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M: 10826C1: 10603C2: 10000C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 37 - MATC4: 10000Desplazamientos verticales de la gráficaProblema 4A un diseñador le piden que dibuje las gráficas siguientes. Para utilizar un graficadorde funciones necesita conocer la fórmulas de las funciones representadas. ¿Cómopuede hacer para hallar la fórmula de las funciones g:¡ ¡ y h: ¡ ¡?Al comparar la gráfica de g con la de ƒ:¡ ¡/ƒ(x) x2Es posible reconocer que todos losvalores de las imágenes han disminuido dos unidades, por lo quela gráfica se desplazó dos unidades hacia abajo. Esto quiere decirque la fórmula de la función g esla de f menos dos. En símbolos,g(x) f(x) – 2 x 2 – 2Entonces, la gráfica anterior representa la función g:¡ ¡ / g(x) x2 – 2.Si ahora se comparan h(x) con f(x).La gráfica de una función defórmula t(x) x2 c tienela misma forma que la gráfica de lafunción de fórmula f(x) x2, perodesplazada c unidades hacia arriba,si c es positivo, o c unidadeshacia abajo, si c es negativo. Enestos casos varía la posición delvértice de la parábola pero no varíael eje de simetría.Se observa que en lugar de restarle2 unidades a f(x), se le suman 4. Seobtiene la fórmula h(x) x 2 4 quecorresponde a una parábola desplazada o corrida 4 unidades haciaarriba respecto de la gráfica de f.5. Grafiquen las siguientes funciones6. Si la gráfica de la función de fórmula h(x) x2 c contiene elm : ¡ ¡ / m(x) x2 1; g : ¡ ¡ / g(x) m(x) – 3punto (0 ; 5), ¿cuánto vale c?37Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: http://preprensa.agr.com.ar*0000-222503-37-MAT-9*

M: 10826C1: 10730C2: 10603C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 38 - MATC4: 10000Desplazamientos horizontales de la gráficaProblema 5A un cuadrado de lado a, medido en centímetros, se le efectúan dos cortes, como semuestra en el dibujo y se obtiene el cuadrado de lado b. Escribir una expresión que permita calcular el área (en cm2) del cuadrado sombreado, en función de la longitud a (encm) del lado del cuadrado mayor. En la siguiente tabla se presentan algunos posibles valores de a y, a partir de ellos, elárea del cuadrado sombreado.Para construir la tabla se puede razonar así:Si el lado del cuadrado mayor mide, por ejemplo, 3 cm, el lado del cuadrado sombreado mide 2 cm menos, es decir, 1 cm y su área, 1 cm2.En la función de fórmulah(x) (x – 2)2, la variablex admite cualquier valor real,pero las imágenes son mayoreso iguales a 0 porque se obtienenelevando x – 2 al cuadrado.Es decir, Dom (h) ¡,Im(h) ¡ {0} [0 ; )38Longitud del lado del cuadrado mayor (en cm)35410Área del cuadrado sombreado (en cm2)19464En general, si el lado del cuadrado mayor mide a, b mide a – 2 y este resultado se elevaal cuadrado para obtener el área del cuadrado de lado b.Esto puede escribirse mediante una expresión cuadrática, de la siguiente manera:S(a) (a – 2)2, donde a es la longitud en cm del lado del cuadrado mayor, y S(a) es elárea del cuadrado sombreado, en cm2.Como S(a) (a – 2)2 (a – 2) (a – 2) a2 – 2a – 2a 4 a2 – 4a 4, la expresiónresponde a un modelo cuadrático.Fuera del contexto del problema analizado, en la que los valores de a son medidas deun lado de un cuadrado, existe una función h de fórmula h(x) (x – 2)2, que admite cualquier valor real de x. Si para graficar h(x) se realiza una tabla de valores se obtiene:xh(x)0411–19203144Capítulo 2. Funciones cuadráticas.Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: : 10826C1

M: 10826C1: 10603C2: 10000C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 39 - MATC4: 10000Al observar el gráfico de h(x), es lógico pensar que la gráfica puede construirse a partir de la gráfica de f : ¡ ¡ / f(x) x2.Si se grafican f(x) x² y h(x) (x – 2)2en un mismo par de ejes cartesianos, esposible observar en la gráfica que h(x) estádesplazada 2 unidades hacia la derecha respecto de la gráfica de f(x), y el 2 que aparece restando en la fórmula no indica, en estecaso, desplazamiento hacia la izquierda,sino hacia la derecha.El vértice pasó a ser el punto (2 ; 0) y el ejede simetría, la recta x 2.La gráfica de una funciónde fórmula m(x) (x – a)2 escomo la de la función de fórmulaf (x) x 2, pero desplazada a unidades hacia la izquierdasi a 0, o a unidades hacia laderecha si a 0.Desplazamientos de la gráficaProblema 6Encontrar, si es posible, la fórmula de una función cuadrática, t(x), cuya gráfica seala siguiente.Para conocer la fórmula de la función representada se puede razonar así.Esta gráfica está desplazada una unidad hacia la izquierda respecto de la gráfica def(x) x2, por lo tanto, en lugar de x2, su expresión contiene a la potencia (x 1)2. Perotambién se desplazó dos unidades hacia abajo, entonces, se resta 2 a la expresión anterior y la fórmula resulta: t(x) (x 1)2 – 2.El vértice de t(x) resulta entonces el punto (–1 ; –2) y su eje de simetría es la rectavertical de ecuación x –1.En general, si la fórmula de una función cuadrática puede expresarse como h(x) (x – a)2 bentonces la gráfica de h puede verse como un desplazamiento de la función f(x) x2, a unidades hacia la derecha o la izquierda y b unidades hacia arriba o hacia abajo. El vértice de h(x) esel punto (a ; b) y su eje de simetría es la recta x a.Si una función cuadráticatiene por fórmula laexpresión g(x) (x – a)2 b sugráfica es igual a la de ƒ(x) x2 perodesplazada a unidades hacia laderecha y b unidades hacia arriba,si a y b son ambos positivos. Si a y bson ambos negativos, el corrimientoes hacia la izquierda y hacia abajo.Si a es positivo y b negativo, sedesplaza hacia la derecha y haciaabajo, y si a es negativo y b positivo,hacia la izquierda y hacia arriba.En todos los casos, el vértice de laparábola, en lugar de ser el punto(0 ; 0), es el punto (a ; b) y su ejede simetría es la recta vertical deecuación x a.39Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: http://preprensa.agr.com.ar*0000-222503-39-MAT-9*

M: 10826C1: 10603C2: 10000C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 40 - MATC4: 10000M: 10826C1Problema 7¿Cómo puede hallarse la fórmula de la función cuadrática j correspondiente a la siguiente gráfica, conociendo las coordenadas de algunos de sus puntos, como se muestra en la tabla?tƒxj(x)3–1950f10aLa tabla de valores solo muestra algunos puntos que pertenecen al gráfico de j, pero apartir de la información de la tabla y de la gráfica, es posible reconocer que el vértice esel punto (3 ; –1), y que j(3) –1. Por lo tanto, la fórmula de la función j debe contener laexpresión (x – 3)2 – 1, pues su gráfica se encuentra desplazada 3 unidades hacia la derecha y una hacia abajo respecto de la gráfica de f(x) x2. Puede pensarse, entonces, que lafórmula de j es j(x) (x – 3)2 – 1.Sin embargo, si se calcula por ejemplo, j(5) resulta que j(5) (5 – 3)2 – 1 3 pero,según la tabla y la gráfica, j(5) 0.Esta diferencia se debe a que en la fórmula considerada para j falta un valor de a 1.Es decir, j(x) a(x – 3)2 – 1.Para determinar el valor de a puede usarse la información que aportan la tabla y lagráfica: j(5) 0 y resolver la ecuación que se obtiene.1a(5 – 3)2 – 1 0 a . 4 – 1 0 a 4Una función cuadráticapuede expresarse mediantela fórmula:ƒ(x) a (x – xv)2 yv , con a ε ¡ y a 0.Las coordenadas del vértice de laparábola son:Avƒa1 (x – 3)2 –1Por lo tanto, j(x) 4Así definida la función j, sucede también que j(1) 0, pues x 1 es simétrico a x 5respecto al eje de simetría. Es decir, si para un elemento del dominio que está, por ejemplo, dos unidades a la derecha del eje, la función toma un cierto valor, para el elementoque está dos unidades a la izquierda, debe tomar el mismo.(xv ; yv)Problema 8ordenada del vérticeabscisa del vérticey se verifica que f ( xv ) yv.Esta expresión se denomina formacanónica de la función cuadrática.Una función cuadrática está definida por la expresión: f(x) a(x – 1)2 yv, con a ¡, ysu gráfica contiene a los puntos (1 ; 1) y (2 ; 3). ¿Cómo se pueden determinar los valoresde a y de yv?Como la parábola contiene al punto (1 ; 1), se verifica que f(1) 1. Por lo tanto,f(1) a(1 – 1)2 yv 1 a . 0 yv 1 yvCon esta nueva información y considerando que la parábola contiene al punto (2 ; 3),se debe cumplir lo siguiente: f(2) 3 a(2 – 1)2 yv 3 a.1 1 a 2Como yv 12Es decir, la fórmula de f es f(x) 2(x – 1) 1.40Capítulo 2. Funciones cuadráticas.Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: http://preprensa.agr.com.ar*0000-222503-40-MAT-9*a

M: 10826C1: 10603C2: 10000C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 41 - MATC4: 100007. Escriban la fórmula de dos funciones cuadráticas diferentes quec. ¿Es posible que en algún lugar de la cadena haya 7895 pelotitas?tengan su vértice en (–2 ; 4).¿Por qué?ADESACTIVIDd. ¿En qué lugar de la cadena se contarán 3240 pelotitas? ¿Por qué?8. La gráfica de la función de fórmula ƒ(x) 2(x 1)2 – 18 verifica queƒ(2) 0. Encuentren el otro valor de x para el cual ƒ(x) 0.16. La gráfica de una función cuadrática contiene a los puntos(–5 ; 7) y (18 ; 7). ¿Es suficiente esta información para conocer las9. Expliquen cómo puede determinarse si la gráfica de la función decoordenadas de su vértice? ¿Por qué?fórmula ƒ(x) 3(x 1)2 2 interseca al eje x.10. Grafiquen las funciones cuyas fórmulas se indican a continuación.a. ƒ(x) (x – 2)2 32 (x – 4)2 1c. h(x) 3b. t(x) –2x2 3d. g(x) – 4 (x 1)217. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función1 (x 1)2 –3 ? Expliquen cómo se dieron cuenta.ƒ(x) 2abcd11. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece al gráfico de la funciónde ƒ(x) 5(x 1)2 – 3?A (–1 ; 0) ; B (–1 ; –3) ; C (2 ; 42) ; D (42 ; 2)12. Si ƒ(x) 3 (x – 4)2 k. ¿Cuál debe ser el valor de k para que severifique ƒ(5) 0?13. Determinen el o los valores de a de manera tal que la gráfica deƒ(x) ax2 – a contenga al punto (0 ; –1).14. Un cubo de madera está pintado de azul, y se le realizan dos cortesen cada sentido, como se muestra en la figura.a. ¿Cuántos cubitos tienen únicamente una cara azul?b. Si se hubieran efectuado tres cortes en cadasentido, ¿cuántos cubitos tendrían una cara azul? ¿Y sise hubieran efectuado cuatro cortes en cada sentido?c. Construyan una fórmula que permita calcular la cantidad de cubitosque tienen una cara azul, en función de la cantidad de cortes por arista.15. El siguiente esquema se ha construido a partir de agregarabcd18. Hallen la fórmula de la función cuya gráfica es la siguiente:una pelotita a la base y a la altura de un triángulo rectángulo, ycompletando la hipotenusa.a. ¿Cuántas pelotitas habrá en el quinto lugar? ¿Y en el décimo?19. Hallen la fórmula de una función cuadrática cuyo eje de simetríab. ¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la cantidad dees la recta x – 4, su conjunto imagen es [–6 ; ) y pasa por el origenpelotitas que hay en el lugar n de la cadena? Expliquen cómo sede coordenadas.dieron cuenta.I. n 3n(n 1)II.21n1 n2 III.22(n 1)n .IV.2 241Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: http://preprensa.agr.com.ar*0000-222503-41-MAT-9*

M: 10603C1: 10000C2: 10000C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 42 - MATC4: 10000Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimientoEn algunas situaciones, modelizar los hechos mediante una función cuadrática ayudaa tomar decisiones, como en el siguiente caso.Problema 9Una fábrica de impresoras quiere lanzar al mercado un nuevo modelo. Para ello serealiza un estudio y se determina que la ganancia (en miles de pesos) está dada por elprecio de venta (en pesos) y esta relación viene establecida por la siguiente fórmula:g(p) – 4 (p – 250)2 10 000, donde p representa el precio de venta.a. ¿A qué precio conviene vender las impresoras para obtener la máxima ganancia?b. ¿Existe algún precio para el cual no haya ganancia?La gráfica de g es una parábola con sus ramas hacia abajo, pues el coeficiente a dela fórmula es negativo.El vértice de una paráboladetermina el valor máximoque toma la función cuando elcoeficiente a es negativo, y el valormínimo cuando el coeficiente a espositivo.Además, la gráfica está desplazada 250 unidades hacia la derechay 10 000 unidades hacia arriba,respecto de la de f(x) x2. Su vértice es el punto (250 ; 10 000). a2 a Por lo tanto, si a es unnúmero positivo, la ecuaciónx2 a, puede resolverseaplicando raíz cuadrada en ambosmiembros: x2 a x aLa ecuación tiene entonces dossoluciones: x a y x – a .Los valores del dominio paralos cuales la función valecero se llaman raíces o ceros. Enesos puntos, la gráfica interseca eleje x.Para encontrar los ceros deuna función f : ¡ ¡ /f(x) a(x – xv)2 yves suficiente resolver la ecuacióna(x – xv)2 yv 0.42A partir del gráfico es posible reconocer que el vértice de la parábola corresponde alvalor máximo de g(p) e informa que el precio conveniente es de 250 para que la ganancia sea de 10 000, o sea, la máxima posible.Para hallar los valores que corresponden a una ganancia nula hay varias posibilidades.Una es observar qué puntos de la gráfica intersecan el eje horizontal, es decir, cuáles sonsus ceros. En este caso parece que si el precio de venta es 200 o 300, la ganancia es 0,pero este método no siempre es exacto.Otra posibilidad es expresar la ganancia nula como g(p) 0, reemplazar por su fórmulay hallar los ceros resolviendo la ecuación obtenida.–4( p – 250)2 10 000 0–4( p – 250)2 –10 000–10 000( p – 250)2 –4 p – 250 50Se reemplaza g(p) por su expresión cuadrática. 2500Se despeja.Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros.Capítulo 2. Funciones cuadráticas.Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: : 10603C1

M: 10603C1: 10000C2: 10000C3: 10000C4: 10000NIP: 222503 - Pág.: 43 - MATPara que esta última condición se verifique, debe ocurrir que p – 250 50 o bienp – 250 –50.Por lo tanto, p 300 o bien p 200 son soluciones de la ecuación, es decir, paraambos valores de p, g(p) 0, como se observa en la gráfica.Por otro lado, es posible reconocer que si las impresoras se venden, por ejemplo, a 50 o a 400 hay pérdida. Lo mismo ocurre para todos aquellos valores de p para loscuales la parábola se encuentra por debajo del eje horizontal. Es decir si las impresoras sevenden a menos de 200 o a más de 300 no habrá ganancia sino pérdidas. Estos valorespertenecen al conjunto de negatividad de g.Se producirá ganancia si el precio de venta está entre 200 y 300. Estos son losvalores que pertenecen al conjunto de positividad de la función.También es posible observar que los valores de p menores que 250 tienen imágenescada vez mayores a medida que aumentan, es decir, la función g es creciente para losvalores del dominio menores que 250. De igual modo, los valores de p mayores que 250tienen imágenes cada vez menores a medida que aumentan y, por lo tanto, la función ges decreciente para los valores de p mayores que 250.Es posible, entonces, establecer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:g es creciente en el intervalo (– ; 250) y es decreciente en el intervalo (250 ; ).Problema 10Encontrar, si existen, los ceros de las siguientes funciones y realizar su gráfica.1 2b. t : ¡ ¡/ t(x) 4(x – 3)2 1a. r : ¡ ¡/ r(x) –2 x 4()Para hallar las raíces o ceros de r a partir de la fórmula, basta con resolver la ecuación1 2 0, de donde se obtiene que x –1.(–2) x 441 de unidad hacia laAdemás, es posible reconocer que la gráfica de r está desplazada4izquierda, con respecto a la gráfica de f(x) x2, pero no está desplazada ni hacia arriba nihacia abajo. Por lo tanto, su gráfica es la siguiente.()El conjunto depositividad de unafunción es el conjunto de valoresdel dominio cuyas imágenes sonpositivas. Es decir, las abscisasde los puntos de su gráfica cuyasordenadas son positivas. Sesimboliza C .El conjunto de negatividadde una función es el conjuntode valores del dominio cuyasimágenes son negativas. Es decir,las abscisas de los puntos desu gráfica cuyas ordenadas sonnegativas. Se simboliza C–.Si en determinado intervalodel dominio, los valores de unafunción van incrementándosea medida que crece el valor dela coordenada x, la función escreciente en ese intervalo, y si losvalores van decreciendo a medidaque se incrementan los valores dex, la función es decreciente en eseintervalo.Es decir, esta función tiene un solo1 y se verifica quecero en x –41r – 0.4Las ramas de r(x) van para abajopues a –2 0.( )Si una función tiene unasola raíz, ese valor coincidecon la abscisa del vértice.En este caso, la gráfica interseca al eje x en un solo punto. Este punto coincide con elvértice de la parábola.43Artes Gráficas Rioplatense S.A. PreprensaTacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123e-mail: preprensa@agr.com.ar - web: http://preprensa.agr.com.ar*0000-222503-43-MAT-9*

M: 10826C1: 10603C2: 10000C3: 10000NIP: 222503 - Pág.: 44 - MATC4: 10000A partir de la fórmula t:¡ ¡ / t(x) 4(x – 3)2 1, es posible reconocer que la gráficade la función t está desplazada 3 unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba conrespecto a la gráfica de f(x) x2. Además, como la expresión cuadrática (x – 3)2 está multiplicada por 4, la parábola correspondiente tiene sus ramas hacia arriba.En consecuencia, la gráfica de t es la siguiente.Es posible observar que la funciónt no tiene ceros o raíces reales. Esdecir, no hay ningún valor x deldominio para el cual t(x) 0.O sea la gráfica de la función t nointerseca al eje x.A partir de la observación de la fórmula puede decidirse que la función no valdrá nunca 0, esdecir que 4(x – 3)2 1 nunca da cero. Esta última afirmación también se puede determinar apartir de resolver la ecuación: t(x) 0.4(x – 3)2 1 01(x – 3)2 –4Se reemplaza t(x) por su expresión.Se despeja.Para que se verifique la última igualdad, (x – 3)2 debe ser negativo; pero esto es imposible ya que (x – 3)2 es un cuadrado y entonces nunca puede ser negativo. Es decir, no hayningún número real x que cumpla con la condición pedida.Esta imposibilidad determina que la función t no tenga raíces reales.20. Encuentren la expresión de una función cuadrática que tenga una24. Encuentren la fórmula de una función cuadrática m(x) que cortasola raíz en x 5.al eje de ordenadas en el punto (0 ; 5) y que tiene por eje de simetría¿Hay una única función que cumple con esta condición? ¿Por qué?9 y se sabe que tiene un cero en x 1.1 2 –21. Si ƒ(x) x 42Encuentren el otro cero sin resolver la ecuación correspondiente.3 2 –2.22. Dada la función cuadrática de fórmula: g(x) –3 . x 45a. Hallen el conjunto imagen de g.a la recta x –2. ¿Cuántas funciones hay que verifican todas las26. ¿Cuántas raíces reales tiene la función h(x) –2(x – 3)

Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una de ellas es hacer una tabla colocando las posibles medidas del lado del espejo y, a partir de ellas, calcular el precio del espejo solo, el precio del marco y el costo total. decrecimientos, puntos que pueden ser máximos o mínimos y otras particularidades como las