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El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número Pi. Con esta celebraciónla comunidad docente y científica rinde homenaje al número, a las matemáticas ya la ciencia en general.
PRESENTACIÓNCada día se genera más conocimiento en elmundo, pero por desgracia no es accesiblepara muchos, por lo que es necesario buscarnuevas formas para que todos lo tengan alalcance.Bajo esta premisa se ha concebido estematerial, en donde se busca que tengas accesode una manera fácil al conocimiento y tepermita el logro de tus aprendizajes, para serusados en la escuela y en la vida.Por tal motivo, esta propuesta fusiona elmaterial educativo por excelencia: “el libro”fusionado con los recursos multimedia que lasnuevas tecnologías ofrecen, naciendo así elHIPERLIBRO.Este concepto está pensado en tí, por lo que sepresenta en formato de libro, pero de unaforma dinámica, es decir, te permite acceso aotros recursos que estarán al alcance en tansolo un clic: como videos explicativos, audios,imágenes, simuladores, calculadoras entreotros, ofreciéndote la oportunidad de usar lared para seguir aprendiendo.Te invito a que lo explores y que decidas elritmo de tu aprendizaje, pero sobre todo quete sirva para adquirir más saberes, con lafinalidad de que seas un mejor alumno y unamejor persona para el bien de tu escuela, el detus familiares y tu comunidad.Éxito.Aristófanes Madrigal UcAutor
ContenidoI. FUNCIONES Y SUS TIPOS . 1Valorando lo que sabes . 2Concepto de función . 3Para saber más . 5Manos a la obra . 5Representación y notación de una función. . 6Para saber más . 8Manos a la obra . 9Dominio y Rango de una función. 9Para practicar . 12Manos a la obra . 16Para saber mas . 17CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES . 17Funciones algebraicas . 18Funciones polinomiales . 18Función constante (grado 0) . 18Para practicar . 20Función lineal (grado 1) . 20Para practicar . 21Función cuadrática (grado 2) . 21Función cúbica (grado 3) . 26Para saber más . 28Funciones racionales . 33Dominio de una función racional. 33Rango de una función racional . 34Funciones irracionales . 35Dominio de una función irracional . 36Rango de una función irracional . 37Evaluando tus aprendizajes . 38FUNCIONES TRASCENDENTES . 38Funciones exponenciales . 39Función exponencial de base e . 41
Funciones logarítmicas . 42Función logaritmo natural . 43Manos a la obra . 44Funciones trigonométricas . 45Características de las funciones trigonométricas . 45Para saber más . 46Manos a la obra . 46Evaluando tus aprendizajes . 47II.COMPORTAMIENTO Y OPERACIONES CON FUNCIONES . 48SUCESIONES . 50Sucesiones aritméticas . 50Para saber más . 55Manos a la obra . 56Evaluando tus aprendizajes . 56Sucesiones geométricas . 57Para saber más . 61Manos a la obra . 61Evaluando tus aprendizajes . 61Límites de sucesiones . 62FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES . 63Manos a la obra . 67Evaluando tus aprendizajes . 70Aproximación de máximos y mínimos de una función. . 70Manos a la obra . 73Evaluando tus aprendizajes . 73OPERACIONES CON FUNCIONES . 74Para saber más . 79Manos a la obra . 79Evaluando tus aprendizajes . 80ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES . 80Asíntota Vertical . 80Asíntota horizontal . 83Manos a la obra . 85
Evaluando tus aprendizajes . 86III.DERIVADA DE UNA FUNCIÓN . 87Para saber más . 94Manos a la obra . 94Reglas de derivación . 94Reglas de derivadas fundamentales . 94Manos a la obra . 106Para aprender más . 108Evaluando tus aprendizajes . 108Derivadas exponenciales . 109Derivada de función exponencial base 𝒂. 109Derivada de función exponencial base 𝒆 . 110Para saber más . 111Manos a la obra . 111Evaluando tus aprendizajes . 112Derivadas de funciones logarítmicas . 112Derivadas de función logarítmica base 𝒂 . 112Derivada de funciones logaritmo natural . 115Para saber más . 117Manos a la obra . 117Evaluando tus aprendizajes . 117Derivadas de funciones trigonométricas . 118Manos a la obra . 120Para aprender más . 121Evaluando tus aprendizajes . 121Derivadas de orden superior . 122Para aprender más . 124Manos a la obra . 124Evaluando tus aprendizajes . 125IV. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN . 126Definición . 127Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos. . 128Criterio de la segunda derivada para hallar el máximo o mínimo relativo . 132
Concavidad y punto de inflexión de una función. 133Para saber más . 135Manos a la obra . 135Aplicación de máximos y mínimos. 136Manos a la obra . 140
I. FUNCIONES Y SUS TIPOS
APRENDIZAJES ESPERADOS Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentescomo herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelospara el estudio del cambio.Te has dado cuenta de que a lo largo de tu vida existen relaciones entre dos o mássituaciones o hechos, por ejemplo, si no tenemos una alimentación nutritiva y nohacemos ejercicio se subirá de peso y se contraerá enfermedades como la diabetes.Otro ejemplo, si realizó mis actividades escolares y cumplo con mis tareas, conseguridad lograré los aprendizajes y por tanto obtendré buenas calificaciones.En matemáticas y en otras ciencias también existen varias relacionesentre dos o más variables.Por ejemplo, la estatura que podrá alcanzar un niño está relacionadacon la alimentación y con la estatura de sus padres.La cantidad de cosecha que se puede obtener depende de variosfactores como la cantidad de agua, sol y nutrientes de la tierra,principalmente.La cantidad a productos a producir de acuerdo con la oferta que hayy la mano de obra o maquinaria que se tenga.La distancia que recorre un vehículo está en correspondencia con la velocidad de este.El número de equipos eléctricos y electrónicos conectados en casa y el consumoeléctrico.Como has observado en los ejemplos anteriores existe una correspondencia en cadacaso, siendo estas objeto de estudio del Calculo diferencial.Valorando lo que sabesMenciona al menos tres ejemplos diferentes a los anteriores que muestre una relaciónentre ellos.a) .b) .c) .Es necesario un dominio de las operaciones algebraicas y gráficas para la correctaresolución de los procesos que se realizan en calculo diferencial,I. Realiza las siguientes operacionesa) 2𝑥 3 7𝑥 8b) 3(𝑥 2) (4 2𝑥)c) (2𝑥 3)22
d) 3(𝑥 1)2 2𝑥 2e) 3𝑥 𝑥 4 2𝑥(𝑥 3 3𝑥 4)II. Sustituye los valores dados en las siguientes ecuacionesa) 𝑦 2𝑥 8 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 1b) 𝑦 3 𝑥 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 212c) 𝑚 2𝑎𝑏 2 𝑎13d) 𝑉 𝜋𝑟ℎ2𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 2 𝑦 𝑏 3𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 5𝑦 ℎ 2III. Traza las siguientes gráficasa) 𝑦 3b) 𝑦 2𝑥 3c) 𝑦 𝑥 2 1d) 𝑦 𝑥 4Concepto de funciónEn matemáticas has usado las relaciones y sin darte cuenta también las funciones, dehecho, las funciones es un subconjunto de las relaciones.RelacionesFuncionesPara saber más sobre las relaciones(a partir de la página 4)El cálculo diferencial se basa en el estudio de las funciones. Una función se define de lasiguiente manera:Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, en donde a cadavalor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor de la variabledependiente (y).Para los siguientes casos vamos a identificar si es una regla de correspondencia y cuálsería la variable independiente y la variable dependiente.La velocidad de un carro y la distancia recorridaSí existe correspondencia entre la distancia y la velocidad, endonde a mayor velocidad se tendrá mayor distancia y a menorvelocidad menor distancia.Por lo que la distancia recorrida depende de la velocidad asíque:3
variable independiente (x): velocidadvariable dependiente (y): distanciaLa estatura y el peso de una personaSí existe correspondencia entre la altura y el peso, ya que a mayor altura mayor peso y amenor altura menor peso.Por lo que el peso depende de la estatura.variable independiente (x): estaturavariable dependiente (y): pesoLa ganancia de una empresa y la cantidad de artículos vendidosSí existe correspondencia entre el número de artículos vendidos y laganancia ya que, hasta un cierto número de artículos, a mayor ventade artículos mayor ganancia y viceversa.Por lo que la ganancia depende del número de artículos vendidos.variable independiente (x): artículos vendidosvariable dependiente (y): gananciaEl nombre de la persona y su desempeño escolarNo existe una correspondencia probada de que el nombre de un estudiante influya en sudesempeño en la escuela.Como un último ejemplo se tiene el área de un cuadrado 𝐴 𝑙2El área del cuadrado dependerá del valor que se le dé al lado. Por tanto:variable independiente (l): lado del cuadradovariable dependiente (A): Área del cuadradoOJO: En calculo diferencial se toma la "𝑦" como la variable dependiente y la “𝑥” como lavariable independiente, a menos que se especifique otra cosa como sucedió en el últimoejemplo.Además de lo anterior, para que sea una función se debe cumplir que, para cada valordel conjunto de la variable independiente (dominio) le debe corresponder un único valorde la variable dependiente (contradominio).Al conjunto de valores de la variable independiente se le llama dominio de la funcióny al conjunto de valores de la variable dependiente se le llama rango o contradominiode la función.Usando diagramas sagitales es muy fácil de identificar lo anterior.a)b)c)4
Analizando cada incisoa) Se cumple que a cada valor del dominio le corresponde un único valor delcontradominio por lo que si es una función.b) En este inciso se puede observar que para el número 12 le corresponden dosvalores del contradominio el 40 y 42. Por lo que no se cumple la definición defunción.c) A cada figura geométrica solo le corresponde un único número de lados por loque sí es una función. Aunque el cuadrado y el rombo ambos tienen el valor de4 pero solo está relacionado con un solo valor.Para saber másManos a la obraI. Determina si los siguientes diagramas sagitales corresponden a una función o no.1)2)3)II. Para cada enunciado indica la variable dependiente y la variable independientea) El crecimiento de un planta y la cantidad de aguaCrecimiento de una planta:Cantidad de agua:b) Las horas de ejercicio físico al día y la condición física de una personaLa condición física de una persona:las horas de ejercicio físico al día:c) El llenado de una alberca y el volumen de agua que se aplica por minutoEl llenado de una alberca:Volumen de agua por minuto:5
d) El tiempo de viaje y la distancia recorrida.El tiempo de viaje:La distancia recorrida:Respuestase) El volumen de un cubo 𝑉 𝑙3El lado del cubo:El volumen del cubo:Representación y notación de una función.Una función puede tener varias representaciones: en forma verbal o lenguaje común,algebraica o también llamado lenguaje matemático, en forma numérica o de tabla y enforma gráfica.Es importante identificar cada una de las representaciones ya que se pueden presentaren diferentes momentos.En forma verbalUn número real, es igual al cuadrado de otro número menos una unidad”En forma algebraica𝑦 𝑥2 1En forma de tabla𝑥𝑦 𝑥2 1 23 100 11023En forma gráfica6
Una función está representada de la siguiente forma𝑦 𝑓(𝑥)Se lee: y igual a f de xEjemplos de funciones:a) 𝑓(𝑥) 2𝑥 3b) 𝑓(𝑥) 𝑥 2 8𝑥 10c) 𝑓(𝑥) 2𝑥𝑥 4d) 𝑓(𝑥) 5𝑥 2e) 𝑓(𝑥) cos 2𝑥Pero como identificar si son funciones o solo relaciones. En caso de que se tenga lagráfica es muy sencillo saberlo; solo se sigue el criterio de la regla vertical, es decir, siuna regla en forma vertical se mueve a lo largo del eje 𝑥 y esta solo corta a la gráfica enun solo punto a la vez, entonces la gráfica corresponde a una función.a)b)Como cada línea verticalcorta a la parábola en dospuntos a la vez entoncesla gráfica NO ES de unafunciónComo cada línea verticalsolo corta a la parábolaen un solo punto a la vezentonces la gráfica SI ESde una funciónc)Como cada línea verticalsolo corta a la gráfica enun solo punto a la vezentonces la gráfica SI ESde una funciónd)e)Como cada línea verticalsolo corta a la gráfica enun solo punto a la vezentonces la gráfica SI ESde una funciónComo cada línea verticalsolo corta a la gráfica enun solo punto a la vezentonces la gráfica SI ESde una funciónf)Como en una sección dela gráfica la línea verticalcorta a la gráfica en dospuntos a la vez entoncesla gráfica f) y g) NO ES deuna funcióng)7
Si una función está representada en lenguaje matemático se debe de observar cadaexpresión para indicar si es una función o no.Primero se debe cumplir que haya dos o más variables expresado en forma de ecuación,es decir debe tener un signo de igual ( )Por ejemplo:a)𝑦 3𝑥 7 (tiene dos variables y el signo )b) 𝑦 2𝑥 4 (tiene dos variables, pero no está expresado como ecuaciónc)𝑃 2𝑎 2𝑏 (tiene tres variables y está expresado en forma de ecuación)d) 𝑥𝑦 2 0 (tiene dos variables y el signo de )Una vez cumplido lo anterior, si la variable dependiente (𝑦) está elevado a una potenciapar podemos asegurar que no es función.Ejemplos:a) 𝑦 2 2𝑥 6d) 𝑦 2 𝑒 2𝑥b) 2𝑥𝑦 2 𝑦 2e) 𝑥 2 𝑦 2 4c) 𝑦 4 24𝑥 7f) 𝑥 2 𝑦 6 9Se puede observar que en las ecuaciones la variable 𝑦 tiene una potencia par por lo quelas gráficas obtenidas no pertenecen a funciones ya que al trazar líneas verticales cortanen más de un solo punto.Para saber más8
Manos a la obraI. Indique si las siguientes gráficas corresponden a una función1)2)3)4)6)5)1)2)3)4)5)6)RespuestasII. Indique si las siguientes ecuaciones son funciones1) 𝑦 32) 2𝑥 3)𝑦4 1)𝑦2 72)𝑥2 6𝑥 33) 84)4) 𝑦 3𝑥 25) 𝑥 𝑦36) 𝑦 2𝑒𝑥 55)6)Dominio y Rango de una función.Al conjunto de valores que toma la variable independiente generalmente representado por lavariable 𝑥 se le llama DOMINIO de la función y se escribe 𝐷𝑓Al conjunto de valores que toma la variable dependiente generalmente representado por lavariable 𝑦 se le llama CONTRADOMINIO o RANGO de la función y se escribe 𝑅𝑓Si la función está dada en forma de tabla entonces los valores de 𝑥 pertenecen al dominioy los valores de 𝑦 forman el contradominio o rango.Ejemplos:𝑥𝑦1 120𝐷𝑓 {1, 2, 3, 4, 5, 6}31425364𝑅𝑓 { 1, 0, 1, 2, 3, 4}9
𝑥𝑦 39 11001139516𝐷𝑓 { 3, 1, 0, 1, 3, 5}𝑅𝑓 {0, 1, 9, 16}𝑥𝑦 64Como hay elementos repetidos solo se escribe una sola vez 3404245484𝐷𝑓 { 6, 3, 0, 2, 5, 8}𝑅𝑓 {4}El 4 es el único valor del rango de la funciónAntes de estudiar el dominio y rango de la gráfica de una función es necesario conocersobre como representarlo en notación intervalo.En las gráficas de ecuaciones o funciones puede suceder que no esté completa, es decir,como si le faltara una parte o está cortada, para este tipo de situaciones que se presentanse utilizan los intervalos para representar los valores de 𝑥 y 𝑦 que puede tomar la gráfica.Un intervalo es un conjunto de números que tiene un inicio o un fin. Todo intervalo constade un valor inicial y un valor final, pero también en lugar de un número se puede haceruso del símbolo de infinitoA continuación, se dan algunos ejemplos.a)c)b)d)10
Para el eje x se inicia desde la izquierda a derecha, para el eje y se inicia de abajo haciaarribaEn el inciso a)Para el eje x, la gráfica tiene un inicio y un fin, inicia en 𝑥 3 y termina en 𝑥 2.Para el eje y, inicia en 𝑦 1 y termina en 𝑦 10.En el inciso b)Para el eje x, la gráfica tiene un inicio en 𝑥 3 pero no tiene fin, y se muestra señalado con laflecha por lo que indica que sigue desplazándose hacia la derecha y hacia abajo.Para el eje y, la gráfica no tiene un inicio por lo que se escribe 𝑦 y termina en 𝑦 7En el inciso c)Para el eje x, la gráfica no tiene marcado un punto de inicio, pero está establecido en 𝑥 1 cómose puede observar y aunque no tiene flecha se debe considerar que la gráfica sigue moviéndosehacia la derecha, no tiene fin.Para el eje y, la gráfica inicia en 𝑦 0 y aunque crece lentamente no tiene un punto final, sinoque aumenta al infinito.En el inciso d)Para el eje x la gráfica inicia en y llega hasta 𝑥 2, luego entre 𝑥 2 y 𝑥 2 no haygráfica, y vuelve a existir gráfica a partir de 𝑥 2 hasta Para el eje y la gráfica inicia en 𝑦 0 y continúa creciendo hasta Para usar correctamente los intervalos, es necesario que reconozcamos la simbologíaque se utiliza. Se representará al mismo tiempo la notación gráfica para una mejorexplicación.Si en la gráfica, se dibuja un círculo (anillo con relleno)indica que se incluye el valordel extremo por lo que se expresa con corchetes [ ] y el signo matemático que se usaes o .Si en la gráfica, se dibuja un círculo sin rellenoindica que no se incluye el valor delextremo por lo que se expresa con paréntesis ( ) y el signo matemático que se usa es 𝑜 .Solución dedesigualdadlaNotación gráficaNotaciónintervalo𝑥 1(1, )0 1 𝑥 1( , 1) 0 1 0 [ 2, )𝑥 2 -2𝑥 2( , 2] -20 11
( 3, 1] 3 𝑥 1 -31 -31 [ 3,1) 3 𝑥 1 OJO: Cuando en un intervalo se usa el símbolo de y , entonces SIEMPRE se debeescribir paréntesis en el lado con el símbolo de infinito para indicar que no está incluido.Para practicarCompleta la tabla escribiendo en notación gráfica o intervalo0 3( , 4)0 3[2, )[ 5,0] -44 ( , 1] (3, )Para obtener el Dominio y Rango de la gráfica de una función se sigue el siguienteprocedimiento.Para determinar el dominio de la gráfica se desplaza de izquierda a derecha y se observa quevalores de 𝑥 puede tomar la gráfica, es decir, donde inicia y termina para 𝑥.Para determinar el rango de la gráfica se desplaza de abajo a arriba y se observa que valoresde y puede tomar la gráfica, es decir, donde inicia y termina para 𝑦.OJO: Para las gráficas de funciones, la variable independiente está representada en el ejex y la variable dependiente está representada en el eje y.Ejemplos: En cada gráfica determina el dominio y rango de la funcióna)Si la gráfica no tiene un punto en losextremos significa que la curva no tienelímite, es decir, continúa de manera infinitahacia abajo y hacia arriba.12
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe deproyectar desde la recta hacia el eje x ( ver la figura de abajo) se observa que en todo momento existenvalores de 𝑥 ( ya que la proyección abarca todo el eje x, por lo que 𝐷𝑓 ( , ) esto indica que elconjunto de valores que toma 𝑥 son todos los números reales y también se puede expresar como 𝐷𝑓 {𝑥 ℝ} Si nos desplazamos desde la izquierdadel eje x vamos a tener valores de 𝑥desde hasta OJO: En cálculo diferencial el signo " " es infinito. Si se tiene indica que el conjunto denúmeros no tiene inicio viniendo desde los números negativos y si se tiene el signo ,entonces indica que no tiene fin, avanzando hacia los números positivos.Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectardesde la recta hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que en todo momento existen valores de𝑦 ya que la proyección abarca todo el eje y, por lo que 𝑅𝑓 ( , ) esto indica que el conjunto devalores que toma 𝑦 son todos los números reales y también se puede expresar como 𝑅𝑓 {𝑦 ℝ} Si nos desplazamos desde abajo deleje y vamos a tener valores de 𝑦 desde hasta b)Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe deproyectar desde la recta hacia el eje x ( ver la figura de abajo) se observa que solo a partir del número 1existen valores de 𝑥, por lo que 𝐷𝑓 [1, ) esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑥 no sontodos los números reales y también se puede expresar como 𝐷𝑓 {𝑥 1}13
Si nos desplazamos desde la izquierda podemosobservar que la gráfica inicia cuando 𝑥 toma el valorde 1, como en el extremo se tiene un círculo rellenoindica que se toma en cuenta el valor de 1 y se debede escribir corchete [ al inicio y como la rectasigue desplazándose a la derecha se escribe Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectardesde la recta hacia el eje y ( ver la figura de abajo)
seguridad lograré los aprendizajes y por tanto obtendré buenas calificaciones. En matemáticas y en otras ciencias también existen varias relaciones entre dos o más variables. Por ejemplo, la estatura que podrá alcanzar un niño está relacionada con la alimentación y con la estatura de sus padres.
