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Curso de Postgrado de ActualizacióActualizaciónModelado y Control de ProcesosEnfoque desde la teoríteoría de sistemas dinádinámicos ysistemas de control en variables de estadoVicente Costanzatsinoli@ceride.gov.arCentro de Aplicaciones InformáInformáticasen el Modelado de IngenieríIngeniería (CAIMI)UTN - Facultad Regional Rosario2008Bibliografía Bryson,Bryson, A.E.:A.E.: Applied Linear Optimal Control.Cambridge U. Press;Press; 2002.Faurre,Faurre, P.; Depeyrot,Depeyrot, M: Elements of SystemTheory.Theory. NorthNorth-Holland;Holland; 1977.Hirsch,Hirsch, M.W.;M.W.; Smale,Smale, S.: Differential Equations,Equations,Dynamical Systems,Systems, and Linear Algebra.Acadmic Press;Press; 1974.Kailath,Kailath, T.: Linear Systems.Systems. PrenticePrentice-Hall; 1980.Kalman, R.E.;R.E.; Falb,Falb, P.L.;P.L.; Arbib, M.A.:M.A.: Topics inMathematical System Theory.Theory. McGrawMcGraw-Hill; 1969.Khalil,Khalil, H.: Nonlinear Systems.Systems. PrenticePrentice-Hall 2002.Lee, T.H.etal.:ComputerProcessControl:T.HModeling and Optimization.Optimization. Wiley,Wiley, 1968.1

continúa BibliografícontinúBibliografíaLjung,Ljung, L.: System Identification: Theory for theUser, 2nd Edition. PrenticePrentice-Hall, 1998.Maciejowsky,Maciejowsky, J.M.:J.M.: Multivariable FeedbackDesign.Design. AddisonAddison-Wesley;Wesley; 1989.MATLAB. Especialmente “Control SystemToolbox”Toolbox” y “Simulink”Simulink”.Øksendal,ksendal, B.: Stochastic Differential ; 2005.Sontag, E.D.:E.D.: Mathematical Control Theory.Theory.SpringerSpringer-Verlag;Verlag; 1998.Stephanopoulos,Stephanopoulos, G.: Chemical Process Control.PrenticePrentice-Hall, 1984.Strogatz,Strogatz, S.H.: Nonlinear Dynamics and Chaos.Perseus Books,Books, 1998.Zhou, K.: Robust and Optimal Control. PrenticePrenticeHall, 1996.IntroducciónObjetivo principal: presentar herramientasmatemámatemáticas que atraviesan las etapas demodelado, diseñdiseño, simulaciósimulación y control de losprocesos industriales, para:(i) mejorar el funcionamiento dinádinámico de losprocesos bajo criterios comunes al diseñdiseño enestado estacionario (optimizacióónestá(optimizaciestática), y(ii) determinar estrategias óptimas para losprocesos que se apartan del equilibrio (procesosen lotes –batchbatch-, arranque y parada de plantas)donde importan los aspectos no lineales.2

Algunos temas a tratar Contexto matemámatemático de los sistemas de controlen variable de estado. DináDinámica de sistemas:equilibrios, controlabilidad, observabilidad,feedback, estabilidad y estabilizacióestabilización.Problema del regulador lineallineal-cuadrácuadrático óptimo(LQR) y ecuaciones de Riccati, tracking.Sistemas no lineales. Ecuaciones de Hamilton,ecuacióecuación de HamiltonHamilton-JacobiJacobi-Bellman. Control decambios de setset-point en presencia dealinealidades.alinealidades. Tratamiento de restricciones.Tratamiento del ruido en las señseñales eincertidumbres en los paráparámetros del modelo.Filtro de KalmanKalman-Bucy.Bucy.Consultas preliminares a los alumnos Preguntarpor el tipo deinscripciones: becarios de Conicet,de Foncyt, docentes UTN, etc. Disposición de Matlab y Simulink. Utilización de álgebra lineal yherramientas matemáticas en eltrabajo habitual. Contacto previo con instrumentacióny control de procesos. Contestar a tsinoli@ceride.gov.ar3

Modelo típico de SimulinkPrimeras clases Sistemasdinámicos. Sistemas de control. Álgebra Lineal: autovalores,exponenciales, matrices ortogonales(simétricas), raíz cuadrada,integración de ecuacionesdiferenciales. Ejercicios introductorios en MATLAB.4

Génesis del problema de controlUn problema técnico-económicorelacionado con procesos de IngenieríaQuímica conduce, como se vió en loscursos anteriores, a una formulaciónmatemática que involucra, en general:(i) ecuaciones descriptivas de la dinámicadel proceso (o sea de su evolucióntemporal) y de sus “estados estacionarios”(ii) evaluación económica del proceso y desus resultadosObjetivos usuales en la evaluacióneconómica del proceso Maximizarganancia Minimizar costos Minimizar el tiempo de proceso Maximizar la calidad de los productos REFLEXIONES: algunos de estoscriterios son incompatibles entre sí.¿Puede elaborarse un “costo”generalizado a minimizar, quecontemple todos los factores?5

Etapas frecuentes1)Enfoque puramente técnico: Análisis Modelación Control2)Enfoque con énfasis económico: Optimización estática ControlÓptimoInterpretación del término “control”Una vea que se tiene un modelo deproceso, en general se hacen simulacionespara “validarlo” Si alguna variable del modelo puede ser“manipulada” para modificar elfuncionamiento del proceso, dicha variablees un posible “control” “Controlar el proceso” es decidir cómomanipular las variables a disposición 6

Optimización estática y dinámicaUna vez adoptada la configuración(flow-sheet) del proceso, laoptimización estática tiende a elegirlos “valores de trabajo” de lasvariables. En el caso de procesoscontinuos, dichos valores se “deben”mantener “constantes” mediante lamanipulación de las variables decontrol. Los valores de arranque yllegada juegan el mismo papel en losprocesos batch.Distintas configuraciones del sector“Control de Procesos” Controladores Control Control Control Control Control Control Controlanalógicos o digitales“feedforward”, “feedback”local o centralizado“SISO” o “MIMO”. Decouplingdeterminístico o estocásticolineal y/o no-linealóptimo y/o control robusto.adaptativo7

Relaciones entre optimización estática y dinámicaControl local (single-loop)8

Control centralizado (Multiple-loops)Criterios de optimización dinámicaHemos visto que, en general, laadopción de los valores de trabajodepende de la maximización de una“utilidad” (o la minimización de un“costo”) generalizados. El caso típico parala optimización dinámica es:COSTO TOTAL Costos de proceso durantesu trascurso Desviación de lasexpectativas finales.9

COSTO TOTAL1)2)Costos de proceso: gastos de energía,mantenimiento de equipos, costo delmonitoreo de las condiciones defuncionamiento, requerimientosambientales, desviación del equilibrio ode la trayectoria de referencia, etc.Desviaciones de las expectativas:penalizaciones por no conseguir lapureza del producto deseada, lavelocidad de producción, el cumplimientode los plazos planificados, etc.Cómo se quiere controlar Tradicionalmente se equiparóequiparó “control”control” con“regulacióregulación” o con “estabilizacióestabilización”, se pensópensó quetodos los sistemas eran lineales, y que estasfunciones del control eran alcanzables concontroladores PID.A veces se presenta un objetivo como único(obtener mámáxima produccióproducción, o mámáxima pureza),dependiendo del sector de la empresa quemaneja el problema.Pero pueden haber otros objetivos, a vecescontrapuestos, y por eso conviene interactuarcon todos los equipos de trabajo, y/o participarde las distintas etapas de la soluciósolución.10

Más sobre “cómo” controlarRegulación implica mantener algo “enregla”, en general esto se interpreta comomantener un proceso en funcionamientoestable, sin que se alteren sus condiciones Éste u otros objetivos deben poderexplicitarse a través de los términos yvariables que aparecen en el modelomatemático y que son “medibles”. Porejemplo, las concentraciones de especiesquímicas no son accesibles en todo tiempo Tipos de modelos Dimensiónfinita. ODEs Dimensión infinita. PDEs Modelos lineales y no lineales, entiempo continuo o discreto, etc. Materiales con “memoria”.Ecuaciones integrales Modelos estocásticos11

Un ejemplo típico de “modelo” determinístico,de dimensión finita, tiempo continuo, no lineal.El “reactor tanque agitado” (CSTR) es unaidealización de un recipiente defuncionamiento continuo donde transcurreuna reacción química. Se asume que la agitación es tan perfectoque la concentración es uniforme dentrodel tanque. Además, la concentración de laalimentación se transforma“instantáneamente” en la concentracióndentro del tanque, que a su vez es laconcentración de salida Reactor Tanque Agitado(Continuous Stirred Tank Reactor - CSTR)12

Modelación del sistema CSTREcuaciones de la “dinámica”ξ T ξ r (ξ , T ) (balance de masa)θTf Tθ J r (ξ , T ) Q (balance de energía)Significado de las variablesξ : grado de avance; ξc cfα; c : concentración de la especie A ;f : (feed, subínd. para referirse a "la entrada"); T : temperatura;α : coef. estequiométrico de especie A ; Reacción: A β B α A γ BV : volumen de CSTR con mezcla reaccionante; q : caudal de mezclaθ : tiempo de residencia; θ V / q ; HrJ; Hr : calor de reacción; C p : calor específico de mezclaCpQQ; Q : caudal del refrigeranteVC p13

Algunas condiciones defuncionamiento, o restricciones Flujocontinuo, volumen constantedentro del reactor Agitación perfecta Velocidad de reacción alta, permiteasumir que la concentración dentrodel reactor es igual a la de salida La temperatura es uniforme en elreactorPuntos de equilibrioSe pretende trabajar en "estado estacionario"Equilibrio velocidades nulasξ F (ξ , T )T G(ξ , T )Equilibrio F (ξ , T ) G(ξ , T ) 014

¿Cuántos equilibrios? Como las funciones F,G son en general nolineales, entonces las raíraíces de las ecuacionesF G 0 pueden ser varias (pueden llegar a serinfinitas).Si las ecuaciones fueran lineales, o sea del tipoF aξaξ bTG cξcξ dTentonces el único equilibrio con sentido seríseríaξ T 0.Un único punto de equilibrio15

Varios puntos de equilibrioINTERVALO16

Resultado sobre LinealizaciónLas trayectorias de sistemasno lineales lucen, cerca delequilibrio, como las de sulinealización.(ver enunciado correcto en H-S,pp. 180-190)Linealización de la dinám ica( ξ , T ) equilibrio F ( ξ , T ) G ( ξ , T ) 0x1ξ -ξ ;x2T Tx1 ξ F ( ξ , T ) F ( ξ x1 , T x 2 )x 2 T G ( ξ , T ) G ( ξ x1 , T x 2 )x x1 x ,x 2 F ( x ) F / x1x G ( x ) G / x1 ξ F ( x x) x G(x x) T F / x2 x o ( x ) 0 Ax o ( x ) F / x 2 17

Aplicación a los sistemas de control x f ( x, u)Sistem a original y h( x) x Ax BuSistem a linealizado y Cxdonde:A x (0) x 0 ;;x (0) x 0 f f h(x,u ) ; B (x,u ) ; C (x) x u x( x , u ) es un "equilibrio": f ( x , u ) 0Trayectorias de un sistema linealUn sistema dinámico lineal siempre tiene,para cada condición inicial, una trayectoriaúnica que pasa por allí, y que se extiendepara todo t. Las trayectorias, entonces, no se cruzannunca. En el caso n 2 se pueden graficar lastrayectorias de los dos estados, con tcomo parámetro. Esta representación sesuele llamar “espacio de fases”, y lastrayectorias aparecen como un “flujo”,similar al de las partículas de un fluido. 18

Repaso de Álgebra Lineal Autovalores y autovectores Exponencial de una matrizAv λv exp( A) k 0 Akk!Solución de una ODE linealx A x, x (0) x0x(t) eAt x0Interpretación geométrica v es un autovectorAv λv con v 0 correspondiente al autovalor λ( A λI ) v 0 A λI no es invertible (¿por qué?)v 0 det ( A λI ) 0 λ raíz del polinomiopA (x) det ( A xI ) , "polinomio característico de A"19

Distintos tipos de autovalores Interpretaciónde un autovalor Relación con la traza y eldeterminante Autovalor 0 Autovalor real positivo o negativo “Autovalor” complejoTransformaciones de similaridadR e c o r d a r q u e u n a m a tr iz A r e p r e s e n ta la a c c ió nd e u n a tr a n s f o r m a c ió n lin e a l T A : n n a ij x j e i , i 1i 1 j 1 B c {e 1 , e 2 , e n } e s la b a s e c a n ó n ic a .nnT A ( x ) T A ( xi ei ) dondenR e c o r d a r ta m b ié n q u e la m is m a t r a n s f o r m a c ió nlin e a l tie n e u n a m a tr iz B d is tin ta s i s e e x p r e s ae n o tr a b a s e B , y q u e e s ta s m a tr ic e s s e r e la c io n a nB QAQ 1,dondeQ e s tá a s o c ia d a c o n la tr a n s d o r m a c ió n B c B20