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SISTEMAS DE CONTROL AVANZADOLUIS EDO GARCÍA JAIMESPOLITÉCNICO COLOMBIANO J.I.CPRIMERA PARTELuis Edo García Jaimes
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN ELESPACIO DE ESTADOEste método tiene como objetivo la descripción deun sistema en función de 𝑛ecuaciones endiferencias o diferenciales de primer orden, lascualespuedencombinarseparaformarunaecuación matricial en diferencias o una diferencialde primer orden.Luis Edo García Jaimes
CONCEPTOS BÁSICOS Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjuntomás pequeño de variables, tales que el conocimiento dedichas variables en 𝑡 𝑡𝑜 junto con el conocimiento de laentrada para 𝑡 𝑡𝑜 , determinan completamente elcomportamiento dinámico del sistema para 𝑡 𝑡𝑜 . Variables de Estado: son las variables que conforman elconjunto más pequeño de variables que determinan elestado de un sistema dinámico: 𝑥1 , 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 . Vector de Estado: es el vector formado por el conjunto delas 𝑛 variables de estado 𝑥1 , 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 que sean necesariaspara determinar completamente el comportamiento delsistema.Luis Edo García Jaimes
REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DEUN SISTEMA CONTINUOLas variables 𝑢𝑖 (𝑡), 𝑖 1. . . 𝑟, representan las entradasLas variables 𝑦𝑖 (𝑡), 𝑖 1. . . 𝑚, representan las salidasLas variables 𝑥𝑖 (𝑡), 𝑖 1. . . 𝑛, representan las variables de estadou1(t)u2(t)u3(t)a)ur(t)u(t)Variables ctor deEstado𝑢1 (𝑡)𝑢2 𝑡𝑢 𝑡 𝑢𝑟 𝑡y(t)Luis Edo García Jaimes𝑦1 (𝑡)𝑦2 (𝑡)y 𝑡 𝑦𝑚 (𝑡)𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡)𝑥 𝑘𝑡 𝑥n (𝑡)
ECUACIÓN DE ESTADOEn general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempocontinuo, se puede escribir en la forma:𝑥ሶ 𝑡 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡)La salida del sistema se puede dar como:𝑦 𝑡 𝑔 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡)Para los sistemas lineales, de tiempo continuo e invariantes en el tiempo, laecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así𝑥ሶ 𝑡 𝐴𝑥 𝑡 𝐵𝑢 𝑡𝑦 𝑡 𝐶𝑥 𝑡 𝐷𝑢 𝑡Luis Edo García Jaimes
DEFINICIÓN DE TÉRMINOSEn donde:𝑥(𝑡) Vector de estado(vector 𝑛)𝑦(𝑡) Vector de salida(vector 𝑚)𝑢(𝑡) Vector de entrada(vector 𝑟)𝐴 Matriz de estado(matriz 𝑛 𝑛)𝐵 Matriz de entrada(matriz 𝑛 𝑟)𝐶 Matriz de salida(matriz 𝑚 𝑛)𝐷 Matriz de transmisión directa(matriz 𝑚 𝑟)Luis Edo García Jaimes
DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA CONTINUODu(t)B x(t) A𝑥ሶ 𝑡 𝐴𝑥 𝑡 𝐵𝑢 𝑡𝑦 𝑡 𝐶𝑥 𝑡 𝐷𝑢 𝑡Luis Edo García Jaimes x(t)C y(t)
REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE UNSISTEMA DISCRETOLas variables 𝑢𝑖 (𝑘), 𝑖 1. . . 𝑟, representan las entradasLas variables 𝑦𝑖 (𝑘), 𝑖 1. . . 𝑚, representan las salidasLas variables 𝑥𝑖 (𝑘), 𝑖 1. . . 𝑛, representan las variables de estadou1(k)u2(k)Variables (k)ym(k)u(k)Vector deEstadoy(k)b)𝑢1 (𝑘)𝑢2 𝑘𝑢 𝑘 𝑢𝑟 𝑘Luis Edo García Jaimes𝑦1 (𝑘)𝑦2 (𝑘)𝑦 𝑘 𝑦𝑚 (𝑘)𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑘)𝑥 𝑘 𝑥n (𝑘)
ECUACIÓN DE ESTADO SISTEMA DISCRETOEn general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo discreto,en el instante 𝑘 1 se puede escribir en la forma:𝑥 𝑘 1 𝑓 𝑥 𝑘 , 𝑢(𝑘)Así mismo, la salida del sistema se puede dar como:𝑦 𝑘 𝑔 𝑥 𝑘 , 𝑢(𝑘)Para los sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la ecuaciónde entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Luis Edo García Jaimes
DEFINICIÓN DE TÉRMINOSEn donde:𝑥(𝑘) Vector de estado(vector 𝑛)𝑦(𝑘) Vector de salida(vector 𝑚)𝑢(𝑘) Vector de entrada(vector 𝑟)𝐴 Matriz de estado(matriz 𝑛 𝑛)𝐵 Matriz de entrada(matriz 𝑛 𝑟)𝐶 Matriz de salida(matriz 𝑚 𝑛)𝐷 Matriz de transmisión directa(matriz 𝑚 𝑟)Luis Edo García Jaimes
DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA DISCRETODu(k)Bx(k 1) z-1x(k)C y(k) A𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Luis Edo García Jaimes
EJEMPLOConsidere el movimiento angular de deflexión de un avión respecto a la horizontal.Dicho sistema puede representarse, para ángulos pequeños, mediante la ecuacióndiferencial:𝑑 2 𝛼(𝑡) 1 𝑑𝛼(𝑡) 𝐴𝛿(𝑡)𝑑𝑡 2𝑇 𝑑𝑡Los alerones son accionados mediante un servomecanismo que responde a laecuación diferencial:𝑑𝛿(𝑡) 𝐾𝑒(𝑡)𝑑𝑡Siendo 𝛼(𝑡) el ángulo del avión con respecto a la horizontal, 𝛿(𝑡) el ángulo dedeflexión de los alerones y e(t) es el voltaje de alimentación del servo que muevelos aleronesHallar una representación del sistema en el espacio de estado. Asuma que 𝛼(𝑡) esla salida del sistema y 𝑒(𝑡) su entradaLuis Edo García Jaimes
EJEMPLOLa figura representa el sistema de control de un depósito de sección constante yaltura máxima de 1m alimentado por una caudal de entrada 𝑞𝑒 . La salida del líquidose controla mediante una válvula de modo que el caudal de salida depende delproducto de su velocidad por el factor de apertura de la válvula 𝑤. El factor deapertura responde a la señal eléctrica proporcionada por un amplificador diferencialque amplifica, con una ganancia 𝐾, la diferencia entre la señal eléctrica 𝑛,proporcional al nivel de líquido en el depósito (𝑛 𝑁ℎ) y la señal de referencia 𝑟.a) Obtenga la representación en el espacio de estado para el sistema y calcule laaltura de equilibrio que alcanza el líquido cuando 𝑞𝑒 0.02 𝑚3 𝑠 y 𝑟 7 𝑉.b) Obtenga el un diagrama de bloques para el sistema.𝑁 10 𝑉 𝑚𝐾 0.005 𝑚2 𝑉Luis Edo García Jaimes𝐴 0.5𝑚2
SOLUCIÓN AL EJEMPLO𝑑ℎ𝐴 𝑞𝑒 𝑞𝑆𝑑𝑡𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑆𝑎𝑙𝑒𝑞𝑆 𝑤 𝑣 𝑤 2𝑔ℎ𝐴𝑑ℎ 𝑞𝑒 𝐾 𝑁𝐻 𝑟𝑑𝑡𝑤 𝐾 𝑁𝐻 𝑟2𝑔ℎReemplazando los valores dados:𝑑ℎ0.5 𝑞𝑒 0.005 10ℎ 𝑟𝑑𝑡𝑑ℎ 2𝑞𝑒 0.442ℎ ℎ 0.0442𝑟 ℎ𝑑𝑡Se define como variable de estado 𝑥 ℎAsí la representación en el espacio de estado es:𝑥ሶ 2𝑞𝑒 0.442𝑥 0.0442𝑟 𝑥Luis Edo García Jaimes19.6ℎ
SOLUCIÓN AL EJEMPLO (2)En el equilibrio el cambio de altura es igual a cero:0 0.04 0.442ℎ ℎ 0.3094 ℎ𝑑ℎ𝑑𝑡 0 y con 𝑟 7 resulta:Organizando la ecuación:0.1953ℎ3 0.2735ℎ2 0.09572ℎ 0.0016Resolviendo se obtiene: ℎ 0.802𝑚 ,ℎ 0.58 𝑚 𝑦 ℎ 0.0175𝑚. La solución válida es ℎ 0.802 𝑚Luis Edo García Jaimes
FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN ELESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETOSea el sistema en tiempo discreto definido por la ecuación de diferencias:𝑦 𝑘 𝑎1 𝑦 𝑘 1 𝑎2 𝑦 𝑘 2 𝑎𝑛 𝑦 𝑘 𝑛 𝑏𝑜 𝑢 𝑘 𝑏1 𝑢 𝑘 1 𝑏𝑛 𝑢 𝑘 𝑛En donde 𝑢(𝑘) es la entrada y 𝑦(𝑘) es la salida del sistema.La función de transferencia de pulso correspondiente a la ecuación anterior estádada por:𝑌(𝑧) 𝑏𝑜 𝑏1 𝑧 1 𝑏2 𝑧 2 𝑏𝑛 𝑧 𝑛𝐺 𝑧 𝑈(𝑧) 1 𝑎1 𝑧 1 𝑎2 𝑧 2 𝑎𝑛 𝑧 𝑛𝑌(𝑧) 𝑏𝑜 𝑧 𝑛 𝑏1 𝑧 𝑛 1 𝑏2 𝑧 𝑛 2 𝑏𝑛𝐺 𝑧 𝑛𝑈(𝑧)𝑧 𝑎1 𝑧 𝑛 1 𝑎2 𝑧 𝑛 2 𝑎𝑛Luis Edo García Jaimes
TIPOS DE FORMAS CANÓNICASExisten diferentes formas para representar el sistema discretodefinido por las ecuaciones dadas.Las más utilizadas son las llamadas formas canónicas a saber: Forma canónica controlable (FCC). Forma canónica observable (FCO). Forma canónica diagonal (FCD). Forma canónica de Jordan (FCJ).Luis Edo García Jaimes
FORMA CANÓNICA CONTROLABLELa representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discretodefinido por las funciones de transferencia dadas se puede expresar enla forma:𝑥1 (𝑘 1) 𝑎1𝑥2 (𝑘 1)10𝑥3 (𝑘 1) 0𝑥𝑛 (𝑘 1)𝑦 𝑘 𝑏1 𝑎1 𝑏𝑜 𝑎201 0 𝑎𝑛 1 0 0 1𝑏2 𝑎2 𝑏𝑜 𝑎𝑛00 0 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑜Luis Edo García Jaimes𝑥1 (𝑘)1𝑥2 (𝑘)0𝑥3 (𝑘) 𝑢 𝑘 0𝑥𝑛 (𝑘)0𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑘) 𝑏𝑜 𝑢(𝑘) 𝑥𝑛 1 (𝑘)𝑥𝑛 (𝑘)
FORMA CANÓNICA OBSERVABLELa representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto,definido por las funciones de transferencia dadas, se puede expresar en laforma:𝑥1 (𝑘 1) 𝑎1 𝑎2𝑥2 (𝑘 1) 𝑎𝑛 1𝑥𝑛 1 (𝑘 1) 𝑎𝑛𝑥𝑛 (𝑘 1)𝑦 𝑘 110 0001 00 0 0 𝑏1 𝑎1 𝑏𝑜0 𝑥1 (𝑘)0 𝑥2 (𝑘)𝑏2 𝑎2 𝑏𝑜 𝑢 𝑘 1 𝑥𝑛 1 (𝑘)𝑏𝑛 1 𝑎𝑛 1 𝑏𝑜0 𝑥𝑛 (𝑘)𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑘) 𝑏𝑜 𝑢(𝑘0 𝑥𝑛 1 (𝑘)𝑥𝑛 (𝑘)Luis Edo García Jaimes
FORMA CANÓNICA DIAGONALSi los polos de la función de transferencia de pulso dada son todos distintos, es decir, si ellase puede expandir en fracciones parciales en la forma:𝐶1𝐶2𝐶𝑛𝐺 𝑧 𝑏𝑜𝑧 𝑝1 𝑧 𝑝2𝑧 𝑝𝑛La representación en el espacio de estado definido se puede expresar en la forma:𝑥1 (𝑘 1)𝑝10𝑥2 (𝑘 1)0 0𝑥𝑛 (𝑘 1)𝑦 𝑘 𝐶1𝐶2 0𝑝20 0 0 0 𝑥1 (𝑘)10 0 𝑥2 (𝑘)10 0 𝑢 𝑘 0 𝑝𝑛 𝑥𝑛 (𝑘)1𝐶𝑛𝑥1 𝑘𝑥2 𝑘 𝑥𝑛 𝑘Luis Edo García Jaimes 𝑏𝑜 𝑢 𝑘
FORMA CANONICA DE JORDANSi al descomponer en fracciones parciales la función de transferencia dada se obtiene un polomúltiple de orden 𝑟 en 𝑧 𝑝1 y todos los demás polos son distintos, es decir:𝐶1𝐶2𝐶𝑟𝐶𝑟 1𝐶𝑟 2𝐶𝑛𝐺 𝑧 𝑏0(𝑧 𝑝1 )𝑟 (𝑧 𝑝1 )𝑟 1𝑧 𝑝1 𝑧 𝑝𝑟 1 𝑧 𝑝𝑟 2𝑧 𝑝𝑛La representación en el espacio de estado se puede expresar en la forma𝑥1 (𝑘 1)𝑥2 (𝑘 1) 𝑥𝑟 (𝑘 1) 𝑥𝑟 1 (𝑘 1) 𝑥𝑛 (𝑘 1)𝑦 𝑘 𝐶1𝑝1 10 𝑝1 0 00 0 0 0𝐶2 01 0 0 000 𝑝1 00 𝑝𝑟 1 0 00𝑥1 𝑘𝑥2 𝑘 𝐶𝑛 𝑥𝑛 𝑘Luis Edo García Jaimes 𝑥1 (𝑘)00𝑥2 (𝑘)00 0 𝑥𝑟 (𝑘)0 1 𝑢0 𝑥𝑟 1 (𝑘)1 0 1𝑝𝑛 𝑥𝑛 (𝑘) 𝑏𝑜 𝑢 𝑘
EJEMPLOObtenga tres representaciones en el espacio de estado para el sistema descritomediante la ecuación en diferencias dada.Considere condiciones inicialesiguales a cero.𝑦 𝑘 1.3 𝑘 1 0.4𝑦 𝑘 2 𝑢 𝑘 1 0.5𝑢(𝑘 2)Tomando la transformada z:1 1.3𝑧 1 0.4𝑧 2 𝑌 𝑧 𝑧 1 0.5𝑧 2 𝑈(𝑧)La función de transferencia es:𝑌(𝑧)𝑧 1 0.5𝑧 2𝐺 𝑧 𝑈(𝑧) 1 1.3𝑧 1 0.4𝑧 2 𝑏0 0𝑎1 1.3Luis Edo García Jaimes𝑏1 1𝑏2 0.5𝑎2 0.4
SOLUCIÓNa) FORMA CANÓNICA CONTROLABLE (FCC)𝑥1 (𝑘 1)1.3 𝑥2 (𝑘 1)1 0.4 𝑥1 (𝑘)1 𝑢 𝑘𝑥(𝑘)002𝑦 𝑘 1 0.5𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑘)b) FORMA CANÓNICA OBSERVABLE (FCO)𝑥1 (𝑘 1)1.3 1 𝑥1 (𝑘)1 𝑢 𝑘𝑥2 (𝑘 1) 0.4 0 𝑥2 (𝑘)0.5𝑦 𝑘 1 0𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑘)c) FORMA CANÓNICA DIAGONAL (FCD)𝑌(𝑧)𝑧 1 0.5𝑧 24.3333.333𝐺 𝑧 𝑈(𝑧) 1 1.3𝑧 1 0.4𝑧 2 𝑧 0.8 𝑧 0.5𝑥1 (𝑘 1)0.8 𝑥2 (𝑘 1)00 𝑥1 (𝑘)1 𝑢 𝑘𝑥(𝑘)0.5 21Luis Edo García Jaimes𝑦 𝑘 4.333𝑥1 (𝑘) 3.333𝑥2 (𝑘)
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIODE ESTADO PARA UN SISTEMA CONTINUOLa representación en el espacio de estado de un sistema continuo es:𝑥ሶ 𝑡 𝐴𝑥 𝑡 𝐵𝑢 𝑡𝑦 𝑡 𝐶𝑥 𝑡 𝐷𝑢 𝑡Tomando la transformada de Laplace con CI 0 se obtiene𝑆𝑋 𝑆 𝐴𝑋 𝑆 𝐵𝑈(𝑆)𝑆𝐼 𝐴 𝑋 𝑆 𝐵𝑈(𝑆)Despejando 𝑋(𝑆) :𝑋 𝑆 𝑆𝐼 𝐴 1 𝐵𝑈(𝑆)Es decir:𝑌 𝑆 𝐶 𝑆𝐼 𝐴 1 𝐵𝑈 𝑆 𝐷𝑈 𝑆Como 𝑢(𝑡) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑡) su salida, la función de transferencia es:𝑌(𝑆)𝐺 𝑆 𝐶 𝑆𝐼 𝐴 1 𝐵 𝐷𝑈(𝑆)Luis Edo García Jaimes
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA CONTINUOPor definición:𝐴 1𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝐴Para la expresión:𝑌(𝑆)𝐺 𝑆 𝐶 𝑆𝐼 𝐴𝑈(𝑆) 1 𝐵Se obtiene:𝑌(𝑆)𝐺 𝑆 𝐶 𝑆𝐼 𝐴𝑈(𝑆) 1𝐶 𝐴𝑑𝑗 𝑆𝐼 𝐴𝐵 𝑆𝐼 𝐴La ecuación característica del sistema es:𝑆𝐼 𝐴 𝑆 𝑛 𝛼1 𝑆 𝑛 1 𝛼2 𝑆 𝑛 2 𝛼𝑛 0Luis Edo García Jaimes 𝐵
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y REPRESENTACIÓNEN EL ESPACIO DE ESTADO DISCRETOLa representación en el espacio de estado de un sistema discreto es:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Tomando la transformada z con CI 0 se obtiene:𝑧𝑋 𝑧 𝐴𝑋 𝑧 𝐵𝑈(𝑧)𝑧𝐼 𝐴 𝑋 𝑧 𝐵𝑈(𝑧)Despejando 𝑋 𝑧 :𝑋 𝑧 𝑧𝐼 𝐴 1 𝐵𝑈(𝑧)Es decir:𝑌 𝑧 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 1 𝐵𝑈 𝑧 𝐷𝑈 𝑧Como 𝑢(𝑘) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑘) su salida, la función detransferencia es:𝑌(𝑧)𝐺 𝑧 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 1 𝐵 𝐷𝑈(𝑧)Luis Edo García Jaimes
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA DISCRETOPor definición:𝐴 1𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝐷𝑒𝑡(𝐴)𝐴Para la expresión:𝑌(𝑧)𝐺 𝑧 𝐶 𝑧𝐼 𝐴𝑈(𝑧) 1𝐵Se obtiene:𝑌(𝑧)𝐺 𝑧 𝐶 𝑧𝐼 𝐴𝑈(𝑧) 1 𝐵𝐶 𝐴𝑑𝑗 𝑧𝐼 𝐴 𝐵 𝑧𝐼 𝐴La ecuación característica del sistema es:𝑧𝐼 𝐴 𝑧 𝑛 𝛼1 𝑧 𝑛 1 𝛼2 𝑧 𝑛 2 𝛼𝑛 0Luis Edo García Jaimes
EJEMPLOHallar la función de transferencia de pulso del sistema cuyo comportamientodinámico está descrito mediante la ecuación:𝑥 𝑘 1 0.8 0.40.60.5𝑥 𝑘 𝑢(𝑘)0.60.3𝑦 𝑘 10.5 𝑥(𝑘)La función de transferencia del sistema es:𝑌(𝑧)𝐺 𝑧 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 1 𝐵𝑈(𝑧)𝑧 00.8 0.5𝑧 0.8 0.5𝑧𝐼 𝐴 0 𝑧 0.4 0.30.4𝑧 0.3𝑧 0.30.5𝑧 0.30.5𝑎𝑑𝑗(𝐴) 0.4 𝑧 0.8𝑧 0.8 1𝑧𝐼 𝐴 0.4𝑧𝐼 𝐴𝑧 0.8 𝑧 0.3 0.2𝑧 2 1.1𝑧 0.440.6𝑧 0.30.51 0.5 0.4 𝑧 0.8 0.6𝐺 𝑧 𝐶(𝑧𝐼 𝐴) 1 𝐵 𝑧 2 1.1𝑧 0.440.9𝑧 0.24𝐺 𝑧 2𝑧 1.1𝑧 0.44Luis Edo García Jaimes
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO El diseño de un sistema de control digital consiste en determinar unalgoritmo que permita generar una secuencia de valores de lasvariables de control de la planta 𝑢(𝑘), de manera que las ncionamientoestablecidas. En esta sección se presenta el diseño de controladores en elespacio de estado, utilizando el método de asignación de polos.Para su aplicación se requiere que el sistema sea completamentecontrolable y completamente observable.Luis Edo García Jaimes
CONTROLABILIDADSea el sistema discreto:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Se dice que dicho sistema es de “estado completamentecontrolable”, si es posible transferir el sistema desde un estadoinicial arbitrario a cualquier otro estado deseado en un intervalode tiempo finito mediante la aplicación de una señal de control,no restringida, 𝑢(𝑘𝑇).Luis Edo García Jaimes
CONDICIÓN DE CONTROLABILIDADEl sistema descrito por la ecuación:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Es controlable si:𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐵𝐴𝐵𝐴2 𝐵 𝐴𝑛 1 𝐵 𝑛Siendo 𝑛 𝑛 el orden de la matriz A.Una condición suficiente y necesaria para la controlabilidad completa delestado, es que no se presente cancelación de ceros y polos en la funciónde transferencia del sistema.Luis Edo García Jaimes
OBSERVABILIDADSea el sistema discreto definido por:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Se dice que dicho sistema es de “estado complementeobservable” si cualquier estado inicial 𝑥(0) puede determinarsea partir de la observación de 𝑦(𝑘) en 𝑛 períodos de muestreocomo máximo.Luis Edo García Jaimes
CONDICIÓN DE OBSERVABILIDADEl sistema discreto definido por la ecuación:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑘 𝐷𝑢 𝑘Es de estado completamente observable sí:𝐶𝐶𝐴𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐶𝐴2 𝑛 𝐶𝐴𝑛 1Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completadel estado es que no se presente cancelación de ceros y polos en lafunción de transferencia de pulso.Luis Edo García Jaimes
EJEMPLO DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDADDado el sistema en tiempo discreto definido por:0101𝑥 𝑘 1 001 𝑥 𝑘 0 𝑢 𝑘 0.5 0.4 0.80𝑦 𝑘 1 0 0𝑥 𝑘a) Es el sistema completamente controlable?b) Es el sistema completamente observable?Solución:a) La matriz de controlabilidad es: 𝐶𝑜 𝐵 𝐴. 𝐵 𝐴2 . 𝐵100𝐶𝑜 00 0.50 0.5 0.4det 𝐶𝑜 0.25𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒Luis Edo García Jaimes𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐶𝑜 3
MATRIZ DE OBSERVBILIDADb) La matriz de observabilidad para el sistema dado es:𝐶𝑂𝑏 𝐶𝐴𝐶𝐴21 0𝑂𝑏 0 10 0001det 𝑂𝑏 1𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑂𝑏 3𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒.NOTA: Tener en cuenta que las matrices son de orden 3.Luis Edo García Jaimes
CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADOY ASIGNACIÓN DE POLOS El método de asignación de polos, comienza con ladeterminación de los polos de lazo cerrado deseados,utilizando especificaciones basadas en la respuestatransitoria y/o en los requerimientos de respuesta enfrecuencia. Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en 𝑧 𝑧1 , 𝑧 𝑧2 , 𝑧 𝑧𝑛 es posible elegir una matriz de ganancia derealimentación K adecuada, que force al sistema a tener lospolos de lazo cerrado en el lugar deseado siempre y cuandoel sistema sea de estado completamente controlable ycompletamente observable.Luis Edo García Jaimes
CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADOSea el sistema de control en lazo abierto de la fig a, definido por laecuación de estado:𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘Si se elige como ley de control:𝑢 𝑘 𝐾𝑥 𝑘Se obtiene el sistema de control realimentado de la fig b. A esteesquema se le denomina “sistema con realimentación de estado”.u(k)Bx(k 1) z-1I b.A-KSistema en lazo abiertoSistema en lazo cerradoLuis Edo García Jaimesx(k)
MATRIZ DE REALIMENTACIÓN KLa matriz 𝐾 𝑘1 𝑘2 𝑘𝑛se llama “matriz de ganancia derealimentación” y convierte al sistema en un sistema de control en lazocerrado, con sus polos ubicados en el lugar deseado.Reemplazando la ley de control: 𝑢 𝑘 𝐾𝑥(𝑘):𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝐾𝑥(𝑘)𝑥 𝑘 1 𝐴 𝐵𝐾 𝑥 𝑘Tomando la transformada z a la ecuación se obtiene:𝑧𝑋 𝑧 𝑧𝑥 0 𝐴 𝐵𝐾 𝑋(𝑧)𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝑋 𝑧 𝑧𝑥 0𝑧. 𝑎𝑑𝑗 𝑧𝐼 – 𝐴 𝐵𝐾 . 𝑥(0)𝑋 𝑧 𝑧𝐼 – 𝐴 𝐵𝐾Así, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:𝑧𝐼 – 𝐴 𝐵𝐾 𝑧 𝑛 𝛼1 𝑧 𝑛 1 𝛼2 𝑧 𝑛 2 𝛼𝑛 1 𝑧 𝛼𝑛 0En donde 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼𝑛 son los coeficientes de la ecuación característicadeseada.Luis Edo García Jaimes
CÁLCULO DE LA MATRIZ DE GANACIA DE REALIMENTACIÓN KLa matriz de ganancia de realimentación 𝐾 se puede obtener pordiferentes métodos. Uno de los más utilizados es el de la Formula deAckerman el cual permite calcular directamente la matriz de gananciade realimentación, a partir de la ecuación:𝐾 0 0 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 𝐴𝑛 1 𝐵 1 𝜙 𝐴En donde:𝜙 𝐴 𝐴𝑛 𝛼1 𝐴𝑛 1 𝛼2 𝐴𝑛 2 𝛼𝑛 1 𝐴 𝛼𝑛 𝐼Siendo 𝛼1 , 𝛼2 𝛼𝑛 los coeficientes de la ecuación característicadeseada:𝑧 𝑧1 𝑧 𝑧2 . . 𝑧 𝑧𝑛 𝑧 𝑛 𝛼1 𝑧 𝑛 1 𝛼2 𝑧 𝑛 2 𝛼𝑛 1 𝑧 𝛼𝑛 0Luis Edo García Jaimes
SISTEMA CON REALIMENTACIÓN DEL ESTADOY ENTRADA DE REFERENCIAEl sistema de control anterior no tiene entrada de referencia. Este tipo decontrol se denomina “sistema de control tipo regulador”. En la mayoríade los casos, es necesario que la salida 𝑦(𝑘) siga a una entrada dereferencia 𝑟(𝑘) , este sistema se denomina “sistema de control tipoServo” y su configuración básica se muestra en la figurar(k)Kov(k) u(k) Bx(k 1) z-1I A-KLuis Edo García Jaimesx(k)Cy(k)
CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR KoConsiderando el sistema de la figura anterior, se tiene:Co𝑥 (𝑘 1) 𝐴𝑥 (𝑘) 𝐵𝑢(𝑘)𝑦(𝑘) 𝑐𝑥(𝑘)La señal de control está dada por:𝑢(𝑘) 𝐾𝑜 𝑟(𝑘 ) 𝐾𝑥(𝑘)En donde 𝐾𝑜 es una constante que se debe determinar y r(k) es la referencia.𝑌(𝑧) 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 1𝐵𝐾𝑜 𝑅(𝑧)La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:𝑌(𝑧)𝐺𝑤 (𝑧) 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾𝑅(𝑧) 1𝐾0 𝐻𝐺(𝑧)𝐵𝐾𝑜 1 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)Para obtener error de estado estable igual a cero se debe cumplir que: 𝑦𝑆𝑆 𝑟por lo tanto:𝐾𝑜 lim 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾𝑍 1 1𝐵 1𝐻𝐺(𝑧)𝐾0 lim 1𝑧 1 1 𝐷 (𝑧)𝐻𝐺(𝑧)Luis Edo García Jaimes
EJEMPLOLa dinámica del sistema de flujo que se muestra en la figura 2.2 está dada por:2.372𝑒 0.45𝑆𝐺𝑓 (𝑆) 1.64𝑆 1Obtener para este proceso: a) la matriz de ganancia de realimentación de modo queel sistema en lazo cerrado, tenga un tiempo de establecimiento de 3 𝑠 y coeficientede amortiguamiento igual a 0.8. b) El factor de corrección de error 𝐾𝑜 para que elerror de estado estable sea igual a cero.Asuma que el período de muestreo es 𝑇 0.3 𝑠.Luis Edo García Jaimes
SOLUCIÓNLa función de transferencia de pulso del sistema, con 𝑇 0.3 𝑠 está dada por:𝐻𝐺 (𝑧) (1 𝑧 1 ) 𝑁𝑧ℑ𝑚𝐺 (𝑆 )𝑆2.372𝐺 (𝑆 ) 1.64𝑆 10.2073𝑧 0.1892 0.2073(𝑧 0.9126)𝐻𝐺 (𝑧) 32𝑧 0.8328𝑧𝑧 2 (𝑧 0.8328)La representación en el espacio de estado en tiempo discreto es:0.8323𝑥(𝑘 1) 100 010 0 𝑥(𝑘) 0 𝑢(𝑘)1 00𝑦(𝑘) 0 0.20730.1892 𝑥(𝑘)La ubicación de los polos de lazo cerrado deseados se obtiene a partir de lasespecificaciones de tiempo de establecimiento y coeficiente de amortiguamientorequerido así:4𝑡𝑠 𝜉𝑤𝑛44𝑤𝑛 𝜉𝑡𝑠 0.8 3Luis Edo García Jaimes𝑤𝑛 1.66 𝑟𝑎𝑑/𝑠
SOLUCIÓNLa ubicación de los polos se obtiene con las ecuaciones::𝑧 𝑒 𝜉𝑤 𝑛 𝑇 𝑒 0.8 1.66 0.3 0.671Para diseño 𝑧 1𝜃 57.3𝑤𝑛 𝑇 1 𝜉 2 57.3 1.66 0.3 1 0.82 17.12𝑜Para diseño 0 𝜃 80 𝑧 𝑧 (𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑧 0.671(cos 17.12º 𝑗 sin 17.12º) 0.641 𝑗0.197Los polos de lazo se ubican en:𝑧 0.641 𝑗0.197 y 𝑧 0.641 𝑗0.197.El tercer polo se asigna en 𝑧 0.05 de modo que no sea polo dominante.La ecuación característica está dada por:(𝑧 0.641 𝑗0.197)(𝑧 0.641 𝑗0.197)(𝑧 0.05) 0𝑧 3 1.332𝑧 2 0.5137𝑧 0.0224 0Luis Edo García Jaimes
CÁLCULO DE LA MATRIZ KUtilizando la Fórmula de Ackerman:𝐾 0 0 1 𝐵𝐴2 𝐵𝐴𝐵 1𝜙(𝐴)La ecuación característica deseada dio: 𝑧 3 1.332𝑧 2 0.5137𝑧 0.0224 0Entonces:0.0589𝜙(𝐴) 𝐴3 1.332𝐴2 0.5137𝐴 0.0224𝐼 0.0977 0.4997𝐵𝐾 0 011 00𝐴𝐵1𝐴2 𝐵 000.8323100.69270.83231𝐾 0.49970.832310 1Luis Edo García Jaimes00 0.02240.69270.832310.05890.0977 0.49970.51370 0.02240.51370 0.02240.5137 0.022400 0.0224
CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko𝐾𝑜 lim 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾𝑧 1𝐺𝑤 (𝑧) 𝐶 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾𝐾𝑜 lim𝑧 1 1𝐵 1𝐵 10.2073(𝑧 0.9126)𝑧 3 1.332𝑧 2 0.5137𝑧 0.02240.2073(𝑧 0.9126) 1𝑧 3 1.332𝑧 2 0.5137𝑧 0.0224Sin factor de corrección𝐾𝑜 0.4Con factor de corrección 𝐾𝑜 0.4Luis Edo García Jaimes
0BSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADOEn la práctica, no todas las variables de estado de un sistema se pueden medir enforma directa. Este hecho hace necesario estimar el valor de aquellas variables deestado cuya medición directa no es posible.El sistema que posibilita la estimación se denomina “Observador o estimador deestado”.El observador de un sistema dinámico lineal en tiempo discreto es otro sistemadinámico lineal en tiempo discreto que tiene como entradas la entrada y la salidadel sistema discreto y como salida, los valores de las variables de estado.Luis Edo García Jaimes
TIPOS DE OBSERVADORESPara resolver el problema de la observación son posibles dos soluciones:a. Utilizar un observador tipo predictor que permite obtener el estado delsistema en el instante (𝑘 1), estimando 𝑥(𝑘 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) yde la salida 𝑦(𝑘).b. Utilizar un observador corriente que permite obtener el estado del sistemaen el instante (𝑘 1) estimando 𝑥(𝑘 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y de lasalida 𝑦(𝑘 1)Las figuras representan, los dos tipos de observadores.Observadores de estado a) Tipo Predictor b) Tipo CorrienteLuis Edo García Jaimes
OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTORPara obtener las ecuaciones que describen a este observador, se supone que elestado real del sistema 𝑥(𝑘) no puede medirse directamente.Si el estado 𝑥(𝑘) debe estimarse, es necesario que el estado estimado 𝑞(𝑘) y elestado real 𝑥(𝑘) sean iguales.La figura ilustra cómo se realiza la estimación de los estados.Observador de estado tipo predictorLuis Edo García Jaimes
ECUACIÓN DEL OBSERVADOR TIPO PREDICTORLa planta está descrita mediante la ecuación:𝑥(𝑘 1) 𝐴𝑥(𝑘) 𝐵𝑢(𝑘)𝑦(𝑘) 𝐶𝑥(𝑘)De la figura del observador se deduce que el sistema tiene dos entradas 𝑢(𝑘) e𝑦(𝑘), entonces, su ecuación se puede escribir en la forma:𝑞 (𝑘 1) 𝐹𝑞 (𝑘) 𝐿𝑦(𝑘) 𝐻𝑢(𝑘)En donde 𝐹, 𝐿 y 𝐻 son matrices desconocidas.Para que 𝑞 (𝑘) 𝑥(𝑘). Las matrices 𝐹, 𝐿 y 𝐻 deben cumplir que:𝐻 𝐵y𝐴 𝐹 𝐿𝐶.Entonces, la ecuación del observador predictor, se puede escribir en la forma:𝑞 (𝑘 1) (𝐴 𝐿𝐶 )𝑞 (𝑘) 𝐿𝑦(𝑘) 𝐵𝑢(𝑘)La matriz 𝐿 se denomina Matriz de ganancia de realimentación del observador.La ecuación característica del observador es:𝑧𝐼 𝐴 𝐿. 𝐶 0Luis Edo García Jaimes
DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON EL OBSERVADOR TIPO PREDICTORLa figura representa el sistema de control con la matriz de ganancia derealimentación 𝐾 y el observador de estado incluidos.u(k)x(k 1)B z-1x(k)y(k)C A-KBq(k 1) z-1q(k)C y(k) - ALLa ley de control es 𝑢(𝑘) 𝑘𝑞(𝑘) así la ecuación del observador tipo predictorde orden completo se puede escribir en la forma:𝑞 (𝑘 1) (𝐴 𝐿𝐶 𝐵𝐾 )𝑞(𝑘) 𝐿𝑦(𝑘)Luis Edo García Jaimes
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DEL CONTROLADORUna vez obtenida la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz de gananciadel observador 𝐿, es posible obtener la función de transferencia de pulso delcontrolador. Para este controlador, la entrada es 𝑌(𝑧) y la salida 𝑈(𝑧).La ecuación del observador de estado es:𝑞(𝑘 1) (𝐴 𝐿𝐶 𝐵𝐾)𝑞(𝑘) 𝐿𝑦(𝑘)Tomando la transformada z a esta ecuación del observador con CI 0𝑧𝑄 (𝑧) 𝐴 𝐿𝐶 𝐵𝐾 𝑄(𝑧) 𝐿𝑌(𝑧)𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶 𝑄(𝑧) 𝐿𝑌(𝑧)𝑄(𝑧) 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶La ley de control es:Entonces: 1𝐿𝑌(𝑧)𝑢(𝑘) 𝐾𝑞 (𝑘)𝑈(𝑧) 𝐾𝑄(𝑧)𝑈(𝑧) 𝐾𝑄(𝑧) 𝐾 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶𝑈(𝑧)𝐷 (𝑧 ) 𝐾 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶𝑌(𝑧) 1 1𝐿𝑌(𝑧)𝐿Esta ecuación permite estimar la función de transferencia de pulso del controlador.Luis Edo García Jaimes
FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERRORSi se desea tener error de estado estable igual a cero, ante una entrada en escalón,es necesario adicionar un factor de corrección de error 𝐾𝑜 en el circuito del set-pointR(z)Ko HG(z)Y(z)D(z)Sistema de control por realimentación de estados con factor de correcciónde error en el circuito del set-pointDe la figura se obtiene𝑌(𝑧)𝐾0 𝐻𝐺(𝑧)𝐺𝑤 (𝑧) 𝑅(𝑧) 1 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)Para que el error sea cero debe cumplirse que 𝑦( ) 𝑟(𝑡), por lo tanto:𝐻𝐺(𝑧)𝐾0 lim 1𝑧 1 1 𝐷 (𝑧)𝐻𝐺(𝑧)Luis Edo García Jaimes
EJEMPLODado el sistema de control en tiempo discreto mostrado en la figura a) Hallar lamatriz de ganancia 𝐾 de modo que la respuesta del sistema en lazo cerrado tengamáximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 4 s. b) Diseñar un observadoradecuado para el sistema. c) obtener la ecuación del controlador y la respuestadel sistema ante una entrada en escalón unitario.Asuma que el período demuestreo es 1 s.SOLUCIÓN: Con 𝑇 1 𝑠, la función de transferencia de pulso del sistema es:𝐻𝐺 (𝑧) (1 𝑧 1 )ℑ𝐻𝐺 (𝑧) (1 𝑧 1 )ℑ𝐺𝑝 (𝑆)𝑆0.25𝑆 2 (𝑆 0.1)𝐻𝐺 (𝑧) 𝐺𝑝 (𝑆) 𝐻𝐺 (𝑧) 0.25𝑆(𝑆 0.1)0.1209(𝑧 0.9672)(𝑧 1)(𝑧 0.9048)0.1209𝑧 0.1169𝑧 2 1.9048𝑧 0.9048Luis Edo García Jaimes
SOLUCIÓN: UBICACIÓN DE POLOSLa representación del sistema en su forma canónica controlable es:𝑥(𝑘 1) 1.90481 0.90481𝑥 (𝑘 ) 𝑢(𝑘)00𝑦(𝑘) 0.12090.1169 𝑥(𝑘)a) Ubicación de los polos de lazo cerrado deseados para estimar la matriz deganancia de realimentación 𝐾.𝑀𝑝 𝑒𝑡𝑝 𝜋𝜉1 𝜉 2𝜋𝑤𝑛 1 𝜉 𝑤𝑛 𝜉2ln(𝑀𝑝 )𝜋2 (ln(𝑀𝑝𝜋𝑡𝑝 1 𝜉2𝜉 0.59))2𝑤𝑛 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠La ubicación de los polos deseados es por lo tanto:𝑧 𝑒 𝜉𝑤 𝑛 𝑇𝜃 57.3𝑤𝑛 𝑇 1 𝜉 2𝑧 0.563𝜃 45𝑜Luis Edo García Jaimes𝑧 0.398 𝑗0.398
SOLUCIÓN: CÁLCULO DE LA MATRIZ KLa ecuación característica deseada para el sistema es, entonces:(𝑧 0.398 𝑗0.398)(𝑧 0.398 𝑗0.398) 𝑧 2 0.796𝑧 0.3168 0Utilizando la fórmula de Ackerman:𝐾 0 1 𝐵 𝐴𝐵𝜙(𝐴) 𝐴2 0.796𝐴 0.3168𝐼𝐵 𝐴𝐵 1𝜙(𝐴)𝜙 (𝐴 ) 1.5241 1.00321.1088 0.58801 1.9048011 1.9048𝐾 0 101 11.5241 1.00321.1088 0.5880𝐾 1.1088 0.588Luis Edo García Jaimes
UBICACIÓN DE POLOS PARA EL OBSERVADORPara diseñar el observador, se recomienda que su coeficiente de amortiguamientosea igual al seleccionado para el cálculo de la matriz 𝐾 y que su velocidad angularsea mayor que la del sistema. Sea 𝜉 0.59 y 𝑤𝑛 1.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. (La velocidadangular para el diseño de la matriz 𝐾 fue 𝑤𝑛 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠). Con estos parámetros,la ubicación de los polos deseados para el observador es:𝑧 𝑒 𝜉𝑤 𝑛 𝑇𝑧 0.412𝜃 57.3𝑤𝑛 𝑇 1 𝜉 2𝜃 69.4 𝑜Es decir, los polos deseados son 𝑧 0.145 𝑗0.385.La ecuación característica deseada para el observador es:(𝑧 0.145 𝑗0.385)(𝑧 0.145 𝑗0.385) 𝑧 2 0.29𝑧 0.16925 0Luis Edo García Jaimes
CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR LUtilizando la fórmula de Ackerman:𝐶𝐿 𝜙(𝐴)𝐶𝐴 1𝜙(𝐴) 𝐴2 0.29𝐴 0.16925𝐼 𝐶0.1209 𝐶𝐴0.34722.3404𝐿 1.61482.34041.6148 1.4612 0.73560.1169 0.1093 1.4612 0.1209 0.7356 0.3472𝐿 010.1169 0.1093 1018.36345.1586La ecuación del observador está dada por:𝑞 (𝑘 1) 𝐴 𝐿𝐶 𝐵𝐾 𝑞 (𝑘) 𝐿𝑦(𝑘)0.2155𝑞 (𝑘 1) 0.37618.3634 1.2949 ( )𝑞 𝑘 𝑦(𝑘)5.1586 0.6033Luis Edo García Jaimes
CÁLCULO DE LA FTP DEL CONTROLADORLa ecuación del controlador está dada por:𝑈(𝑧)𝐷 (𝑧 ) 𝐾 𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶𝑌(𝑧) 1𝐿𝑧 0.21511.2944 0.3764 𝑧 0.6030𝑧 0.6030 1.2944𝑧 0.2151𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶 1 20.3764𝑧 0.8188𝑧 0.6171𝑧 0.6030 1.2944 8.36341.1088 0.588𝑈(𝑧)0.3764𝑧 0.2151 5.1586𝐷 (𝑧 ) 𝑌(𝑧)𝑧 2 0.8188𝑧 0.6171𝑧𝐼 𝐴 𝐵𝐾 𝐿𝐶 𝑈(𝑧)6.2403(𝑧 0.6916)𝐷 (𝑧 ) 2𝑌(𝑧) 𝑧 0.8188𝑧 0.6171Luis Edo García Jaimes
CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR KoPara que el error sea cero debe cumplirse que:𝐻𝐺(𝑧)𝐾0 lim 1𝑧 1 1 𝐷 (𝑧)𝐻𝐺(𝑧)𝐾0 lim 𝐺𝑤 (𝑧) 1𝑧 1Con0.1209𝑧 0.1169𝐻𝐺 (𝑧) 2𝑧 1.9048𝑧 0.9048𝑦𝑈(𝑧)6.2403(𝑧 0.6916)𝐷 (𝑧 ) 2𝑌(𝑧) 𝑧 0.8188𝑧 0.6171Resulta:0.1209𝑧 3 0.216𝑧 2 0.1704𝑧 0.07219𝐺𝑤 (𝑧) 4𝑧 1.086𝑧 3 0.7169𝑧 2 0.2266𝑧 0.05362Para el caso del ejemplo se tiene:(0.1209𝑧 3 0.216𝑧 2 0.1704𝑧 0.07219)𝐾𝑜 lim 4𝑧 1 𝑧 1.086𝑧 3 0.7169𝑧 2 0.2266𝑧 0.053621.265𝐾𝑜 1Luis Edo García Jaimes𝐾𝑜 0.79
RESPUESTAS DEL SISTEMA CONTROLADO CON Y SINFACTOR DE CORRECCIÓN DE ERRORRespuesta sin factor de correcciónRespuesta con factor de correcciónLuis Edo García Jaimes
SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADORLa figura muestra un sistema de control por realimentación del estado en el cual seutiliza un integrador adicional para estabilizar adecuadamente el sistema y mejorarsu exactitudr(k)v(k) - Kiu(k) B-x(k 1) z-1x(k)y(k)C z-1AK1 q(k)BK1q(k 1) z-1q(k)C y(k) - ALSistema tipo servo con integradorLuis Edo García Jaimes
DISEÑO DEL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADORLa ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son,respectivamente:𝑥(𝑘 1) 𝐴𝑥(𝑘) 𝐵𝑢(𝑘)𝑦(𝑘) 𝐶𝑥(𝑘)La ley de control para el sistema es:𝑢(𝑘) 𝐾1 𝑥(𝑘) 𝐾𝑖 𝑣 (𝑘)𝑣 (𝑘) 𝑟(𝑘) 𝑦(𝑘) 𝑣(𝑘 1)Para realizar el diseño, utilizando la técnica de asignación de polos, se debe estimarla matriz 𝐾𝑖 correspondiente al integrador y la matriz 𝐾1 correspondiente a la matrizde ganancia de realimentación.Luis Edo García Jaimes
ECUACIONES DE DISEÑO PARA EL SISTEMA TIPOSERVO CON INTEGRADORPara el cálculo de las matrices 𝐾1 y 𝐾𝑖 se utiliza la ecuación:𝐾1 𝐾𝑖 𝐾 0 𝐼𝑚𝐾 00 1 𝐵𝐴 𝐼𝑛 𝐵𝐶𝐴 𝐶𝐵𝐴𝐵2𝐴 𝐵 1 𝑛 1 𝐵𝐴 1𝜙 𝐴 𝐴 𝐴𝑛 𝛼1 𝐴𝑛 1 𝛼2 𝐴𝑛 2 𝛼𝑛 𝐼𝛼1 , 𝛼2 𝛼𝑛 : son los coeficientes de la ecuación característica deseada.𝐴 𝐵𝐴 0 0(𝑛 𝑚 ) (𝑛 𝑚 )0𝐵 𝐼𝑚(𝑛 𝑚 ) 𝑚Conocidas las matrices 𝐾1 y 𝐾𝑖 , la ley de control para el sistema está dada por:𝑈(𝑧) 1 𝐾1 𝑧𝐼 𝐴 𝐿𝐶 1𝐵 1𝐾𝑖 𝑧 𝑅(𝑧) 𝑌(𝑧) 𝐾1 (𝑧 1) 𝑧𝐼 𝐴 𝐿𝐶𝑧 1 1𝐿𝑌(𝑧)La matriz 𝐿, correspondiente a la matriz de ganancia del observador, se calcula enla misma como la del observador de orden completo con la fórmula de Ackerman.Luis Edo García Jaimes
EJEMPLO DISEÑO SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADORSea el tanque con agitador representado en la figura.El objetivo es controlar la temperatura 𝑇𝑜 del fluido de salida 𝑓𝑜 , manipulando elcaudal de vapor 𝑞𝑖 que pasa a través del serpentín. Mediante la aplicación de unaentrada en forma de escalón, se obtuvo la función de 𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%)𝑇0 (𝑆) 2.5𝑒 20.3𝑆 Flujo de vapor (%)𝑄𝑖 (𝑆) 75.4𝑆 1Diseñe para el sistema un controlador tipo servo con integrador para regular latemperatura del tanque. (Tiempo en s)Luis Edo García Jaimes
SOLUCIÓN: DISCRETIZACIÓN DEL SISTEMASelección del periodo de muestreo:0.2(𝜏𝑒𝑞 𝜃 ′ ) 𝑇 0.6(𝜏𝑒𝑞 𝜃 ′ )𝜏𝑒𝑞 Cons
SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO LUIS EDO GARCÍA JAIMES POLITÉCNICO COLOMBIANO J.I.C PRIMERA PARTE Luis Edo García Jaimes. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL . Para los sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la ecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así: T G 1 G G U G G G
