Tema 2: Diseño De ﬁltros Analógicos

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Tema 2:Diseño de filtros analógicos

Índice1Introducción2Diagramas de Bode3Filtros de primer orden4Filtros de segundo orden5Filtros de orden n

Introducción1IntroducciónObjetivosFunción de transferenciaRespuesta a una onda senoidalTipos de filtrosRespuesta a una función escalón2Diagramas de Bode3Filtros de primer orden4Filtros de segundo orden5Filtros de orden n

IntroducciónExisten numerosas aplicaciones de la electrónica que requieren circuitosque dejen pasar señales con ciertas frecuencias y rechacen el resto.

IntroducciónObjetivosConocer los distintos tipos de filtros y sus características.Calcular la función de transferencia, ceros y polos de cualquier filtro.Dibujar diagramas de Bode a partir de la función de transferenciaDiseñar filtros conforme a unas especificaciones dadas.

IntroducciónFunción de transferenciaUn filtro es un sistema que atenúa la amplitud de las señales aplicadas a suentrada en función de la frecuencia.La función de transferencia describe la relación entre la señal de salida y lade entrada.H(s) Vi Vo (s)Vi (s)H(s) Vo Para señales senoidales en régimen permanente s jω y la función detransferencia se descompone en módulo y fase:H(jω) H(ω) eϕ(ω)El módulo se suele expresar en decibelios: H(ω) dB 20 log H(ω) O en forma de atenuación.α(ω) 20 log H(ω)

IntroducciónRespuesta a una onda senoidalLa función de transferencia determina la amplitud y el desfase de la onda desalida en relación a la onda de entrada para cualquier frecuencia.VAT ttVi A sen(ωt)Vo H A sen(ωt ϕ) conϕ 2π tT

IntroducciónTipos de filtrosSegún el tipo de componentesLos filtros pasivos están constituidos por resistencias, bobinas ycondensadores únicamente.Los filtros activos contienen amplificadores operacionales. Evitan el uso debobinas.

IntroducciónTipos de filtrosSegún las bandas filtradasFiltro paso-alto idealFiltro paso-bajo ideal H H 110ωC0ωFiltro paso-banda ideal0 H 110ωLωFiltro rechaza-banda ideal H 0ωC0ωH0ω0ωLωHω

IntroducciónTipos de filtrosFiltro ideal y filtro realEn la práctica las funciones detransferencia no son funcionesescalón (filtro ideal). Tienen unacaída suave (filtro real).Frecuencia de corte (ωc )Frecuencia para la cual el módulode la función de tranferenciapexperimenta una caida 1/ 2, o3 dB. H 1p1/ 20ωcω

IntroducciónTipos de filtrosFiltros paso-banda y rechaza-bandaBanda estrecha. Filtros muy selectivos. Se implementan en una sola etapa.Banda ancha. Banda de paso ancha. Se implementan asociando filtrospaso-bajo y paso-alto.Paso bajoPaso alto H H H 111 00ωHω 00ωLω00ωLωHω

IntroducciónRespuesta a una función escalón Vi 0si t 0Asi t 0Filtro paso-bajoFiltro paso-altoVVAAτt Vo 0A(1 e t/ τsi) sicont 0t 0τ 1ωCτt Vo Ae0sit 0 t/ τsit 0constante de tiempo

Diagramas de Bode1Introducción2Diagramas de BodeDescomposición de la función de transferenciaRepresentación de módulo y faseEjercicio3Filtros de primer orden4Filtros de segundo orden5Filtros de orden n

Diagramas de BodeDescomposición de la función de transferenciaLa función de transferencia se puede escribir como cociente de dospolinomios de coeficientes reales:H(s) an sn an 1 sn 1 · · · a1 s a0bm sm bm 1 sm 1 · · · b1 s b0(s z1 )(s z2 ) · · · (s zn ) K(s p1 )(s p2 ) · · · (s pm )z1 , . . . ,zn : ceros de la función de transferenciap1 , . . . , pm : polos de la función de transferenciaPara señales senoidales en régimen permanente podemos escribir la funciónde transferencia como producto de módulos y fases:QnQnN (jω) Ni (ω) ejϕi (ω)i 0 ii 0H(jω) Qm Qm H(ω) ejΦ(ω)jϕk (ω)D(jω) D(ω) ekk 0 kk 0El diagrama de Bode es la representación asintótica del módulo y la fase dela función de transferencia.

Diagramas de BodeDescomposición de la función de transferenciaMódulo:Qni 0 Ni (ω) k 0 Dk (ω) H(ω) QmAplicando logaritmos se puede representar el módulo como suma ydiferencia de factores: H(ω) dB 20 log H(ω) nXmX20 log Ni (ω) i 020 log Dk (ω) k 0La fase se escribe directamente como suma y diferencia de factores:Φ(ω) nXi 0ϕi (ω) mXϕk (ω)k 0Los términos positivos provienen de los ceros, los negativos de los polos.El diagrama de Bode se puede representar como superposición dediagramas de módulo y fase de los factores Ni (ω) y Dk (ω) individuales.

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseLos términos Ni (jω) y Dk (jω) siempre tendrán una de estas formas:Constante real pura. Nos da la ganancia del filtro.KTérmino imaginario puro. Corresponde a un cero o un polo a frecuencia cero.jωTérmino binómico. Polos o ceros reales.jω1 ω0Término cuadrático. Polos o ceros complejos conjugados. jωω0 2jω 2ξω0 1

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseDiagrama de Bode de una constante realH(jω) KMódulo H dB H dB 20 log K cte.20 log K Si K 1 el filtro amplifica.Si K 1 el filtro atenúa.0ωFaseϕ Si K 0 ϕ(K) 0 Si K 0 ϕ(K) 180 0 ω

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseDiagrama de Bode de un cero en el origenH(jω) jωMóduloecB/dd0 H dB H dB 20 log ω 2200Recta de pendiente 20dB/dec que pasapor 0dB en ω 1 rad/s 200,1110ωFaseϕπϕ(jω) 90 20 ω

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseDiagrama de Bode de un polo en el origenH(jω) 1/ jωMódulo H dB H dB 20 log ω 200Recta de pendiente 20dB/dec que pasapor 0dB en ω 1 rad/s 20-20dB/de0,1c110ωFaseϕ0 πϕ(jω) 2 90 ω

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseDiagrama de Bode de un cero a frecuencia ω0H(jω) 1 jω/ ω0Módulo H dB 20 log(1 ω2 / ω20 )1/ 2 SiSi Siω ω0 H dB 0ω ω0 H dB 3dBω ω0 H dB 20 log ω/ ω0ecB/d H dBd202000,1ω0ω010ω0ω10ω0ωFaseϕϕ(jω) arctan ω/ ω0 SiSi Siω ω0 ϕ 0ω ω0 ϕ π/ 4ω ω0 ϕ π/ 290 4545 0 0,1ω0ec/dω0

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseDiagrama de Bode de un polo a frecuencia ω0H(jω) 1/ (1 jω/ ω0 )Módulo H dB 20 log(1 ω2 / ω20 )1/ 2 SiSi Siω ω0 H dB 0ω ω0 H dB 3dBω ω0 H dB 20 log ω/ ω0 H dB0,1ω0ω010ω00-20 20ωdB/decFaseϕϕ(jω) arctan ω/ ω0 SiSi Siω ω0 ϕ 0ω ω0 ϕ π/ 4ω ω0 ϕ π/ 20 45 90 0,1ω0ω010ω0ω-45 /dec

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseDiagrama de Bode de un cero/polo cuadráticojωH(jω) 1 2ξ H(jω) 1 2ξω0 jωω0jω 2ω0 1jω 2(cero)ω0(polo)Las raíces del polinomio pueden ser:1Reales y diferentes si ξ 1.2Reales e iguales (cero múltiple en ω ω0 ) si ξ 1.3Complejas conjugadas si ξ 1.El tratamiento de los casos 1 y 2 es igual que el de los ceros simples.

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseMódulor 2 2 H dB 20 log1 ω2 / ω20 2ξω/ ω0( cero, – polo) Si ω ω0 H dB 0Si ω ω0 H dB 20 log 2 ξ Si ω ω0 H dB 40 log ω/ ω0 H dB0ω00,1ω010ω0ω-40,1110cξ de(B/0d 40

Diagramas de BodeRepresentación de módulo y faseFaseϕ arctan SiSi Si2ξω/ ω01 ω2 / ω20ω ω0 ϕ 0ω ω0 ϕ π/ 2ω ω0 ϕ πϕ180 9090 0 0,1ω0ec/dω010ω0ω

Diagramas de BodeEjercicioRepresentar la función de transferencia siguiente en un diagrama de Bode:H(jω) 100(1 jω/10)jω(1 jω/100)Descomposición en suma de factores de módulo y fase:Módulojω20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 Fase10jω 20 log jω 20 log 1 jωjω[H(jω)]ϕ ϕ(100) ϕ 1 ϕ(jω) ϕ 1 10100100

Diagramas de BodeEjercicioMódulo20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 jω/10 20 log jω 20 log 1 jω/100 {z} {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)60 H(ω) (dB)40200 20 400,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioMódulo20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 jω/10 20 log jω 20 log 1 jω/100 {z} {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)60(1) H(ω) (dB)40200 20 400,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioMódulo20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 jω/10 20 log jω 20 log 1 jω/100 {z} {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)60(1) H(ω) (dB)40(2)200 20 400,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioMódulo20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 jω/10 20 log jω 20 log 1 jω/100 {z} {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)60(1) H(ω) (dB)40(2)200(3) 20 400,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioMódulo20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 jω/10 20 log jω 20 log 1 jω/100 {z} {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)60(1) H(ω) (dB)40(2)200(3) 20 400,11(4)10102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioMódulo20 log H(jω) 20 log 100 20 log 1 jω/10 20 log jω 20 log 1 jω/100 {z} {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)60(1) H(ω) (dB)40(2)200 H(ω) (3) 20 400,11(4)10102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioFaseϕ [H(jω)] ϕ(100) ϕ(1 jω/10) ϕ(jω) ϕ(1 jω/100) {z } {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)180 135 90 ϕ(ω)45 0 45 90 135 180 0,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioFaseϕ [H(jω)] ϕ(100) ϕ(1 jω/10) ϕ(jω) ϕ(1 jω/100) {z } {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)180 135 90 ϕ(ω)45 (1)0 45 90 135 180 0,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioFaseϕ [H(jω)] ϕ(100) ϕ(1 jω/10) ϕ(jω) ϕ(1 jω/100) {z } {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)180 135 (2)90 ϕ(ω)45 (1)0 45 90 135 180 0,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioFaseϕ [H(jω)] ϕ(100) ϕ(1 jω/10) ϕ(jω) ϕ(1 jω/100) {z } {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)180 135 (2)90 ϕ(ω)45 (1)0 45 90 (3) 135 180 0,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioFaseϕ [H(jω)] ϕ(100) ϕ(1 jω/10) ϕ(jω) ϕ(1 jω/100) {z } {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)180 135 (2)90 ϕ(ω)45 (1)0 (4) 45 90 (3) 135 180 0,1110102ω (rad/s)103104105

Diagramas de BodeEjercicioFaseϕ [H(jω)] ϕ(100) ϕ(1 jω/10) ϕ(jω) ϕ(1 jω/100) {z } {z} {z } {z}(1)(2)(3)(4)180 135 (2)90 ϕ(ω)45 (1)0 (4) 45 ϕ(ω) 90 (3) 135 180 0,1110102ω (rad/s)103104105

Filtros de primer orden1Introducción2Diagramas de Bode3Filtros de primer ordenFunciones de transferenciaFiltros paso-bajoFiltros paso-alto4Filtros de segundo orden5Filtros de orden n

Filtros de primer ordenFunciones de transferenciaFunción de transferencia generalH(s) a1 s a0s ω0Función de transferencia del filtro paso-bajoH(s) a0s ω0Función de transferencia del filtro paso-altoH(s) a1 ss ω0

Filtros de primer ordenFiltros paso-bajoFiltros pasivosR ViC 1/ RCjω 1/ RCVo ωC 1RCR/ LL ViVo H(jω) R H(jω) jω R/ LRωC L

Filtros de primer ordenFiltros paso-bajoFiltros activosCH(jω) R2ViR21/ R2 CR1 jω 1/ R2 CH0 R1VoωC R2R11R2 C

Filtros de primer ordenFiltros paso-altoFiltros pasivosCjω ViR H(jω) jω 1/ RCVo ωC 1RCjω Vi RLH(jω) jω R/ LRVo ωC L

Filtros de primer ordenFiltros paso-altoFiltros activosR2ViR1H(jω) R2jωR1 jω 1/ R1 CCVoH0 ωC R2R11R1 CNotaEn todos los circuitos presentados la frecuencia de corte depende de dosparámetros. En el proceso de diseño tendremos que fijar uno de ellosarbitrariamente.

Filtros de segundo orden1Introducción2Diagramas de Bode3Filtros de primer orden4Filtros de segundo ordenFunciones de transferenciaFiltros paso-bajoFiltros paso-altoFiltros paso-bandaFiltros rechaza-banda5Filtros de orden n

Filtros de segundo ordenFunciones de transferenciaFunción de transferencia generalH(s) a2 s2 a1 s a0s2 2ξω0 s ω20 a2 s2 a1 s a0s2 sω0 / Q ω20ξ: coeficiente de amortiguamiento.Q 1/ 2ξ: factor de calidad.ω0 : frecuencia de resonancia.pSi Q 1/ 2 aparece un pico en la función de transferencia.Tipos de poloss2 ω0Q s ω20 0 s1 ,s2 ω0 Reales y distintos si Q 1/ 2.Reales e iguales si Q 1/ 2.Complejos conjugados si Q 1/ 2.12Q vut 14Q2 1

Filtros de segundo ordenFunciones de transferenciaFunciones de transferenciaFiltro paso-bajoa0H(s) s2 sω0 / Q ω20vu1tωmax ω0 1 2Q2Hmax a0 Qr1ω20 1 4Q2 H a0 / ω20 Hmaxωmax00,1ω0ω010ω0ωFiltro paso-altoH(s) a2 s2s2 sω0 / Q ω20ωmax rHmax r H a2 Hmaxω01 ωmax12Q2 a2 Q1 14Q200,1ω0ω010ω0ω

Filtros de segundo ordenFunciones de transferenciaFiltro paso-banda estrechaH(s) a1 ss2 sω0 / Q ω20Hmax a1 Q/ ω0 H HmaxHmaxp2BW ω2 ω1 ω0 / Qω20 ω1 ω20ω1ω0ω2ωω1ω0ω2ωFiltro rechaza-banda estrechaH(s) a2s2 ω20s2 sω0 / Q ω20 H a2 a2 p2BW ω2 ω1 ω0 / Qω20 ω1 ω20

Filtros de segundo ordenFiltros paso-bajoFiltro pasivoH(jω) RL Vi CVo 1/ LC(jω)2 jωR/ L 1/ LC1ω0 pLCvu1tLQ R C

Filtros de segundo ordenFiltros paso-bajoFiltro activo. Celda de Sallen-KeyC1H(jω) R(jω)2 1R2 C 1 C 22jω R2 C1 CRC11 21VoRωC ViC2Q pR C1 C2v1ut C12C2

Filtros de segundo ordenFiltros paso-altoFiltro pasivoRH(jω) C Vi LVo (jω)2(jω)2 jωR/ L 1/ LC1ω0 pLCvu1tLQ R C

Filtros de segundo ordenFiltros paso-altoFiltro activo. Celda de Sallen-KeyR1H(jω) CCVoVi(jω)2(jω)2 ωC R2Q 2jω R R1 C2R2 C1 21pC R1 R2v1ut R22R1

Filtros de segundo ordenFiltros paso-bandaFiltro pasivoH(jω) LC Vi RVo RjωL1R2(jω) L jω LC1ω0 pLCvu1tLQ R C

Filtros de segundo ordenFiltros paso-bandaFiltro activo. Filtro Deliyannis.H(jω) (jω)2 1jωR1 C2jω R R1 C2R2 C1 2CR2ViH0 R1CVoωC Q R22R11pC R1 R2v1ut R22R1

Filtros de segundo ordenFiltros rechaza-bandaFiltro pasivoH(jω) L Vi C RVo (jω)2 (jω)2 1LC11jω LCRC1ω0 pLCvutCQ RL

Filtros de segundo ordenFiltros rechaza-bandaFiltro activo. Filtro en T gemela.RVoRVi2C(1 σ)RTσRTR/ 2CH(jω) C(RCjω)2 1(RCjω)2 4RC(1 σ)jω 1ω0 1RC

Filtros de orden n1Introducción2Diagramas de Bode3Filtros de primer orden4Filtros de segundo orden5Filtros de orden nEspecificación de características de filtrosRealización prácticaFiltro de ButterworthFiltro de ChebyshevTablas de filtros normalizadosEjercicio

Filtros de orden nEspecificación de características de filtrosFiltro paso-bajoBanda detransición H ωHp : Mínima ganancia en la banda depasoHa : Máxima ganancia en la bandaatenuadaωp : Máxima frecuencia de la bandade pasoωa : Mínima frecuencia de la bandaatenuadaωHp : Mínima ganancia en la banda depasoHa : Máxima ganancia en la bandaatenuadaωp : Mínima frecuencia de la bandade pasoωa : Máxima frecuencia de la bandaatenuadaHpBanda depasoHa0Bandaatenuadaωp0ωaFiltro paso-altoBanda detransición H HpBanda depasoBandaatenuadaHa00ωaωp

Filtros de orden nEspecificación de características de filtrosParámetro de discriminación de un filtrovvuu αp / 10u 1/ H2 1t 10 1pKd t 2α/10a1/ Ha 110 1Si Hp Ha Kd 1 y el filtro es de mejor calidad.Parámetro de selectividad de un filtroKs Si ωp ωa ωpωaKs 1 y el filtro se aproxima al ideal.

Filtros de orden nRealización prácticaLos filtros de orden n se implementan mediante asociación en cascada defiltros de orden 1 o 2:H1 (s)H2 (s)Hm (s)

Filtros de orden nRealización prácticaTransformación de filtrosEn la práctica se parte de filtros normalizados cuyos componentes setransforman para obtener el filtro deseado.Transformación paso-bajo paso-altoEn filtros pasivos:s 1/ s yL C 1/ L yC L 1/ CEn filtros activos:s 1/ sy R C 1/ R y C R 1/ CEscalado de frecuencias ω αωEn filtros pasivos:C C/ αy L L/ αC C/ αoEn filtros activos:R R/ αEscalado de impedanciasEsta transformación mantiene la frecuencia de corte del circuito.R βR y C C/ βy L βL

Filtros de orden nFiltro de ButterworthEl filtro de Butterworth tiene una función de transferencia máximamenteplana en la banda de paso.Todos los ceros se encuentran en ω H Æ11 (ω/ ωc )2nωc : frecuencia de corten: orden del filtro H 1(n 00,1ωcωc12510ωcω

Filtros de orden nFiltro de ButterworthDiseño del filtro de Butterworth1Cálculo del orden del filtro:n log Kdlog Ks2Obtener la función de transferencia a partir de tablas para filtrosnormalizados.3Escalar la frecuencia de corte y las impedancias.

Filtros de orden nFiltro de ChebyshevEl filtro de Chebyshev exhibe un rizado en la banda pasante.Es máximamente abrupto en la banda de transición.Todos los ceros se encuentran en ω H Ç 11 ε2 C2n (ω/ ωc )Cn (x) cos(n cos 1 (x)) sicosh(n cosh 1ωc : frecuencia de corten: orden del filtroε: parámetro de rizadoprdB 20 log(1/ 1 ε2 ): rizado H 1n 1/ 1 ε2p00,1ωcωc§2510ωcωx 1(x)) si x 1

Filtros de orden nFiltro de ChebyshevDiseño del filtro de Chevyshev1Cálculo del orden del filtropcoshn 110αa / 10 1!εcosh 1 (1/ Ks )2Cálculo del parámetro de rizadorÆε 1/ H2p 1 10rdB / 10 13Obtener la función de transferencia a partir de tablas para filtrosnormalizados.4Escalar la frecuencia de corte y las impedancias.

Filtros de orden nTablas de filtros normalizadosLas tablas siguientes nos dan los polinomios del denominador de la función detransferencia para filtros de orden n y ωc 1Polinomios de Butterworth normalizadosn Polinomio de orden n123456s 1s2 1,4142s 1(s 1)(s2 s 1)(s2 0,7654s 1)(s2 1,8478s 1)(s 1)(s2 0,6180 1)(s2 1,6180s 1)(s2 0,5176s 1)(s2 1,4142s 1)(s2 1,9318s 1)

Filtros de orden nTablas de filtros normalizadosPolinomios de Chevyshev normalizados para rdB 0,5 dBnPolinomio de orden n123456s 2,863s2 1,426s 1,5164(s 0,626)(s2 0,626s 1,42453)(s2 0,350s 1,062881)(s2 0,846s 0,35617)(s 0,362)(s2 0,224 0,012665)(s2 0,586s 0,476474)(s2 0,156s 1,022148)(s2 0,424s 0,589588)(s2 0,58s 0,157)Polinomios de Chevyshev normalizados para rdB 3 dBnPolinomio de orden n123456s 1,002s2 0,6449s 0,708(s 0,299)(s2 0,2986s 0,83950649)(s2 0,17s 0,902141)(s2 0,412s 0,1961)(s 0,177)(s2 0,11s 0,936181)(s2 0,288s 0,3771145)(s2 0,076s 0,95402)(s2 0,208s 0,522041)(s2 0,286s 0,089093)

Filtros de orden nEjercicioDiseñar un filtro de Butterworth de paso bajo con frecuencia de corte ωC 10 kHz y una atenuación de 15 dB a 20 kHz.Cálculo del orden del filtro:vvu αp / 10ut 10 1 t 103/ 10 1Kd 0,1810αa / 10 1 1015/ 10 1Ks n ωpωalog Kdlog Ks 10 kHz20 kHz 0,5log 0,18log 0,5Escogemos el primer entero mayor que 2,47:n 3 2,47

Filtros de orden nEjercicioFunción de transferencia normalizada (ωC 1 rad/s) y circuito:H(s) C11(s 1)(s2 s 1)C2R3R1R1R2R3R2C3H(s) 1R1 C 1 s R 1C1 11R22 C2 C3! s2 2s R2 C1 CR2 C22 2 3 ( 1)

Filtros de orden nEjercicioIdentificando funciones de transferencia:R1 1 Ω; C1 1 FR2 1 Ω; C2 2 F; C3 0,5 FEscalado de frecuencia:ωC : 1 rad/s 2π· 104} rad/s {zαC1 : 1 F C2 : 2 F 12π · 1042F 15,9 μFF 31,8 μF2π · 1040,5C3 : 0,5 F F 7,95 μF2π · 104

Filtros de orden nEjercicioEscalado de impedancia:R1 , R2 : 1 Ω {z}104 ΩβC1 : 15,9 μF C2 : 31,8 μF C3 : 7,95 μF 15,910431,81047,95104μF 1,59 nFμF 3,18 nFμF 795 pF

4 Filtros de segundo orden 5 Filtros de orden n. Introducción Existen numerosas aplicaciones de la electrónica que requieren circuitos que dejen pasar señales con ciertas frecuencias y rechacen el resto. Introducción Objetivos Conocer los distintos tipos de ﬁltros y sus características.