λ ϕ λI2 I2 U 20U 20Us Z2Z λ ϕ λ Z λU 20U 20Us Z2Z λ ϕ λ Z λI3 120 ϕ λI3 120 ϕ λU 30U 30Us Z3Z λ ϕ λ Z λU 30U 30Us Z3Z λ ϕ λ Z λ 120 ϕ λ 120 ϕ λI 1 I 2 I 3 I 0 0 U23U12 ωU30ϕλ I3U31ωU20 2U30I1U1210
7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (3)7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.Como se cumple que para el caso de cargas equilibradas:I 1 I 2 I 3 IλI 1 I 2 I 3 I 0 0 Se puede pasar de un sistema a cuatro hilos a uno de tres hilos ya que por el neutro nocircula corriente y puede eliminarse.Este tipo de circuitos pueden estudiarse mediante lareducción al equivalente monofásico, generalmente de la faseZ1I11, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o1adelanto para las otras fasesU12Z2Z1I2IU31 2110’ 0U23I3Z3U1003S.D.S.I.I1 I1 U 10U 10Us Z1Z λ ϕ λ Z λU 10U 10Us Z1Z λ ϕ λ Z λ ϕ λ ϕ λI 2 I 1 1 120I 2 I 1 1 120I 3 I 1 1 120I 3 I 1 1 120Se dice que el equivalente monofásico de una estrella esta formado por la tensiónsimple, la corriente de línea o compuesta y la impedancia de la estrella11
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (1)Volviendo al sistema a seis hilos, se podría haber conectado de la siguiente forma:1111I12I1 (I12 - I31)U12Z12222U31U23Z2333I31I3 (I31 - I23)I 12 2I23I2 (I23 - I12)3DONDE:Z31U 12Z 12I 1 I 12 I 31I 23 U 23Z 23I 2 I 23 I 123I 31 U 31Z 31I 3 I 31 I 2312
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (2)El diagrama vectorial seria:-I23U23I3U31ϕ3I311I2I23U12 ωϕ31ϕ12ϕ23-I12I1I23I31S.D.I12-I12I2-I23I3 ϕ23I12-I31U31ϕ12I1ωS.I.U12-I31U2313
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (3)En esta conexión, si en lugar de tres generadores monofásicos se pone un generadortrifásico:11I31I12I1 (I12 - I31)U12Z12U312I232I2 (I23 - I12)U23I3 (I31 - I23)I 31U 12Z 12I 23 U 23Z 23U 31 Z 31I 1 I 12 I 31I 2 I 23 I 12I 3 I 31 I 23Z233Z31I 12 3Donde: U12, U23 y U31 son las tensiones compuestas del sistema I12, I23 e I31 son las intensidades simples o de carga I1, I2 e I3 son las intensidades compuestas o de línea14
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (4)7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.Cuando la carga en triángulo es equilibrada se cumple que:Z 12 Z 23 Z 31 Z Z ϕ S.D.UUc 0 UcI 12 12 - ϕ Is -ϕ Z 12 Z ϕ Z UUc 120 UcI 23 23 120 - ϕ Is 120 -ϕ Z 23Z Z ϕ UUc 120 UcI 31 31 120 - ϕ Is 120-ϕ Z 31Z Z ϕ S.D.I 12 Is -ϕ I 23 Is 120 -ϕ I 31 Is 120-ϕ S.I.UUc 0 UcI 12 12 - ϕ Is -ϕ Z 12 Z ϕ Z UUc 120 UcI 23 23 120 - ϕ Is 120 -ϕ Z 23Z Z ϕ UUc 120 UcI 31 31 120 - ϕ Is 120-ϕ Z 31Z Z ϕ S.I. I 23 I 12 1 120 I 31 I 12 1 120 I 12 Is -ϕ I 23 Is 120 -ϕ I 23 I 12 1 120 I 31 I 12 1 120 I 31 Is 120-ϕ 15
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (5)7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.Cuando la carga en triángulo es equilibrada el diagrama vectorial será:-I23-I1230ºI3U12 ωI31ϕ3 30ºU31I230º-I121U2330Iº230ºϕ31ϕ12 I1230º ϕ2330ºI23I1I3130º -I31S.D.U12 ωI23I1ϕ12 30ºϕ2330ºI1230º-I31S.I.-I23 30º I3U23U31En este caso se observa que las intensidades de línea en secuencia directa retrasan30º respecto de las de carga, mientras que en secuencia inversa sucede lo contrario,pero en ambos casos se forman sistemas trifásicos equilibrados en corrientes,cumpliendo que si llamamos al modulo de las corrientes de carga Is y al de lascorrientes de línea Ic:I 1 I 12 cos 30 I 31 cos 30 2 Is cos 30 3 Is IcI 12 I 23 I 31 Is I 2 I 23 cos 30 I 12 cos 30 2 Is cos 30 3 Is IcI 3 I 31 cos 30 I 23 cos 30 2 Is cos 30 3 Is Ic16
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (6)7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.Cuando la carga en triángulo es equilibrada a la hora de estudiar el circuito, el estudiose hace mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase 1,desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o adelanto para las otras fases.I12Z12U12S.D.I 12 Is -ϕI 23 Is 120 -ϕ I 31 Is 120-ϕ Se dice que el equivalente monofásico de untriangulo esta formado por la tensióncompuesta y la corriente simple o de carga yla impedancia del triánguloI 23 I 12 1 120 I 31 I 12 1 120 I 1 I 12 3 30 I 2 I 1 1 120 I 3 I 1 1 120 S.I.I 12 Is -ϕI 23 Is 120 -ϕI 31 Is 120-ϕ I 23 I 12 1 120 I 31 I 12 1 120 I 1 I 12 3 30 I 2 I 1 1 120 I 3 I 1 1 120 17
7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGASEQUILIBRADAS.Cuando la carga del sistema trifásico es equilibrada el estudio se hace mediante lareducción al equivalente monofásico, se calcularía la potencia de una fase y semultiplicaría por tres para obtener la potencia total.1ILUSZλIS0UCZ Pm U S I L cosϕPm U C I S cosϕQm U S I L senϕQm U C I S senϕSm U S I LSm U C I SP 3Pm 3 U S I L cosϕ 3 U C I L cosϕP 3Pm 3 U C I S cosϕ 3 U C I L cosϕQ 3Qm 3 U S I L senϕ 3 U C I L senϕQ 3Qm 3 U C I S senϕ 3 U C I L senϕS 3Sm 3 U S I L 3 U C I LS 3 Sm 3 U C I S 3 U C I L18
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (1)7.6.1 CARGA EN ESTRELLACuando la carga del sistema trifásico es una estrella equilibrada el estudio se hacemediante la reducción al equivalente monofásico.I11U31 2U12I2U23I3Zλ1Zλ0’ 0I1U10ZλZλ03S.D.S.I.U 10U 10UsI1 Z1Z λ ϕ λ Z λI1 U 10U 10Us Z1Z λ ϕ λ Z λ ϕ λ ϕ λI 2 I 1 1 120I 2 I 1 1 120I 3 I 1 1 120I 3 I 1 1 12019
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (2)7.6.1 CARGA EN ESTRELLACuando la carga del sistema trifásico es una estrella desequilibrada el estudio se hacemediante tres métodos que son: lazos básicos, mallas o desplazamiento del neutro. Sibien en algunos casos se hace la transformación de estrella a triangulo y se resuelvesegún el siguiente apartado.I11U31 2U12I2U233I3Z1IAZ2IB Z1 Z 2 Z20’ 0I1 I A Z 2 I A U 12 I2 IB IA Z 2 Z 3 I B U 23 I 3 I BZ320
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (3)7.6.1 CARGA EN ESTRELLAU10El método del desplazamiento delneutro se basa en el teorema deMillmanZ11 I1nU20U 0 '0 Z22 I23Z3I3I2 U 20' U 20 U 0' 0 Z2Z2I3 U 30' U 30 U 0' 0 Z3Z3i 1 U i 0n Y iY 1 U 10 Y 2 U 20 Y 3 U 30Y1 Y 2 Y 3U30’U0’0UU U 0' 0I 1 10' 10Z1Z1ii 10’U 0 '0 U30 Y3U30U31U20U0’0U10’U20’0U230’1U10U12221
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (4)7.6.1 CARGA EN ESTRELLACuando la carga en estrella es desquilibrada mediante la transformación estrellatriangulo y el estudio del triángulo desequilibrado.Z 12Z1 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z1 Z3Z 23 Z 31Z1 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3Z1Z1Z1 Z 2 Z 2 Z 3 Z 3 Z1 Z222
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (5)7.6.2 CARGA EN TRIANGULOCuando la carga en triángulo es equilibrada se resuelve mediante la reducción alequivalente monofásico del propio triángulo.I12U12Z I 12U 12 Z S.D.I 12 Is -ϕ I 23 Is 120 -ϕ I 23 I 12 1 120 I 31 I 12 1 120 I 31 Is 120-ϕ S.I.I 12 Is -ϕ I 23 Is 120 -ϕ I 31 Is 120-ϕ I 23 I 12 1 120 I 31 I 12 1 120 23
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (6)7.6.2 CARGA EN TRIANGULOCuando la carga en triángulo es desequilibrada se resuelve mediante las ecuacionesdel triángulo1U121I31I12I1 (I12 - I31)Z12U312I232I2 (I23 - I12)U23I3 (I31 - I23)I 31 I 23U 23 Z 23U 31Z 31I 1 I 12 I 31I 2 I 23 I 12I 3 I 31 I 23Z233Z31I 12U 12 Z 12324
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (7)7.6.2 CARGA EN TRIANGULOOtro método que no suele ser muy utilizado es la transformación del triángulo-estrellaZ 12 Z 31Z1 Z 12 Z 23 Z 31Z 23 Z 12Z2 Z 12 Z 23 Z 31Z 31 Z 23Z3 Z 12 Z 23 Z 3125
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (8)7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEASe agrupan las cargas de cada rama de la estrella con la de línea que le precede y seestudia la estrella resultante según lo visto en el apartado 7.6.1., . Hay que tener encuenta que la tensión en la carga en estrella no es la tensión del generador ya que en lalínea se produce una caída de tensiónU11’ZL111’ I1U1’0’Z11U12U31U22’ZL222’ I2U233I1U33’ZL33’ I3U2’0’0’ 0Z2U31 2U12U23I2I3Z’1Z’20’ 0Z’33Z'1 Z L1 Z 1Z3U3’0’Z' 2 Z L2 Z 2Z' 3 Z L3 Z 326
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (9)7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEASe transforma el triangulo en su estrella equivalente según las ecuaciones de latransformación triangulo-estrella vistas en el apartado anterior, y después se estudiaracomo una estrella con carga en la ��U11’ZL11’ I1U22’ZL22’ I2U33’ZL33’ 0’0’ 0Z2Z3U3’0’27
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (10)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULOPara resolver este sistema se tienen que conocer las corrientes que llegan al triángulo ylas que llegan a la estrella, para obtener a partir de ellas la corriente de la línea. Existentres métodos superposición, transformación del triángulo a la estrella equivalente o bientransformación de la estrella al triangulo � 0Z2U23U312U1’0’3I 1 I'1 I"1I”1I”2Z23I”3Z3U3’0’Z12I 2 I ' 2 I" 2I 3 I ' 3 I" 3Z3128
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (11)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULOPara resolver este sistema por superposición: se estudia por una parte la estrella y porotra el triángulo;1 I”1 (I12 - I31)1Z1I31I12I’11Z12U12U12Z2I”2 (I23 - I12)I’2UZ31U31 223120 0I23U23I’3 Z3U23 I”3 (I31 - I23)Z23333I 1 I'1 I"1I 2 I ' 2 I" 2I 3 I ' 3 I" 329
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (12)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULOPara resolver este sistema por transformación de la estrella en el triángulo equivalente,entonces en cada rama del triangulo tendremos dos impedancias en paralelo y lasasociaremos entre sí de tal forma que el resultado será un triangulo �23I32I23I31Z31I’31Z’31Z23Z’23330
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (13)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULOPara resolver este sistema por transformación del triángulo a la estrella equivalente, senecesita que las dos cargas sean equilibradas, entonces tendremos dos impedanciasen paralelo para cada rama de la estrella y las asociaremos entre sí de tal forma que elresultado será una estrella también I”2I”3I11Z1U31 2Z2U12U23I2I3Z1PZ2P0’ 0Z3P3Z30’ 0Z’3Z 1P Z 1 Z'1Z’2Z 2P Z 2 Z' 2Z’1Z 3P Z 3 Z' 331
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (14)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA U2’0’0’ 3I”1I”2Z23I”3Z3U3’0’Z12Z3132
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (15)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEAEn el caso de cargas desequilibradas hay que hacer la transformación de la estrella altriángulo equivalente, se calculan las ramas del triangulo equivalente como hemoscalculado para carga en triangulo y en estrella, y entonces se estudia igual que unacarga en triangulo y en la 23I31Z31I’31Z’31Z23Z’23333
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (16)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEAEn el caso de cargas equilibradas hay que hacer la transformación del triángulo a laestrella equivalente, y se calcula el equivalente monofásico del circuitoZL1’I11I’1U1’0U100I”1Z /3Zλ00034
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (1)En los sistemas trifásicos equilibrados en tensiones se puede determinar el orden desucesión de fases mediante sencillos montajes como los de las siguientes �H2H1L0’H2RC0’VRLV0’Se puede observar que los montajes como los de las figuras se corresponden concargas trifásicas desequilibradas de forma que el 0’ 0, y por tanto las tensiones quecaen en cada rama de la estrella desequilibrada serán diferentes, el valor de estatensión será el que nos dará la secuencia del sistema.En una carga para cambiar el orden de sucesión de fases basta con permutar dos delas fases entre si y ya se consigue.35
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (2)Estudiaremos cada uno de los cuatro montajes:Para el primer montaje, si consideramos la resistencia de laslámparas, entonces se podría calcular el equivalente deThevenin en bornes del condensador, es decir entre la fase Ry 0’, para ello0’UTHSRT IRSU TH U RS R I RU TH U RS TIRISITH1H2C0’ZTH0’Z THR2 R 2R 2P U I U2 U R PI R RTU TRSRRU RS U TH R I RR IRURSUTRU TR 2 R I RRRR2R IRTIUTRIS0’ URS UTR/2UCCII R jXc2U ThZ ϕ UTR/2UR/2URSSUTR/2UCUTHSU ��H2 H1 SDTH1 H2 SI36
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (3)Para el segundo montaje, si consideramos laresistencia de las lámparas, igualmente se podríacalcular el equivalente de Thévenin en bornes de labobina, es decir entre la fase R y 0’, para ello:RRUTRU TR 2 R I R0’UTHSU RS U TH R I RR IRURSU TH U RS R IRIRISITH1LH2RRSU TR2ZTH0’Z THRT0’UT0’UR/2URS UTR/2UTRR2 R 2R 2ULLUTHU ThR jX L2 U ThZ ϕ UTHUR/2IUR0’URSS0’UR0’RUST UR/2SULS0’ULI TTI S0’U TH U RS R I RRT IRP U I U2 U R PI R RUTR/2UTR/2UT0’RIH1 H2 SDTH2 H1 SI37
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (4)Para el montaje de la tercera figura, si consideramos laresistencia de las lámparas, y si además se consideraque la corriente que recorre el voltímetro es nula, elcircuito se podría considerar como un circuitomonofásico formado por un condensador y unaresistencia que están sometidos a la tensión que hayentre las fases R y S y con esta consideración lacorriente y las tensiones en el circuito serán:IRRISSITTRC0’VU0’TP U I U2 U R PI R TUTRU R 0'U RSU C 0 º IRS ϕ ºR jXc Z ϕ º IRS ϕ R IRS R ϕ ºI RS S.D. U 0'S IRS ϕ X C 90º IRS X C ϕ 90ºUSTISUT0’φU R 0 ' U 0 'S U RSL.V. Uc SDL.V. Uc SIURSRU0’SUR0’0’USTUT0’S.I.UTRT38
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (5)Para el montaje de la cuarta figura, volviendo aconsiderar la resistencia de las lámparas, y que lacorriente que recorre el voltímetro es nula, elcircuito se podría considerar como un circuitomonofásico formado por una bobina y unaresistencia que están sometidos a la tensión quehay entre las fases R y S y con esta consideraciónla corriente y las tensiones en el circuito seránP U I U2 U R PI R IRRISSTIT 0RL0’Z VU0’TTUTRUT0’S.D.USTU0’S0’UR0’URSSI RSU RSU C 0º I RS ϕºR jX L Z ϕºU R 0' I RS ϕ R I RS ·R ϕºU 0' S I RS ϕ X L 90º I RS · X C ϕ 90ºU R 0' U 0' S U RSRφIUT0’S.I.USTUTRTL.V. Uc SDL.V. Uc SI39
7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (1)CARGA EN ESTRELLA Y U30U10 LW1 U 10 I 1 cos U 10 I 1 U 10 I 1 cos ϕ10’ 0 LW 2 U 20 I 2 cos U 20 I 2 U 20 I 2 cos ϕ 2 LW3 U 30 I 3 cos U 30 I 3 U 30 I 3 cos ϕ 3 P PZ 1 PZ 2 PZ 3 U 10 I 1 cos ϕ 1 U 20 I 2 cos ϕ 2 U 30 I 3 cos ϕ 3 W1 W2 W340
7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (2)CARGA EN ESTRELLA Y EQUILIBRADA1W1I1Z1U10U2023U10I2Z20’ 0I3I0Z3Z 1 Z 2 Z 3 Z Z ϕ I 1 I 2 I 3 I L LW1 U 10 I 1 cos U 10 I 1 U S I L cos ϕ U30P 3U C I L cos ϕ 3W41
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (3)CARGA RESISTIVA PURA Y EQUILIBRADAU31W1U13U12 ωU30I1ZI3U10I1I2U13U20S.D.U23I1 I 2 I 3 IL3 UC ILLW U 13 I 1 cos U 13 I 1 U C I L cos 30 2 U23P 3U C I L cos ϕ 3U C I L cos 0 3U C I L 2 WU20 I2S.I.ωU13U10I3U31U30I1U1242
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (4)CARGA DESEQUILIBRADA1W12u20’3W2W3u30’u10’ i1Z1i2u20”Z20’ u0’0”i3Z3u30”u10”0”1(i1 u10" )dt T1PZ2 (i2 u 20" )dtT1PZ3 (i3 u 30" )dtTP PZ1 PZ2 PZ3 PZ1 1(i1 u10" i2 u 20" i3 u 30" )dt T111dWdW(i u)t (i u)t (i3 u 30' )dt110'2220'3T T T u10" u 0' 0" u 20' u 20" u 0' 0" u 30' u 30" u 0' 0"W1 u10'111(i (u u))dtW (i (u u))dtW (i3 (u 30" u 0' 0" ))dt110"0'0"2220"0'0"3T T T 1W1 W2 W3 ((i1 (u10" u 0' 0" )) (i 2 (u 20" u 0' 0" )) (i3 (u 30" u 0' 0" )))dt T1((i1 u10" i 2 u 20" i3 u 30" ) u 0' 0" (i1 i2 i3 ))dtT (i1 i2 i3 ) 0 W1 W2 W3 1 (i1 u10" i2 u 20" i3 u 30" )dt PTW1 43
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (5)CARGA DESEQUILIBRADA1W12u20’3W2W3u30’u10’ i1Z1i2u20”Z20’ u0’0”i3Z3u30”u10”0”1(i1 u10" )dt T1PZ2 (i2 u 20" )dtT1PZ3 (i3 u 30" )dtTP PZ1 PZ2 PZ3 PZ1 1(i1 u10" i2 u 20" i3 u 30" )dt T111dWdW(i u)t (i u)t (i3 u 30' )dt110'2220'3T T T u10" u 0' 0" u 20' u 20" u 0' 0" u 30' u 30" u 0' 0"W1 u10'111(i (u u))dtW (i (u u))dtW (i3 (u 30" u 0' 0" ))dt110"0'0"2220"0'0"3T T T 1W1 W2 W3 ((i1 (u10" u 0' 0" )) (i 2 (u 20" u 0' 0" )) (i3 (u 30" u 0' 0" )))dt T1((i1 u10" i 2 u 20" i3 u 30" ) u 0' 0" (i1 i2 i3 ))dtT (i1 i2 i3 ) 0 W1 W2 W3 1 (i1 u10" i2 u 20" i3 u 30" )dt PTW1 44
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (6)CARGA DESEQUILIBRADAVemos por tanto que al no haber considerado ninguna secuencia de fases este métodode medida de potencias es valido para secuencia directa e inversa1W12u20’3W2W3u30’u10’ i1Z1i2u20”Z20’ u0’0”i3u10”0”Z3u30”Además como finalmente el neutro de los vatímetros no interfiere en el resultado finalpodría estar a cualquier potencial luego podría puentearse con cualquiera de las fases,de esta forma el vatímetro que toma la corriente de esa fase marcaría cero y los otrosdos vatímetros variaran su lectura de forma que su suma coincida con la de los tresvatímetros cuando el neutro de las bobinas voltimétricas estaba al aire. De esta formase pasa de un sistema de medida con tres vatímetros a uno con dos vatímetros que nospermite medir potencia activa en cargas equilibradas y desequilibradas, y quellamaremos el método de Aron o de los dos vatímetros.45
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (7)7.9.1 MÉTODO DE ARONEste método sirve para medir potencia activa para cargas equilibradas ydesequilibradas tanto para secuencia directa como para inversa, y para la medida de lapotencia reactiva en los sistemas equilibrados y en ambas secuencias, la disposición delos vatímetros puede ser cualquiera de las figuras siguientesW1I1W3W2I1I2W5W4I3W6I2I3En todas ellas hay un vatímetro que toma la intensidad de la fase “i” y la tensión desdeesta misma fase “i” hasta la fase “i-1”, a este vatímetro en el método de Aron lellamaremos vatímetro “1”, mientras que el otro vatímetro toma la intensidad de otra fase“j” “i 1” y la tensión de la fase “j” hasta la fase “j 1” a este segundo vatímetro lellamaremos vatímetro “2”46
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (8)7.9.1 MÉTODO DE ARONLos resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una cargaequilibradaiS. D.IiWIU30U12U31jWJIjϕϕU20 ϕ 30ºi-1ωU10ϕ-30ºU13j 1U23 WI I i U i,i-1 cos I iU i,i-1 I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cosϕ cos30 sen30 senϕ ) W1 WJ I j U j, j 1 cos I jU j, j 1 I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cosϕ cos30 sen30 senϕ ) W2 W1 W2 2 I L U C (cosϕ cos30 ) 2 I L U C cosϕ 3 3 I L U C cosϕ P21QW1 - W2 2 I L U C (sen30 senϕ ) 2 I L U C senϕ I L U C senϕ 2347
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (9)7.9.1 MÉTODO DE ARONLos resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una cargaequilibradaiWIIiU23ϕ -30ºjWJIjS. I.U20ωIJϕU13U10ϕi-1j 1U31U30IIϕ 30ºU12 WI I i U i,i -1 cos I iU i,i-1 I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cosϕ cos30 sen30 senϕ ) W2 WJ I j U j, j 1 cos I jU j, j 1 I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cosϕ cos30 sen30 senϕ ) W1 3W1 W2 2 I L U C (cosϕ cos30 ) 2 I L U C cosϕ 3 I L U C cosϕ P21QW1 - W2 2 I L U C (sen30 senϕ ) 2 I L U C senϕ I L U C senϕ 4823
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (10)7.9.1 MÉTODO DE ARONComportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuenciasSecuencia directa ϕ 0º carga resistiva puraWI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos - 30 ) 3I L UC2 WI WJ 0WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos30 ) 3I L UC2Secuencia directa ϕ 30º inductivosWI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos0 ) I L U C WI 2WJ 0WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos 60 ) 1I L UC2Secuencia directa ϕ 60º inductivosWI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos30 ) 3I L UC2WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos90 ) 0 WI 0 WJ49
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (11)7.9.1 MÉTODO DE ARONComportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuenciasSecuencia directa 60º ϕ 90º inductivos (por ejemplo 75º)WI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos45 ) 0WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos105 ) 0 WI 0 WJSecuencia directa ϕ 90º inductivosWI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos60 ) 1I L UC2 1WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos120 ) I L U C2WI WJWI 0 WJ50
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (12)7.9.1 MÉTODO DE ARONComportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuenciasSecuencia directa ϕ -30º capacitivosWI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos - 60 ) 1I L UC2WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos0 ) I L U C WJ 2WI 0Secuencia directa ϕ -60º capacitivosWI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos - 90 ) 0 WJ 0 WIWJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos 30 ) 3I L UC251
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (13)7.9.1 MÉTODO DE ARONComportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuenciasSecuencia directa -60º ϕ -90º capacitivos (por ejemplo 75º)WI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos - 105 ) 0WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos 45 ) 0 WJ 0 WISecuencia directa ϕ -90º capacitivos1WI I L U C cos(ϕ - 30 ) I L U C (cos - 120 ) I L U C2 WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos 60 ) 1I L UC2WJ WIWJ 0 WI52
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (14)7.9.1 MÉTODO DE ARONComportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuenciasSecuencia inversa ϕ 0º carga resistiva puraWI I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos 30 ) 3I L UC23WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos - 30 ) I L UC2 WI WJ 0Secuencia inversa ϕ 30º inductivosWI I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos60 ) 1I L UC2WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos0 ) I L U C WJ 2WI 0Secuencia inversa ϕ 60º inductivosWI I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos90 ) 03WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos30 ) I L UC2 WJ 0 WI53
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (15)7.9.1 MÉTODO DE ARONComportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuenciasSecuencia inversa 60º ϕ 90º inductivos (por ejemplo 75º)WI I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos105 ) 0WJ I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos45 ) 0 WJ 0 WISecuencia inversa ϕ 90º inductivosWI I L U C cos(ϕ 30 ) I L U C (cos120 ) 1I L UC21WJ
Se denomina sistema trifásico al que se compone de tres tensiones. Si las tres tensiones tienen el mismo modulo y están desfasadas entre si 120º, se dice que el sistema es trifásico equilibrado en tensiones, cuando no se cumple un de las dos condiciones entonces decimos que el sistema es desequilibrado en tensiones
