WIXLIB

MOMENTO DE UNA FUERZA (FORMULACIÓNESCALAR), PRODUCTO CRUZ, MOMENTO DE UNAFUERZA (FORMULACIÓN VECTORIAL), & PRINCIPIO DEMOMENTOSObjetivos del día de hoy:Los estudiantes serán capaces de:a) Entender y definir “momento”, y,b) Determinar los momentos de una fuerzaen casos 2-D y 3-D.Actividades en clase: Prueba de lectura Aplicaciones Momento en 2-D Momento en 3-D Prueba conceptual Solución deproblema grupal Prueba de atención

PRUEBA DE LECTURAF 12 N1. ¿Cuál es el momento de la fuerza de 12 Nrespecto al punto A (MA)?A) 3 N·mB) 36 N·mD) (12/3) N·mC) 12 N·mE) 7 N·m2. El momento de una fuerza F respectoal punto O se define como MO .A) r FB) F rC) r FD) r * F Ad 3m

APLICACIONESLas vigas se emplean frecuentemente para cubrirclaros entre muros. Debemos conocer cuál será elefecto que la fuerza de la viga tendrá en sus apoyos.¿Qué cree que está sucediendo en los apoyos A y B?

APLICACIONES (continuada)Los carpinteros frecuentemente emplean los martillos deesta manera para jalar clavos. ¿A través de qué tipo deacción la fuerza en el mango, FH, jala al clavo? ¿Cómopuede usted matemáticamente modelar el efecto de la fuerzaFH en el punto O?

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓNESCALAR (Sección 4.1)El momento de una fuerza respecto a un punto proporciona unamedida de la tendencia a la rotación (algunas veces llamada torque).

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓNESCALAR (continuada)En un caso 2-D, la magnitud del momento es Mo F dComo se muestra, d es la distancia perpendicular a partir delpunto O hacia la línea de acción de la fuerza.En 2-D, la dirección de MO es ya sea a favor del reloj (FR) oen contra del reloj (CR), dependiendo de la tendencia para larotación.

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓNESCALAR (continuada)abOFPor ejemplo, MO F d y ladirección es en contra del reloj.dSeguido, es más fácil encontrarMO empleando los componentesde F como se muestra.FybaFFxOLuego, MO (Fy a) – (Fx b). ¡Vea los diferentes signos en lostérminos! La convención típica de signos para un momento en 2D es que en contra del reloj se considere positiva. Podemosdeterminar la dirección de la rotación imaginando un cuerpoarticulado en O, y decidiendo de qué manera el cuerpo rotaríadebido a la fuerza.

PRODUCTO CRUZ VECTORIAL (Sección 4.2)Mientras que hallar el momento de una fuerza en 2-D es unprocedimiento directo cuando uno conoce la distanciaperpendicular d, hallar las distancias perpendiculares puederesultar difícil – especialmente cuando uno está trabajando confuerzas en las tres dimensiones.Así que existe un enfoque más general para encontrar elmomento de una fuerza. Este enfoque más general esusualmente utilizado cuando se tiene que tratar con fuerzas enlas tres dimensiones, pero se puede usar en el casobidimensional también.Este método más general para encontrar el momento de unafuerza emplea la operación vectorial llamada producto cruz dedos vectores.

PRODUCTO CRUZ (Sección 4.2)En general, el producto cruz de dos vectores A y B resulta enotro vector, C, p.ej., C A B. La magnitud y dirección delvector resultante se puede escribir como:C A B A B sen uCComo se aprecia, uC es el vector unitario, perpendicular tanto alvector A como al vector B (o al plano que contiene a losvectores A y B).

PRODUCTO CRUZ (continuada)La regla de la mano derecha es una herramienta útil paradeterminar la dirección del vector resultante obtenido delproducto cruz. Por ejemplo: i j kVea que cuando un vector se cruza en él mismo, es cero, p.ej.,i i 0

PRODUCTO CRUZ (continuada)Igualmente, el producto cruz se puede escribir como un determinante.Cada componente se puede determinar empleando determinantesde 2x2.

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓNVECTORIAL (Sección 4.3)Los momentos en 3-D se pueden calcular por medio del enfoqueescalar (2-D), pero puede resultar difícil y lento. Entonces, escomúnmente más fácil el utilizar el enfoque matemático llamado elproducto cruz vectorial.Empleando el producto cruz vectorial, MO r F.Aquí r es el vector de posición desde el punto O hasta cualquierpunto en la línea de acción de F.

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓNVECTORIAL (continuada)Así que, usando el producto cruz,un momento se puede expresarcomoExpandiendo la ecuación de arriba empleando determinantes de 2 2(vea la Sección 4.2), obtenemos (unidades de muestra son N-m ó lb-ft)MO (ry Fz - rz Fy) i (rx Fz - rz Fx) j (rx Fy - ry Fx) kEl significado físico de la ecuación anterior se vuelve evidente alconsiderar las componentes de fuerza por separado y empleando laformulación 2-D.

EJEMPLO IDado: Una fuerza de 100 N seaplica al marco.Hallar: El momento de lafuerza respecto alpunto OPlan:1) Descomponga la fuerza de 100 N a lo largo de losejes X y Y.2) Determine MO empleando un análisis escalar paralas dos componentes de la fuerza, y luego añada esosdos momentos.

EJEMPLO I (continuado)Solución: Fy – 100 (3/5) N Fx 100 (4/5) N MO {– 100 (3/5)N (5 m) – (100)(4/5)N (2 m)} N·m – 460 N·m ó 460 N·m FR

EJEMPLO IIDado: F1 {100 i - 120 j 75 k}lbF2 {-200 i 250 j 100 k}lboHallar: El momento resultante de lasfuerzas respecto al punto O.Plan:1) Hallar F F1 F2 y rOA.2) Determinar MO rOA F.

EJEMPLO II (continuado)Solución:Primero, encuentre la resultante del vector de fuerza FF F1 F2 { (100 - 200) i (-120 250) j (75 100) k} lb {-100 i 130 j 175 k} lbEncuentre el vector de posición rOArOA {4 i 5 j 3 k} ftLuego halle el momento empleando el producto cruz vectorial.i4j kMO 5 3 [{5(175) – 3(130)} i – {4(175) –3(-100)} j {4(130) – 5(-100)} k] ft·lb-100 130 175 {485 i – 1000 j 1020 k} ft·lb

PRUEBA CONCEPTUAL1. Si una fuerza de magnitud F se puede aplicar en cuatroconfiguraciones 2-D diferentes (P, Q, R & S), escoja los casosque resulten en los valores de torque máximo y mínimo en latuerca. (Máx., Mín.).A) (Q, P)B) (R, S)C) (P, R)D) (Q, S)PSQ R2. Si M r F, entonces ¿cuál será el valor de M r?A) 0B) 1C) r 2 FD) Ninguna de las anteriores.

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL IyxDado: Una fuerza de 20 lb seaplica al martillo.Hallar: El momento de lafuerza en A.Plan:Ya que este es un problema 2-D:1) Descomponga la fuerza de 20lb a lo largo de los ejes X y Ydel mango.2) Determine MA empleando elanálisis escalar.

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL I (continuado)yxSolución: Fy 20 sen 30 lb Fx 20 cos 30 lb MA {–(20 cos 30 )lb (18 in) – (20 sen 30 )lb (5 in)} – 361.77 lb·in 362 lb·in (a favor del reloj ó FR)

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL IIDado: La fuerza y la geometríamostrada.Hallar: El momento de F respectoal punto A.Plan:1) Encontrar F y rAC.2) Determinar MA rAC F

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL II (continuado)Solución:F { (80 cos30) sen 40 i (80 cos30) cos 40 j 80 sen30 k} N {44.53 i 53.07 j 40 k } NrAC {0.55 i 0.4 j 0.2 k } mEncuentre el momento utilizando el producto cruz.ijkMA 0.55 0.4 0.244.53 53.07 40 { -5.39 i 13.1 j 11.4 k } N·m

PRUEBA DE ATENCIÓN10 N3mP2m5N1. Empleando la dirección CR como positiva, el momento netode las dos fuerzas con respecto al punto P es:A) 10 N mB) 20 N mC) - 20 N mD) 40 N mE) - 40 N m2. Si r { 5 j } m y F { 10 k } N, el momento r F equivalea { } N·m.A) 50 iB) 50 jD) – 50 jE) 0C) –50 i

Mientras que hallar el momento de una fuerza en 2-D es un procedimiento directo cuando uno conoce la distancia perpendicular d, hallar las distancias perpendiculares puede . Aquí r es el vector de posición desde el punto O hasta cualquier punto en la línea de acción de F. MOMENTO DE UNA FUERZA -FORMULACIÓN VECTORIAL (Sección 4.3)