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Funciones uno-uno, sobre ybiunívocasLa inversa (biunívocas) de una función es una regla que actúa en la salida de lafunción y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa deshace o invierte loque ha hecho la función. No todas la funciones tienen inversas; las que sí tienense llaman funciones uno a uno.Funciones uno a uno. Compárense las funciones f y g cuyos diagramas de flechase muestran en la figura:Hay que observar que f nunca toma el mismo valor 2 veces (dos númeroscualesquiera en A tienen imágenes diferentes), mientras que g toma el mismovalor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma imagen, 4). En símbolos, g(2) g(3) pero f(x1) f(x2) siempre que x1 x2. Las funciones que tienen esta últimapropiedad se llaman uno a uno.Una función con dominio A se le llama función uno a uno si no hay doselementos de A que tengan la mima imagen, es decir,f(x1) f (x2) siempre que x1 x2Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es esta:Si f(x1 ) f(x2), entonces x1 x2.Si una recta horizontal cruza la gráfica de f en más de un punto, entonces sepuede observar en la figura:
Que hay números x1 x2 tales que f(x1) f(x2). Esto significa que f no es uno auno. Por lo tanto, se tiene el siguiente método geométrico para determinar si unafunción es uno a uno.Prueba de la recta horizontal. Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna rectahorizontal su grafica más de una vez.Ejemplo 1. Decidir si es una función uno a uno.¿La función f(x) x3 es uno a uno?Solución 1: si x1 x2, entonces x31 x32 (dos números diferentes no pueden tenerel mismo cubo). Por lo tanto, f(x) x3 es uno a uno.Solución 2: en la figura se puede observar que ninguna recta horizontal cruza lagráfica de f(x) x3 más de una vez. Por lo tanto, mediante la prueba de la rectahorizontal, f es uno a uno.Observe que la función f del ejemplo 1 es creciente uno a uno. De hecho se puedeprobar que toda función creciente y toda función decreciente es uno a uno.
Ejemplo 2. A continuación se muestra si es una función uno a uno.¿La función g(x) x2 es uno a uno?Solución 1: Esta función no es uno a uno porque por ejemplo,𝑔 1 1Y𝑔 1 1por lo tanto, 1 y -1 tienen la misma imagen.Solución 2: En la figura se puede observar que hay rectas horizontales quecruzan la gráfica de g más de una vez. Por lo tanto, la prueba de la rectahorizontal, g no es uno a uno.Aunque la función g del ejemplo 2 no es uno a uno, es posible restringir sudominio de modo que la función resultante sea uno a uno. De hecho si se define 𝑥 𝑥2 , 𝑥 0Entonces h es uno a uno como se puede observar en la siguiente figura.Y la prueba de la recta horizontal.Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funcionesque poseen funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición:
Definición. Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f-1tiene dominio B y rango A y está definida por𝑓 1 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦Para cualquier y en B.Esta definición establece que si f envía x a y, entonces 𝑓 1 envía a y de nuevo a x.(Si f no fuera uno a uno, entonces 𝑓 1 no estaría definida de manera única.) Eldiagrama de flecha de la figura indica que 𝑓 1 invierte el efecto de f.De la definición se tiene:Dominio de 𝑓 1 a rango de f.Rango de 𝑓 1 dominio de f.Ejemplo 3. Encuentre 𝑓 1 para valores específicosSi f(1) 5, f(3) 7 y f(8) -10 encuentre 𝑓 1 (5), 𝑓 1 (7), 𝑓 1 (-10).Solución de la definición de 𝑓 1 se tiene:En la siguiente figura se muestra cómo 𝑓 1 invierte el efecto de f en este caso.
Por definición la función 𝑓 1 deshace lo que hace f si se empieza con x, se aplicaf, y luego se aplica 𝑓 1 , se llega de nuevo a x, donde se inició. De manera similar,f deshace lo que hace 𝑓 1 . En general, cualquier función que invierte el efecto de fen esta forma debe ser la inversa de f. estas funciones se expresan con precisióncomo siguen.Nota. Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa 𝑓 1 satisface lassiguientes propiedades de cancelación.𝑓 1 𝑓 𝑥 𝑥 Para toda x en A𝑓 𝑓 1 𝑥 𝑥 Para toda x en B.A la inversa, cualquier función 𝑓 1 que satisfacen estas ecuaciones es la inversa de f.Estas propiedades indican que f es la función inversa de 𝑓 1 , por lo tanto se diceque f y 𝑓 1 son inversas entre sí.FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONESGRÁFICASLas funciones se clasifican como:Inyectiva. Si a cada elemento del dominio le asocia un único elemento del rango ya cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio(biunívoca).
Suprayectiva o sobreyectiva. Cuando el rango y el contra dominio son iguales.Biyectiva. Son inyectivas y suprayectivas a la vez.Ejemplo.1. Dar un ejemplo de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.Inyectiva f(x) 10x 7Df: Rf: Suprayectiva f(x): x3Df: Rf: Biyectiva f(x): 6xDf: Rf: Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de paresordenados:{(𝑥, 𝑓 𝑥 ) 𝑥 𝐴}En otras palabras la gráfica f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que 𝑦 𝑓(𝑥);es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación 𝑦 𝑓(𝑥).La gráfica de una función f da un cuadrado del comportamiento o “historia de vida”de la función. Se puede leer el valor de f(x) de la gráfica como la altura de lagráfica arriba del punto x.
Una función f de la forma 𝑓 𝑥 𝑚𝑥 𝑏 se llama función lineal, porque su gráficaes la de la ecuación 𝑦 𝑚𝑥 𝑏, que representa una recta con pendiente m yordenada al origen b. Un caso especial de una función lineal se presenta cuandola pendiente es m 0. La función f(x) b, donde b es un determinado número, sellama función constante porque todos sus valores son el mismo número, a saber,b.Su gráfica es la recta horizontal y b. En la figura se muestra las gráficas de lafunción constante f(x) 3 y la función lineal f(x) 2x 1.Ejemplo:Graficación de funciones.Se muestra a continuación la siguiente función.𝑓 𝑥 𝑥2 , 𝑔 𝑥 𝑥3 , 𝑥 𝑥Solución: primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntoexpresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica.Como se muestra en la siguiente figura.
Una forma conveniente de graficar una función es utilizar una calculadora degraficación.
Esta definición establece que si f envía x a y, entonces 1 envía a y de nuevo a x. (Si f no fuera uno a uno, entonces 1 no estaría definida de manera única.) El diagrama de flecha de la figura indica que 1 invierte el efecto de f. De la definición se tiene: Dominio de 1 a rango de f. Rango de 1 dominio de f. Ejemplo 3.
