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SERIE # 2CÁLCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 1 1) Calcular las coordenadas del punto P de la curva: r t 1 2 t i ( t 2 ) j 2 e2 t 1 ken el que el vector r t es paralelo a r t .SOLUCIÓNP 1, 1 , 2 2) Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria cuya ecuación vectorial esr t (et cos t ) i (et sent ) j , donde t es el tiempo. Demostrar que el ángulo entre el vectorde posición y el vector velocidad es constante y determinar el valor de dicho ángulo.SOLUCIÓN 4 x2 y 2 93) Determinar una ecuación vectorial de la curva: C : . Trazar la gráfica de C . 3 x ySOLUCIÓNr (3) i (1) k yr (3) j (1) k , dibujo a criterio del profesor.4) Determinar si la curva de ecuación vectorial r (t ) (sent ) i (cos t ) k está contenida enun plano.SOLUCIÓNLa curva es plana.25) Sea C la curva de ecuaciones paramétricas x t , y t 2 , z t 3 .3Calcular:a) La curvatura de Cb) La torsión de C

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 2SOLUCIÓN2 44 t 4 t2 12 44 t 4 t2 16) Sea la curva dada por r (t ) ( t 3 t 2 ) i ( t 2 2 t 3 ) j 3 t 2 ka) Comprobar que dicha curva es plana.b) Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene a dicha curva.SOLUCIÓNa) A criterio del profesor.b) 2 x y z 07) Sea C la curva c: r (t ) (2 t )i (1 t 2 ) j (3t t 2 )k. Determinar si la curva es plana;en caso afirmativo, obtener la ecuación cartesiana del plano que la contiene.SOLUCIÓNLa curva C es plana y está contenida en el plano z 3x y 7.8) Dada la curva C cuya ecuación vectorial es obtener las coordenadas del centro de la2 2 circunferencia de curvatura de C en el punto: r t 2 t t 3 i 2 t 2 j 2 t t 3 k3 3 Obtener las coordenadas del centro de la circunferencia de curvatura de C en8 4el punto P , 2 , .3 3SOLUCIÓN8 20C - , 2 , 3 39) Calcular el radio de curvatura del tiro parabólico en el punto más alto. La ecuación de laposición de la partícula es: r (t ) 4 6t i 6 8t 5t 2 j .

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 3SOLUCIÓN36 3.610 1 1 t 1 t 10) Sea la curva C de ecuación vectorial r t et sent i e j e cos t k . 2 2 2 a) Obtener la ecuación vectorial de C en términos de su longitud de arco s de modoque cuando s 1 se tiene que t 0.b) Calcular el vector tangente unitario a la curva C en el punto t .SOLUCIÓN s s s a) r s sen ln s i j cos ln s k 2 2 2 111, )b) ( , 22211) La ecuación vectorial de una curva C, que se genera por la intersección de un cilindro t2 t i t2 j t kparabólico y un plano, está dada por: r t 2 32 a) Obtener las ecuaciones de las superficies citadas.dr1 i 2j k.dt6c) La ecuación del plano osculador para la condición anterior.b) Obtener el vector normal principal a r t cuandoSOLUCIÓNa) Ecuación del plano: 6 x 2 y 3z 12 .1b) 48 i 33 j 74 k 248 332 742c) 6 x 2 y 3z 12 Ecuación del cilindro: y z2 .12) Sea la curva C : r (s) sen s , 0, cos s , donde s es el parámetro longitudde arco. Determinar, para el punto P 0,0, 1 que pertenece a la curva:

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 4a)b)c)Los vectores T , N y B .La curvatura y la torsión de la curva.La ecuación cartesiana del plano osculador.SOLUCIÓNa) T 1,0 ,0 , N (0,0,1), B(0, 1,0).b) k 1, 0.c) Plano osculador: y 0.13) Sea C la curva cuya ecuación vectorial esr t 2t 2 2 i at 3 t 3 j t 4 t 2 4 k .a) Determinar el valor de la constante a de modo que C sea plana.b) Calcular la curvatura de C en el punto donde t 1 .SOLUCIÓNa) a 14b)13 1314) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es: r t t i t 2 j t 3k .a) Calcular la curvatura y torsión de la curva C en el punto P 2 ,4 ,8 .b) Determinar si la curva C es plana.SOLUCIÓNa) 724161 3; 3181b) La curva no es plana.15) Calcular la curvatura de la hélice circular r t a cos t i a sent j bt k para a 0 .SOLUCIÓNa 2a b 2

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 516) La ecuación vectorial de una curva C está dada por: r t t i t 2 j 4 t 2 t k .a) Obtener el vector normal .b) Determinar si la curva es plana y en caso afirmativo obtener la ecuación del planoque la contiene.SOLUCIÓNa) 1 4t i 2 2t j 2t 1 k24 t 2 12 t 6b) Plano osculador x y z 4 0 .17) Demostrar qued d .ds dsSOLUCIÓNA criterio del profesor.18) Calcular la curvatura de la elipse de ecuación:x2y2 1.a2b2SOLUCIÓNa 4b 4 .4 24 2 32ay bx x2 y 2 z19) Sea la curva C : . Determinar los vectores , , y xcurvatura y la torsión de la curva, para el punto P 1 , 1 , 2 .SOLUCIÓN14 1 ,, ; 18 18 18 2 2 1 , , ; 3 3 3 1 1 , , 0 ;2 2y , así como la 2;27 0 .

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 620) Sea la curva C representada por:x y C: 22 x y 4 zDeterminar, para el punto P( 0,0,4) :a) Los vectores , y .b) La curvatura y la torsión.c) La ecuación cartesiana del plano oscular y la del plano rectificante.SOLUCIÓN 1,1, 0 ; 0, 0, 1 ; 1,1, 0 a) 22b) 2; 0c) plano oscular: x y ;plano rectificante: z 421) Sea la curva C representada por: r t t sen t i cos t jDeterminar: a) El triedro móvil de vectores T , N y B en el punto P , 1 .b) Si r t es una función vectorial de módulo constante.c) La longitud de la curva entre los puntos A 0, 1 y B 2 , 1 .SOLUCIÓNa) T i, N j, B k.drb) r 0 r t no es módulo constante.dtc) 4 u. de longitud22) Sea la curva C: r (r )er (6)e z en coordenadas cilíndricas circulares. Determinar si la curvaes plana; en caso afirmativo, determinar la ecuación del plano que la contiene.SOLUCIÓNC es plana y está contenida en el plano z 6 .

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 723) Sea la curva C: r (s) sen s, 3,cos s , donde “s” es el parámetro longitud de arco.Determinar, para el punto P 1,3,0 :a)b)c)d)e)Los vectores T , N y B .La curvatura y la torsión.La ecuación cartesiana del plano osculador.Las coordenadas del centro de curvatura.Unas ecuaciones cartesianas de la circunferencia de curvatura.SOLUCIÓNa) T 0,0,1 , N 1,0,0 , B 0,1,0 .b) k 1, 0.c) Plano osculador: y 3.d) C 0,3, 0 x 2 ( y 3) 2 z 2 1 x2 z 2 1o e) y 3 y 324) La posición de una partícula en movimiento está dada por: r t 2 t i 3 t 2 j 3k2donde t es tiempo. Obtener para el instante t 0.25 segundos: a) El vector velocidad v de la partícula, b) El vector tangente unitario a la trayectoria de la partícula. El vector aceleración normal a de la partícula.c) El vector aceleración tangencial aT de la partícula.d)SOLUCIÓN3a) v 2i j2N2 3b) T 2 i 5 2 j c) aT 72 54i j25 25d) an 72 96i j25 2525) La trayectoria de una partícula esta dada por la expresión r t 2 i t j t 3 k donde t esel tiempo. Calcular las componentes tangencial y normal de su aceleración en el puntodonde t 1.

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 8SOLUCIÓNa 5.88 2.33 ; aT 5.879747, aN 2.329929 .26) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva:C : r t cos t sent i sent cos t j ; t 0Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración.SOLUCIÓNaT 0; aN 227) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva C : x 2 - y 2 1 , con x 0 . Calcularlos vectores aceleración normal y aceleración tangencial en el puntoP 1, 0 .SOLUCIÓNaT 0, aN ( 1,0).28) Una partícula se desplaza a lo largo de una curva C: r (t ) tet i et j et k ,donde t es el tiempo. Calcular para el punto P e, e, e :a) Los vectores aceleración normal y aceleración tangencial.b) Los vectores T y N .SOLUCIÓNa) aT 8e, 4e, 4e ,b) T , N 3 2,1,1 6aN e, e, e 3 1, 1, 1 .329) Una partícula se desplaza a lo largo de la curva C representada por r r (t ), donde tes el tiempo. Si en el instante t t0 la rapidez es mínima, el módulo de la velocidad esigual a 1 y a (0,1,0), calcular la curvatura de la curva C en el punto para el cual t t0 .

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 9SOLUCIONk 1.30) La trayectoria de una partícula está dada por r (t ) (t ) i (t 2 ) j (4)k , donde t es eltiempo. Determinar las coordenadas del punto P en el cual las componentes normal ytangencial de la aceleración son iguales entre sí.SOLUCIÓN 1 1 P , , 4 2 4 31) Calcular el ángulo de intersección entre las superficies:S1 : 5 x y 3z2 0yen el punto A 1, 2,1 . x u S2 : y v uv z 4u v SOLUCIÓN 90 32) Sean la parábola C y la superficie S definidas por las ecuacionesC : r1 (t ) t 2 2t 1 i t kS : r2 (u, v) sec(u ) cos(v) i tan(u ) j sec(u) sen(v) kEl punto de intersección de C con S es el vértice de la parábola. Determinar el ángulode intersección entre la curva C y la superficie S.SOLUCIÓN 90

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 1033) Calcular el ángulo de intersección entre la superficie S y la curva C, cuyasecuaciones vectoriales son:S : r1 u, v u 2 v i 5 u v j v 2 u kC : r2 t 3 3 t i 5 5 t 10 t 2 j 4 t 1 ken el punto donde v 1 .SOLUCIÓN 0 .34) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie cuya ecuaciónvectorial es r (u, v) (v3 u 2 ) i (3v 2u) j (uv 2v)k , en el punto P( 1, 2,0) .SOLUCIÓN35) Sea: r s, t 2 s i sent 2 s cos t j cos t 2 s sent k una ecuación vectorial dela superficie S .a) Identificar la superficie S. b) Obtener una ecuación vectorial del plano tangente a S en el punto P 1, 2, 0 .SOLUCIÓNa) Hiperboloide de un manto.b) 2 x 2 2 y 2 .36)LasuperficieS: r u,v secu cos v i tan u j secu senv kL : r t 1 t i 1 t j t 1 klarectase intersecan en el punto P 1,1,1 . Calcular elángulo que forman la recta L y la superficie S.SOLUCIÓN 90 y

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 1137) Dadas las superficies de ecuaciones vectorialesS1 : r s, t ( s cos t ) i (s sent ) j s 2 k , S2 : r u, v (3cos u) i (3 senu) j v k .Obtener los vectores , y 3, 0,9 .de la curva de intersección de S1 y S2en el puntoSOLUCIÓN j; i; k .38) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie de ecuaciones x y z en el punto (1, 3, 3) .paramétricas. S : x y z 1SOLUCIÓNx 3 y 3z 1 039) Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie S cuya ecuación vectorial es r u, v cos u sen v i senu sen v j cos v k con 0 u 2 y 0 v en el2 punto donde: u , v .4SOLUCIÓNx z 2 040) Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación vectorialr u, v u sen u cos v i u cos u cos v j u sen v k en el punto P 0, , 0 .SOLUCIÓNx y 2 0 .41) Sea la curva C que resulta de la intersección entre lasS1 : r s, t s t i 4 s t j s t k y S2 : r u, v u i v j 2 k .superficiesa) Identificar las superficies.b) A partir de las ecuaciones vectoriales de S1 y S2, determinar la ecuación cartesianadel plano normal a la curva C, en el punto P 0,-4,2 .

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 12SOLUCIÓNa) S1: paraboloide hiperbólico; S2: plano horizontalb) x 042) Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie representada porr u, v u v 1 i 2u 3v j u 2v 2 k , en el punto para el cual u 2 y v 1 .SOLUCIÓNx y z 1 0 .43) Determinar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie de ecuaciónr s, t 2 s t i 2 s t j 16 s t k en el punto P 2,-2,0 .SOLUCIÓN4x 4 y z 0 .S1 : x 2 y 3z 044)DemostrarquelassuperficiesS2 : r ( , ) (6cos sen ,6 sen sen ,6cos ) se intersecan en ángulo recto.ySOLUCIÓNA criterio del profesor.45) Determinar la expresión en coordenadas cilíndricas del vector de posición de cualquierpunto de la superficie: x 2 y 2 r 2 .SOLUCIÓNr (r ) eˆr ( z ) eˆz u y x46) Sea la transformación T : v x ya) Determinar si el sistema de coordenadas (u,v) es ortogonal.b) Obtener los factores de escala hu y hv .

CÁLCULO VECTORIALSERIE 2Página 13c) Determinar si el campo vectorial F u, v uv eu 2uv evconservativo.d) Obtener los vectores unitarios eu y ev .e) Transformar el vector a i j a la base eu , ev . SOLUCIÓNa) Sí es ortogonal.11hu , hv b)22F es conservativo. 1,1 , e 1,1 eu vd)22c)e)a i j 2 eu47) Sea la transformacióna)b)c)d)Determinar si el sistema de coordenadas (u,v) es ortogonal.Obtener las ecuaciones para la transformación inversa.Calcular los factores de escala hu y hv .Obtener los vectores unitarios eu y ev .SOLUCIÓNa) No es ortogonal.u 2v x 3b) y v u 3c) u x 2 yT : v x yhu 25, hv 33es