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BACHILLERATOUnidad 5. F órmulasy funciones trigonométricas1Fórmulas trigonométricasPágina 1311 Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:cos (α β) cos α cos β – sen α sen βcos (α – β) cos (α (–β)) cos α cos (–β) – sen α sen (–β) cos α cos β – sen α (–sen β) cos α cos β sen α sen β2 Demuestra II.3 a partir de tg (α β) tg (α – β) tg (α (–β)) tg a tg b.1 – tg a tg btg a tg (–b) (*) tg a (–tg b)tg a – tg b 1 – tg a tg (–b)1 – tg a (–tg b) 1 tg a tg bsen (–a) –sen a4 tg (–α) –tg α(*) Comocos (–a) cos a3 Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes:sen (α – β) sen α cos β – cos α sen βcos (α – β) cos α cos β sen α sen βsen a cos b cos a sen b–tg a – tg bsen (a – b) sen a cos b – cos a sen b (*) cos a cos b cos a cos b tg (α – β) cos (a – b) cos a cos b sen a sen bcos a cos b sen a sen b 1 tg a tg b cos a cos b cos a cos b(*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.4 Si sen 12 0,2 y sen 37 0,6, halla cos 12 , tg 12 , cos 37 y tg 37 . Calcula, a partir de ellas,las razones trigonométricas de 49 y de 25 , usando las fórmulas (I) y (II). sen 12 0,2cos 12 1 – sen 2 12 1 – 0, 04 0, 98tg 12 0, 2 0, 20, 98 sen 37 0,6cos 37 1 – sen 2 37 1 – 0, 36 0, 8tg 37 0, 6 0, 750, 8 49 12 37 , luego:sen 49 sen (12 37 ) sen 12 cos 37 cos 12 sen 37 0,2 · 0,8 0,98 · 0,6 0,748cos 49 cos (12 37 ) cos 12 cos 37 – sen 12 sen 37 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 0,664tg 49 tg (12 37 ) tg 12 tg 37 0, 2 0, 75 1, 121 – tg 12 tg 37 1 – 0, 2 · 0, 75cPodría calcularse tg 49 sen 49 m .cos 49 1Matemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricas 25 37 – 12 , luego:sen 25 sen (37 – 12 ) sen 37 cos 12 – cos 37 sen 12 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 0,428cos 25 cos (37 – 12 ) cos 37 cos 12 sen 37 sen 12 0,8 · 0,98 0,6 · 0,2 0,904tg 25 tg (37 – 12 ) tg 37 – tg 12 0, 75 – 0, 2 0, 4781 tg 37 tg 12 1 0, 75 · 0, 25 Demuestra esta igualdad:cos (a b) cos (a – b) 1sen (a b) sen (a – b) tg acos (a b) cos (a – b) cos a cos b – sen a sen b cos a cos b sen a sen b sen (a b) sen (a – b) sen a cos b cos a sen b sen a cos b – cos a sen b 2 cos a cos b cos a 12 sen a cos b sen a tg a6 Demuestra las fórmulas (III.1) y (III.3) haciendo α β en las fórmulas (I).sen 2α sen (α α) sen α cos α cos α sen α 2 sen α cos αtg 2α tg (α α) tg a tg a2 tg a 1 – tg a tg a 1 – tg 2 a7 Halla las razones trigonométricas de 60 usando las de 30 .sen 60 sen (2 · 30 ) 2 sen 30 cos 30 2 · 1 · 3 32 2222cos 60 cos (2 · 30 ) cos 2 30 – sen 2 30 e 3 o – c 1 m 3 – 1 2 1224 4 4 2tg 60 tg (2 · 30 ) 2 tg 30 2 · 3 /3 2 · 3 /3 2 · 3 /3 32/31 – tg 2 30 1 – ( 3 /3) 2 1 – 3/98 Halla las razones trigonométricas de 90 usando las de 45 .sen 90 sen (2 · 45 ) 2 sen 45 cos 45 2 · 2 · 2 12 2cos 90 cos (2 · 45 ) tg 90 tg (2 · 45 ) cos 245 –sen 22245 e 2 o – e 2 o 0222 tg 45 2 · 1 No existe.1 – tg 2 45 1 – 19 Demuestra que: 2 sen a – sen 2a 1 – cos a2 sen a sen 2a 1 cos a2 sen a – sen 2a 2 sen a – 2 sen a cos a 2 sen a (1 – cos a) 1 – cos a2 sen a sen 2a 2 sen a 2 sen a cos a 2 sen a (1 cos a) 1 cos aPágina 132Hazlo tú. Halla cos 15 y tg 15 .cos 15 cos 30 1 cos 30 1 3 /2 2 32224tg 15 1 – cos 30 1 – 3 /2 2 – 3 2 – 31 cos 30 1 3 /22 32BACHILLERATOMatemáticas I
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATO10 Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV.1, IV.2 y IV.3. cos α cos b2 · a l cos 2 a – sen 2 a222Por la igualdad fundamental:cos 2 a sen 2 a 1 8 1 cos 2 a sen 2 a2222De aquí:a) Sumando ambas igualdades:1 cos a 2 cos 2 a 8 cos 2 a 1 cos a 8 cos a 1 cos a22222ªªb) Restando las igualdades (2. – 1. ):1 – cos a 2 sen 2 a 8 sen 2 a 1 – cos a 8 sen a 1 – cos a22222 Por último: 1 – cos a(a/)sen2a2 1 – cos atg 2 cos (a/2) 1 cos a1 cos a211 Sabiendo que cos 78 0,2, calcula sen 78 y tg 78 . Averigua las razones trigonométricas de39 aplicando las fórmulas del ángulo mitad. cos 78 0,2sen 78 1 – cos 2 78 1 – 0, 2 2 0, 98tg 78 0, 98 4, 90, 2 sen 39 sen 78 1 – cos 78 1 – 0, 2 0, 63222cos 39 cos 78 1 cos 78 1 0, 2 0, 77222tg 39 tg 78 1 – cos 78 1 – 0, 2 0, 821 cos 78 1 0, 2212 Halla las razones trigonométricas de 30 a partir de cos 60 0,5. cos 60 0,5 sen 30 sen 60 1 – 0, 5 0, 522cos 30 cos 60 1 0, 5 0, 86622tg 30 tg 60 1 – 0, 5 0, 5771 0, 5213 Halla las razones trigonométricas de 45 a partir de cos 90 0. cos 90 0 sen 45 sen 90 1 – 0 1 2222 2cos 45 cos 90 1 0 2222tg 45 tg 90 1 – 0 1 11 023Matemáticas I
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I14 Demuestra esta igualdad: 2 tg α · sen 2 a sen α tg α22 tg a · sen 2 a sen a 2 tg a · 1 – cos a sen a sen a (1 – cos a) sen a sen a c 1 – cos a 1m 22cos acos a sen a c 1 – cos a cos a m sen a · 1 sen a tg acos acos a cos a15 Demuestra la siguiente igualdad:2 sen a – sen 2a tg 2 a2 sen a sen 2a22 sen a – sen 2a 2 sen a – 2 sen a cos a 2 sen a (1 – cos a) 1 – cos a tg 2 a2 sen a sen 2a 2 sen a 2 sen a cos a 2 sen a (1 cos a) 1 cos a2Página 13316 Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: Expresa en función de α y β:cos (α β) cos (α – β) Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores:a b A4a – b B cos (α β) cos α cos β – sen α sen βcos (α – β) cos α cos β sen α sen βSumando cos (α β) cos (α – β) 2 cos α cos β (1)Restando cos (α β) – cos (α – β) –2 sen α sen β (2) Llamandoa b A4 8 a A B , b A – B (al resolver el sistema)a – b B22 Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:(1) cos A cos B 2 cos A B cos A – B22(2) cos A – cos B –2 sen A B sen A – B2217 Transforma en producto y calcula.a) sen 75 – sen 15 b) sen 75 sen 15 c) cos 75 – cos 15 a) sen 75 – sen 15 2 cos 75 15 sen 75 – 15 2 cos 45 sen 30 2 · 2 · 1 2222 2 2b) sen 75 sen 15 2 sen 75 15 cos 75 – 15 2 sen 45 cos 30 2 · 2 · 3 6222 22c) cos 75 – cos 15 –2 sen 75 15 sen 75 – 15 –2 sen 45 cos 30 –2 · 2 · 3 – 6222 2218 Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica elresultado:sen 4a sen 2acos 4a cos 2a2 sen 4a 2a cos 4a – 2asen 4a sen 2a 22 2 sen 3a tg 3acos 4a cos 2a 2 cos 4a 2a cos 4a – 2a 2 cos 3a2a4
Unidad 5.2BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas IEcuaciones trigonométricasPágina 134Hazlo tú. Resuelve sen (α 30 ) 2 cos α.sen (α 30 ) 2 cos αsen α cos 30 cos α sen 30 2 cos α1 sen a 3 cos a 2 cos a22Dividimos los dos miembros entre cos α:1 tg a 3 2 8 tg a 3 4 8 tg a 4 – 322a 1 66 12' 22''Soluciones: *a 246 12' 22''2Hazlo tú. Resuelve cos α sen 2α.cos α sen 2αcos α 2 sen α cos α cos α – 2 sen α cos α 0 cos α (1 – 2 sen α) 0cos a 0 8 a 1 90 , a 2 270 Posibles soluciones: *1 – 2 sen a 0 8 sen a 1 8 a 3 30 , a 4 150 2Al comprobarlas sobre la ecuación inicial, vemos que las cuatro soluciones son válidas.Página 135Hazlo tú. Resuelve sen 3α – sen α 0.sen 3α – sen α 02 cos 3a a sen 3a – a 0 8 2 cos 2a sen a 0 8 cos 2a sen a 022Z]2a 90 8 a 1 45 ]2a 270 8 a 2 135 Si cos 2α 0 [2a 90 360 450 8 a 225 3]]2a 270 360 630 8 a 315 4\Si sen α 0 α5 0 , α6 180 1 Resuelve.a) tg α – 3c) sen 2 α 1b) sen α cos αa) x 120 k · 360 o bien x 300 k · 360 Las dos soluciones quedan recogidas en:x 120 k · 180 2π k π rad x con k 3b) x π k π rad con k 4c) Si sen x 1 8 x π 2k π rad24 x π2 k π rad con k π3Si sen x –1 8 x 2k π rad25d) sen α tg α
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricasBACHILLERATOd) En ese caso debe ocurrir que:O bien sen x 0 8 x k π rad3 x k π rad con k O bien cos x 1 8 x 2k π rad2 Resuelve estas ecuaciones:a) 2 cos 2 α cos α – 1 0b) 2 sen 2 α – 1 0c) tg 2 α – tg α 0d) 2 sen 2 α 3 cos α 3a) cos a –1 1 8 –1 3 441/2 8 a 1 60 , a 2 300 –1 8 a 3 180 Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).b) 2 sen 2 a – 1 0 8 sen 2 a 1 8 sen a 1 2222 Si sen a 2 8 a 1 45 , a 2 135 2 Si sen a – 2 8 a 3 – 45 315 , a 4 225 2Todas las soluciones son válidas.c) tg 2 α – tg α 0 tg α (tg α – 1) 0tg a 0 8 a 1 0 , a 2 180 tg a 1 8 a 3 45 , a 4 225 Todas las soluciones son válidas.(*)d) 2 sen 2 α 3 cos α 3 2(1 – cos 2 α) 3 cos α 3(*) Como sen 2 α cos 2 α 1 sen 2 α 1 – cos 2 α2 – 2 cos 2 α 3 cos α 3 2 cos 2 α – 3 cos α 1 01cos α 3 9 – 8 3 1 1/244Entonces: Si cos α 1 α1 0 Si cos α 1 α2 60 , α3 –60 300 2Las tres soluciones son válidas.3 Transforma en producto sen 5α – sen 3α y resuelve después la ecuación sen 5α – sen 3α 0.sen 5α – sen 3α 0 2 cos 5a 3a sen 5a – 3a 0 8 2 cos 8a sen 2a 0 82222cos 4a 08 2 cos 4a sen a 0 8 )sen a 0Z8 a 1 22 30']4a 90 ]4a 270 8 a 2 67 30' Si cos 4α 0 [4a 90 36 8 a 3 112 30']]4a 270 360 8 a 4 157 30'\ Si sen α 0 α5 0 , α6 180 Comprobamos que las seis soluciones son válidas.6Matemáticas I
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I4 Resuelve.a) 4 cos 2α 3 cos α 1b) tg 2α 2 cos α 0c) 2 cos (α/2) – cos α 1d) 2 sen α cos 2 α – 6 sen 3 α 0a) 4 cos 2α 3 cos α 1 4 (cos 2 α – sen 2 α) 3 cos α 1 4 (cos 2 α – (1 – cos 2 α)) 3 cos α 1 4 (2 cos 2 α – 1) 3 cos α 1 8 cos 2 α – 4 3 cos α 1 8 cos 2 α 3 cos α – 5 0 cos α –3 9 160 –3 13 161610/16 5/8 0, 625–1 Si cos α 0,625 α1 51 19' 4,13'', α2 –51 19' 4,13'' Si cos α –1 α3 180 Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.b) tg 2α 2 cos α 0 2 tg a 2 cos α 0 1 – tg 2 asen acos a cos α 0 2asen1–cos 2 a tg a cos α 0 1 – tg 2 a sen a cos a cos α 0 sen α cos α cos α (cos 2 α – sen 2 α) 0 cos 2 a – sen 2 a cos α (sen α cos 2 α – sen 2 α) 0 cos α (sen α 1 – sen 2 α – sen 2 α) cos α (1 sen α – 2 sen 2 α) 0 cos a 0 *1 sen a – 2 sen 2 a 0 8 sen a –1 1 8 –4–1/21 Si cos α 0 α1 90 , α2 270 Si sen α – 1 α3 210 , α4 330 –30 2 Si sen α 1 α5 90 α1Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.c) 2 cos a – cos α 1 2 21 cos a – cos α 1 21 cos a – cos α 1 1 – cos a 1 cos α 1 cos α 1 cos 2 α 2 cos α cos 2 α cos α 0 cos α (cos α 1) 0 Si cos α 0 α1 90 , α2 270 Si cos α –1 α3 180 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: α1 90 y α3 180 d) 2 sen α cos 2 α – 6 sen 3 α 0 2 sen α (cos 2 α – 3 sen 2 α) 0 2 sen α (cos 2 α sen 2 α – 4 sen 2 α) 0 2 sen α (1 – 4 sen 2 α) 0 Si sen α 0 α1 0 , α2 180 Si sen 2 α 1 sen α 1 α3 30 , α4 150 , α5 210 , α6 330 42Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.7
Unidad 5.Fórmulas y funciones trigonométricas5 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:a) sen (180 – α) cos (270 – α) cos 180 b) sen (45 – α) 2 sen α 0a) sen (180 – α) cos (270 – α) cos 180 sen 180 cos α – cos 180 sen α cos 270 cos α sen 270 sen α – 1sen α –sen α – 1 2 sen α –1 sen α – 1 α1 210 , α2 330 2b) sen (45 – α) 2 sen α 0sen 45 cos α – cos 45 sen α 2 sen α 0 2 cos a – 2 sen a 2 sen a 022cos α – sen α 2 sen α 0 cos α sen α 0Dividimos entre cos α:1 tg α 0 tg α –1 α1 135 , α2 315 8BACHILLERATOMatemáticas I
Unidad 5.3BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas IFunciones trigonométricasPágina 1371 ¿Verdadero o falso?a) El radián es una medida de longitud equivalente al radio.b) Un radián es un ángulo algo menor que 60 .c) Puesto que la longitud de la circunferencia es 2πr, un ángulo completo (360 ) tiene 2π radianes.d) 180 es algo menos de 3 radianes.e) Un ángulo recto mide π/2 radianes.a) Falso. El radián es una medida angular, no es una medida de longitud.b) Verdadero, porque un radián tiene 57 17' 45''.c) Verdadero, porque cada radián abarca un arco de longitud r .d) Falso. 180 es la mitad de un ángulo completo y equivale, por tanto, a π radianes, algo más de 3radianes.e) Verdadero. Un ángulo recto es la cuarta parte de un ángulo completo y tiene 2π π radianes.4 22 Pasa a radianes los siguientes ángulos:a) 30 b) 72 c) 90 d) 127 e) 200 f ) 300 Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:30 30 ·π rad π rad 0,52 rad1806a) 2π · 30 π rad 0,52 rad6360 b) 2π · 72 2π rad 1,26 rad5360 c) 2π · 90 π rad 1,57 rad2360 d) 2π · 127 2,22 rad360 e) 2π · 200 10π rad 3,49 rad9360 f ) 2π · 300 5π rad 5,24 rad3360 3 Pasa a grados los siguientes ángulos:a) 2 radd) 5π rad6c) π rad5f ) π radb) 0,83 rade) 3,5 rada) 360 · 2 114 35' 29,6''2πb) 360 · 0,83 47 33' 19,8''2πc) 360 · π 36 52πd) 360 · 5π 150 62πe) 360 · 3,5 200 32' 6,8''2πf ) 360 · π 180 2π9
Unidad 5.BACHILLERATOFórmulas y funciones trigonométricasMatemáticas I4 Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno y añade las razones trigonométricas (seno,coseno y tangente) de cada uno de los ángulos:grados0 30 210 225 radianes135 150 2π3π4radianesgrados60 90 π270 330 360 5π34π37π4La tabla completa está en la página 138 del libro de texto.Página 1385 ¿Verdadero o falso?a) Las funciones t
12 cosca os aa cos cos aa cos cos a 22 2 1 22 22 88 1 b) Restando las igualdades (2.ª – 1.ª): 12 cos a sens a 8 en aa cosc 8 sen aa os 22 2 1 22 – 22 –– 1 Por último: / / a a a a a a a cos cos cos cos tg sen cos 22 2 2 1 2 1 1 1 – – 11 Sabiendo que cos 78 0,2, calcula sen 78 y tg 78 . Averigua las razones trigonométricas de 39 .
